Toán 7 HH7 cđ11 QUAN HE GIUA DUONG VUONG GOC VA DUONG XIEN

CHUN ĐỀ: QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Khái niệm đường vng góc đường xiên Cho điểm A khơng thuộc đường thẳng d , điểm B, C thuộc đường thẳng d không trùng với điểm H - Đoạn thẳng AH đoạn thẳng vng góc hay A đường vng góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d - Điểm H chân đường vng góc hay hình chiếu điểm A đường thẳng d - Độ dài đoạn thẳng AH khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d d H B Quan hệ đường vng góc đường xiên - Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng đường vng góc đường ngắn AH ⊥ d ⇒ AH < AC, AH < AD A d D B H C PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Nhận biết đường vng góc, đường xiên Tìm khoảng cách điểm đến đường thẳng I Phương pháp giải: - Dựa vào khái niệm đường vng góc, đường xiên để nhận biết loại đường - Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng tính độ dài đường vng góc kẻ từ điểm đến đường thẳng II Bài tốn Bài Cho hình vẽ sau Hãy đường vng góc, đường xiên kẻ từ điểm A hình điểm I hình B A I O d C H Hình B Lời giải: Hình 1: Đường vng góc: AH Các đường xiên: AB, AC C Hình Hình 2: Các đường vng góc: Đường xiên: IO IB, IC Bài Cho đường thẳng a điểm O (không thuộc đường thẳng a ) vẽ đường vng góc ba đường xiên kẻ từ điểm O đến đường thẳng a Chỉ đường xiên đường vuông góc vừa vẽ Lời giải: O M H K B a Đường vng góc: OH Các đường xiên: OM , OK, OB Bài Hãy đường vng góc, đường xiên kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng EF đến đường thẳng hình vẽ sau: D M E K F L i g i ả i : Các đường vng góc kẻ từ điểm đến đường thẳng EF : DE, MK Các đường xiên kẻ từ điểm đến đường thẳng EF : DK, DF, ME, MF Bài Cho tam giác ABC vuông A Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến cạnh BC a) Tìm đường vng góc đường xiên hình b) Tìm khoảng cách từ đỉnh Lời giải: A, B, C đến cạnh tam giác ABC B A H C a) Vì tam giác ABC vuông A nên AB ⊥ AC (GT) H chân đường vng góc kẻ từ A đến cạnh BC (GT) suy AH ⊥ BC Do đó: Các đường vng góc: BA, BC, AH Các đường xiên: Đường xiên BA, BC kẻ từ điểm A đến cạnh BC Đường xiên CB kẻ từ điểm C đến cạnh AB Đường xiên BC kẻ từ điểm B đến cạnh AC b) Khoảng cách từ điểm A đến cạnh BC độ dài cạnh AH Khoảng cách từ điểm B, C đến AC, AB cạnh BA, CA độ dài cạnh Bài Cho hình vng ABCD Hỏi bốn đỉnh hình vng a) Đỉnh cách hai điểm D B ? b) Đỉnh cách hai đường thẳng AD DC ? Lời giải: A B D C a) Vì hình vng ABCD có AD = AB ; CD = CB C nên đỉnh cách hai điểm D B là: A b) Ta có BA ⊥ AD A ⇒ BA khoảng cách từ B đến đường thẳng AD BC ⊥ CD C ⇒ BC khoảng cách từ B đến đường thẳng CD Mà BA = BC (Vì ABCD hình vng) Vậy đỉnh cách hai đường thẳng AD DC đỉnh B Bài Quan sát hình cho biết: a) Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng a , b , c b) Khoảng cách từ điểm P đến đường thẳng b, c Lời giải a) K cm Khoảng h cách từ điểm I đến o đường thẳng b ả cm Khoảng cách n từ điểm g