một số vấn đề quan trọng trong tích phân bội

TR NG ĐH S PH M TP H CHÍ MINH KHOA V T LÝ - - BÀI TI U LU N Giảng viên hướng dẫn: Nguy n Lê Anh Sinh viên thực hiện: Lý Xuân Bình (MSSV: 42.01.105.013) Tp.H Chí Minh, 20/04/2017 Lời mờ đầu Quyển Tiểu luận “M t số v n đề quan trọng tích phân b i” đư c biên soạn dựa tinh thần học hỏi, tóm tắt m t số ki n th c nắm bắt đư c trình học tập gi ng đư ng sưu tầm, tham kh o thêm ki n th c dạng tập hay từ m t số tài liệu khác N i dung c a Tiểu luận bao g m hai phần sau: Tích phân b i b n (bao g m Tích phân kép (b i hai) Tích phân b i ba) M t số Tích phân b i m r ng Dù cố gắng nhiều nguyên nhân ch quan khách quan, Tiểu luận có sai sót nh t đ nh, r t mong nhận đư c đóng góp ý ki n từ thầy (cơ) bạn sinh viên để Tiểu luận tr nên hồn thiện nh t Xin trân trọng c m ơn Sinh viên thực Lý Xuân Bình (MSSV: 42.01.105.013)./ [M T S VẤN Đ QUAN TR NG TRONG TÍCH PHÂN B I] [Lý Xn Bình] Đ NH NGHƾA, TệNH CHẤT: 1.1 Tích phân b i kép (b i 2): 1.1.1 Định nghĩa: I   f  x, y  dxdy D Trong đó, f(x,y) xác đ nh liên t c miền D D miền đóng chặn 1.1.2 Tính chất: Từ đ nh nghƿa c a tích phân kép ta rút tính ch t sau:       ds  S  D  (diện tích miền D)   f  x, y   g  x, y  dxdy   f  x, y  dxdy   g  x, y  dxdy D  f  x, y  dxdy   f  x, y  dxdy   f  x, y  dxdy;  D  D D D D1  D2 D  k f  x, y  dxdy  k  f  x, y  dxdy;  k  const  D1   D2  f  x, y  dxdy   g  x, y  dxdy (N u f  x, y   g  x, y  ,   x, y   D ) D D  mS  D    f  x, y  ds  MS  D  (với M, m giá tr lớn nh t bé nh t c a D D D hàm f(x,y) miền D) 1.1.3 Miền đều: Miền theo phương Oy: Mọi đư ng thẳng song song với tr c Oy x = x0 (a x0 b) qua điểm miền D mà ch cắt biên c a D điểm M, N: + M đư c gọi điểm vào c a miền D + N đư c gọi điểm c a miền D [M T S VẤN Đ QUAN TR NG TRONG TÍCH PHÂN B I] [Lý Xn Bình] Miền theo phương Ox: Mọi đư ng thẳng song song với tr c Ox có phương trình y=y0 (c y0 d) qua điểm miền D ch cắt biên c a D hai điểm P, Q: + P đư c gọi điểm vào miền D + Q đư c gọi điểm miền D  Lưu ý: N u miền D theo c hai phương Ox Oy đư c gọi miền 1.2 Tích phân b i 3: 1.2.1 Định nghĩa:  f  x, y, z  dxdydz V 1.2.2 Tính chất: Các tính ch t c a tích phân b i ba tương tự c a tích phân b i hai:        dxdydz  V  E  (thể tích vật thể giới hạn b i E)  k  f  x, y, z  dxdydz  k  f  x, y, z  dxdydz;  k  const  E   f  x, y, z   g  x, y, z  dxdydz   f  x, y, z  dxdydz   g  x, y, z  dxdydz V V  f  x, y, z  dxdydz  ; n u f  x, y, z   V V V V  f  x, y, z  dxdydz   g  x, y, z  dxdydz ; n u f  x, y, z   g  x, y, z  V V  f  x, y, z  dxdydz   f  x, y, z  dxdydz   f  x, y, z  dxdydz; V V V V V1 V2 V1   V2  Lưu ý: N u f(x,y,z) xác đ nh liên t c V, V t n nh t m t điểm (x0, y0, z0) cho  f  x, y, z  dxdydz  f  x , y , z V  