* Nhận xột: Quay trở lại kết quả của phương tớch với năm điểm thuộc một đường trũn, nếu ta chỉ ra được một điểm cố định thỡ ta cú đường trịn đú luụn đi qua một điểm cố định
- Hoặc từ kết quả thứ hai ta chứng minh được đoạn thẳng cú độ dài khơng đổi lập luận ta cũng cú được điểm cố định
Bài 1: Cho ( O; R) đường thẳng d cắt (O) tại 2 điểm A; B, trờn d lấy 1 điểm M
và từ đú kẻ 2 tiếp tuyến MN; MP ( N; P là tiếp điểm)
a, Tỡm 2 điểm cố định mà đường trịn ( MNP ) ln đi qua khi M di động trờn d.
b, Xỏc định vị trớ của M để MNP là đềụ
c, Xỏc định vị trớ của M để tứ giỏc MNOP là hỡnh vng.
Giải: a, MN, MP là hai tiếp tuyến của ( O)
=> ON NM;OPPM ã ã 0
ONMOPM90 (T/c
tiếp tuyến) Xột tứ giỏc ONMP cú ã ã 0
ONMOPM180 .
Do đú tứ giỏc ONMP nội tiếp đường trịn đường kớnh OM H Q N M O P B A
Kẻ OQ vng gúc với AB => QA = QB ( đường kớnh vng gúc với dõy) Vỡ AB cố định => Q cố định .
Gọi I là trung điểm của OM tam giỏc OQM vuụng tại Q => QI = IO = IM. Vậy Q thuộc đường trũn đường kớnh OM. Kết hợp với cõu a => 5 điểm M, N, O, Q, P thuộc đường trịn đường kớnh OM => đường trịn ( MNP) ln đi qua hai điểm O, Q cố định khi M di chuyển trờn d .
b, Để tam giỏc MNP đều => gúc NMP = 600 mà MO là phõn giỏc của gúc NMP
=> ã 0
NMO30 => ON = 2 1
OM => OM = 2NO = 2R.
Dựng cung trịn tõm O bỏn kớnh 2R cắt d tại M => M là điểm cần dựng để MNP đều
Thật vậy OM = 2R= 2ON => ã ON 1 ã 0 ã 0
sin NMO NMO 30 NMP 60
OM 2
Vậy tam giỏc MNP là tam giỏc đềụ
c, Tứ giỏc MNOP là hỡnh vuụng MN= ON, 0
90
MON MON
MNO vuụng cõn tại NOM= ON 2= R 2 ( R là bỏn kớnh đường trịn (O))
M là giao điểm của (O; R 2) với đường thẳng d
Vậy ta xỏc định được 2 điểm M1; M2 thoả món điều kiện đề rạ
Bài 2: Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đú.vẽ đường trịn tõm
O qua B và C. Qua A vẽ tiếp tuyến AE, AF với đường trũn (O); Gọi I là trung điểm BC, N là trung điểm EF .
ạ CMR: E, F luụn nằm trờn một đường trũn cố định khi đường trũn (O) thay đổi .
b. Đường thẳng FI cắt đường trũn (O) tại K. Chứng minh rằng : EK // AB . c. Chứng minh rằng tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ONI chạy trờn một đường thẳng cố định khi đường trũn(O) thay đổị
ạ ABF và AFC đồng dạng (g- g) Ta cú : AB/ AF=AF/ACAF2=AB.AC
AF= AB.AC Mà AE=AF nờn
AE=AF= AB.AC khụng đổi
Vậy E,F thuộc đường trũn (A; AB.AC) cố định. N K I H E O C F B A
b. Tứ giỏc AOIF nội tiếp đường trũn, nờn: AIFã AOF 1ã
ã 1ã ã 1ã ã ã
AOF EOF; EKF EOF EKF AOF 2
2 2
Từ (1) và (2) AIFã EKFã . Do đú: EK và AB song song vơớ nhau c. Cm được A, N, O thẳng hàng và AOEF ;
Gọi H là giao điểm của BC và EF .
Ta cú : ANH và AIO đồng dạng nờn
AIAN AN AO
AH . Suy ra: AH. AI =AN. AO
Lại cú : AN . AO =AE2
Do đú : AỊ AH =AB. AC AI AC AB AH . khụng đổi . Vậy H cố định
Tứ giỏc OIHN là tứ giỏc nội tiếp đường trịn nờn đường trịn (OIN) ln qua I và H;
Do đú tõm đường trịn này nằm trờn đường trung trực của IH
Bài 3: Cho đường trũn (O), một dõy AB và một điểm C ở ngồi đường trịn và
nằm trờn tia BẠ Từ điểm chớnh giữa P của cung lớn AB kẻ đường kớnh PQ của đường trũn cắt dõy AB tại D. Tia CP cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai Ị Cỏc dõy AB và QI cắt nhau tại K.
a) Chứng minh tứ giỏc PDKI nội tiếp b) Chứng minh CỊCP = CK.CD
c) Chứng minh IC là phõn giỏc gúc ngồi ở đỉnh I của tam giỏc AIB
d) Giả sử A, B, C cố định, chứng minh rằng khi đường trũn(O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B thỡ đường thẳng QI ln đi qua một điểm cố định.
Giải:
a) Chứng minh tứ giỏc PDKI nội tiếp
Ta cú: ã ã ã 0 0
90 óc nội tiếp chắn nửa đ/trũn PDK 90 ì PQ AB
PIK PIQ g
v