đường thẳng c cm c c h t đ i ể m I đ ế n đ n g t h ẳ n g a l I đến b) Khoảng cách từ điểm P đến đường thẳng b cm Khoảng cách từ điểm P đến đường thẳng c cm Bài Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài cạnh cm, cm , I điểm cạnh CD a) Hãy đường vng góc đường xiên kẻ từ A điểm đến đường thẳng CD b) Tìm khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AD cm A B cm D C I Lời giải: a) Đường vng góc kẻ từ A điểm đến đường thẳng CD là: AD Đường xiên kẻ từ A điểm đến đường thẳng CD là: AI b) Vì CD ⊥ AD D CD = cm Nên khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AD cm Bài Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ cm , độ dài đáy lớn gấp đôi độ dài đáy nhỏ Tính khoảng cách hai đáy hình thang cân, biết diện tích hình thang cân 18 cm2 Lời giải A4cm D B C H Ta có đáy nhỏ AB = cm ; độ dài đáy lớn gấp đơi độ dài đáy nhỏ Do độ dài đáy lớn CD là: 4.2 = cm ( ) Kẻ AH ⊥ ( H ∈ CD) , CD AH chiều cao hình thang cân ABCD Diện tích hình thang cân ABCD 18 cm , suy Mà AB = cm,CD = cm Suy S = = 18 (4 + 8).AH ( AB + S= CD).AH = 18 suy chiều cao hình thang cân là: Vì AH ⊥ CD (H∈ CD) AH = 18.2 36 = =3 + 12 nên độ dài AH khoảng cách từ A đến đáy lớn CD Mặt khác ABCD hình thang cân nên ta có AB // CD Do AH khoảng cách hai đáy hình thang cân ABCD Vậy khoảng cách hai đáy hình thang cân ABCD cm Bài 10 Cho hình thang ABCD (Hình vẽ) có AB = cm Gọi E hình chiếu B lên cạnh CD Biết ABED hình vng diện tích hình thang ABCD gấp lần diện tích hình vng ABED Hãy tính khoảng cách từ C đến đường thẳng BE A 7cm D B C E Lời giải: Ta có E hình chiếu B lên cạnh CD , suy BE ⊥ CD E hay CE ⊥ BE E Do độ dài CE khoảng cách từ C đến đường thẳng BE (1) Hình vng ABED có diện tích Diện tích hình thang ABCD là: ( 7.7 = 49 cm2 49.2 = 98 ) (cm ) Ta có cơng thức tính diện tích hình thang ABCD S = : ( AB + CD).BE Mà AB = BE = cm ; S = 98 cm2 Suy độ dài đáy lớn hình thang ABCD CD = 98.2 - = 21 cm2 ( ) Do E ∈CD nên CD = CE + DE ⇒ CE = CD − DE = 21− = 14 Từ (1) (cm) ( ) (2) suy khoảng cách từ C đến đường thẳng BE 14 cm Bài 11 Cho tam giác ABC cân A Có M trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh AM khoảng cách từ A đến cạnh BC tam giác ABC Lời giải: A Xét ∆ABM B ∆ACM M C có: AB = AC (Vì tam giác ABC cân A ) ⇒ ∆DHB = ∆EKC (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ BH = CK (Hai cạnh tương ứng) Lại có BK + CK = BC; BK + BH = HK Suy BC = HK (1) Gọi M giao điểm BC DE Do DH ⊥ BC; EK ⊥ BC n MH < DM ; ê MK < EM n xiên) Suy MH + ⇒ HK < DE MK < DM + EM T suy BC < DE (1 ) (2) (2) (Quan hệ đường vng góc đường Bài 12 Cho ∆ABC cân A , hai cạnh AB AC lấy hai điểm M N cho AM = AN Chứng minh rằng: BN > BC + MN A Lời giải: M N B H ; NK ⊥ BC Kẻ MH H K C ⊥ BC K ⇒ BN > BK; CM (Quan hệ đường vuông góc đường xiên) > CH ⇒ BN + CM > BK + CH Mà BK = BH + HK (Do H ∈ BK ) ⇒ BN + CM > BH + HK + CH Hay BN + CM > (Vì BC = BH + CH ) BC + HK X ∆A ét BN ∆ACM (1) có: AB = ( ∆A cân A ) AC V BC ì A chun g