Toán 7 HH7 cđ7 CAC TRUONG HOP BANG NHAU THU HAI VA THU BA CUA TAM GIAC

CHUYÊN ĐỀ 14 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI VÀ THỨ BA CỦA TAM GIÁC PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT Trường hợp nhau: cạnh - góc - cạnh Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác Xét ∆ABC ∆A′B′C′ có: B AB = A′B′  ⇒ ∆ABC = ∆A′B′C′ (c.g.c) A = A′  AC = A′C′  B' A I C' A' Trường hợp nhau: cạnh - góc - cạnh Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác Xét ∆ABC ∆A′B′C′ có: B  B = B′  AB = A′B′ ⇒ ∆ABC = ∆A′B′C′(g.c.g)  A = A′  B' A C C' A' PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Tìm chứng minh hai tam giác I Phương pháp giải: + Xét hai tam giác + Kiểm tra ba điều kiện cạnh - góc - cạnh, góc – cạnh - góc + Kết luận hai tam giác II Bài toán Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có tam giác nhau? Vì sao? A M N E C B Q D Lời giải: Các tam giác nhau: ∆ABD = ∆AED ; ∆QMP = ∆NPM Vì: + Xét ∆ABD ∆AED có : AB = AE (giả thiết); BAD = EAD (giả thiết); AD cạnh chung ⇒ ∆ABD = ∆AED (c.g.c) + Xét ∆QMP ∆NPM có: P MN = PQ (giả thiết); NMP = QPM (giả thiết); MP cạnh chung ⇒ ∆QMP = ∆NPM (c.g.c) Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có hai tam giác nhau? Vì sao? A E D F B H C G Lời giải: ∆ADB = ∆ADC ; ∆EFG = ∆EHG Các tam giác nhau: Thật vậy: + Xét ∆ADB ∆ADC có: ADB = ADC (giả thiết); AD cạnh chung; BAD = CAD (giả thiết) ⇒ ∆ADB = ∆ADC (g.c.g) + Xét ∆EF G FEG = HEG ∆EHG có: (giả thiết); EG cạnh chung; EGF = EGH (giả thiết) ⇒ ∆EFG = ∆EHG (g.c.g) Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có hai tam giác nhau? Vì sao? E B G K H Q N P GH // QP L M A Lời giải: Các tam giác ∆GQH = ∆PHQ ; ∆IKL = ∆IMN ; ∆ABC = ∆DEF nhau: Thật vậy: + Xét ∆GQ H ∆PHQ có: GQH = PHQ (theo giả thiết) GHQ = PQH (hai góc so le trong, GH // QP ) QH cạnh chung ⇒ ∆GQH = ∆PHQ (g.c.g) + Xét ∆IK L ∆IMN có: IL = IK (theo giả thiết); C D F KIL = MIN KLI = MNI ⇒ ∆IKL = ∆IMN (hai góc đối đỉnh); (theo giả thiết) (g.c.g) Xét ∆ABC ∆DEF có: A = D (theo giả thiết); B = E (theo giả thiết); AB = DE (theo giả thiết) ⇒ ∆ABC = ∆DEF (g.c.g) Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có tam giác nhau? Vì sao? M N P Q O Lời giải: Các tam giác ∆MNP = ∆MQO ; ∆MNO = ∆MQP nhau: Thật vậy: +) Ta P1 + P2 = 180° (hai góc kề bù); O1 + O2 = 180° (hai góc kề bù) có: Lại P = O ⇒ P = O 1 có : Xét có: ∆MNP ∆MQO P1 = O2 (chứng minh trên) ; NP = QO (theo giả thiết); N = Q (theo giả thiết) ⇒ ∆MNP = ∆MQO (g.c.g) +) Ta có: NO = NP + PO ; QP = QO + OP Mà NP = QO ⇒ NO = QP + Xét ∆MNO ∆MQP có: - theo chứng minh trên), MN = MQ (vì ∆MNP = ∆MQO N = Q (theo giả thiết), NO = QP (chứng minh trên) ⇒ ∆MNO = ∆MQP (c.g.c) Bài MĐ2 Nêu thêm điều kiện để hình hai tam giác theo trường hợp cạnh - góc - cạnh A P E Q F B I D G H M N C Lời giải: Để ∆ABC = ∆ADC theo trường hợp cạnh - góc - cạnh thêm điều kiện : ACB = ACD Để ∆EFI = ∆GHI theo trường hợp cạnh - góc - cạnh thêm điều kiện: IF = IH Để ∆MNP = ∆NMQ theo trường hợp cạnh - góc - cạnh thêm điều kiện: NP = MQ Bài MĐ2 Nêu thêm