Đại Học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ THI GIẢI TÍCH 1 HK171 Ngày thi 09 01 2018 Thời gian 90 phút Giờ thi CA 1 Hình thức thi tự luận Đề gồm 6 câu Sinh viên không được sử dụng tài.
Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ THI GIẢI TÍCH HK171 Ngày thi: 09-01-2018 Thời gian: 90 phút Giờ thi : CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu Câu : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x3 − x Câu : Cho miền phẳng D giới hạn : y ≤ −x2 + 2x + 3, y ≤ x2 + 2x + 1, y ≥ Tính diện tích miền D +∞ Câu : Tìm tất số thực m để tích phân sau hội tụ : I = x + e−x − √ dx xm x3 + x Câu : Tính tích phân sau đây: ln(1 − x) √ dx I= 1−x Câu : Tìm nghiệm phương trình vi phân y − 6y − 16y = (12 − 20x)e−2x , thỏa điều kiện y(0) = −3, y (0) = −5 Câu : Trong mạch điện có điện trở R, tụ điện với điện dung C điện áp E(t), điện lượng dQ Q qua thời gian t thỏa mãn phương trình vi phân R + Q = E Tìm dt C điện lượng Q, đơn vị C, theo thời gian t, đơn vị s (giây), biết R = 2Ω, C = 0.01F, E = 10 sin 60t(V ) Q(0) = Tìm giá trị Q sau 0.1s Phó chủ nhiệm mơn duyệt TS Nguyễn Bá Thi ĐÁP ÁN CA Câu 1: 1.5đ y = x x−2 √ D = (−∞, 0) ∪ 2, +∞ y = x3x−2 (x3 + 1) y = ⇔ x = −1 √ x −∞ −1 +∞ y − √0 + || || + +∞ y +∞ || +∞ √ Cực tiểu (−1, 3) : 0.5đ (Khơng trình bày BBT cho điểm) TCĐ : x = 0, TCX trái/phải : y = ±x : 0.5đ, đồ thị : 0.5đ Sai BBT không chấm đồ thị Câu 2: 2đ √ 1+ (x + 2x)dx + S = √ (−x2 + 2x + 2)dx = + Mỗi tp, cận + giá trị : 0.5đ+0.5đ Nếu viết không đúng, xác định miền hình vẽ, 0.5đ Câu 3: 1đ < m < Mỗi : 0.5đ 2 Câu 4: 1.5đ I = −4, Tp phần + nguyên hàm + kết Câu 5: 2đ y0 = C1 e−2x + C2 e8x 0.5đ, yr = x(Ax + B)e−2x 0.5đ, yT Q = C1 e−2x + C2 e8x + (x2 − x)e−2x , 0.5đ y = (x2 − x − 2)e−2x − e8x 0.5đ Câu 6: 2đ e p(t)dt = e50t 0.5 sin 60t cos 60t QT Q (t) = −3 + Ce−50t 0.5đ 122 61 Nghiệm riêng C = 0.5đ 61 Q(0.1) 0.5đ Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ THI GIẢI TÍCH HK171 Ngày thi: 09-01-2018 Thời gian: 90 phút Giờ thi : CA Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu √ Câu : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 , x ≤ x arctan >0 x+1 Câu : Cho đường cong (C) : x = y − Viết phương trình tiếp tuyến (d) đường cong (0, 2) Gọi D miền phẳng giới hạn đường cong (C), tiếp tuyến (d) trục Ox Tính thể tích vật thể tạo (D) quay xung quanh Ox +∞ Câu : Tìm tất số thực α để tích phân sau hội tụ : I = +∞ Câu : Tính tích phân sau đây: I = (x − sin x)α √ dx x3 + x x3 + x dx (x2 + 1)(x4 + 6x2 + 10) Câu : Tìm nghiệm x(t), y(t) hệ phương trình vi phân x (t) = 