(SKKN HAY NHẤT) phương tích của một điểm đối với đường tròn

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO GIAO THUỶ TRƢỜNG THCS GIAO THỦY - - BÁO CÁO SÁNG KIẾN PHƢƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƢỜNG TRỊN Tác giả: Vũ Thị Thùy Linh Trình độ chun mơn: Đại học sƣ phạm Tốn Chức vụ: Giáo viên Nơi công tác: Trƣờng THCS Giao Thủy Nam Định, ngày 30 tháng 06 năm 2015 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tên sáng kiến : Phƣơng tích điểm đƣờng trịn Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Mơn Tốn - THCS Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ tháng năm 2012 đến tháng năm 2014 Tác giả : - Họ tên : Vũ Thị Thùy Linh - Năm sinh : 1981 - Nơi thường trú : TT Ngô Đồng – huyện Giao Thủy -Tỉnh Nam Định - Trình độ chun mơn: Đại học Sư phạm Tốn - Chức vụ công tác: Giáo viên - Nơi làm việc: Trường THCS Giao Thủy - huyện Giao Thủy – tỉnh Nam Định - Địa liên hệ: Trường THCS Giao Thủy - huyện Giao Thủy - Nam Định - Điện thoại : 0948 428 824 Đơn vị áp dụng sáng kiến: - Tên đơn vị : Trường THCS Giao Thủy - huyện Giao Thủy - tỉnh Nam Định - Địa : Khu – TT Ngô Đồng – huyện Giao Thủy – tỉnh Nam Định - Điện thoại : 03503 737 456 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com I ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Trong hoạt động giáo dục nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học tự nghiên cứu cao Tức đích cần phải biến trình giáo dục thành trình tự giáo dục Như vậy, học sinh phát huy lực sáng tạo, tư khoa học, từ xử lý linh hoạt vấn đề đời sống xã hội Một phương pháp để giúp học sinh đạt điều mơn Tốn (cụ thể mơn Hình Học 9) khích lệ em sau đơn vị kiến thức cần khắc sâu, tìm tịi tốn liên quan Làm có nghĩa em cần say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến thức Đối với học sinh lớp học toán vị trí tương đối đường thẳng đường trịn chùm tập hai tiếp tuyến cát tuyến đường tròn quan trọng đề cập nhiều kì thi vào THPT thi học sinh giỏi cấp tỉnh Đóng vai trị đơn vị kiến thức quan trọng nội dung Hình Học lớp đa số em biết đến chứng minh số tốn đơn lẻ mà khơng có cách nhìn khái quát dạng tập này, việc vận dụng kiến thức phương tích để giải tốn liên quan em cịn lúng túng Với lý đó, kết hợp với số ỏi kinh nghiệm tích lũy trình giảng dạy cho em học sinh lớp bồi dưỡng học sinh giỏi mạnh dạn chọn đề tài “ Phương tích điểm đường tròn” nhằm giúp em học sinh dễ dàng việc vận dụng, khai thác vấn đề liên quan tới dạng tập Và có kĩ “ đưa lạ quen” để giải vấn đề hình học cách tốt Mời bạn đồng nghiệp tham khảo đóng góp ý kiến để đề tài tơi hồn thiện mang tính thực tế cao giảng dạy II MƠ TẢ GIẢI PHÁP Mơ tả giải pháp trƣớc tạo sáng kiến LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trong trình giảng dạy cho em học sinh lớp ôn thi vào THPT thi học sinh giỏi cấp tỉnh dạng tập “Phương tích điểm đường tròn” em gặp nhiều, đặc biệt tỉnh Nam Định dạng tập ba lần có mặt đề thi tuyển sinh vào THPT tính từ năm 2000 trở lại đây, đề