điều kiện để hình hai tam giác theo trường hợp góc - cạnh - góc M A E O B C D N P Lời giải: Để ∆ABD = ∆AED theo trường hợp góc - cạnh - góc thêm điều kiện: ADB = ADE Để ∆MNO = ∆MPO theo trường hợp góc - cạnh - góc thêm điều kiện: MON = MOP Bài MĐ2 Qua trung điểm I đoạn thẳng AB , kẻ đường thẳng vng góc với AB , đường thẳng vng góc lấy hai điểm C D Nối CA,CB, DA, DB Tìm cặp tam giác Lời giải: D C Xét ∆ACI ∆BCI A 12 B I có: AI = BI ( I trung điểm AB ), CI cạnh chung, AIC = BIC = 90° ⇒ ∆ACI = ∆BCI (c.g.c) Xét ∆ADI ∆BDI có: AI = BI ( I trung điểm AB ), DI cạnh chung, AID = BID = 90° ⇒ ∆ADI = ∆BDI (c.g.c) Vậy cặp tam giác là: ∆ACI = ∆BCI ; ∆ADI = ∆BDI Bài MĐ2 Cho tam giác ABC , kẻ AH vng góc với điểm K cho HK = HA , nối Lời giải: BC, ( H ∈ BC ) Trên tia đối tia HA lấy KB, KC Tìm cặp tam giác K B H C A + Xét ∆ABH ∆KBH có: BH cạnh chung; AH = KH (giả thiết); AHB = KHB = 90° ⇒ ∆ABH = ∆KBH (c.g.c) + Xét ∆CAH ∆CKH có: CH cạnh chung; AH = KH (giả thiết); AHC = KHC = 90° ⇒ ∆CAH = ∆CKH (c.g.c) + Xét ∆ABC ∆KBC có: BC cạnh chung, AC = (vì ∆CAH = ∆CKH ), KC AB = (vì ∆ABH = ∆KBH ) KB ⇒ ∆CAH = ∆CKH (c c c) Vậy cặp tam giác nhau: ∆ABH = ∆KBH , ∆CAH = ∆CKH , ∆ABC = ∆KBC Bài MĐ2 Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi AM tia phân giác góc A Chứng minh ∆ABM = ∆ACM A B M Lời giải: Xét tam giác ABM tam giác ACM có : AB = AC (giả thiết), BAM = CAM ( AM tia phân giác góc A ), AM cạnh chung Suy ∆ABM = ∆ACM (c.g.c) C Bài 10 MĐ2 Cho tam giác ABC có B = C Gọi AM tia phân giác góc A Chứng minh ∆ABM = ∆ACM ∆EBI = ∆DCI (g.c.g) c) Gọi H giao điểm AI BC Xét ∆AEI ∆ADI có: AI cạnh chung, AE = AD (chứng minh câu a), EI = DI (vì ∆EBI = ∆DCI ) ∆AEI = ∆ADI Xét ∆ABH (c.c.c) DAI ∆ACH có: AI cạnh chung, ⇒ EAI = (hai góc tương ứng) hay BAH = CAH BAH = CAH (chứng minh trên), AB = (giả thiết) AC ∆ABH = ∆ACH Mà (c.g.c) ⇒ AHB = (hai góc tương ứng) AHC (hai góc kề bù) ⇒ AHB = AHC = AHB + AHC = 180° 180° = 90° Vậy AH ⊥ BC hay AI ⊥ BC Bài MĐ4 Cho tam giác ABC có M N trung điểm cạnh AB AC Trên tia đối tia NB lấy điểm D cho ND = NB Trên tia đối tia MC lấy điểm E cho ME = MC Chứng minh : a) AD = BC b) AE // BC c) A trung điểm DE Lời giải: E A D M N BC a) X ∆AND ∆CNB , ta có : ét AN = NC ( N trung điểm cạnh AC ), N2 = N1 (đối đỉnh), ND = NB (giả thiết) ⇒ ∆AND = ∆CNB (c.g.c) ⇒ AD = BC (hai cạnh tương ứng) b) Chứng minh tương tự ta có: ∆AME = ∆BMC Mà E1 C vị trí so le nên c) V ∆AND = ì ∆CNB Mà D1 B (c.g.c), nên E1 = (hai góc tương ứng) C1 AE // BC nê D1 = (hai góc tương ứng) n B2 vị trí so le nên Ta AD // BC AE// BC có: suy AD // BC D, A, E thẳng hàng (theo tiên đề Ơclit) Vì ∆AME = ∆BMC AE = BC (hai cạnh tương ứng) Mà AD = BC (chứng minh trên) AE = AD Suy A trung điểm ED Bài MĐ4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đoạn thẳng AM ⊥ AB ; AM = AB sa o ch o M C khác phía đường thẳng AB Vẽ đoạn thẳng AN ⊥ AC AN = AC cho N B khác phía đường thẳng AC Gọi I , K trung điểm BN CM Chứng minh : a) ∆AMC = ∆ABN b) MC = BN MC ⊥ BN c) A I = A K L i g i ả i : AI ⊥ AK N M A K P I O B BAM = 90° ; AN ⊥ a) Vì AM ⊥ AB (giả thiết) nên Ta có: C AC MAC = BAM + A1 = 90° + A1 (giả thiết) nên CAN = 90° BAN = CAN + A1 = 90° + A1 MAC = BAN Xét ∆MAC ∆BAN : AM = AB AC = AN (giả thiết), (giả thiết), MAC = BAN (chứng minh trên) ⇒ ∆MAC = ∆BAN (c.g.c) b) Gọi P giao điểm AB CM ; O giao điểm BN CM Ta có: AMC + APM = 90° (vì ∆AMP Lại có: ∆MAC = ∆BAN vng A ) (chứng minh trên) ⇒ AMC = ABN (hai góc tương ứng) hay AMP = PBO ⇒ ABN + BPO = 90° ⇒ BN ⊥ CM c) Ta có K, I trung điểm CM , BN Mà CM = BN (chứng minh trên) ⇒ MK = BI Xét ∆AMK ∆ABI có: AMK = ABN (chứng minh trên), AM = AB (chứng minh trên), MK = BI ⇒ ∆AMK = ∆ABI (chứng minh trên) (c.g.c) ⇒ AK = AI (hai cạnh tương ứng) MAK = BAI Mà MAK + KAB = 90° ⇒ BAI + KAB = 90° (hai góc tương ứng) hay AI ⊥ AK PHIẾU BÀI TẬP Dạng Tìm chứng minh hai tam giác I Phương pháp giải: + Xét hai tam giác + Kiểm tra ba điều kiện cạnh - góc - cạnh, góc – cạnh - góc + Kết luận hai tam giác II Bài toán Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có tam giác nhau? Vì sao? A M N E C D P B Q Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có tam giác nhau? Vì sao? A E D F B H C G Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có hai tam giác nhau? Vì sao? E B G K H Q L N P A M GH // QP C D F Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có tam giác nhau? Vì sao? M N P 12 O Q Bài MĐ2 Nêu thêm điều kiện để hình hai tam giác theo trường hợp cạnh - góc - cạnh A P Q F E I B D G H M N C Bài MĐ2 Nêu thêm điều kiện để hình hai tam giác theo trường hợp góc - cạnh - góc M A E O B D C N P Bài MĐ2 Qua trung điểm I đoạn thẳng AB , kẻ đường thẳng vuông góc với AB , đường thẳng vng góc lấy hai điểm C D Nối CA,CB, DA, DB Tìm cặp tam giác Bài MĐ2 Cho tam giác ABC , kẻ AH vuông góc với BC, ( H ∈ BC ) Trên tia đối tia HA lấy điểm K cho HK = HA , KB, KC KB, KC Tìm cặp tam giác nối Bài MĐ2 Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi AM tia phân giác góc A Chứng minh ∆ABM = ∆ACM Bài 10 MĐ2 Cho tam giác ABC có B = C Gọi AM tia phân giác góc A Chứng minh ∆ABM = ∆ACM Bài 11 MĐ2 Cho Oz tia phân giác góc xOy Trên tia Ox, Oy,Oz lấy điểm A, B, C (khác O ) cho OA = OB Chứng minh ∆OAC = ∆OBC Bài 12 MĐ3 Cho góc xOy khác góc bẹt Trên cạnh Ox lấy hai điểm A B , cạnh Oy lấy hai điểm C D , cho OA = OC;OB = OD a) Chứng minh ∆OAD = ∆OCB b) Chứng minh ∆ACD = ∆CAB Bài 13 MĐ3 Cho ∆ABC vuông A Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC a) Chứng minh ∆ABC = ∆ABD = ∆MBC b) Trên tia đối tia AB lấy điểm M Chứng minh ∆MBD Bài 14 MĐ3 Cho hình vẽ sau, AB // CD, AB = CD Chứng minh rằng: a) ∆OAB = ∆ODC b) ∆OAC = ∆ODB Bài 15 MĐ4 Cho góc nhọn xOy có tia Oz tia phân giác Qua điểm A thuộc tia Ox , vẽ đường thẳng song song với Oy cắt Oz M Qua M kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy B a) Chứng minh ∆OAM = ∆MBO b) Từ M vẽ MH ⊥ Ox ; MK ⊥ Oy Chứng minh ∆MHO = ∆MKO Bài 16 MĐ4 Cho tam giác ABC có AB = AC Trên cạnh AB AC lấy điểm D E cho AD = AE Qua A D kẻ đường vuông góc với BE cắt BC M N Tia ND cắt tia CA I Chứng minh rằng: a) ∆AID = ∆ABE A = 