AN = AM (GT) (c.g.c) ⇒ ∆ABN = ∆ACM ⇒ BN = (Hai cạnh tương ứng) ( ) CM X ∆A ét MN có AN = AM ⇒ cân A ∆AMN AMN + ANM + A = 180° (Định lí tổng góc tam giác) ⇒ AMN = ANM = 180° − A ⇒ AMN = 180°− A Chứng minh tương tự: ∆AB + A ⇒ ABC suy c 180°− A C 2BN > BC MN = â2 n  AMN = ABC = D ođ 180°− A  ó     Mà AMN ABC hai góc đồng vị ⇒ MN / /BC (Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song) Ta lại có MH ⊥ BC ; NK ⊥ BC ⇒ MH / / NK (Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song) D (Tính chất đoạn o chắn) (3) đ ó M N = H K T( (3) ) ( ) , Vậ BN > BC + MN y III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Nhận biết đường vng góc, đường xiên Tìm khoảng cách điểm đến đường thẳng A Bài Quan sát hình vẽ cho biết: a) Các đường vng góc kẻ đến AB; BC H E b) Các đường xiên kẻ đến AB; BC B D C Bài Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh cm , I điểm cạnh CD cách C cm Tìm khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng AD Bài Cho tam giác ABC vng B có AD tia phân giác BAC ( D ∈ BC ) Kẻ DF ⊥ AC F Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng AC BD = cm , biết Bài Một gỗ xẻ có hai cạnh song song Chiều rộng gỗ khoảng cách hai cạnh Muốn đo chiều rộng gỗ, ta phải đặt thước nào? Tại sao? Cách đặt thước hình có khơng? Dạng Quan hệ đường vng góc đường xiên Bài Quan sát hình vẽ cho biết đường đường ngắn nhất? Vì sao? A d P M H D N E Bài Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Mai xuất phát từ M, ngày thứ bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C, (Hình bên) Bài Cho tam giác ABC , điểm M nằm B C Gọi H K chân đường vuông góc kẻ từ M đến đường thẳng AB AC So sánh BC MH + MK Bài Cho tam giác ABC vuông A , M trung điểm AC Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ A C đến đường thẳng BM Chứng minh AB < BE + BF ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Nhận biết đường vng góc, đường xiên Tìm khoảng cách điểm đến đường thẳng Bài A a) Các đường vng góc kẻ đến AB là: CB , HE Các đường vng góc kẻ đến BC là: AB , HD b) Các đường xiên kẻ đến AB E HA, HB B Các đường xiên kẻ đến BC HC, HB Bài 4cm B A D Khoảng cách từ I đến đường thẳng AD Bài I 1cm C −1 = (cm) A E ∆ABD ∆AED có B D Xé t B = E = 90° AD chung A1 = A2 (Vì AD tia phân giác BAC ) ⇒ ∆ABD = ∆AED (Cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ BD = ED (hai cạnh tương ứng) Mà BD = cm ⇒ ED = cm C H D C Vậy khoảng cách từ D đến đường thẳng AC cm Bài Ta có khoảng cách hai đường thẳng song song độ dài đoạn thẳng có hai đầu nằm hai đường thẳng vng góc với hai đường thẳng Vì muốn đo bề rộng gỗ xác định khoảng cách hai đường thẳng song song ta phải đặt thước vng góc với hai cạnh song song gỗ Cách đặt thước hình sai Dạng Quan hệ đường vng góc đường xiên d D N Bài E A AH đường vng góc kẻ từ A đến đường thẳng d AP, AM , AD, AN, AE đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d Do AH đường ngắn (Quan hệ đường vuông góc đường xiên) Bài Nhận thấy