2x + y − 5t2 + y (t) = 4y − 2x + t − Câu : Theo định luật Newton, vận tốc nguội lạnh vật tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ vật nhiệt độ mơi trường xung quanh Hãy tìm nhiệt độ T vật theo thời gian t, biết nhiệt độ ban đầu vật 100o C, đặt vào phịng có nhiệt độ 25o C sau 10 phút nhiệt độ vật 50O C Đến nhiệt độ vật 40o C? (Lấy đơn vị thời gian phút.) Phó chủ nhiệm mơn duyệt TS Nguyễn Bá Thi ĐÁP ÁN CA Câu 1: 1.5đ y= y = √ x3 + 3x2 , x ≤ x arctan x+1 ,x > x √ +2x , x < 0, x = −3 (x3 +3x2 )2 ,x x2 +(x+1)2 >0 x −∞ −3 −2 +∞ y + || + √0 − || + π y −∞ 4 √ Cực đại (−2, 4), cưc tiểu (0, 0), 0.5đ (khơng trình bày cực đại cưc tiểu bảng biến thiên cho điểm), π TCX : y = x + 1, TCN : y = 0.5đ , đồ thị : 0.5đ Khơng có BBT BBT sai, không chấm đồ thị Câu 2: 2đ x+8 0.5đ −4 (x + 8) √ x+8 dx + π ) − Vx = π ( x+4 16 −4 −8 Pt tiếp tuyến : y = dx y [(y − 4) − (4y − 8)] dy, 1đ hay Vx = 2π 8π Vx = 0.5đ (Nếu tính theo x 1đ) Câu 3: 1đ − < α < Mỗi : 0.5đ Câu 4: 1.5đ π − arctan : Đổi biến + nguyên hàm + kết I= 2 Câu 5: (a) 2đ Khử x : y − 6y + 10y = 10t2 − 2t + 0.5đ y0 0.5đ, yT Q 0.5đ , cơng thức tính xT Q 0.5đ x = (−y + 4y + t − 1) Nghiệm y = e3t (C1 cos t + C2 sin t) t2 + t + 2 (b) Khử y :x − 6x + 10x = 20t − 9t − x = e3t (C cos t + C sin t) + 2t2 + 3t Nghiệm : y = x − 2x + 5t2 − Câu 6: 2đ dT = k(T − 25) 0.5 dt TT Q (t) = 25 + Cekt 0.5đ, 1 C = 75, k = ln , 0.5đ 10 t = 14.65 phút : 0.5đ Phương trình ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY HKI -2014-2015 Mơn Thi: Giải tích Ngày thi: 31/01/2015 Thời gian: 90 phút Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bộ mơn Tốn - Ứng dụng CA Hình thức thi: TỰ LUẬN x2 − 2x + Câu 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x2 − Câu 2: Tìm tất giá trị m > để tích phân I = +∞ Câu 3: Tính tích phân suy rộng sau: I = Câu 4: Cho miền phẳng D : y ≥ 0, y ≤ x3 + x dx hội tụ x2 + arctan xm √ x3 x dx +1 √ 3x, x2 + y ≤ Tính thể tích vật thể tạo D quay quanh trục Ox Câu 5: Tìm nghiệm phương trình: xy − y(2y ln x − 1) = 0, thỏa điều kiện y(1) = Câu 6: Tìm nghiệm phương trình y + 2y + y = cos x Câu 7: Giải hệ phương trình : x (t) = 7x(t) + 3y(t) − 2, y (t) = 3x(t) − y(t) + 8t Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu Chủ nhiệm mơn PGS.TS.Nguyễn Đình Huy Đáp án CA x2 − 2x + TXD: x = ±2 TCĐ: x = ±2, TCN: y = x2 − x2 − 5x + y =2 Cực đại (1, 0), cực tiểu (4, 43 ) (x − 4)2 ) x −∞ −2 1) y= BBT: f (x) + || +∞ f (x) || − + −∞ || −∞ || − +∞ +∞ + Vẽ ĐT x3 + x dx m x + arctan x Hàm f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (0, 2], Ta