BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH Giảng viên: Nguyễn Đình Dương Lê Văn Lai Danh sách thành viên:  Bùi Võ Thiên Tú – 2112599  Lê Khánh Huy – 2110197  Nguyễn Trọng Phú Tấn – 2114742  Nguyễn Minh Vương – 2112678  Bùi Ngọc Tráng - 2115051 TP HỒ CHÍ MINH, tháng năm 2022 Lời nói đầu Phương pháp tính mơn tốn học có nhiệm vụ giải đến kết số cho tốn, cung cấp phương pháp giải cho tốn thực tế mà khơng có lời giải xác Mơn học cầu nối tốn học lý thuyết ứng dụng thực tế Trong thời đại tin học việc áp dụng phương pháp tính trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ tính tốn Mục lục Lời nói đầu I Cơ sở lý thuyết: Phương pháp Euler: Phương pháp Runge-Kutta bậc 4: Phương pháp chia đôi: Phương pháp Secant: Phương pháp bình phương bé nhất: Đa thức nội suy: Spline bậc ba: 13 II Giải vấn đề: 18 Vấn đề 1: 18 Vấn đề 2: 28 Vấn đề 3: 31 III Tài liệu tham khảo: .43 Bảng phân công công việc Vấn đề Vấn đề Vấn đề Bùi Võ Thiên Tú Lê Khánh Huy Nguyễn Trọng Phú Tấn Bùi Ngọc Tráng Nguyễn Minh Vương Soạn word Viết code maple x x x x x Cơ sở lý thuyết: I Phương pháp Euler: a) Giải thích cơng thức: Cơng thức Euler cơng thức tìm giá trị gần sử dụng phổ biến toán học thuật toán đơn giản sai số tương đối lớn Vì tốn cần độ xác cao sử dụng phương pháp khác có phương pháp Euler hay gọi phương pháp Runge-Kutta bậc Xét toán Cauchy với giá trị đầu sau: { 𝑦 ′ (𝑡 ) = 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡 )) 𝑦 (𝑎 ) = 𝛼 a≤t≤b Với y = y(t) hàm cần tìm, khả vi đoạn [a;b], y0 giá trị ban đầu cho trước t = a Để tìm nghiệm gần tốn trên, ta chia đoạn [a;b] thành n đoạn nhỏ với ℎ = 𝑏−𝑎 𝑛 ta định nghĩa: 𝑦𝑛+1 ℎ = 𝑦𝑛 + (𝑘1 + 𝑘2 ) 𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + ℎ Trong 𝑦𝑛+1 giá trị gần y(𝑡𝑛+1 ), xác định giá trị 𝑦𝑛 cộng với trung bình hai số gia, số gia độ dốc ước tính hàm f cách khoảng thời gian h  k1 số gia dựa độ dốc điểm bắt đầu khoảng thời gian, sử dụng y  k2 số gia dựa độ dốc điểm khoảng thời gian, sử dụng y+𝑘1 ; b) Ý nghĩa hình học phương pháp Euler: Từ (t0; y0) = (a, α) thuộc đường cong y = y(t), kẻ tiếp tuyến với đường cong, có hệ số góc y’(a) = f(a, α), đường tiếp tuyến cắt t = t1 y1 giá trị gần y(t1) Tại (t1; y1), ta kẻ tiếp tuyến với hệ số góc f(t1, y1) cắt t = t2 y2 giá trị gần y(t2) Phương pháp Runge-Kutta bậc 4: Trong giải tích số, phương pháp Runge-Kutta có nhiều nhanh Trong đề tài đề cập đến thành viên biết đến rộng rãi họ Runge-Kutta Runge-Kutta bậc Xét toán Cauchy với giá trị đầu sau: { 𝑦 ′ (𝑡 ) = 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡 )) 𝑦 (𝑎 ) = 𝛼 a≤t≤b Với y = y(t) hàm cần tìm, khả vi đoạn [a;b], y0 giá trị ban đầu cho trước t = a Để tìm nghiệm gần toán trên, ta chia đoạn [a;b] thành n đoạn nhỏ với ℎ= 𝑏−𝑎 𝑛 ta định nghĩa: ℎ 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 ) 𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + ℎ Trong 𝑦𝑛+1 giá trị gần y(𝑡𝑛+1 ), xác định giá trị 𝑦𝑛 cộng với trung bình trọng lượng bốn số gia, số gia độ dốc ước tính hàm f cách khoảng thời gian h  k1 số gia dựa độ dốc điểm bắt đầu khoảng thời gian, sử dụng y (phương pháp euler)  k2 số gia dựa độ dốc điểm khoảng thời gian, sử dụng ℎ y+ 𝑘1 ; ℎ  k2 số gia dựa độ dốc điểm giữa, sử dụng y+ 𝑘2 ;  k4 số gia dựa độ dốc điểm cuối khoảng thời gian, sử dụng y+ℎ𝑘3 Trọng việc trung bình bốn số gia, trọng lượng lớn trao cho số gia điểm Nếu f độc lập với y, để phương trình vi phân tương đương với tích phân đơn giản cơng thức trở thành nhánh công thức Simpson Do phương pháp Runge-Kutta phương pháp bậc 4, có nghĩa sai số cắt cục bậc O(h5) tổng lỗi tích lũy bậc O(h4) Phương pháp chia đơi: Xét phương trình 𝑓(𝑥) = với 𝑓(𝑥) hảm liên tục khoảng đóng hay mở Phương trình 𝑓(𝑥) có nghiệm xác p khoảng cách li nghiệm [a,b] 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏) < Đặt 𝑎0 = 𝑎, 𝑏0 = 𝑏, 𝑑0 = 𝑏0 − 𝑎0 = 𝑏 − 𝑎 𝑥0 điểm đoạn [𝑎0 , 𝑏0 ] Tính giá trị 𝑓(𝑥0 ) Nếu 𝑓(𝑥0 ) = x0 nghiệm Ngược lại ta xét dấu trị 𝑓(𝑥0 ) Nếu 𝑓(𝑥0 ) 𝑓(𝑎0 )< 0, đặt a1 = a0, b1 = x0 Nếu 𝑓(𝑥0 ) 𝑓(𝑏0 ) < 0, đặt a1 = x0, b1 = b0 Như ta thu [𝑎1 , 𝑏1 ] = [𝑎0 , 𝑏0 ] độ dài 𝑑1 = 𝑏1 − 𝑎1 = 𝑑0 = 𝑏−𝑎 Tiếp tục trình chia đơi đến n lần ta kết quả: 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 𝑎𝑛 ≤ 𝑝 ≤ 𝑏𝑛 , 𝑎𝑛 ≤ 𝑥𝑛 = ≤ 𝑏𝑛 , ∀𝑛 = 0,1,2, … (1) { 𝑏−𝑎 𝑓(𝑎𝑛 )𝑓(𝑏𝑛 ) < 0, 𝑑𝑛 = 𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 = 𝑛 ∞ Như ta {𝑎𝑛 }∞ 𝑛=0 dãy tăng bị chặn {𝑏𝑛 }𝑛=0 dãy giảm bị chặn Do chúng hội tụ Từ hệ phương trình (1) ta có: lim 𝑎𝑛 = lim 𝑏𝑛 = lim 𝑥𝑛 = 𝑝 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ Thông thường ta sử dụng công thức đánh giá sai số: |𝑝 − 𝑥𝑛 | ≤ 𝑏−𝑎 2𝑛+1 Phương pháp Secant: Như tìm hiểu chương trình mơn Phương pháp tính, phương pháp Newton dùng để giá trị xấp xỉ p hàm 𝑓(𝑥) hiệu dựa tiếp tuyến hay đạo hàm đồ thị hàm số tốn có hàm 𝑓(𝑥) phức tạp địi hỏi có cơng thức đạo hàm phức tạp việc sử dụng phương pháp Newton gây bất tiện Khi có phương pháp khác để thay phương pháp Secant Cơng thức phương pháp Newton: 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 − 𝑓(𝑥𝑘 ) 𝑓′(𝑥𝑘 ) Bằng cách nối hai điểm không gian ta suy điểm gần đúng, 𝑥𝑘 𝑥𝑘+1 có vị trí đủ gần nhau, đạo hàm thay giá trị gần đưới dạng tỷ số số gia hàm hằng: ′( 𝑓 𝑥𝑘 ) = 𝑓(𝑥𝑘 ) − 𝑓 (𝑥𝑘−1 ) 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 Vậy ta thu công thức phương pháp Secant: 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 𝑓(𝑥𝑘 ) 𝑓(𝑥𝑘 ) − 𝑓 (𝑥𝑘−1 ) Do suy từ phương pháp Newton nên ta có cơng thức tính sai số: |𝑥 ∗ 𝑥̅ | ≤ |𝑓(𝑥 ∗ )| 𝑚 (m min{|𝑓′(𝑎)|, |𝑓′(𝑏)|}) Phương pháp bình phương bé nhất: − Phương pháp bình phương bé thường dùng để lập công thức thực nghiệm Các số liệu {xi, yi} thường thu đo đạc, thực nghiệm nên có sai số, u cầu yi = Pn(xi) khơng hợp lý Cho bảng số liệu xi yi x1 x2 … xn y1 y2 … yn Biết 𝑦 = 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑚 ), xác định 𝑎1 , 𝑎2 … , 𝑎𝑚 cho độ lệch yk 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑚 ) nhỏ nhất, tức S(a1, , am) = ∑𝑛 𝑘=1⌈𝑓(𝑥𝑘 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑚 ) − 𝑦𝑘 ⌉ → (1) Dạng hàm cần xác định 𝑓(𝑥) phụ thuộc vào nhiều yếu tố Tuy nhiên, dạng đơn giản thường gặp thực tế là: 𝑓(𝑥) = 𝐴 + 𝐵𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝐴 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 , 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑒 𝐵𝑥 , 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 𝐵 , Nghĩa để xác định fpxq ta cần xác định hệ số A, B, C, từ điều kiện (1) Để minh họa cho phương pháp, ta xét trường hợp thường gặp sau với 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑝(𝑥) + 𝐵𝑞(𝑥) Khi phương trình (1) có dạng: 𝑛 𝑔(𝐴, 𝐵) = ∑ ⌈𝐴𝑝(𝑥𝑘 ) + 𝐵𝑞 (𝑥𝑘 ) − 𝑦𝑘 ⌉2 → 𝑚𝑖𝑛 𝑘=1 Bài tốn quy việc