thi học sinh giỏi tỉnh có nhiều Tuy nhiên, hầu hết học sinh giải câu a tập cách dễ dàng, câu hỏi tư phần sau em tỏ lúng túng, khó khăn mà nguyên nhân chủ yếu do: - Khi gặp tốn hình em lao vào suy nghĩ, chứng minh dựa kiến thức học mà khơng có cách nhìn khái qt xem dạng tập nào, phương pháp chung để giải gì? - Một u cầu tốn quen thuộc dạng khơng phân tích hình vẽ để áp dụng phương tích vào giải - Hay đơn giản cách hỏi khác em vội khẳng định dạng tâp - Một số toán giả thiết cịn cho ẩn đi, khơng nắm dạng em không khôi phục đầy đủ giả thiết để áp dụng Với thực trạng vậy, thấy việc hình thành dạng tập cho em cần thiết, từ giúp em có kĩ tốt làm Mô tả giải pháp sau có sáng kiến: 2.1, Nhắc lại kiến thức có liên quan Để làm tốt dạng tập phương tích điểm đường trịn trước tiên học sinh cần ôn lại kiến thức liên quan như: tiếp tuyến, cát tuyến đường trịn, khái niệm, tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, hệ thức lượng tam giác vuông… 2.2, Xây dựng kiến thức từ toán sách giáo khoa Trên thực tế khái niệm phương tích điểm đường trịn khơng đề cập đến chương trình sách giáo khoa lớp 9, ứng dụng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com việc giải tốn hình học lớp lớn Nên xuất phát từ kết tốn sách giáo khoa giúp tơi đề cập tới vấn đề Bài 23 trang 76 – SGK tốn tập Cho đường trịn (O) điểm M cố định khơng nằm đường trịn Qua M kẻ hai đường thẳng, đường thẳng thứ cắt đường tròn (O) A B, đường thẳng thứ hai cắt đường tròn (O) C D Chứng minh: MA MB = MC MD - Với tập cần ý tới giả thiết “một điểm M cố định khơng nằm đường trịn”để từ học sinh phải xét hai trường hợp điểm M nằm bên bên ngồi đường trịn Trong trường hợp xét hai tam giác đồng dạng Nội dung tốn trình bày phần lí thuyết - Và từ tập giáo viên giới thiệu lí thuyết phương tích điểm đường trịn 3, Lí thuyết phƣơng tích điểm đƣờng trịn 3.1 Định lí: Giả sử hai đường thẳng cắt P cắt đường tròn điểm tương ứng A, B, C, D, đó: PA PB = PC PD * Chứng minh: +, TH 1: Điểm P nằm ngồi đường trịn: +, TH 2: Điểm P nằm đường tròn: B A A P C O C P D B D - Chứng minh trường hợp 1: Xét PBC PDA có: $P chung ·  PDA · PBC ( Hai góc nội tiếp chắn cung AC) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  PBC : PDA (g – g)  PB PC   PB.PA  PC.PD (đpcm) PD PA - Trường hợp chứng minh tương tự * Chú ý: Trong trường hợp cát tuyến trở thành tiếp tuyến định lí cịn 3.2 Hệ quả: Cho điểm P có khoảng cách đến tâm O đường tròn (O; R) d Giả sử đường thẳng di động qua P cắt đường trịn hai điểm A B Khi ta có: - Nếu P nằm bên đường trịn thì: PA PB = R2 – d2 - Nếu P nằm bên ngồi đường trịn thì: PA PB = d2 – R2 * Chứng minh: +, TH 1: Điểm P nằm ngồi đường trịn: +, TH 2: Điểm P nằm đường tròn: B A A P C C O P D O B D - Chứng minh trường hợp 1: Gọi giao điểm PO với đường trịn C D Theo định lí ta có: PA PB = PC PD = ( d – R) ( d + R) = d2 – R2 - Tương tự cho TH 3.3 Định nghĩa: Ta gọi đại lượng d2 – R2 phương tích điểm P đường tròn (O) - Quy ước: Khi P nằm đường trịn phương tích Xây