E  E Khi đó: I  0 f  x, y, z  dxdydz đư c gọi giá tr trung bình c a hàm f E V  E   E [M T S VẤN Đ QUAN TR NG TRONG TÍCH PHÂN B I] [Lý Xn Bình] 1.2.3 Tích phân bội ba tọa độ Descart vng góc: N u V đư c giới hạn b i: z1=g(x,y) z2=h(x,y) Gọi Dxy hình chi u c a V xuống mặt phẳng Oxy Gi sử g(x,y)-(mặt dưới) h(x,y)-(mặt trên) với ∀(x,y)∈Dxy thì: h x , y   f  x, y, z  dxdydz   f  x, y  dxdy  V g  x, y  D / xy f  x, y, z  dz CÔNG TH C FUBINI: 2.1 Cơng th c Fubini cho Tích phân b i 2: 2.1.1 Công thức 1: Miền D miền theo phương Oy, có đư ng vào y=y1(x) có đư ng y=y2(x) Khi đó, miền D đư c xác đ nh b i: D  {a  x  b, y1 ( x)  y  y2 ( x)   D  y2 ( x )  f ( x; y )dxdy     f ( x; y )dy dx  a   y1 ( x ) b 2.1.2 Công thức 2: Miền D miền theo phương Ox có đư ng vào x=x1(y) có đư ng x=x2(y) Khi đó, miền D đư c xác đ nh b i: D  {c  y  d; x1 ( y )  x  x2 ( y ) }   D  x2 ( y )  f ( x; y )dxdy     f ( x; y )dx dy  c   x1 ( y ) d 2.1.3 Các ví dụ minh họa: VD1: Xác đ nh cận tích phân sau: I   f ( x; y )dxdy , với D đư c giới hạn b i đư ng D thẳng y=x; y=2x; y=3 Giải Cách 1: Xét miền D theo phương Oy: [M T S VẤN Đ QUAN TR NG TRONG TÍCH PHÂN B I] [Lý Xuân Bình]     D1  0  x  ; x  y  x     Ta có D  D1  D2 , với:  D    x  3; x  y  3     Vậy: I   f ( x; y )dxdy   f ( x; y )dxdy   dx  f ( x; y )dy   dx  f ( x; y )dy D1 D2 2x 3 x x Cách 2: Xét miền D theo phương Ox: y  Ta đư c: D= 0  y  3;  x    y  Vậy: I   dy  f ( x; y )dx  y y VD2: Tính tích phân: I   ( x  y )dxdy , với D đư c giới hạn b i: y=x2 y=x+2 D Giải: Xét miền D theo phương Oy:   Ta đư c: D  1  x  2; x2  y  x  Vậy: I   dx 1  x2 x2   x  2 x6 ( x  y )dy    x  x  x   3 1  2   Xét miền D theo phương Ox:     dx  18, 26    D1   y  1;  y  x  y  Ta đư c: D=D1+D2, với:  Vậy:  D2   y  4; y   x  y  I   dy  y  y ( x  y )dx   dy 2  x y y 2  y  dx   y y  y y  y  2 2   2  y y dy    y y  y  y    dy  18, 26     4   1 [M T S 2.2 VẤN Đ QUAN TR NG TRONG TÍCH PHÂN B I] [Lý Xn Bình] Cơng th c Fubini cho Tích phân b i 3: N u f liên t c V={a x b; c y d; r z s}, ta có cơng th c sau: V  a  x  b; c  y  d ; r  z  s   f  x, y, z  dxdydz   dz  dy  f  x, y, z  dx s  xyz dxdydz , với V hình h V VD3: Tính tích phân d r c b a p ch nhật đư c cho b i: V  0  x  1; 1  y  2;0  z  3 V Giải: Với miền V mà đề cho, ta tính đư c giá tr c a tích phân b i cho sau:  x yz  I   xyz dxdydz   dz  dy  xyz ddydz   dz    dy  x 0 1 1  V 0 3 x 1  y2 z2  27   dz    y 1 0 y 2 CÔNG TH C Đ I BI N: 3.1 Công th c đ i bi n Tích phân b i 2: Xét tích phân lớp:  f  x; y  dxdy  x  x  u, v  u  u  x, y   Ta thực phép đ i bi n:   y  y  u, v  v  v  x, y  D 1:1  x, y   Dxy    u, v   Duv  Ta lại có:  D  x, y  xu, xv,  ,  0,   u, v   Duv J  , , D u v y y   u v  Khi đó:  f ( x; y)dxdy   f  x  