so sánh x → 0+ Lưu ý: Không nhận xét f dương trừ 0.25đ x3 α > : f ∼ = Suy Tp PK x x3 x3 α = : f ∼ Suy Tp PK 2x2 x3 α < : f ∼ α = α Suy HT α − < ↔ α < x 3 x −3 Vậy I hội tụ < α < √ +∞ +∞ +∞ 2t2 dt √ x π 3 ) Tính I = x ⇒ I = = dx Đặt t = = arctan t 3 x +1 t +1 √ ) Tính Vx , D : y ≥ 0, y ≤ 3x, x2 + y2 ≤ √ 8π 2 √ Vx = π x dx + − x2 dx = ) Tìm m > để HT: I = ) Tìm nghiệm phương trình vi phân xy − y(2y ln x − 1) = thỏa điều kiện y(1) = ln x y + y=2 y Đặt z = y −1 x x ln x ln x + Ta pt z − z = −2 =⇒ z = x +C x x x Thay điều kiện: C = −1 Vậy nghiệm y = (ln x + 1) − x ) Giải y + 2y + y = cos x Nghiệm ytn = C1 e−x + C2 xe−x yr = A cos x + B sin x =⇒ A = 0, B = Vậy y = C1 e−x + C2 xe−x + sin x x (t) = 7x(t) + 3y(t) − 2, y (t) = 3x(t) − y(t) + 8t Cách 1: Khử x, ta pt y − 6y + 16y = −56t + 23 11 =⇒ y(t) = C1 e−2t + C2 e8t + t − Suy x = −C1 e−2t + C2 e8t − t + 16 Cách 2: Khử y, ta pt x − 6x + 16x = 24t − Cách 3: Dùng TR - VTR ) Giải hệ phương trình vi phân P = −1 3 ,D = −2 0 , P −1 = P 10 X Y = P −1 x y → X Y −2t = C1 e + 65 t − 12 8t 1 C2 e80 − 10 t + 16 → x y =P X Y ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY HKI -2014-2015 Mơn Thi: Giải tích Ngày thi: 31/01/2015 Thời gian: 90 phút Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bộ mơn Tốn - Ứng dụng CA Hình thức thi: TỰ LUẬN Câu 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = √ x − x2 +∞ Câu 2: Tìm số thực m > để tích phân sau hội tụ I = +∞ Câu 3: Tính tích phân suy rộng I = ln √ + x2 dx xm (1 + xm+1 ) dx (1 − e2x )ex Câu 4: Tính thể tích vật thể tạo cho miền D giới hạn √ y = − x, x = y, y = quay quanh trục Oy Câu 5: Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy − y) arctan y =x x thỏa điều kiện y(1) = Câu 6: Giải phương trình vi phân y − 3y + 2y = 2xe2x Câu 7: Giải hệ phương trình vi phân x (t) = x(t) − y(t) + et , y (t) = x(t) + 3y(t) − Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu Chủ nhiệm mơn PGS.TS.Nguyễn Đình Huy Đáp án CA 1) y= √ TXD: (−2, 0) ∪ (0, 2) TCĐ: x = 0, x = ±2 x − x2 √ √ 4x2 − Cực đại (− 2, −1), cực tiểu ( 2, 1) y = x2 (4 − x2 )3 √ √ −2 −2 +2 x BBT: f (x) f (x) + −∞ − −1 || −∞ || +∞ ) Tìm m > để HT: I = − +∞ + Vẽ ĐT +∞ √ + x2 dx = xm (1 + xm+1 ) + +∞ = I1 + I2 Hàm f (x) > 0, ∀x > Suy I1 hội tụ m < xm 1 x → +∞ : f ∼ 2m Suy I2 hội tụ m > x Vậy I hội tụ < m < dx dt +∞ +∞ ) Tính I = ln x Đặt t = ex ⇒ I = 2x e (1 − e ) (1 − t2 )t2 +∞ 1 t+1 1 +∞ I= + dt = ln − I = − ln 1−t t t−1 t 2 √ ) Tính Vy , D : y = − x, y = x, y = 38π √ Cách 1: Vy = 2π x.xdx + 2π x − xdx(1đ) = 15 38π 2 Cách 2: Vy = π −1 [(2 − y ) − y ]dy(1đ) = 15 y ) Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy − y) arctan = x thỏa điều kiện y(1) = x y y y = y + x Đặt u = x arctan x dx arctan udu = =⇒ u arctan u − ln(1 + u2 ) = ln |x| + C x y y y2 Thay điều kiện: C = Vậy nghiệm arctan + ln(1 + ) = ln |x| x x x x → 0+ : f ∼ ) Giải y − 3y + 2y = 2xe2x Nghiệm y0 = C1 ex + C2 e2x yr = x(Ax + B)e2x =⇒ A = 1, B = −2 Vậy y = C1 ex + C2 e2x + (x2 − 2x)e2x ) Giải hệ phương trình vi phân x (t) = x(t) − y(t) + et , y (t) = x(t) + 3y(t) − Cách 1: Khử x y − 4y + 4y = et + =⇒ y(t) = C1 e2t + C2 te2t + et + Suy x = −C1 e2t + C2 (2t − 2)e2t − 2et + Cách 2: Khử y : x − 4x + 4x = −2et + LÍ THUYẾT Chúc em đạt kết tốt Tri Tri Le Phân loại biến cố Hai biến cố xung khắc : Hai biến cố A B gọi xung khắc với chúng không xảy phép thử Trong trường hợp chúng xảy phép thử gọi hai biến cố khơng xung khắc Thí dụ : Gieo xúc xắc, gọi A1 = (Con xúc xắc xuất mặt chấm); A2 = (Con xúc xắc xuất mặt hai chấm), A1, A2 hai biến cố xung khắc Hai biến cố đối lập : Hai biến cố A A gọi đối lập với chúng tạo thành nhóm đầy đủ biến cố Thí dụ : Bắn viên đạn vào bia, gọi A = (Viên đạn trúng bia) A = (Viên đạn khơng trúng bia) A A hai biến cố đối lập Hai biến cố độc lập : Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố A không làm thay đổi xác suất xảy biến cố B ngược lại Định lý cộng xác suất, hệ +) Nếu A B hai biến cố xung khắc P(A + B) = P(A) + P(B) +) Nếu A B hai biến cố khơng xung khắc P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) +) Nếu biến cố A1 , A2 , , An xung khắc với đơi n n P Ai P( Ai ) i 1 i 1 +) Nếu biến cố H1 , H , , H n tạo thành nhóm đầy đủ biến cố n P( H ) i 1 i +) Nếu A A hai biến cố đối lập P(A) P(A) +) Nếu A1, A2, A3 ba biến cố khơng xung khắc P(A1+A2+A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1A2)-P(A2A3)-P(A3A1) + P(A1A2A3) +) Nếu A1 , A2 , , An biến cố không xung khắc độc lập tồn phần với n n P Ai P Ai i 1 i 1 Định lý nhân xác suất, hệ +) Nếu A B hai biến cố độc lập điều kiện cần đủ P(AB) = P(A)P(B) +) Nếu A1 , A2 , , An biến cố độc lập tồn phần n n P Ai P(Ai ) i 1 i 1 +) Cho A B hai biến cố ta có P(A.B) = P(B)P(A/B) = P(A)P(B/A) P(A/B) = P(AB) P(B) với P(B) > P(B/A) = P(AB) P(A) với P(A) > +) Nếu A1, A2, , An n biến cố phụ thuộc ta có cơng thức P(A1.A2 An) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2) P(An/A1A2 An-1) Hệ biến cố đầy đủ công thức xác xuất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Giả sử biến cố H1, H2, ,Hn tạo thành nhóm đầy đủ biến cố, biến cố A xảy đồng thời với biến cố H1, H2, ,Hn