dựng kết quen thuộc từ toán LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài tốn: Cho đường trịn (O), từ điểm A nằm ngồi đường trịn kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B, C tiếp điểm) cát tuyến AEF ( E nằm A F), gọi I trung điểm EF, H giao điểm AO BC Chứng minh: B đường tròn F I 1, Các điểm B, I, O, C, A thuộc E A H O 2, AB2 = AE AF = AH AO C Giải: 1, Vì AB, AC tiếp tuyến đường tròn (O) (gt) Nên: OB  AB;OC  AC (tính chất tiếp tuyến) - Xét đường trịn (O) có I trung điểm dây EF không qua tâm nên OI  EF (quan hệ vng góc đường kính dây) · · ·  900  ba điểm B, I, C thuộc đường trịn  ACO  AIO Ta có: ABO đường kính AO Hay: Các điểm B, I, O, C, A thuộc đường tròn (đpcm) b, Xét ABEvaAFB có: Góc A chung ·  AFB · (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây chắn cung ABE BE)  ABE : AFB  g  g   AB AF   AB2  AE.AF (1) AE AB - Lại có AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OC = OB (= bán kính) Nên OA đường trung trực BC  OA  BC H Xét tam giác AOB vng B đường cao BH ta có: AB2 = AH AO (2) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ (1) (2) suy AB2 = AE AF = AH AO (đpcm) * Nhận xét 1: - Từ kết thứ nhất, với điểm B, I, O, C, A thuộc đường tròn ta có tứ giác với bốn đỉnh nói nội tiếp ví dụ tứ giác ABIO; BIOC; ACOI nội tiếp - Từ đẳng thức AE AF = AH · · =>tứ giác EHOF nội tiếp  AOF AO  AEH : AOF  c  g  c   AEH Từ định hình cho em cách sử dụng phương tích để chứng minh tứ giác nội tiếp thông qua chứng minh góc nhau, mà cặp góc suy từ cặp tam giác đồng dạng có nhờ kết phương tích Như vậy: từ tính chất phương tích giúp học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp * Nhận xét 2: - Khi chứng minh tứ giác nội tiếp ta có mối quan hệ góc nội tiếp góc ngồi đỉnh với góc đỉnh đối diện bổ sung thêm vào giả thiết để làm câu sau - Khi có AB2 = AE AF = AH AO giáo viên định hướng cho học sinh chứng minh đặc tính hình học , chứng minh hai đoạn thẳng thông qua hai bình phương chúng, rút tỉ lệ thức để từ chứng minh cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp c – g – c, chứng minh đẳng thức hình học - Với đường trịn (O) cố định ta suy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC IBC ln qua điểm O cố định Từ em làm tập chứng minh đường qua điểm cố định Trên sở nhận xét ban đầu nêu trên, mức độ tương đối gv hình thành cho em dạng tập có liên quan đến tính chất phương tích, cụ thể ta có số ứng dụng sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 5, Một số ứng dụng phƣơng tích giải tốn hình học - Chứng minh tứ giác nội tiếp - Chứng minh đặc tính hình học: Quan hệ vng góc, quan hệ song song, quan hệ đoạn thẳng, góc - Chứng minh đường qua điểm cố định - Chứng minh đẳng thức hình học Trên sở định hướng, phân tích rút nhận xét nói hình thành cho học sinh cách nhìn nhận tốn theo đặc trưng riêng Từ trang bị cho em nhiều cách nghĩ khác để tìm hướng thích hợp giải vấn đề 5.1 Dùng phương tích để chứng minh tứ giác nội tiếp Bài 1: Cho đường tròn (O), A