u, v  ; y  u, v   J dudv Dxy Duv [M T S VẤN Đ QUAN TR NG TRONG TÍCH PHÂN B I] [Lý Xn Bình] Lưu ý:  Trư ng h p tọa độ cực trư ng h p đặc biệt c a công th c đ i bi n Khi y với x=rcosφ, y=r sinφ; ta có: J  x ' r y 'r x 'r y 'r  f  x, y  dxdy   f  r cos ; r sin   rdrd Như vậy:  N u cận số hàm d u tích phân hàm tách bi n: D Dr  du  g  u h  v  dv   g u  du  h  v  dv b d  Công th c t nh ti n (d i hệ tr c tọa đ ): a c b d a c x  X  a y  Y b  Đặt:   f  x, y  dxdy   f  X  a, Y  b  dXdY  Khi đó, D DXY VD4: Tính tích phân I   xydxdy với D đư c giới hạn b i: y2=x; y2=3x; y=x; y=2x D  u  Ta thực phép đ i bi n:  v   Giải: u y2   x v2 x    y y  u  v x Duv đư c giới hạn b i đư ng thẳng sau: u=1; u=3; v=1; v=2 Do đó, Duv đư c xác đ nh b i: Duv  1  u  3;1  v  2 Ta lại có: J  Vậy: I  , u , u x y x v2  y v , v , v  2u u v3   0, u, v  Duv u v  v u.u u u3 dv 105 3  dudv  dudv  du u  dv  u du  7       v v v v v v 32 1 1 Duv Duv [M T S 3.2 Xét tích phân VẤN Đ QUAN TR NG TRONG TÍCH PHÂN B I] [Lý Xn Bình]  f  x, y, z dxdydz Công th c đ i bi n Tích phân b i 3: V 1:1:1  x, y, z   V   u , v, w   V '  xu, xv, xw,  D  x, y , z   J   yu, yv, yw,  0,   u, v, w   V '  D(u, v, w) , , ,  z z z u v w  Thực phép đ i bi n (x,y,z)(u,v,w) cho:  f  x, y, z  dxdydz   f  x u, v, w ; y u, v, w ; z u, v, w   J dudvdw Khi đó, ta có cơng th c đ i bi n sau: V V' Lưu ý: T a đ tr t a đ cầu trư ng h p đặc biệt c a phép bi n đ i trên:  Đối với tọa đ tr ta có: x=r cosφ, y=rsinφ, z=z (xem r, φ, z u, v, w) Ta có: cos  r sin  D ( x, y , z )  sin  r cos   r J D  r, , z  0 Khi đó, áp d ng công th c đ i bi n, ta đư c công thức đổi biến tọa độ trụ sau:  f  x, y, z  dxdydz   f  r cos ; r sin ; z  rdrd dz  Đối với tọa đ cầu ta có: x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθ V V' x x x r   y y y  Ta có: J   r sin  r   z z z r   Như vậy, công thức đổi biến c a tích phân tọa độ cầu là:  f  x, y, z  dxdydz   f  r sin  cos ; r sin  sin ; r cos  r V V' sin  drd d VẤN Đ QUAN TR NG TRONG TÍCH PHÂN B I] [M T S VD5: Tính tích phân   x V [Lý Xuân Bình]  y  dxdydz với V miền đư c giới hạn b i mặt: x + y = 2y, y=2 Giải: Hình chi u c a V xuống mặt Oxz hình trịn: x2 + z2 ≤ Do đó, ta chuyển sang tọa đ tr sau: z=rcosφ, x=rsinφ, y=y Khi y, parabôlôit x2 + z2 = 2y có phương trình: r2 = 2y   r2 Vậy, V '  0  r  2,    2 ,  y   Cho nên ta có:   I   r drd dy  V' VD6: Tính   2 d  r dr  dy  2 r2 16  x  y  z dxdydz với V: x2 + y2 + z2 z V Giải 1 Ta nhận th y V m t hình cầu: x  y   z    , tâm (0,0,1/2), bán kính 2  2 R=1/2 Phương trình mặt cầu tọa đ cầu có dạng r2=rcosθ    V  0  r  cos  ;0    ;0    2    Từ đây, ta tính đư c: I    d  sin  d  2 cos  r dr  10  10 r=cosθ Vậy: VẤN Đ QUAN TR NG TRONG TÍCH PHÂN B I] [M T S [Lý Xuân Bình] I   