tìm cực tiểu hàm hai biến 𝑔(𝐴, 𝐵) Toạ độ điểm dừng hàm xác định từ hệ phương trình 𝑛 𝜕𝑔 = ∑(𝐴𝑝(𝑥𝑘 ) + 𝐵𝑞(𝑥𝑘 ) − 𝑦𝑘 )𝑝(𝑥𝑘 ) = 𝜕𝐴 𝑘=1 𝑛 𝜕𝑔 = ∑(𝐴𝑝(𝑥𝑘 ) + 𝐵𝑞(𝑥𝑘 ) − 𝑦𝑘 )𝑞(𝑥𝑘 ) = 𝜕𝐵 { 𝑘=1 𝑛 𝑛 𝑛 (∑ 𝑝2 (𝑥𝑘 )) 𝐴 + (∑ 𝑝(𝑥𝑘 )𝑞(𝑥𝑘 )) 𝐵 = (∑ 𝑝(𝑥𝑘 )𝑦𝑘 ) 𝑘=1 𝑛 𝑘=1 𝑘=1 𝑛 𝑛 (2) (∑ 𝑝(𝑥𝑘 )𝑞(𝑥𝑘 )) 𝐴 + (∑ 𝑝2 (𝑥𝑘 )) 𝐵 = (∑ 𝑞(𝑥𝑘 )𝑦𝑘 ) { 𝑘=1 𝑘=1 𝑘=1 Theo giả thiết tốn bất đẳng thức Cauchy, ta có định thức ma trận hệ số khác không, nên hệ phương trình (2) lúc nghiệm A B Đó hệ số cần tìm Đa thức nội suy: Xét hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) cho dạng bảng số x0 x1 x2 … xn y0 y1 y2 … yn xi yi (6.1) a.Đa thức nội suy Lagrange Xét bảng số (6.1) hàm 𝑓(𝑥) với 𝑛 ≥ Chúng ta tìm đa thức nội suy 𝐿𝑛 (𝑥) có bậc nhỏ hay n hàm 𝑓(𝑥) ⌈𝑥0 , 𝑥𝑛 ⌉xns gọi đa thức (𝑘) nội suy Lagrange Trước tiên ta xây dựng đa thức phụ 𝑝𝑛 (𝑥), 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 0, 𝑛 có bậc n thoả điều kiện 1, (𝑘) 𝑝𝑛 (𝑥𝑗 ) = { 0, 𝑗=𝑘 𝑗≠𝑘 (𝑘) Do đa thức 𝑝𝑛 (𝑥) có n nghiệm x0, , xk-1, xk+1, , xn có bậc nhỏ hay n nên ta viết chúng dạng: (𝑘) 𝑝𝑛 (𝑥) = 𝐶𝑘 (𝑥 − 𝑥0 ) … (𝑥 − 𝑥𝑘−1 )(𝑥 − 𝑥𝑘+1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛 ) (𝑘) với Ck số Từ điều kiện𝑝𝑛 (𝑥𝑘 ) = 1, ta thu được: 𝐶𝑘 = (𝑥 − 𝑥0 ) … (𝑥 − 𝑥𝑘−1 )(𝑥 − 𝑥𝑘+1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛 ) Khi ta có: (𝑘) 𝑝𝑛 (𝑥) = (𝑥 − 𝑥0 ) … (𝑥 − 𝑥𝑘−1 )(𝑥 − 𝑥𝑘+1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛 ) 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 0, 𝑛 (𝑥𝑘 − 𝑥0 ) … (𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 )(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘+1 ) … (𝑥𝑘 − 𝑥𝑛 ) 𝑘𝑠2 + 𝑆 𝑘𝑠2 → = = + 𝑣 𝑣𝑚 𝑆 𝑣𝑚 𝑣𝑚 𝑆 Đặt 1 𝑘 𝑠 =y; = 𝑥 ; = 𝑏 ; =𝑎 𝑣 𝑆 𝑣 𝑣 𝑚 𝑚 → 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Từ số liệu S,v ta lập bảng bảng số liệu x,y 𝑥 ( 2) 𝑠 1.32 1.82 32 4.52 62 82 92 𝑦( ) 𝑣 0.07 0.13 0.22 0.275 0.335 0.35 0.36   n   n      xk .b   yk  n.a     k 1   k 1  Ta có:  n   n   n      x a   xk .b  xk yk  k 1 k  k 1   k 1         a  2, 4492   vm vm  0, 4083 7.a  1,1166.b  38,7798      1,1166.a  0, 46134.b  11,6737 b  19,376  ks ks  2,8127  vm b) 𝑣 = 𝑎𝑆 + 𝑏𝑆 + 𝑐 Đặt 𝑣 = 𝑦 , 𝑆 = 𝑥 → 𝑦 = 𝑐 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑥 29 n   n   n 2 n.c    xk  b    xk  a   yk k 1  k 1   k 1   n  n   n 2  n 3   xk  c    xk  b    xk  a   xk yk k 1  k 1   k 1   k 1  n  n   n 3  n 4   xk  c    xk  b    xk  a   xk2 yk  k 1  k 1  k 1   k 1  7c  33,6b  215,18a  1,74   33, 6c  215,18b  1583,154a  10, 2725 215,18c  1583,154b  12457, 4162a  71,70825  a  0,0352   b  0,09866 c  0,00617   v  0,0352  0,09866 S  0,00617 S Phương pháp bình phương cực tiểu với mơ hình parabola cho nghiệm xấp xỉ tốt phương pháp tuyến tính vẽ geogebra ta thấy điểm (S,v) gần với đường parabol so với đường tuyến tính Đường parabol Đường tuyến tính 30 Vấn đề 3: Trong sinh học, mơ hình “thú săn-con mồi” dùng để quan sát tương tác lồi Một số Lotka-Volterra đề sau: 31 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = −𝑐𝑦 + 𝑑𝑥𝑦 𝑑𝑡 Trong x,y số lượng thú săn mồi, a = tỉ lệ sinh trưởng mồi, c = tỉ lệ tử thú săn, b d = thể tỉ lệ ảnh hưởng tương tác thú săn mồi lên tỉ lê tử mồi tỉ lệ sinh thú săn t thời gian đo tháng a) Cho liệu sau: a = 1.2, b = 0.6,c = 0.8, d = 0.3 với điệu kiện đầu vào x = y = Tìm số lượng mồi thú săn sau 10 tháng với công thức Euler cải tiến với bước h = 0.625 b)Với thơng số tìm được, xây dựng đa thức nội suy cho x y Phát họa thông số đồ thị cho x(t), y(t) Giải a) Từ giữ liệu đầu ba ta có phương trình vi phân: 𝑑𝑥 = 1,2𝑥 − 0,6𝑥𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = −0,8𝑥 + 0,3𝑥𝑦 𝑑𝑡 𝑥(0) = , 𝑦(0) = Ta đặt 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑥 ′ (𝑡), 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑦′(𝑡) Ta ghi lại phương trình 𝑥′(𝑡) = 1,2𝑥 − 0,6𝑥𝑦 𝑦′(𝑡) = −0,8𝑥 + 0,3𝑥𝑦 𝑥(0) = , 𝑦(0) = 32 Ta có cơng thức Euler cải tiến 𝐾1𝑥 = ℎ𝑓(𝑡𝑘 , 𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) 𝐾1𝑦 = ℎ𝑔(𝑡𝑘 , 𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) 𝐾2𝑥 = ℎ𝑓(𝑡𝑘 + ℎ), (𝑥𝑘 + 𝐾1𝑥 ), (𝑦𝑘 + 𝐾1𝑦 ) 𝐾2𝑦 = ℎ𝑔(𝑡𝑘 + ℎ), (𝑥𝑘 + 𝐾1𝑥 ), (𝑦𝑘 + 𝐾1𝑦 ) 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 + (𝐾1𝑥 + 𝐾2𝑥 ) 𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 + (𝐾1𝑦 + 𝐾2𝑦 ) ⩝ 𝑘 = 0,1,2, … 𝑛 − Với: ℎ = 0,625 𝑣à 𝑛 = 10 − = 16(đ𝑜ạ𝑛) 0,625 𝑓(𝑡𝑘 , 𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) = 1,2𝑥 − 0,6𝑥𝑦 𝑔(𝑡𝑘 , 𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) = −0,8 + 0,3𝑥𝑦 Vậy ta có giá trị x, y sau tính tốn t x(t) y(t) T x(t) y(t) 0,625 2,955 0,944 5,625 1,195 1,31 6,25 1,647 1,026 1,25 4,317 1,106 1,875 5,637 1,698 6,875 2,44 0,895 2,5 5,2 3.065 7,5 3,685 0,94 3,125 2,686 3,986 8,125 5,27 1,29 3,75 1,428 3,25 8,75 6.072 2,325 4,375 1,023 2,427 9,375 3,893 4,019 0,993 1,768 10 1,897 3,683 b) Xây dựng spline bậc ba tự nhiên: 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑𝑥 Bước ta tìm hệ số C=(𝑐0, 𝑐1 , 𝑐2 , … 𝑐𝑛 )𝑇 cách xây dựng ma trận AC=B Với ma trận A 33 Và B ma trận: Áp dụng vào ta có Ma trận A x, mà ma trận A y nhau, h = 0,625 34 A= += 35 B x= 36 Ma trận B y là: By= Từ ma ma trận ta giải hệ số C x là: k 𝐶𝑥 k 𝐶𝑥 0 0,7 10 0,42 Hệ số c y là: K 𝐶𝑦 0,33 k 𝐶𝑦 10 0,19 0,35 11 0,63 0,37 11 0,2 -2,41 -4,21 12 0,52 1,5 3,29 13 0,1 -0,42 12 0,37 13 0,67 Ta tìm giá trị a,b,d công thức: 37 0,7 14 -6,2 -3,23 0,62 14 2,21 0,49 15 1,91 0,08 15 -4,45 0,25 0,31 16 0,31 16 0,2 𝑎𝑘 = 𝑦𝑘 𝑏𝑘 = 𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘 ℎ𝑘 − (𝑐𝑘 + 2𝑐𝑘 ) ℎ𝑘 𝑑𝑘 = 𝑐𝑘+1 − 𝑐𝑘 3ℎ𝑘 ⩝ 𝑘 = 0,1,2, … 𝑛 − Vậy ta tìm giá trị a,b,d x, y 𝑎𝑥 k 𝑎𝑥 2,955 4,317 5,637 5,2 2,686 1,428 1,023 k 𝑎𝑥 0,993 1,195 10 2,44 11 5,637 12 5,2 13 2,686 14 1,428 15 3,893 16 0,993 𝑎𝑦 k 𝑎𝑦 1 0,944 1,106 1,698 3.065 3,986 3,25 2,427 K 𝑎𝑦 1,768 1,31 10 1,026 11 0,895 12 0,94 13 1,29 14 2,325 15 4,019 𝑏𝑥 k 𝑏𝑥 1,38 1,81 2,47 1,18 -2,95 -3,53 -1,04 -0,3 k 𝑏𝑥 0,15 0,51 10 0,96 11 1,62 12 2,3 13 2,53 14 -1,3 15 -4 38 16 3,683 𝑏𝑦 k 𝑏𝑦 -0,16 0.05 0,48 1,65 2,32 0,04 -1,59 -1,15 k 𝑏𝑦 -0,9 -0,58 10 -0,33 11 -0,088 12 0,267 13 0,92 14 2,72 15 1,32 𝑑𝑥 k 𝑑𝑥 0,37 -0,19 -1,47 -0,96 4 -1.38 -0,11 -0,13 k 𝑑𝑥 0,03 0,06 10 0,11 11 -0,06 12 -0,22 13 -3,36 14 4,33 15 -1,02 𝑑𝑦 k 𝑑𝑦 0,18 0,021 0,6 -1,02 -1,5 2,05 -0,29 0,12 k 𝑑𝑦 -0,06 -0.005 10 0,005 11 0,09 12 0,16 13 0,821 14 -3,55 15 2,37 Bây ta có đủ hệ số a,b,c,d Spline x cần tìm có dạng : + 1,37𝑡 + 0,37𝑡 ≤ t ≤ 0,625 2,955 + 1,81(𝑡 − 0,625) + 0,7(𝑡 − 0,625)2 − 0,19(𝑡 − 0,625)3 0,625≤t≤1,25 4,317 + 2,47(t − 1,25) + 0,35(t − 1,25)2 − 1,47(t − 1,25)3 1,25≤t≤1,875 5,637 + 1,18(𝑡 − 1,875) − 2,41(𝑡 − 1,875)2 − 0,96(𝑡 − 1,875)3 1,875≤t≤2,5 39 5,2 − 2,95(𝑡 − 2,5) − 4,21(𝑡 − 2,5)2 + 4(𝑡 − 2,5)3 2,5≤t≤3,125 2,686 − 3,53(𝑡 − 3,125) + 3,29(𝑡 − 3,125)2 − 1,38(𝑡 − 