CHUYEN ĐHSP HA NOI TS10 vòng 2

Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRƯỜNG SƯ PHẠM NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN THI: TỐN (Tốn chung) Ngày thi: 17/06/2021 (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Bài (2,5 điểm) a Cho 1 Q( x) a) Tìm đa thức bậc hai với hệ số nguyên cho Bài Q( x) nghiệm P ( ) P ( x)  x  x  x  b) Cho đa thức:  Tính giá trị (3,0 điểm) A, B Cho hai điểm cố định nằm đường tròn tâm định tia đối tia D BA O Một cát tuyến thay đổi qua , bán kính C cắt đường trịn điểm thứ hai ) Các đường tròn ngoại tiếp tam giác M BCD O, B, M , E Biết bốn điểm Giả sử C  O C, E nằm R tạo thành tứ giác ACE OBME điểm cố D E ( cắt giao Chứng minh rằng: a) Tứ giác b) c) Bài OBME nội tiếp CD.CE  CO  R M di chuyển đường trịn cố định (2,0 điểm) NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Tìm tất số nguyên dương x2 y  xy  cho N biểu diễn cách dạng x, y với Bài N hai số nguyên dương (2,5 điểm) a b c Cho , , ba số nguyên dương cho số ba số biểu diễn dạng lũy thừa với số mũ tự nhiên Biết phương trình bậc hai ax  bx  c  (1) có hai nghiệm số nguyên Chứng minh hai nghiệm phương trình (1) LỜI GIẢI ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI Tập Thể Giáo Viên Nhóm Tốn “Tiểu Học – THCS – THPT VIỆT NAM” Tạ Thị Huyền Trang Nguyễn Trí Chính Hồng Dương Thắng Vũ Phạm Thụ Trần Lệnh Ánh Phạm Thu Hà Việt Dũng Lê Hợp Nguyễn Lan Anh Phạm Văn Tuân Lê Hường Ngô Nguyễn Quốc Mẫn Võ Quang Mẫn Trần Hùng Quân Lê Quỳnh Trang Lê Minh Đức Lê Thị Hoàng Hạnh Bùi Quốc Trọng Phạm Duy Nguyên Nguyễn Hưng Nguyễn Minh Toàn Bài (2,5 điểm) a Cho 1 NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Q ( x) a) Tìm đa thức bậc hai với hệ số nguyên cho Q ( x) nghiệm P ( ) P ( x)  x  x  x  b) Cho đa thức:  Tính giá trị Lời giải Q( x) a).Tìm đa thức bậc hai với hệ số nguyên cho  Q( x) nghiệm Cách 1:  Có 1 � 2   � 4  4   �      x  x 1   Phương trình có hệ số nguyên có nghiệm 1  , 1 Q  x   x2  x  Vậy thỏa yêu cầu Cách 2:  Có Ta có 1  , đặt 1    1 � �    1 � Phương trình có hệ số nguyên nhận   , làm nghiệm x2  x   Q  x   x2  x  Vậy thỏa yêu cầu P( x)  x5  x  x   x5  x  x3  x3  x  b) P ( x)  x  x  x  1  x  x  x  x  P( x )  ( x  x  1)( x  x)  x  P( )  (    1)(   )    NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” P( )     (Do Mà  1     Vậy Bài ) nên P ( )        P ( )  nghiệm phương trình: x2  x 1 5 1 5 2 2 (3,0 điểm) A, B Cho hai điểm cố định nằm đường tròn tâm định tia đối tia D BA O Một cát tuyến thay đổi qua , bán kính C cắt đường tròn điểm thứ hai ) Các đường tròn ngoại tiếp tam giác M BCD O, B , M , E Biết bốn điểm Giả sử C  O C, E nằm R tạo thành tứ giác ACE OBME điểm cố D E ( cắt giao Chứng minh rằng: a) Tứ giác b) c) OBME nội tiếp CD.CE  CO  R M di chuyển đường tròn cố định Lời giải NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” a) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp  �  BAE �  BDC �  BMC �  EMC �  EMB � EOB  �  EMB �  180� EAB   �  EMB �  360� EOB suy �  EMB �  180� EOB hay tứ giác b) Chứng minh CD.CE  CO  R OBME nội tiếp Cách Kẻ CF  O tiếp tuyến