90° b) Chứng minh CM = MN Bài 17 MĐ4 Cho ∆ABC , kẻ BD vng góc với AC , CE vng góc với AB Trên tia đối tia BD , lấy điểm H cho BH = AC Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh AH = AK Dạng Sử dụng trường hợp tam giác để chứng minh tính chất khác I Phương pháp giải: + Chọn hai tam giác có cạnh (góc) hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh + Chứng minh hai tam giác theo hai trường hợp cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc suy hai cạnh (góc) tương ứng nhau.Kiểm tra ba điều kiện cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc + Kết hợp với tính chất học tia phân giác, đường thẳng song song, đường trung trực, tổng ba góc tam giác, để chứng minh tính chất khác II Bài toán Bài MĐ1 Cho tam giác ABC có AB = AC , tia phân giác góc A cắt BC M Chứng minh: BM = CM Bài MĐ1 Cho góc nhọn xOy có Om tia phân giác, C∈Om (C ≠ O) Trên tia Ox lấy điểm A , tia Oy lấy điểm B cho OA = OB Chứng minh: CA = CB Bài MĐ1 Cho ∆ABC = ∆MNP Gọi O G trung điểm cạnh BC NP Chứng minh AO = MG Bài MĐ2 Cho tam giác ABC có B = C Tia phân giác góc A cắt BC D a) Chứng minh AB = AC b) Chứng minh AD ⊥ BC Bài MĐ2 ∆ABC có AB < AC Phân giác góc A cắt cạnh BC điểm D Trên cạnh AC Cho lấy điểm E cho AE = AB Chứng minh: a) BD = ED b) DA tia phân giác góc BDE Bài MĐ2 Cho góc xOy khác góc bẹt có Ot tia phân giác Lấy điểm C thuộc Ot C kẻ đường vng góc với Ot , cắt Ox, Oy theo thứ tự a) Chứng minh: OA = OB b) Lấy điểm D thuộc Ct ( D ≠ C ) Chứng minh: DA = (C ≠ O) Qua A, B OAD = OBD DB Bài MĐ2 Cho ∆ABC , M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh: a) ∆ABM = ∆ECM b) AB = CE AC // BE Bài MĐ3 Cho tam giác ABC có A = 80° Dựng AH vng góc với BC ( H ∈ BC ) Trên tia đối tia HA lấy điểm D cho HD = HA a) Chứng minh: AC = DC b) Chứng minh: ∆ABC = ∆DBC c) Xác định số đo góc BDC Bài MĐ3 Cho ∆AB nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B , lấy điểm D cho C AD // BC AD = BC Chứng minh: a) AB = CD b) AB // CD ∆ABD = ∆CDB Bài 10 MĐ3 Cho ∆ABC có A = 90° , cạnh BC lấy điểm E cho BA = BE Tia phân giác góc B cắt AC D a) Chứng minh: ∆ABD = ∆EBD b) Chứng minh: DA = DE c) Tính số đo BED d) Xác định độ lớn góc B để Bài 11 MĐ3 Cho ∆AB C EDB = EDC có AB < AC Kẻ tia phân giác AD BAC ( D ∈ BC ) Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB , tia AB lấy điểm F cho AF = AC Chứng minh: a) BD = ED b) BF = EC c) ∆BDF = ∆EDC d) AD ⊥ FC Bài 12 MĐ4 Cho tam giác ABC ( AB < AC ) , tia Ax qua trung điểm M BC Kẻ BE CF vng góc với Ax (E, F ∈ Ax) a) Chứng minh: BE // CF b) So sánh BE FC ; CE BF c) Tìm điều kiện ∆AB để có BE = CE C Bài 13 MĐ4 Cho tam giác ABC Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng qua C song song với AB D Gọi M giao điểm BD AC a) Chứng minh ∆ABC = ∆CDA b) Chứng minh M trung điểm AC c) Đường thẳng d qua M cắt đoạn thẳng AD, BC I , K Chứng minh M trung điểm IK Bài 14 MĐ4 Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đoạn thẳng AD vng góc với AB AD = ( D, C AB khác phía so với AB ) Vẽ đoạn thẳng AE vng góc với AC AE = AC ( E, B khác