điểm đường thẳng d P M H A, B, C, D, nằm đường thẳng Gọi đường thẳng Theo định nghĩa: MB, MC, MD, đường xiên kẻ từ M đến d MA đường vng góc kẻ từ M đến d AB hình chiếu đường xiên MB d AC hình chiếu đường xiên MC d AD hình chiếu cùa đường xiên MD d … Theo định lý MA đường ngắn đường Vì AB < AC < AD < Vậ MA < MB < MC y < nên MB < MC < MD < MD < MA, MB, MC, MD, nên bạn Mai tập mục đích đề Bài HM đường vng góc, BM đường xiên nên HM < BM MK đường vng góc, MC đường xiên nên MK < MC Do MH + MK < MB + MC ⇒ MH + MK < BC Bài Xé ∆MA t E AM = CM ∆MCF có: (gt) AME = CMF ( Hai góc đối đỉnh) AEM = CFM = 90° ⇒ ∆MAE = ∆MCF (ch gn) − ⇒ ME = MF ⇒ BE + BF = BM - ME + BM + MF = 2BM Mặt khác AB < BM ⇒ AB < BF BE + PHIẾU BÀI TẬP Dạng Nhận biết đường vng góc, đường xiên Tìm khoảng cách điểm đến đường thẳng Bài Cho hình vẽ sau Hãy đường vng góc, đường xiên kẻ từ điểm A hình điểm I hình B A I O d C H Hình B C Hình Bài Cho đường thẳng a điểm O vẽ đường vng góc ba đường xiên kẻ từ điểm O đến đường thẳng a Chỉ đường xiên đường vng góc vừa vẽ Bài Hãy đường vng góc, đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng EF đến đường thẳng hình vẽ sau: D M E F K Bài Cho tam giác ABC vuông A Gọi H chân đường cao kẻ từ A đến cạnh BC a) Tìm đường vng góc đường viên hình b) Tìm khoảng cách từ đỉnh A, B, C đến cạnh tam giác ABC Bài Cho hình vng ABCD Hỏi bốn đỉnh hình vng a) Đỉnh cách hai điểm D B ? b) Đỉnh cách hai đường thẳng AD DC ? Bài Quan sát hình cho biết: a) Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng a , b , c b) Khoảng cách từ điểm P đến đường thẳng b, c Bài Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài cạnh 3cm, 5cm , I điểm cạnh CD a) Hãy đường vng góc đường xiên kẻ từ A điểm đến đường thẳng CD b) Tìm khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AD A cm B cm D I C Bài Cho hình vng ABCD có diện tích 36 cm2 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh CD Bài Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ cm , độ dài đáy lớn gấp đơi độ dài đáy nhỏ Tính khoảng cách hai đáy hình thang cân, biết diện tích hình thang cân 18 cm2 Bài 10 Cho hình thang ABCD (Hình vẽ) có AB = cm Gọi E hình chiếu B lên cạnh CD Biết ABED hình vng diện tích hình thang ABCD gấp lần diện tích hình vng ABED Hãy tính khoảng cách từ C đến đường thẳng BE Bài 11 Cho tam giác ABC cân A Có M trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh AM khoảng cách từ A đến cạnh BC tam giác ABC Bài 12 Cho hình vẽ bên, biết AB = CD , BAC = BDC = 90° DE = 4cm Tính khoảng cách từ E đến đường thẳng AB , A D 4cm E B C Dạng Quan hệ đường vng góc đường xiên Bài Độ dài ngắn độ dài B AB, AC, AD, AE A C E D Bài Quan sát hình bên D N M P E a) Tìm đoạn ngắn đoạn NM , NE, NP b) Tìm đoạn ngắn đoạn thẳng PM , PN, PD Bài Bạn Bình xuất phát từ điểm I bên hồ bơi Bạn muốn tìm đường ngắn để bơi đến thành hồ đối diện Theo em, bạn Bình phải bơi theo đường nào? A B C D I Bài Cho tam giác ABC , điểm D nằm A