điểm nằm ngồi đường trịn Một cát tuyến qua A cắt (O) B C Vẽ tiếp tuyến AP với (O) (P tiếp điểm), gọi H hình chiếu P OA Chứng minh điểm O, H, B, C thuộc đường tròn Giải: Chúng ta thấy BC OH cắt A, P C để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ B đến việc chứng minh AH AO = AB.AC A H O Thật vậy: xét APBvàACP có: µ chung A ·  ACP · APB ( góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây chắn cung PB)  APB : ACP ( g – g)  AP AC   AB AC = AP2 (1) AB AP Mặt khác: Tam giác APO vuông P, PH đường cao nên ta có: AH AO = AP2 (2) (hệ thức lượng tam giác vuông APO) Từ (1) (2) ta cóAH AO = AB AC ˆ ˆ  ACO => ABH : AOC  AHB LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com · ·  ACO Xét tứ giác OHBC có: AHB nên tứ giác OHBC nội tiếp ( tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện) Hay: điểm O, H, B, C thuộc đường tròn Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB B tiếp xúc với AC C Gọi H giao điểm OA BC Vẽ dây cung DE (O) qua H Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp Hướng dẫn giải A Tam giác OCA vuông C, CH đường cao nên ta có: D HO HA = HC2 (1) (Hệ thức lượng tam giác vuông) B H Dây cung BC DE (O) cắt H nên ta có: C O E HD HE = HB HC = HC (2) (định lí) Từ ta có HA.HO = HD.HE => tứ giác ADOE nội tiếp Bài 3: Cho đường tròn (O; R) điểm I nằm đường tròn Hai dây cung AB CD qua I Tiếp tuyến A B cắt P, tiếp tuyến C D cắt Q Gọi M giao điểm OQ CD, N giao điểm OP AB Chứng minh: a) Tứ giác MNPQ nội tiếp b) OI vng góc với PQ Giải: A a, Chứng minh ON OP = OM OQ (=R2) · · b, Chứng minh tg OMIN nội tiếp  OMN  OIN · · ·  OPQ · Mà: OMN  OPQ  OIN tam giác OIN vuông D I M C Trong N O P B Q N có: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a/ MA phân giác góc EMC b/ MB2⋅DC=MC2⋅DE c/ 1   EC DC NC a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến, ta có D DE⋅DC=DA2 Mặt khác áp dụng hệ thức lượng tam giác DAO E vng A có AM đường cao DA2=DM⋅DO A N Do đó, ta thu : DE⋅DC=DM⋅DO Từ đây, ta suy tứ giác EMOC nội tiếp Suy EMD=ECO M B O C Do tam giác OEC cân O nên ECO=CEO Mà CEO =CMO (cùng chắn cung CO (EMOC)) nên ta có EMD =ECO = CEO =CMO ta có EMD = CMO; Mà EMD +EMA= 900 CMO +CMA = 90o nên với kết trên, ta thu  EMA = CMA Nói cách khác, MA phân giác góc EMC b) Theo chứng minh trên, ta có EMD = OMC DEM =COM (do tứ giác EMOC nội tiếp), suy △DEM∽△COM Từ đây, ta có EM/OM=DM/MC hay MC⋅ME=MD⋅MO LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mà MD⋅MO=MB2 (áp dụng hệ thức lượng tam giác MBO vuông O có BM đường cao) nên ta suy MB2=MC⋅ME Nên: hệ thức cần chứng minh trở thành: MC⋅ME⋅DC=MC2⋅DE  ME⋅DC=MC⋅DE DC/MC=DE/ME Do tứ giác EMOC nội tiếp nên dễ thấy DEODMC DEMDOC Suy DC/MC=DO/OE DE/ME=DO/OC Mà OC=OE nên DC/MC=DO/OE=DO/OC=DE/ME c) Ta thấy hệ thức cần chứng minh viết lại sau: 2=EC/DC+EC/NC 1−EC/DC=EC/NC−1DE/DC=EN/NC Sử dụng tính chất đường phân giác, ta có EN/NC=EM/ MC Do đó, ta cần chứng minh DE/DC=ME/MC, hay DC⋅ME=DE⋅MC Đây kết chứng minh phần (b) Bài 7: Cho đường trịn