PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI TS. CHU VĂN THỌ ( Trưởng bộ môn Toán Đại học Y dược tp HCM)

PHAÂN TÍCH PHÖÔNG SAI PHAÂN TÍCH PHÖÔNG SAI TS CHU VĂN THỌ Trưởng Bộ moân Toaùn Đaïi Hoïc Y Döôïc TP HCM A PHAÂN TÍCH PHÖÔNG SAI MOÄT YEÁU TOÁ (ONE WAY ANALYSIS OF VARIANCES) I ÑAËT VAÁN ÑEÀ Xeùt caùc.

PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI TS CHU VĂN THỌ Trưởng Bộ môn Toán Đại Học Y Dược TP HCM A-PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI MỘT YẾU TỐ (ONE-WAY ANALYSIS OF VARIANCES) I- ĐẶT VẤN ĐỀ Xét kết quan sát phụ thuộc vào yếu tố A Yếu tố A có k loại A1 , A , , A k tương ứng k nhóm kết quan sát: Yếu toá A A1 A2 A j Ak Y11 Y12 Y1 j Y1k Y21 Y22 Y2 j Y2k Yn 2 Yn k k Yn j j Yn11 Y1 Y2 Y j Yk Gọi trung bình dân số (population means) ứng với loại A1 , A , , A k laø 1 ,  , ,  k Ta muốn xét ảnh hưởng yếu tố A đến kết quả, tức kiểm định trung bình 1 ,  , ,  k II- TÌM HIỂU PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI MỘT YẾU TỐ Ký hiệu quan sát Yij với j =1,2, ,k i =1,2, , n j (j thứ tự cột ; i thứ tự hàng ứng với j) n1 Các trung bình nhóm (group means) là: Y1 =  Yi1 ; Y2 = n1 i1 n2 n2  Yi ; ; Yk = nk i 1 nk  Yik i 1 n k k k j Trung bình toàn thể (grand mean) : Y   Yij =  n j Yj với N =  n j N j1 i1 N j1 j1 Chuù ý: Theo định nghóa trên, Y trung bình có trọ ng số (weighted mean) Do n , n , , n k khoâng k k  Yj Y  j1 k  Yj n , n , , n k Y = j1 k Ta coù: Yij - Y = ( Yij - Y j ) + ( Y j - Y ) với j =1,2, , k Suy độ lệch cá thể trung bình toàn thể tổng độ lệch cá thể nhóm trung bình nhóm với độ lệch trung bình nhóm trung bình toàn thể Ta chứng minh: k nj k nj k nj  (Yij  Y) =  (Yij  Yj ) +  (Yj  Y) (1) 2 j1 i 1 j1 i 1 j1 i 1 Goïi tổng bình phương độ lệch cá thể trung bình toàn thể tổng bình phương toàn phaàn (the Total sum of squares): k nj Q T =  (Yij  Y ) = j1 i 1 k nj   Yij2 – N(Y) (2) j1 i 1 Gọi tổng bình phương độ lệch cá thể nhóm trung bình nhóm tổng bình phương nhóm (the Within-Groups sum of squares): k nj Q W =  (Yij  Yj ) = j1 i 1 k nj  j1 i 1 Yij2 – k  n j Yj2 (3) j1 Gọi tổng bình phương độ lệch trung bình nhóm trung bình toàn thể tổng bình phương nhóm (the Between-Groups sum of squares): QB = k nj k  (Yj  Y) =  n j Yj2  N(Y) j1 i 1 (4) j1 Từ (2),(3),(4) suy (1) chứng minh Từ (1) ta có: Q T = Q W + Q B (5) Nếu có khác lớn trung bình nhóm, so với biến đổi nhóm, Q B có khuynh hướng lớn Q W Mặt khác, trung bình nhóm gần có biến đổi đáng kể nhóm Do độ lớn Q B Q W cho khả so sánh biến đổi trung bình nhóm biến đổi nhóm Cho mẫu Yi1 độc lập Yi1 ~ N( 1 ; 12 ) với i =1,2, , n ; mẫu Yi độc lập Yi ~ N(  ;  22 ) với i =1,2,.,, n ; ; mẫu Yik độc lập Yik ~ N(  k ;  2k ) với i = 1, 2, , n k Giả sử ta có điều