C ( BD khơng vng góc với AC ) Gọi E F chân đường vuông góc kẻ từ A C đến đường thẳng BD So sánh AC với tổng AE + CF Bài Cho hình vẽ Chứng minh rằng: BD + CE < AB + AC A E B D C Bài Cho tam giác IKL , IK = IL Lấy điểm M tùy ý nằm K L Khi M thay đổi độ dài IM thay đổi Xác định vị trí M để độ dài IM nhỏ Bài Cho ∆ABC , điểm E nằm B, C ( AE khơng vng góc với BC ) Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ B C đến đường thẳng AE a) So sánh BH BE b) Chứng minh BC > BH + CK Bài Cho ∆MN P nhọn Kẻ MD ⊥ NP ( D ∈ NP) NE ⊥ MP ( E ∈ MP) , a) So sánh MN MD b) Chứng minh 2MN > MD + NE Bài Cho ∆ABC , kẻ AH ⊥ BC a) AH < ( AB + AC ) b) Kẻ BK ⊥ AC K , CL ⊥ H Chứng minh rằng: L Chứng minh AH + BK + CL < AB + BC + CA AB Bài 10 Cho ∆ABC , góc B C nhọn Điểm M nằm B C Gọi d tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AM a) Chứng minh d ≤ BC b) Xác định vị trí M BC cho d có giá trị lớn Bài 11 Hai tam giác: tam giác cân ABC tam giác ∆ADE Có chung góc đỉnh A có AE + AD = AB + AC Chứng minh BC < DE Bài 12 Cho ∆ABC cân A , hai cạnh AB AC lấy hai điểm M N cho AM = AN BC + MN Chứng minh BN > rằng: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Nhận biết đường vng góc, đường xiên Tìm khoảng cách điểm đến đường thẳng A Bài Quan sát hình vẽ cho biết: a) Các đường vng góc kẻ AB; BC đến b) Các đường xiên kẻ đến AB; BC E B H D C Bài Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh cm , I điểm cạnh CD cách C cm Tìm khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng AD Bài Cho tam giác ABC vng B có AD tia phân giác BAC ( D ∈ BC ) Kẻ DF ⊥ AC F Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng AC , biết BD = cm Bài Một gỗ xẻ có hai cạnh song song Chiều rộng gỗ khoảng cách hai cạnh Muốn đo chiều rộng gỗ, ta phải đặt thước nào? Tại sao? Cách đặt thước hình có khơng? Dạng Quan hệ đường vng góc đường xiên Bài Quan sát hình vẽ cho biết đường đường ngắn nhất? Vì sao? A d P M H D N E Bài Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Mai xuất phát từ M, ngày thứ bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C, (Hình bên) Bài Cho tam giác ABC , điểm M nằm B C Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ M đến đường thẳng AB AC So sánh BC MH + MK Bài Cho tam giác ABC vuông A , M trung điểm AC Gọi E F chân đường vuông góc kẻ từ A C đến đường thẳng BM Chứng minh AB < BE + BF ... ngắn để bơi đến thành hồ đối diện Theo em, bạn Bình phải bơi theo đường nào? A B C D Ta có IA đường vng góc; Lời giải: I IB, IC, ID đường xiên Do IA đường ngắn (Quan hệ đường vuông góc đườn xiên)... đến đường thẳng AB cm Dạng Quan hệ đường vng góc đường xiên I Phương pháp giải: A ) Sử dụng định lý đường vng góc ngắn đường xiên (từ điểm đến đường thẳng) II Bài toán Bài Độ dài ngắn độ dài... NP NM đoạn thẳng ngắn (Quan hệ đường vng góc đườn xiên) b) Vì PM ⊥ MD nên PM đường vng góc kẻ từ P ; PN, PD đường xiên kẻ từ P Vậy đoạn PM , PN, PD PM đoạn thẳng ngắn (Quan hệ đường vng góc đườn