dr  d  r sin  d   r  d   cos   1 d cos   2 0  2 0   85  cos3   2   cos      30 0 I   e 2/ Tính tích phân x  y z  2 , với V  V  x, y, z  x   y2  z2  Giải: Trong tọa đ cầu: x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ  r,,   r  1;0    2 ;0      Vậy tính đư Suy ra: x2 + y2 + z2 = r2 J=r2sinθ Vậy: Vr  I   x e  y2  z2  dxdydz  d d e r  r sin  dr     3/2 2   sin  d  d  r e dr    cos    V 2 0 0  r3 3/2  2   er     e  1 3 0 3/ Tính thể tích vật thể b giới hạn b i: z  x2  y x  y  z  z Giải: Trong tọa đ cầu: x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ Suy ra: J=r2sinθ Phương trình hình cầu ( x  y  z  z ) đư c vi t lại sau: r  r cos   r  cos  Phương trình hình nón ( z  x2  y ) đư c vi t lại sau: r cos   r sin  cos2   r sin  sin   r sin   cos   sin      64 c: VẤN Đ QUAN TR NG TRONG TÍCH PHÂN B I] [M T S [Lý Xuân Bình] Vậy vùng tính giới hạn đư c vi t lại sau:    V   r ,  ,     2 ;0    ;0  r  cos     Vậy thể tích vật cần tìm là: I   dxdydz  V   d   d  2  r    d  sin      r 0 0 2  2 cos  0 r  cos  4   cos        0 r sin  dr  2 sin  cos3  d d   x2  y z   4/ Tính I    x  y  z  dxdydz , với V đư c xác đ nh b i a2 3a V 2 Giải: Thực phép đ i bi n: x  u, y  v, z  3w x2  y z   thành Vuvw xác đ nh Đây m t song ánh bi n miền Vxyz xác đ nh b i a2 3a D  x, y , z  b i hình cầu u  v  w2  a Ta lại có: J   D  u , v, w  Vậy: I    x V / xyz  y  z  dxdydz    u  v  3w2  dudvdw V / uvw u  r sin  cos   Trong tọa đ cầu: v  r sin  sin   J  r sin   w  r cos     Do đó: I   d  sin   3cos  sin  d  r dr 2  2 a 65 [M T S VẤN Đ QUAN TR NG TRONG TÍCH PHÂN B I] [Lý Xuân Bình] a  2 a5   d  2 ;  r dr  0 Ta có:    sin   3cos  sin  d    2cos  d cos   10         0  Do đó: I  3.2 10 a5 4 a   5/ Tính I   z dxdydz , với miền V b giới hạn b i x  y  z  R V Giải: Chuyển sang tọa đ cầu, ta đư c: I   z dxdydz  V  d  cos  sin  d  r dr 2  R 0 R5 Nhưng ta lại có:  d  2 ;  r dr  0 2 R Đặt u=cosθ, ta đư c:  cos  sin  d   u du   u du   2 R5 4 R5  Vây: I  2   15 6/ Tính 1 2  x y z dxdydz , với V xác đ nh b i V x2 y z    a b2 c Giải: V hình elipxoid Gọi V1 phần c a V nằm góc phần tám th nh t Dễ th y rằng: I   x y z dxdydz  8 x y z dxdydz V V1 Thực phép đ i bi n sau: x=au, y=bv, z=cw Đó m t song ánh bi n miền V1 thành V’1 m t phần tám hình cầu đơn v , nằm phần tám th nh t mặt phẳng (u,v,w) 66 góc VẤN Đ QUAN TR NG TRONG TÍCH PHÂN B I] [M T S Ta lại có: J=abc Vậy: I  8 a3b3c3u v w2 dudvdw [Lý Xuân Bình] V1 Chuyển sang tọa đ cầu, ta đư c: I  8a b c 3   8a b c   2  d   d  r  cos 3 sin  cos  cos  sin  dr   sin  d  sin  cos  d  r dr 2 0 Ta lại có:   r dr  1   sin  cos  d    1  cos   cos  d  cos     2   1  2u  u  u du    u  2u  u  du  0 1 0   cos  sin  d    cos2   cos4   d    2 2 0  4 3 abc   Do