tâm O điểm C ngồi đường trịn Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE ; CF ( E F tiếp điểm) cát tuyến CMN ( M nằm C N ) tới đường tròn Đường thẳng CO cắt đường tròn hai điểm A B Gọi I giao điểm AB với EF Chứng minh rằng: a, Bốn điểm O, I, M, N thuộc đường tròn ·  BIN · b, AIM Giải LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a, Do CE tiếp tuyến (O) nên: E · · (Góc nội tiếp góc tạo tia CEM  CNE N M tiếp tuyến dây chắn cung ME) C A I O B M' CE CN  CEM : CNE   CM CE  CE  CM.CN 1 F Mặt khác: CE; CF tiếp tuyến (O) nên AB EF I Vì tam giác vng CEO đường cao EI ta có: CE2 = CI.CO (2) Từ  (1) (2) suy CM.CN = CI.CO CM CO ·  CNO ·   CMI : CON  CIM CI CN  Tứ giác OIMN nội tiếp b, Kéo dài NI cắt đường tròn M’ ·  INM · Do tứ giác IONM nội tiếp nên : IOM ·  sdAM;INM ¼' ¼ ·  sdMM ¼ '  AM ¼  MM ¼ '  AM ¼  AM Mà: IOM 2 ·  AIM' · ·  BIN ·  đpcm  AIM  AIM Bài 8: Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC (O) lấy điểm D AD cắt (O) điểm thứ hai E Gọi I trung điểm DE a Chứng minh IA tia phân giác góc BIC LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com b Đường thẳng qua D song song với AB cắt BC H,cắt BE K Chứng minh H trung điểm DK a, Chứng minh năm điểm B, O, I, C, A B thuộc đường tròn đường kính OA K Ta có : Góc BIA = góc CIA (cùng A O H góc ACB) b, tứ giác DHIC nội tiếp ( hai đỉnh C,D D I E C nhìn cạnh HI hai góc ) suy : IHC = ICD ( chắn cung ID đường trịn (DHIC)) mà góc ICD = góc EBC Nên: IHC = góc EBC suy HI // BE Trong tam giác DEK có : ID=IE HI // KE suy HD = HK Vậy H trung điểm DK 4, Dùng phương tích để chứng minh đường qua điểm cố định * Nhận xét: Quay trở lại kết phương tích với năm điểm thuộc đường trịn, ta điểm cố định ta có đường trịn ln qua điểm cố định - Hoặc từ kết thứ hai ta chứng minh đoạn thẳng có độ dài khơng đổi lập luận ta có điểm cố định Bài 1: Cho ( O; R) đường thẳng d cắt (O) điểm A; B, d lấy điểm M từ kẻ tiếp tuyến MN; MP ( N; P tiếp điểm) a, Tìm điểm cố định mà đường trịn ( MNP ) ln qua M di động d LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com b, Xác định vị trí M để  MNP  c, Xác định vị trí M để tứ giác MNOP hình vng Giải: a, MN, MP hai tiếp tuyến ( O) N A Q => B · ·  OPM  900 (T/c ON  NM ; OP  PM  ONM M tiếp tuyến) · · Xét tứ giác ONMP có ONM  OPM  1800 H O P Do tứ giác ONMP nội tiếp đường trịn đường kính OM Kẻ OQ vng góc với AB => QA = QB ( đường kính vng góc với dây) Vì AB cố định => Q cố định Gọi I trung điểm OM tam giác OQM vuông Q => QI = IO = IM Vậy Q thuộc đường trịn đường kính OM Kết hợp với câu a => điểm M, N, O, Q, P thuộc đường trịn đường kính OM => đường trịn ( MNP) qua hai điểm O, Q cố định M di chuyển d b, Để tam giác MNP => góc NMP = 600 mà MO phân giác góc NMP · => NMO OM => OM = 2NO = 2R  300 => ON = Dựng cung trịn tâm O bán kính 2R cắt d M => M điểm cần dựng để MNP ·  Thật OM = 2R= 2ON => sin NMO ON · ·   NMO  300  NMP  600 OM Vậy tam giác MNP tam giác c, Tứ giác MNOP hình vng  MN= ON, MON  900   MNO vuông cân N  OM= ON = R ( R bán kính đường trịn (O)) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  M giao điểm (O; R ) với đường thẳng d Vậy ta xác định điểm M1; M2 thoả mãn điều kiện đề Bài 2: Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đường trịn tâm O qua B C Qua A vẽ tiếp tuyến AE, AF với đường tròn (O); Gọi I trung điểm BC, N trung điểm EF a CMR: E, F nằm đường tròn cố định đường tròn (O) thay đổi b Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) K Chứng minh : EK // AB c Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy đường thẳng cố định đường tròn(O) thay đổi a  ABF  AFC đồng dạng (g- g) Ta có : AB/ AF=AF/AC  AF2=AB.AC  AF= AB AC AE=AF= AB AC Mà AE=AF E K nên A B không đổi Vậy E,F thuộc đường tròn (A; AB AC ) cố N O H I C F định ·  AOF · 1 b Tứ giác AOIF nội tiếp đường tròn, nên: AIF 1· · ·  EOF ·  EKF ·  AOF ·  2 AOF  EOF; EKF 2 ·  EKF · Do đó: EK AB song song vơí Từ (1) (2)  AIF c Cm A, N, O thẳng hàng AO  EF ; Gọi H giao điểm BC EF Ta có :  ANH  AIO đồng dạng nên AH AN  Suy ra: AH AI =AN AO AO AI Lại có : AN AO =AE2 =AB AC LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do : AI AH =AB AC  AH  AB AC không đổi Vậy H cố định AI Tứ giác OIHN tứ giác nội tiếp đường trịn nên đường trịn (OIN) ln qua I H; Do tâm đường trịn nằm đường trung trực IH Bài 3: Cho đường tròn (O), dây AB điểm C đường trịn nằm tia BA Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường tròn cắt dây AB D Tia CP cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I Các dây AB QI cắt K a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp b) Chứng minh CI.CP = CK.CD c) Chứng minh IC phân giác góc đỉnh I tam giác AIB d) Giả sử A, B, C cố định, chứng minh đường tròn(O) thay đổi qua A, B đường thẳng QI ln qua điểm cố định Giải: a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp P Ta có: ·  PIQ ·  900 góc nội tiếp chắn nửa đ/tròn PIK   ·  900  v × PQ  AB  PDK   Tø gi¸c PDKI néi tiÕp ®­êng trßn I C A O K D B Q ®­êng kÝnh KP Cách 2: »  QB » Ta có: PQ  AB  AQ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com   ả sđQB ằ sđAI K ả l góc có đỉnh bên đ/tròn K 1 »  s® ºAI  s®IAQ ẳ v ì AQ ằ QB ằ = sđAQ 2 ẳ ẳ M: Pà sđIAQ v ì Pà l góc nội tiếp chắn IAQ          µ ¶   P1  K1     · K ¶  1800  kỊ bï  ; Mà: IKD · P µ 1800  Tg PDKI nội tiếp đường tròn đ/kính KP nờn: IKD b) Chứng minh CI.CP = CK.CD Xét: CIKv¯ CDP cã: ·  CDP · CIK  900  CI CK    CI.CP  CD.CK  ®pcm 1   CIK ~ CDP  g  g   µ: gãc chung CD CP C   c) Chứng minh IC phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB: Ta có:   µ » »  Iµ  I2 : QA  QB  · ·   CIA  PIB  CI l phân giác ngoi đỉnh I AIB ·  900  CIK d) Giả sử A, B, C cố định, chứng minh đường tròn(O) thay đổi qua A, B đường thẳng QI qua điểm cố định Ta chứng minh được: CAP ~ CIB  g  g   CA CP   CA.CB  CI CP   CI CB Từ (1) (2) CA.CB ; không đổi v K tia CB CD Vậy K cố định v QI qua K cố định CK CD  CA.CB  CK  Bài 4: Cho đường trịn (O; R) điểm M thay đổi nằm ngồi đường tròn Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A