64 CHUYEN ĐHSP HA NOI TS10 vòng 2 2021 2022

Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRƯỜNG SƯ PHẠM NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN THI: TỐN (Tốn chung) Ngày thi: 17/06/2021 (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Bài (2,5 điểm) a Cho 1 Q ( x) a) Tìm đa thức bậc hai với hệ số nguyên cho P ( x)  x  x  x  b) Cho đa thức: Bài  Q( x) nghiệm P ( ) Tính giá trị (3,0 điểm) A, B Cho hai điểm cố định nằm đường tròn tâm định tia đối tia D BA O Một cát tuyến thay đổi qua , bán kính C cắt đường trịn điểm thứ hai ) Các đường tròn ngoại tiếp tam giác M BCD O, B , M , E Biết bốn điểm tạo thành tứ giác Chứng minh rằng: a) Tứ giác b) c) Bài OBME nội tiếp CD.CE  CO  R M Giả sử C  O C, E nằm R ln di chuyển đường trịn cố định (2,0 điểm) NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang ACE OBME điểm cố D E ( cắt giao Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Tìm tất số nguyên dương x2 y  xy  cho N biểu diễn cách dạng x, y với Bài N hai số nguyên dương (2,5 điểm) Cho a b c , , ba số nguyên dương cho số ba số biểu diễn dạng lũy thừa với số mũ tự nhiên Biết phương trình bậc hai ax  bx  c  (1) có hai nghiệm số nguyên Chứng minh hai nghiệm phương trình (1) Bài (2,5 điểm) a Cho 1 Q ( x) a) Tìm đa thức bậc hai với hệ số nguyên cho P ( x)  x  x  x  b) Cho đa thức:  Q( x) nghiệm P ( ) Tính giá trị Lời giải Q( x) a).Tìm đa thức bậc hai với hệ số nguyên cho  Q( x) nghiệm Cách 1:  Có 1  2    4  4         x  x 1   Phương trình có hệ số ngun có nghiệm 1 Q  x   x2  x  Vậy thỏa u cầu Cách 2: NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang  , 1 Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”  Có Ta có 1  , đặt 1         1 Phương trình có hệ số nguyên nhận   , làm nghiệm x2  x   Q  x   x2  x  Vậy thỏa yêu cầu P( x)  x  x  x   x5  x  x3  x  x  b) P ( x)  x3  x  x  1  x  x  x  x  P( x)  ( x  x  1)( x  x)  x  P( )  (    1)(   )    P( )     (Do Mà  1     Vậy Bài ) nên P( )        P ( )  nghiệm phương trình: x2  x  5 1 5 2 2 (3,0 điểm) A, B Cho hai điểm cố định nằm đường tròn tâm định tia đối tia BA O Một cát tuyến thay đổi qua , bán kính C R Giả sử C  O cắt đường trịn NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang điểm cố D E ( Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” D C, E nằm điểm thứ hai ) Các đường tròn ngoại tiếp tam giác M BCD O, B , M , E Biết bốn điểm tạo thành tứ giác Chứng minh rằng: a) Tứ giác b) c) OBME nội tiếp CD.CE  CO  R M di chuyển đường tròn cố định Lời giải a) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp  · · · · · · EOB  BAE  BDC  BMC  EMC  EMB  · ·  180  EAB  EMB   NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang ACE OBME cắt giao Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” · ·  360  EOB  EMB suy · · EOB  EMB  180 b) Chứng minh OBME hay tứ giác CD.CE  CO  R nội tiếp Cách Kẻ  O CF tiếp tuyến CDF ∽CFE Mặt khác:  , suy CF  OF  CF  CO  OF  CO  R (g.g) CD CF   CF  CD.CE CF CE (2) CD.CE  CO  R Từ (1) (2) ta có (1) Cách T Gọi trung điểm DE CD.CE   CT  TD   CT  TE  , TD  TE Có  CT  TD  CO  OT  TD  CO  OD  CO  R c) Chứng minh M di chuyển đường tròn cố định · · · · · OMC  OMB  BMC  OEB  EAB  90 kính Bài OC hay M ln di chuyển đường trịn đường cố định (2,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương x2 y  xy  N cho N biểu diễn cách dạng x, y với hai số ngun dương Lời giải NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” N Với x2  y  x  Nxy  N  y   x  Ny  x   y  N  1 xy  N 1 dễ thấy có vơ số cách biểu diễn  x, y    a, a  1 N x, y theo  a¥  * số dạng Với N 2 y  N  x  N2 Nếu  1  y  N Mx  yN Nếu yN  x y; N suy hai số có số lớn x  Ny  x   y  N   y  N  y  x  1  y  N MNy  x  y  N  Ny  x  y  x  y   y  x   y  N  Từ ( loại) Vậy với N 2 x2  y xy  ta có biểu diễn dạng Cách khác +) N 1 Suy +)  x; y  có vơ số N 1 x2  y N xy   k ; k  1  k  N  có dạng thỏa mãn loại N 1 x  y Mxy  NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”  y  x  y   x  xy  1 Mxy   y  xMxy  x  y  x  y  xy  y  xy  +)  x  y  xy  xy  xy  xy   x2  y 2 N 2 xy  vô lý x  y    xy  1   x  y  x  y  xy  +)  y2  x   x  y2 y4  y N y y 1  x  N2 Với Bài N 1 N cặp ;N  (2,5 điểm) a b c Cho , , ba số nguyên dương cho số ba số biểu diễn dạng lũy thừa với số mũ tự nhiên Biết phương trình bậc hai ax  bx  c  (1) có hai nghiệm số nguyên Chứng minh hai nghiệm phương trình (1) Lời giải Cách 1: a  2k ; b  2n ; c  m  k , m, n  ¥  Đặt x1 ; x2 Gọi nghiệm nguyên phương trình ax  bx  c  ax12  bx1  c   c  x1  b  ax1    c Mx1  2m Mx1 Ta có 2m Mx2  1 tương tự NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”  x1  x2  2n  k x    2  mk  x2   x1.x2  Theo hệ thức Vi-et:  1 ;    x1; x2 Từ lũy thừa với số mũ tự nhiên x1  p , x2  2q  p, q  ¥  pq Đặt khơng tính tổng quát giả sử x1  x2  2n  k  2q  p  q  1  2n  k  p  q   2n k  q Khi Vì p  q    2n k  q   2n  k  q số chẵn  pq  số chẵn  p  q   p  q   p  q  x1  x2 (đpcm) Cách 2: a  2n ; b  2m ; c  p  m; n; p  ¥  Đặt ax  bx  c   1 Xét phương trình có   b  4ac  22 m  2n  p   1 Để phương trình có nghiệm ngun  22 m  2n p   k  k ¥  số phương  2n  p    2m  k   2m  k  m u 2u  2v 2  k  m  m u  v    2u 1   2v u    v 2  k  Nếu uv Suy  v u số lẻ khác u v k 0 0 (vơ lý)  1 Do đó, phương trình có hai nghiệm NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang