Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRƯỜNG SƯ PHẠM NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN THI: TỐN (Tốn chung) Ngày thi: 17/06/2021 (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Bài (2,5 điểm) a= Cho 1+ a) Tìm đa thức bậc hai b) Cho đa thức: Bài Q( x) với hệ số nguyên cho P( x) = x5 − x − x + Tính giá trị α nghiệm Q( x) P(α ) (3,0 điểm) Cho A, B hai điểm cố định nằm đường trịn tâm O , bán kính R Giả sử C ( O) C BA định tia đối tia Một cát tuyến thay đổi qua cắt đường tròn điểm cố D E ( D nằm C , E ) Các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACE cắt giao điểm thứ hai M Biết bốn điểm O, B, M , E tạo thành tứ giác Chứng minh rằng: a) Tứ giác OBME nội tiếp 2 CD CE = CO − R b) NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang OBME Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” c) Bài M di chuyển đường trịn cố định (2,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương x2 y + xy + Bài với x, y N cho N biểu diễn cách dạng hai số nguyên dương (2,5 điểm) Cho a , b , c ba số nguyên dương cho số ba số biểu diễn dạng lũy thừa với số mũ tự nhiên Biết phương trình bậc hai ax − bx + c = (1) có hai nghiệm số nguyên Chứng minh hai nghiệm phương trình (1) Bài (2,5 điểm) a= Cho 1+ a) Tìm đa thức bậc hai b) Cho đa thức: Q( x) với hệ số nguyên cho P( x) = x5 − x − x + Tính giá trị α nghiệm Q( x) P(α ) Lời giải a).Tìm đa thức bậc hai Q( x) với hệ số nguyên cho α nghiệm Cách 1: α= Có 1+ ⇔ 2α − = ⇒ 4α − 4α − = ⇔ α − α − = NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Q( x) Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” x − x − 1= α= Phương trình Vậy Q ( x ) = x2 − x − có hệ số nguyên có nghiệm 1+ 1− β= 2 thỏa yêu cầu Cách 2: α= Có Ta có 1+ 1− β= , đặt α + β = α β = − α β Phương trình có hệ số ngun nhận , Vậy b) Q ( x ) = x2 − x − làm nghiệm x2 − x − = thỏa yêu cầu P( x) = x − x − x + = x − x − x + x − x + P( x) = x3 ( x − x − 1) + x3 − x − x + x + P( x) = ( x − x − 1)( x3 + x) + x + P(α ) = (α − α − 1)(α + α ) + α + P(α ) = + α + α + 1= α + Mà α (Do nghiệm phương trình: x − x − ) nên P(α ) = α + = α + = 1+ 5+ +2= 2 NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang , Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” P(α ) = Vậy Bài 5+ (3,0 điểm) Cho A, B hai điểm cố định nằm đường trịn tâm O , bán kính R Giả sử C ( O) C BA định tia đối tia Một cát tuyến thay đổi qua cắt đường tròn điểm cố D E ( D nằm C , E ) Các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACE cắt giao điểm thứ hai M Biết bốn điểm O, B, M , E tạo thành tứ giác Chứng minh rằng: a) Tứ giác OBME nội tiếp 2 CD CE = CO − R b) c) M ln di chuyển đường trịn cố định Lời giải NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang OBME Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” a) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp ( · · · · · · EOB = BAE = BDC = BMC = EMC − EMB ( · − EMB · = 180° − EAB ) ) · − EMB · = 360° − EOB suy · + EMB · EOB = 180° hay tứ giác OBME nội tiếp 2 CD CE = CO − R b) Chứng minh Cách 2 2 ( O) CF CF ⊥ OF ⇒ CF = CO − OF = CO − R Kẻ tiếp tuyến , suy (1) Mặt khác: ∆ CDF ∽∆ CFE (g.g) NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” ⇒ CD CF = ⇒ CF = CD.CE CF CE (2) 2 CD CE = CO − R Từ (1) (2) ta có Cách T Gọi