phía so với AC ) Chứng minh: a) BE = DC b) BE ⊥ DC Bài 15 MĐ4 Cho tam giác ABC nhọn Gọi M , N trung điểm cho M , N trung điểm CE, BD a) Chứng minh: AD // BC b) Chứng minh: A, E, D thẳng hàng AB, AC Lấy điểm E, D Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Tìm chứng minh hai tam giác Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có tam giác nhau? Vì sao? M D A C B F E P N Bài MĐ1 Trên hình 1, hình 2, hình có tam giác nhau? Vì sao? A E A C S O H F K B G Hình B Hình D Hình C Bài MĐ1 Cho hình vẽ, chứng minh ∆ABC = ∆MNP A M 45° 70° 70° B 65° N C P Bài MĐ2 Cho ∆ABC = ∆MNP Gọi AD đường phân giác góc A tam giác ABC Gọi ME đường phân giác góc M tam giác MNP Chứng ∆ABD = ∆MNE Trên tia Bx Bài MĐ3 Cho góc xAy Lấy điểm B Ax , điểm D Ay cho AB = AD lấy điểm E , tia Dy lấy điểm C cho BE = DC Chứng minh ∆ABC = ∆ADE Bài MĐ4 Cho ∆AB có D trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm C A , vẽ tia Bx // AC , Bx cắt tia AD E a) Chứng minh ∆ADC = ∆EDB b) Trên tia đối tia AC , lấy điểm F cho AF = AC Gọi I giao điểm AB EF Chứng minh ∆AIF = ∆BIE Dạng Sử dụng trường hợp tam giác để chứng minh tính chất khác Bài MĐ1 Cho ∆ABC có AB = AC Gọi M , N trung điểm cạnh AC , AB Chứng minh : BM = CN Bài MĐ2 Cho ∆ABC có AB = AC , phân giác AM a) ∆ABM =∆ACM b) M trung điểm BC AM ⊥ BC Bài MĐ2 Cho tam giác ABC có : AB = AC ( M ∈ BC ) Chứng minh: M trung điểm BC a) Chứng minh AM tia phân giác góc BAC b) Chứng minh AM ⊥ BC c) Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB cắt tia AM N Chứng minh M trung điểm AN Bài MĐ2 Cho ∆ABC , có B = AB = AC Tia phân giác góc B cắt AC D Tia phân C giác góc C cắt AB E a) So sánh độ dài đoạn thẳng BD CE b) Gọi I giao điểm BD EC Chứng minh BI = IC , IE = ID Bài MĐ3 Cho ∆AB có AB = AC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ tia Bx , Cy lần C lượt cắt hai cạnh AC , AB D, E cho ABD = ACE a) Chứng minh AD = AE b) Gọi I giao điểm BD CE Chứng minh ∆EBI = ∆DCI c) Chứng minh AI ⊥ BC Bài MĐ4 Cho tam giác ABC có M N trung điểm cạnh AB AC Trên tia đối tia NB lấy điểm D cho ND = NB Trên tia đối tia MC lấy điểm E cho ME = MC Chứng minh : a) AD = BC b) AE // BC c) A trung điểm DE cho M Bài MĐ4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đoạn thẳng AM ⊥ AB ; AM = AB C khác phía đường thẳng AB Vẽ đoạn thẳng AN ⊥ AC AN = AC cho N B khác phía đường thẳng AC Gọi I , K trung điểm BN CM Chứng minh : a) ∆AMC = ∆ABN b) MC = MC ⊥ BN BN AI ⊥ AI c) AI = AK ... hình vẽ sau, có hai tam giác nhau? Vì sao? A E D F B H C G Lời giải: ∆ADB = ∆ADC ; ∆EFG = ∆EHG Các tam giác nhau: Thật vậy: + Xét ∆ADB ∆ADC có: ADB = ADC (giả thiết); AD cạnh chung; BAD = CAD (giả... Trong hình vẽ sau, có tam giác nhau? Vì sao? M N P Q O Lời giải: Các tam giác ∆MNP = ∆MQO ; ∆MNO = ∆MQP nhau: Thật vậy: +) Ta P1 + P2 = 180° (hai góc kề bù); O1 + O2 = 180° (hai góc kề bù) có:... có: Xét ∆ACM có: ( ) (tổng ba góc tam giác 180° ) ( ) (tổng ba góc tam giác 180° ) M2 = 180° − A + B M2 = 180° − A + C Mà: B = C A1 = ; A2 suy M1 = M2 Xét tam giác ABM tam giác ACM có : M1 = M2