3,125)3 3,125≤t≤3,75 1,428 − 1,04(𝑡 − 3,75) + 0,7(𝑡 − 3,75)2 − 0,11(𝑡 − 3,75)3 3,75≤t≤4,375 1,023 − 0,3(𝑡 − 4,375) + 0,49(𝑡 − 4,375)2 − 0,13(𝑡 − 4,375)3 4,375≤t≤5 0,993 + 0,15(𝑡 − 5) + 0,25(𝑡 − 5)2 + 0,03(𝑡 − 5)3 5≤t≤5,625 1,195 + 0,51(𝑡 − 5,625) + 0,31(𝑡 − 5,625)2 + 0,06(𝑡 − 5,625)3 5,625≤t≤6,25 1,647 + 0,96(𝑡 − 6,25) + 0,42(𝑡 − 6,25)2 + 0,11(𝑡 − 6,25)3 6,25≤t≤6,875 2,44 + 1,62(𝑡 − 6,875) + 0,63(𝑡 − 6,875)2 − 0,06(𝑡 − 6,875)3 6,875≤t≤7,5 3,685 + 2,3(𝑡 − 7,5) + 0,52(𝑡 − 7,5)2 − 0,22(𝑡 − 7,5)3 7,5≤ 𝑡 ≤8,125 5,27 + 2,53(𝑡 − 8,125) + 0,1(𝑡 − 8,125)2 − 3,36(𝑡 − 8,125)3 8,125≤t≤8,75 6,072 − 1,3(𝑡 − 8,75) − 6,2(𝑡 − 8,75)2 + 4,33(𝑡 − 8,75)3 8,75≤t≤9,375 3,893 − 4(𝑡 − 9,375) + 1,91(𝑡 − 9,375)2 − 1,02(𝑡 − 9,375)3 9,375≤t≤10 Spline y cần tìm có dạng: − 0,16𝑡 + 0,18𝑡 ≤ t ≤ 0,625 0,944 + 0,05(𝑡 − 0,625) + 0,03(𝑡 − 0,625)2 + 0,021(𝑡 − 0,625)3 0,625≤t≤1,25 1,106 + 0,48(𝑡 − 1,25) + 0,377(𝑡 − 1,25)2 + (0,6 − 1,25)𝑡 1,25≤t≤1,875 1,698 + 1,65(𝑡 − 1,875) + 1,5(𝑡 − 1,875)2 − 1,02(𝑡 − 1,875)3 1,875≤t≤2,5 3,065 + 2,32(𝑡 − 2,5) − 0,42(𝑡 − 2,5)2 − 1,5(𝑡 − 2,5)3 2,5≤t≤3,125 3,98 + 0,04(𝑡 − 3,125) − 2,23(𝑡 − 3,125)2 + 2,05(𝑡 − 3,125)3 3,125≤t≤3,75 3,25 − 1,59(𝑡 − 3,75) + 0,62(𝑡 − 3,75)2 − 0,29(𝑡 − 3,75)3 3,75≤t≤4,375 2,427 − 1,5(𝑡 − 4,375) + 0,08(𝑡 − 4,375)2 + 0,12(𝑡 − 4,375)3 4,375≤t≤5 1,768 − 0,9(𝑡 − 5) + 0,31(𝑡 − 5)2 − 0,06(𝑡 − 5)3 5≤t≤5,625 1,31 − 0,58(𝑡 − 5,625) + 0,2(𝑡 − 5,625)2 − 0,005(𝑡 − 5,625)3 5,625≤t≤6,25 1,026 − 0,33(𝑡 − 6,25) + 0,19(𝑡 − 6,25)2 + 0,005(𝑡 − 6,25)3 6,25≤t≤6,875 40 0,895 − 0,088(𝑡 − 6,875) + 0,37(𝑡 − 6,875)2 + 0,09(𝑡 − 6,875)3 6,875≤t≤7,5 0,94 + 0,267(𝑡 − 7,5) + 0,37(𝑡 − 7,5)2 + 0,16(𝑡 − 7,5)3 7,5≤ 𝑡 ≤8,125 1,29 + 0,92(𝑡 − 8,125) + 0,67(𝑡 − 8,125)2 + 0,821(𝑡 − 8,125)3 8,125≤t≤8,75 2,325 + 2,27(𝑡 − 8,75) + 2,21(𝑡 − 8,75)2 − 3,55(𝑡 − 8,75)3 8,75≤t≤9,375 4,019 + 1,32(𝑡 − 9,375) − 4,45(𝑡 − 9,375)2 + 2,37(𝑡 − 9,375)3 9,375≤t≤10 41 Đồ thị nội suy spline bậc số lượng mồi theo thời gian Đồ thị nội suy spline bậc số lượng động vật theo thời gian 42 III Tài liệu tham khảo: Applied Numerical Methodswith MATLAB®for Engineers and Scientists - Steven C Chapra Berger Chair in Computing and Engineering Numerical Bài analysis - Richard L Burden Giảng Phương Pháp Tính – Lê Thái Thanh 43