Có trung điểm DE CD.CE = ( CT − TD ) ( CT + TE ) , TD = TE = CT − TD = CO − OT − TD = CO − OD = CO − R c) Chứng minh M di chuyển đường tròn cố định · · · · + EAB · = 90° OMC = OMB + BMC = OEB M di chuyển đường trịn đường hay kính Bài OC cố định (2,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương x2 y + xy + với x, y N cho N biểu diễn cách dạng hai số nguyên dương Lời giải x2 + y N= ⇔ x − Nxy − N + y = ⇔ x ( Ny − x ) = y − N ( 1) xy + Với N = dễ thấy có vơ số cách biểu diễn N theo x, y NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” số dạng Với Nếu Nếu ( x, y ) = ( a, a + 1) ( a ∈ ¥ * ) N≥2 y = N ⇒ x = N2 y≠ N ( 1) ⇒ suy hai số y − N Mx ⇒ y − N ≥ x y; N có số lớn x ⇒ Ny − x > ⇒ y − N > ⇒ y > N ⇒ y > x Từ ( 1) ⇒ Vậy với y − N MNy − x ⇒ y − N ≥ Ny − x ≥ y − x ≥ y + ( y − x ) ≥ y ⇒ N ≤ N ≥ ta có biểu diễn dạng ( loại) x2 + y xy + Cách khác ( x; y ) N = +) có vơ số Suy +) có dạng ( k ; k + 1) ( k ∈ N ) thỏa mãn x2 + y =N xy + N = loại N≠1 x + y Mxy + ⇒ y ( x + y ) − x ( xy + 1) Mxy + ⇒ y − xMxy + NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” +) x < y ⇒ x + y ≤ xy + y < xy + x2 + y ⇒ x + y ≤ xy + xy = xy < xy + ⇒ < 2⇒ N < xy + +) vô lý x ≥ y ⇒ − ( xy + 1) < − x < y − x < y < xy + ⇒ y2 − x = ⇒ x = y2 y4 + y ⇒N= =y y +1 ⇒ x = N2 Với Bài N > cặp ( N ;N) (2,5 điểm) Cho a , b , c ba số nguyên dương cho số ba số biểu diễn dạng lũy thừa với số mũ tự nhiên Biết phương trình bậc hai ax − bx + c = (1) có hai nghiệm số nguyên Chứng minh hai nghiệm phương trình (1) Lời giải Cách 1: Đặt Gọi a = 2k ; b = 2n ; c = 2m ( k , m, n ∈ ¥ ) x1; x2 nghiệm nguyên phương trình ax − bx + c = NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Ta có ax12 − bx1 + c = ⇒ c = x1 ( b − ax1 ) > ⇒ c Mx1 ⇒ 2m Mx1 x1 + x2 = 2n − k x1 > ⇒ ( 2) m− k x > x x = Theo hệ thức Vi-et: Từ Đặt ( 1) ; ( ) ⇒ x1; x2 lũy thừa với số mũ tự nhiên x1 = p , x2 = 2q ( p, q ∈ ¥ ) Khi tương tự khơng tính tổng qt giả sử p≥q x1 + x2 = 2n−k ⇔ 2q ( p −q + 1) = 2n −k ⇒ p −q + = 2n −k −q p− q n− k − q n− k − q + ≥ ⇒ ≥ ⇒ Vì p− q ⇒ + số chẵn số chẵn ⇒ p −q = ⇒ p − q = ⇔ p = q ⇒ x1 = x2 (đpcm) Cách 2: Đặt a = 2n ; b = 2m ; c = p ( m; n; p ∈ ¥ ) Xét phương trình Để phương trình ax + bx + c = ( 1) ( 1) ⇒ 22 m − 2n + p + = k 2m n+ p + ∆ = b − ac = − có có nghiệm ngun ∆ số phương ( k ∈ ¥ ) ⇔ 2n + p + = ( 2m − k ) ( 2m + k ) m u 2u + 2v u −1 2 − k = m ⇒ m u < v ⇒ = = ( + v −u ) ( ) v 2 − k = NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 2m Mx2 ( 1) Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” u≠ v Nếu Suy v −u + số lẻ khác (vô lý) u = v ⇒ k = 0⇒ ∆ = Do đó, phương trình ( 1) có hai nghiệm NHĨM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 10 ... phương ( k ∈ ¥ ) ⇔ 2n + p + = ( 2m − k ) ( 2m + k ) m u 2u + 2v u −1 ? ?2 − k = m ⇒ m u < v ⇒ = = ( + v −u ) ( ) v ? ?2 − k = NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 2m Mx2 ( 1) Sản phẩm... p − q = ⇔ p = q ⇒ x1 = x2 (đpcm) Cách 2: Đặt a = 2n ; b = 2m ; c = p ( m; n; p ∈ ¥ ) Xét phương trình Để phương trình ax + bx + c = ( 1) ( 1) ⇒ 22 m − 2n + p + = k 2m n+ p + ∆ = b − ac = −... lũy thừa với số mũ tự nhiên x1 = p , x2 = 2q ( p, q ∈ ¥ ) Khi tương tự khơng tính tổng quát giả sử p≥q x1 + x2 = 2n−k ⇔ 2q ( p −q + 1) = 2n −k ⇒ p −q + = 2n −k −q p− q n− k − q n− k − q + ≥ ⇒