B tiếp điểm) Gọi LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com D điểm di động cung lớn AB (D khơng trùng với A, B điểm cung) C giao điểm thứ hai đường thẳng MD với đường tròn (O; R) a) Giả sử H giao điểm OM với AB Chứng minh MH.MO = MC.MD, từ suy đường trịn ngoại tiếp tam giác HCD qua điểm cố định b) Chứng minh dây AD song song với đường thẳng MB đường thẳng AC qua trọng tâm G tam giác MAB c) Kẻ đường kính BK đường trịn (O; R), gọi I giao điểm đường thẳng MK AB Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MBI theo R, biết OM = 2R K A I D C M H O E B a) Vì tam giác AOM vng A có AH  OM nên MH.MO  MA · · Mặt khác MAC nên  MAC đồng dạng  MDA (g.g),  ADC MA MC   MC.MD  MA MD MA Vậy MH.MO  MC.MD Khi MH MC  MD MO · · Do MHC đồng dạng MDO  MHC  MDO Từ suy OHCD nội tiếp, đường trịn ngoại tiếp  HCD qua điểm O cố định LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ·  EAB · b) Giả sử AC cắt MB E, CBE nên  EBC đồng dạng  EAB Do EB EC   EA.EC  EB2 EA EB · · · Vì AD // MB nên EMC Do  EMC đồng dạng  EAM  MDA  MAC EM EC   EA.EC  EM EA EM Vậy EB = EM, tức E trung điểm MB Tam giác MAB có MH AE đường trung tuyến, nên AC qua trọng tâm G  MAB Bài 5: Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R') cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O' M N (M N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) MI.BE  BI.AE b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE qua điểm cố định ·  BAE · Ta có: BDE (cùng chắn cung BE đường tròn tâm O) C ·  BMN · BAE (cùng chắn cung BN đường tròn tâm O') · ·  BMN  BDE M A D Q O E K O' H I ·  BMN · hay BDI  BDMI tứ giác nội B ·  MBI · tiếp  MDI (cùng chắn cung MI) N ·  ABE · mà MDI (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ·  MBI ·  ABE ·  BAE · mặt khác BMI (chứng minh trên)  MBI ~  ABE (g.g)  MI BI   MI.BE = BI.AE AE BE Gọi Q giao điểm CO DE  OC  DE Q   OCD vng D có DQ đường cao  OQ.OC = OD2 = R2 (1) Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO' DE; H giao điểm AB OO'  OO'  AB H µ H µ 900 ;O µ chung  KQO ~ CHO (g.g) Xét KQO CHO có Q  KO OQ   OC.OQ  KO.OH (2) CO OH R2 Từ (1) (2)  KO.OH  R  OK  OH Vì OH cố định R không đổi  OK không đổi  K cố định III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI Hiệu kinh tế Hiệu mặt xã hội Sau dạy cho hai nhóm đối tượng học sinh ôn thi vào lớp 10 bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh nhận thấy: - Học sinh có cách nhìn tổng qt đứng trước tốn hình học, có kĩ phân tích kiện để vận dụng linh hoạt kiến thức học vào giải toán LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Được rèn kĩ tốt, theo mức độ nhận thức khác em nắm kiến thức bước đầu biết suy luận tình giải vấn đề Cụ thể sau dạy xong chuyên đề cho đối tượng học sinh lớp ôn thi vào lớp 10 đưa yêu câu sau học sinh: Cho hình vẽ bên, em đặt B đề tốn thích hợp cho hình F E vẽ Sau bổ sung thêm kiện để có thêm A H O câu hỏi phù hợp Với yêu cầu trên, tiến hành C khảo sát lớp mà tơi trực tiếp giảng dạy thu kết phân thành ba nhóm sau: - Nhóm 1: (những học sinh trung bình ) đa phần em lập nhóm câu hỏi sau: 1, Chứng minh AB2 = AE.AF 2, Chứng minh điểm A, B, O, C thuộc đường tròn (hoặc: gọi I trung điểm EF, Chứng minh điểm A, B, O, C,I thuộc đường tròn Hoặc: Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ln qua điểm cố định) 3, Chứng minh tứ giác OHEF nội tiếp - Nhóm 2: (những học sinh ) ngồi câu hỏi em cịn đặt thêm nhiều câu hỏi khac, chẳng hạn như: 4, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF qua điểm cố định điểm A thay đổi LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 5, Gọi I trung điểm EF, CI cắt đường tròn điểm thứ hai D, chứng minh BD song song EF 6, Chứng minh HB phân giác góc EHF - Nhóm 3: (những học sinh giỏi ) nhóm đối tượng em hiểu vấn đề mức độ sâu từ có câu hỏi yêu cầu tư cao, ví dụ như: 7, Gọi giao điểm tia BE với AC K, chứng minh K trung điểm AC 8, Gọi giao điểm OD với BC M, chứng minh OI OM = OH OA 9, Gọi N L hình chiếu E AB AC, xác định vị trí điểm E (O) cho tích EN EL đạt GTLN * Nhƣ vậy: Qua số năm đưa đề tài vào giảng dạy tùy theo mức độ nhận thức đối tượng học sinh thấy đề tài đem lại hiệu tốt cho em đứng trước ki thi, từ đánh thức niềm đam mê, tìm tịi tốn học em, định hướng cho em tính tự học hiệu Các em nắm tốt kết bản, đặc biệt từ em hào hứng việc tự nghiên cứu để đặt thêm câu hỏi có liên quan IV Cam kết khơng chép vi phạm quyền Tôi xin cam kết nội dung sáng kiến thân tơi nghiên cứu đúc rút trình học tập chuyên môn thực tế giảng dạy, không chép hay vi phạm quyền tác giả hay nhà nghiên cứu Nếu sai xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Tuy nhiên ý kiến mang tính chất cá nhân Bởi tơi mong đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp để thân có nhiều phương pháp giảng dạy có kết cao Tơi xin chân thành cảm ơn! Giao Thuỷ, ngày 30 tháng 06 năm 2015 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com CƠ QUAN ĐƠN VỊ TÁC GIẢ SÁNG KIẾN ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Trường THCS Giao Thủy xác nhận: Sáng kiến kinh nghiệm: “Phương tích điểm đường tròn ” tác giả: Vũ Thị Thùy Linh xếp loại xuất sắc cấp trường đủ điều kiện dự thi cấp huyện Vũ Thị Thùy Linh PHÒNG GD& ĐT HUYỆN GIAO THỦY Phòng Giáo dục Đào tạo huyện Giao Thủy xác nhận: Sáng kiến kinh nghiệm: “Phương tích điểm đường tròn ” tác giả: Vũ Thị Thùy Linh xếp loại xuất sắc cấp huyện đủ điều kiện dự thi cấp tỉnh./ TRƢỞNG PHÒNG Mai Tiến Dũng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) D Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng... PO cắt đường tròn hai điểm K I (K nằm P O) cắt AB H.Gọi D điểm đối xứng với B qua O, C giao điểm PD với đường tròn (O) a) Chứng minh tứ giác BHCP nội tiếp b) Chứng minh AC  CH c) Đường tròn ngoại... Cho đường tròn (O) điểm M cố định khơng nằm đường trịn Qua M kẻ hai đường thẳng, đường thẳng thứ cắt đường tròn (O) A B, đường thẳng thứ hai cắt đường tròn (O) C D Chứng minh: MA MB = MC MD - Với