Mặt khác: � CDF ∽CFE , suy CF  OF � CF  CO  OF  CO  R (1) (g.g) CD CF  � CF  CD.CE CF CE (2) NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Từ (1) (2) ta có CD.CE  CO  R Cách T Gọi trung điểm DE CD.CE   CT  TD   CT  TE  , TD  TE Có  CT  TD  CO  OT  TD  CO  OD  CO  R c) Chứng minh M di chuyển đường tròn cố định � �  BMC �  OEB �  EAB �  90� OMC  OMB hay kính Bài OC M ln di chuyển đường trịn đường cố định (2,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương x2 y  xy  N cho N biểu diễn cách dạng x, y với hai số nguyên dương Lời giải x2  y N � x  Nxy  N  y  � x  Ny  x   y  N  1 xy  Với N 1 dễ thấy có vơ số cách biểu diễn  x, y    a, a  1 N x, y theo  a ��  * số dạng Với N �2 y  N � x  N2 Nếu NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”  1 � y  N Mx � y �N Nếu y  N �x y; N suy hai số có số lớn x � Ny  x  � y  N  � y  N � y  x y � NM� Ny�x�y� N  1 � Ny x 2y x y y x y Từ N ( loại) Vậy với N �2 x2  y xy  ta có biểu diễn dạng Cách khác +) N 1 Suy +)  x; y  có vô số N 1 x2  y N xy   k ; k  1  k �N  có dạng thỏa mãn loại N �1 x  y Mxy  � y  x  y   x  xy  1 Mxy  � y  xMxy  x  y � x  y �xy  y  xy  +) x2  y � x  y �xy  xy  xy  xy  � 2�N 2 xy  vô lý x �y �   xy  1   x  y  x  y  xy  +) � y2  x  � x  y2 NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” y4  y �N  y y 1 � x  N2 Với Bài N 1 N ;N  cặp (2,5 điểm) Cho a b c , , ba số nguyên dương cho số ba số biểu diễn dạng lũy thừa với số mũ tự nhiên Biết phương trình bậc hai ax  bx  c  (1) có hai nghiệm số nguyên Chứng minh hai nghiệm phương trình (1) Lời giải Cách 1: a  2k ; b  2n ; c  2m  k , m, n �� Đặt x1 ; x2 Gọi nghiệm nguyên phương trình ax  bx  c  ax12  bx1  c  � c  x1  b  ax1   � c Mx1 � 2m Mx1 Ta có 2m Mx2  1 tương tự Theo hệ thức Vi-et: nk � �x1  �x1  x2  �  2 � � mk �x2  �x1.x2   1 ;   � x1 ; x2 Từ lũy thừa với số mũ tự nhiên x1  p , x2  2q  p, q �� Đặt p �q khơng tính tổng qt giả sử x1  x2  2n  k � q  p q  1  n k � p q   2n k  q Khi Vì p  q �� 1  2n k q 2n  k q NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM số chẵn � pq  số chẵn Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” � p  q  � p  q  � p  q � x1  x2 (đpcm) Cách 2: a  2n ; b  m ; c  p  m; n; p �� Đặt ax  bx  c   1 Xét phương trình có   b  4ac  22 m  2n p   1 Để phương trình có nghiệm ngun  k �� � 22 m  2n  p   k  số phương � 2n  p    2m  k   2m  k  � m  k  2u 2u  2v � m � �m u  v �   2u 1   2v u    v 2 k  � Nếu u �v Suy  v u số lẻ khác u v �k 0� 0 (vơ lý)  1 Do đó, phương trình có hai nghiệm NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang ... � c Mx1 � 2m Mx1 Ta có 2m Mx2  1 tương tự Theo hệ thức Vi-et: nk � �x1  �x1  x2  �  2? ?? � � mk �x2  �x1.x2   1 ;   � x1 ; x2 Từ lũy thừa với số mũ tự nhiên x1  p , x2  2q  p, q... x1  x2 (đpcm) Cách 2: a  2n ; b  m ; c  p  m; n; p �� Đặt ax  bx  c   1 Xét phương trình có   b  4ac  22 m  2n p   1 Để phương trình có nghiệm ngun  k �� � 22 m  2n  p... ngun  k �� � 22 m  2n  p   k  số phương � 2n  p    2m  k   2m  k  � m  k  2u 2u  2v � m � �m u  v �   2u 1   2v u    v 2 k  � Nếu u �v Suy  v u số lẻ khác u v