đó: I  8a 3b3 c   105 16 945 105  16 TÍNH MOMEN QN TÍNH: 1/ Tính momen qn tính c a khối tr nh t tr c c a nó: Giải: Ta chọn tr c c a khối tr Oz, chọn mặt phẳng đáy mặt phẳng Oxy Bán kính hình tr R, chiều cao h, t khối =const Ta có: I Oz     x  y  dzdydz V 67 VẤN Đ QUAN TR NG TRONG TÍCH PHÂN B I] [M T S [Lý Xn Bình]  x  r cos   Trong tọa đ tr :  y  r sin   J  r Vậy: V rz  0    2 ;0  r  R;0  z  h z  z  Do đó: I Oz    d  r dr  dz  2 R 0 h 1  R h    R h  R  MR 2 2 2/ Tính momen quán tính c a khối cầu V nh t m t tr c b t kỳ qua tâm c a Giải: Bán kính khối cầu R, chọn tr c tính quán tính qua tâm Oz Tâm khối cầu đư c chọn gốc O Ta có: I Oz     x  y  dxdydz V  x  r cos   Trong tọa đ tr :  y  r sin   J  r z  z    Vậy: V rz     2 ;0  r  R;0  z  R  r Do đó: I Oz    r drd dz    d  r dr 2 V / r z    d  2 R R  R2  r dz    d  r R  r dr 2 R 2  R  r  R  r  R  d  R  r   2   R  r   R  R  r   5 0 0 0 R 2 2 2 Với M   R  khối lư ng c a qu cầu 3/ Tính momen quán tính tr c Oz c a miền V, với V phần chung c a hình cầu có hình nón    , (coi δ(x,y,z)=1) Giải: 68 VẤN Đ QUAN TR NG TRONG TÍCH PHÂN B I] [M T S   Ta có: V  0    1;0    Ta có: I z    x  y  dv   ;0    2   V  x  y   sin  Trong tọa đ cầu, ta có:  dv   sin  d  d d Vậy: I z        sin  d  d d   d  sin  d   d   2 0 2 3 0 69  12 [Lý Xuân Bình] [M T S VẤN Đ QUAN TR NG TRONG TÍCH PHÂN B I] [Lý Xn Bình] TÍCH PHÂN KÉP SUY R NG: Cho hàm số f(x,y) tập D c a mặt phẳng Oxy thỏa điều kiện sau:  T n dãy tập h p Dn b chặn, cho: D1  D2  ; D   n 1 Dn (1)  Hàm f(x,y) b chặn kh tích Dn (n=1, 2, …) Khi y n u t n giới hạn hữu hạn lim  f  x, y  dxdy không ph thu c vào sư lựa chọn dãy Dn n  Dn giới hạn đư c gọi tích phân suy r ng c a hàm f(x,y) D có ký hiệu là:  f  x, y  dxdy (2) D lim  f  x, y  dxdy tích phân suy r ng (2) h i t N u t n m t dãy tập h p Dn thỏa điều kiện (1) t n giới hạn hữu hạn n  Dn  Lưu ý:  Đối với hàm số khơng âm, ta ch cần tìm m t dãy tập h p Dn thỏa điều kiện c a đ nh nghƿa  ng với trư ng h p miền D không b chặn hàm f(x,y) khơng b chặn , có hai cách chọn tập Dn sau:  Miền D không b chặn, l y dãy số dương Rn   Dn  D  B  0, Rn  ; với B(M, r) hình trịn tâm M, bán kính r  Hàm f(x,y) không b chặn lân cận b t kỳ c a điểm M0(x0; y0) Khi y, ta l y dãy  n  Dn  D \ B  M ,  n  VD1: Kh o sát tính h i t c a tích phân  B  0;1 x  y2  dxdy  Giải: Miền l y tích phân miền trịn đóng (c biên) tâm O bán kính Cho nên với α>0 hàm d u tích phân khơng b chặn O(0;0) 70 VẤN Đ QUAN TR NG TRONG TÍCH PHÂN B I] [M T S [Lý Xuân Bình] Ta l y miền Dn: Dn  D \ B  0,  n   B  0,1 \ B  0,  n    x, y  :  n  x  y  1 Chuyển sang tọa đ cực, ta đư c:  D x  y2  dxdy    1   n2  2  ;   2    drd  1 2    2 1  2  r dr  1    r  2 ln  n ;   2    2 n n Vậy với 2-2α>0, t c α