de tuyen sinh lop 10 chuyen mon toan nam 2021 truong dhsp ha noi

Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN Đề thi gồm 01 trang Ngày thi: 17/06/2021 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm)  ba a a  b b  ( b  a )  ab  : với ( a  0; b  ; a  b )  a  b  a b  b  a Cho: P   a) Rút gọn P b) Chứng minh P  Lời giải a) Rút gọn P  ba a a  b b   :  P    b  a a  b    P     b a  b a b a   b a   ab a  0, b  0, a  b a b     a  b a  ab  b  b  ab  a  ab  : a b a b a  b    a  ab  b  b  ab  a  : P   b  a   a  b  a b   a  ab  b  a  ab  b  P    a b P P  : b    ab  a a b ab a b a  b a  ab  b ab a  ab  b Vậy P  ab a  ab  b b) Chứng minh P  NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Ta có: a  0, b  0, a  b  ab  a  ab  b    a  b  ab  ab    Ta có: a  0, b  0, a  b     a  b        a  b  ab   a  ab  b  ab 0 a  ab  b Vậy P  (đpcm) Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng: với giá trị m , hai phương trình sau có nghiệm: x  (2m  1) x  m   ; x  mx  4m 11  2) Với a, b, c số thực đương thỏa mãn điều kiện a  b  c   ab  bc  ca  b) Một biển quảng cáo có dạng hình trịn tâm O , bán kính 1, 6 m Giả sử hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường trịn   45 (hình bên) tâm O bán kính 1, 6 m cho BOC Người ta cần sơn màu toàn biển quảng cáo sơn mặt hình bên Biết mức chi phí sơn phần hình tơ đậm 150 nghìn đồng/ m phần cịn lại 200 nghìn đồng/ m Hỏi số tiền (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng) để sơn tồn biển quảng cáo bao nhiêu? Cho   3,14 B A O D Lời giải a) Chứng minh rằng: với giá trị m , hai phương trình sau có nghiệm: x  (2m  1) x  m   ; x  mx  4m 11  Xét phương trình x  2m  1 x  m   1 Ta có   2m  1  m  3  4m  4m  1 4m 12  4m 11 + Trường hợp 1:    4m 11   m  11 Khi phương trình (1) có nghiệm + Trường hợp 2:    4m 11   m  11 Xét phương trình x  mx  4m 11   2 Ta có a.c  1.4m 11  4m 11  Suy phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang C Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Như vậy, với giá trị m , hai phương trình sau có nghiệm: x  2m  1 x  m   ; x  mx  4m 11  b) Tính số tiền sơn biển quảng cáo Diện tích hình quạt BOC là:  R Diện tích BOC là: n 45  3,14.1, 62  1, 0048 m  360 360 1   1, 6.1, 6.sin 45  0,905 m  OB.CH  OB.OC.sin BOC 2 Diện tích phần cịn lại (không tô màu) 2.1, 0048  0,905  0,1996  m  Diện tích hình trịn tâm O là:  R  3,14.1, 62  8, 0384 m  Diện tích phần tơ màu là: 8, 0384  0,1996  7,8388 m  Số tiền sơn là: 7,8388.150  0,1996.200  1215, 74  1216 (nghìn đồng) Câu (3,0 điểm) Cho ba điểm A , B , C cố định cho A , B , C thẳng hàng, B nằm A C Gọi d  đường thẳng qua C vng góc với AB Lấy điểm M tùy ý d  Đường thẳng qua B vng góc với AM cắt đường thẳng AM , d  I , N Đường thẳng MB cắt AN K a) Chứng minh tứ giác MIKN nội tiếp b) Chứng minh CM CN  AC.BC NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Vẽ hình bình hành MBNE Gọi H trung điểm đoạn thẳng BE Chứng minh OH vng góc với đường thẳng d  OH  AB Lời giải M I B A C O H E K N a) Chứng minh tứ giác MIKN nội tiếp Xét AMN có NI  AM , AC  MN mà NI cắt AC B nên B trực tâm AMN  MB  AN K   90 suy K thuộc đường trịn đường kính MN  MKN   90 suy I thuộc đường trịn đường kính MN Mà MIN Suy tứ giác MIKN nội tiếp b) Chứng minh CM CN  AC.BC  Xét MBC ANC có: MCB ACN  90   NAC  (cùng phụ với  BMC ANM ) Suy MBC ” ANC (g.g)  CM CB   CM  CN  AC  BC CA CN NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Vẽ hình bình hành MBNE Gọi H trung điểm đoạn thẳng BE Chứng minh OH vuông góc với đường thẳng d  OH  AB Vì BMEN hình bình hành  ME  BN Mà BN  AM  ME  AN   AME  90 Suy AE đường kính O  , suy O trung điểm AE Vì BMEN hình bình hành, H trung điểm BE nên H trung điểm MN  OH  MN hay OH  d  Vì H trung điểm BE , O trung điểm AE nên OH đường trung bình ABE  OH  Câu AB (2,0 điểm)   x  y  x  57  a) Giải hệ phương trình sau:  2021 2020  1    x 1  x  b) Cho a b hai số hữu tỉ Chứng minh a  b số hữu tỉ a  b  Lời giải  x  y  x  57 1  a) Giải hệ phương trình sau:   x 1 2021  x  2020  2  Xét phương trình 2 Với x   x   1  x    x  2020   x 1 2021  x2 2020  không thỏa mãn  2 Với x   x 1   x 1   x 1 2021   x 1 2021  x2 2020  không thỏa mãn  2 2020   x  1  x2  x2   1  x         Với  x      2021 0  x 1     x 1    0  x 1     x 1  x 1 2021  x2 2020  x 1  x   x 1   x   khơng thỏa mãn 2 NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Dễ thấy phương trình 2 có hai nghiệm x  1; x  Với x  Thay vào 1  y   60 Với x  thay vào 1  y   61      Vậy hệ phương trình có nghiệm 1, 60 ; 1,  60 ; 2, 61 ; 2,  61 b) Cho a b hai số hữu tỉ Chứng minh a  b số hữu tỉ a  b  Ta có: a + b ∈ ( ) ⇒ a + b ∈ ⇒ 2a + 3b + 6ab ∈  Mà 2a + 3b ∈  6ab ∈  Do 6ab ∈  a = b = Suy ab= ⇒  Trường hợp 1: a = ⇒ b ∈  ⇒ b = (do b ∈  ) Trường hợp 2: b = ⇒ a ∈  ⇒ a = (do a ∈  ) Vậy a= b= (đpcm) HẾT NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang ... Học-THCS-THPT VIỆT NAM? ?? BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN Đề thi gồm 01 trang Ngày thi: 17/06 /2021 Thời gian:... Suy phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang C Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM? ?? Như vậy, với giá trị m , hai phương trình sau có... Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM? ?? Dễ thấy phương trình 2 có hai nghiệm x  1; x  Với x  Thay vào 1  y   60 Với x  thay vào 1  y   61      Vậy hệ phương