ta có cơng thức n P(A) P( H i ) P(A/Hi ) (Công thức xác suất đầy đủ) i 1 Công thức Bayes Giả sử biến cố H1, H2, ,Hn tạo thành nhóm đầy đủ biến cố, biến cố A xảy đồng thời với biến cố H1, H2, ,Hn ta có cơng thức P( H j /A) P( H j ) P(A/H j ) n P( H ) P(A/H ) i 1 hay P( H j / A) i P( H j ) P(A/H j ) P(A) j 1; n i ; j 1; n Dãy phép thử độc lập công thức béc nuli ta quan tâm đến biến A lần thử,thì xác xuất biến cố A khơng đổi lần phép thử xảy Ví dụ tung xũ xắc lần cách độc lập, ta có dãy phép thử độc lập lặp lại lần ơng thức bernoulli giả sử có dãy gồm n phép thử độc lập Với lần phép thử xảy quan tâm đến biến cố A đó, với P(A)=p khơng đổi a,xác xuất để n lần thử biến cố A xuất k lần, P(A) Pn ( k) Cnk pk (1 p) n k b,xác xuất để n lần thử biến cố A xuất k1 , k2 lần Pn (k1 k k ) k k2 k k1 Cnk p k (1 p) nk Biến ngẫu nhiên rời rạc : biến ngẫu nhiên mà giá trị có lập nên tập hợp hữu hạn đếm phần tử Phương sai biến ngẫu nhiên rời rạc n V ( X ) xi2 pi [E ( X )]2 i 1 Phương sai biến ngẫu nhiên liên tục V (X ) x f ( x)dx [E ( X )]2 Hay nói cách khác : Biến ngẫu nhiên rời rạc ta liệt kê tất giá trị có Thí dụ : +) Gieo xúc xắc, gọi X = (Số chấm xuất hiện) X biến ngẫu nhiên rời rạc giá trị có X {1,2, ,6} Biến ngẫu nhiên liên tục : biến ngẫu nhiên mà giá trị có lấp đầy khoảng trục số Thí dụ : +) Gọi X1 = (Năng suất lúa vụ mùa tỉnh) X1 biến ngẫu nhiên liên tục Phân phối chuẩn b a P ( a X b) , x 1 x 0 Lí thuyết mẫu công thức, X = n n 1 ni xi , X = ni x 2i , S X - ( X )2 , S '2 n s n 1 Ước lượng kỳ vọng tốn biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn Trường hợp : Đã biết tham số σ2, biến ngẫu nhiên gốc X , Cỡ mẫu n>30 X Ta chọn thống kê : G U n U ~ N(0; 1) Với độ tin cậy - α cho trước, ta tìm 1 , không âm cho 1 tra bảng giá trị tới hạn chuẩn tìm giá trị u11 , u2 thỏa mãn P(u11 U u2 ) (1 ) P(u1 U u ) X P u1 n u2 P X u2 X u1 n n (1) Công thức (1) cho cặp 1 , không âm cho 1 , thực tế ta thường dùng ba trường hợp sau : +) 1 khoảng tin cậy đối xứng μ X n u X +) 1 ; ta có X +) 1 0; ta có X n n n u u dùng để ước lượng giá trị trung bình tối đa u dùng để ước lượng giá trị trung bình tối thiểu Trường hợp : Chưa biết tham số σ2 biến ngẫu nhiên gốc X, cỡ mẫu n μ0 miền bác bỏ bên phải giả thuyết H0 X 0 n , utn u utn , utn = +) Nếu cặp giả thuyết H0: μ = μ0 ; H1: μ < μ0 miền bác bỏ bên trái giả thuyết H0 X 0 n , utn u utn , utn = Nếu utn thuộc miền bác bỏ nghia bất pt trường hợp chấp nhận H1, BỎ Ho, ngược lại, nhơ ket luận văn vẻ để đạt điểm tối đa 3) Trường hợp chưa biết σ2 biến ngẫu nhiên gốc, cỡ mẫu n