kiện 12 =  22 = =  2k =  (Cũng giống so sánh hai trung bình trường hợp mẫu nhỏ ta phải có hai dân số có phân phối chuẩn giả sử phương sai) Đặt giả thiết H : 1 =  = =  k =  Theo giả thiết H , ta coi k mẫu trở thành mẫu toàn thể, k cỡ mẫu N=  n j Yij ~ N(  ;  ) với j =1,2, ,k ; i =1,2, , n j Ta có cách ước lượng phương sai  j1 k nj  (Yij  Y) 2 Caùch 1: Phương sai mẫu toàn thể ST = j1i1 ST2 Suy E( ST2 ) = E( = N 1 QT Do ước lượng phương sai   N 1 QT ) =   E( Q T ) = (N–1)  N 1 n1  (Yi1  Y1 ) Cách 2: Các phương sai k mẫu S12  i1 Gọi phương sai chung (pool variance) S  W   (Yi  Y2 ) ; S22  i1 n1  k n2 (n j  1)S 2j j1 k n 1  (Yik  Yk ) ; ; S2k  i1 n k 1 k nj  (Yij  Yj ) = j1i1 k n j  k  (n j  1) nk = QW Nk j1 j1 Do ước lượng phương sai   S 2W Suy E( S W ) = E( QW ) =   E( Q W ) = (N–k)  Nk Cách 3: Gọi phương sai nhóm là: S B = QB k 1 Từ (4) suy ra: E( Q B ) = E( Q T ) – E( Q W ) = (N–1)  – (N–k)  = (k–1)   E( S B ) = E( QB ) = 2 k 1 Do ước lượng phương sai   S B Chú ý kết có giả thiết H đúng, tức 1 ,  , ,  k Nếu giả thiết H không đúng, tức 1 ,  , ,  k không Q W không thay đổi dựa biến đổi cá thể nhóm E( S 2W )=  , nhiên Q B có khuynh hướng tăng dựa biến đổi trung bình nhóm vaø E( S B ) = 2 +  n j ( j   ) j k 1 ,    n j j j N (6) 2 Do toán so sánh 1 ,  , ,  k trở so sánh S B S 2W Nếu giả thiết H S B S 2W không 2 khác E( S B ) = E( S 2W )=  Neáu giả thiết H không từ (6) suy S B có khuynh hướng lớn S 2W (Statistical Methods in Medical Research; P.Armitage and G.Berry ; Blackwell Scientific Publications; Third Edition, 1994) ( N  1)ST2 ( N  k )S 2W Theo giả thiết H , ta coù: ~  (N –1) ; ~  (N–k)  2 (k  1)S 2B ( N  1)ST2 (k  1)S 2B ( N  k )S 2W  Mặt khác: = – ~  (k –1) 2 2 2 2 S 2B Do F = ~ Fisher F(k –1; N–k) Ta có phép kiểm định 1 ,  , ,  k sau: SW Đặt giả thiết H0 : 1 =  = =  k HA : 1 ,  , ,  k không -Nếu F > F  (k –1; N–k) bác bỏ H0 , chấp nhận HA, ngưỡng sai lầm  -Nếu F  F (k –1; N – k) chấp nhận H0 III- CÁC BƯỚC THỰC HIỆN PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI MỘT YẾU TỐ Các bước thực hành phân tích phương sai yếu tố sau: n1 n2 nk 1)Tính trung bình nhóm: Y1 =  Yi1 ; Y2 =  Yi ; ; Yk =  Yik n1 i1 n k i1 n i1 n k k j 2) Tính trung bình toàn thể: Y   Yij =  n j Yj N j1 i1 N j1 3) Tính k nj   Yij2 ; j1 i 1 k  n j Yj2 k với N =  n j j1 ; N( Y ) j1 4) Tính tổng bình phương độ lệch trung bình nhóm trung bình toàn thể: QB = k  n j Yj2  N(Y) j1 5) Tính tổng bình phương độ lệch cá thể nhóm trung bình nhóm: QW = k nj  j1 i 1 Yij2 – k  n j Yj2 j1 6) Tính phương sai: S B = 7) Tính F  QB Q ; S 2W = W k 1 Nk S 2B S 2W Nguồn TBPĐL Độ tự Phương sai Giữa nhóm QB k –1 S 2B Trong nhóm QW N–k S 2W F F= S 2B S 2W Đặt giả thiết H0 : 1 =  = =  k (yếu tố A không ảnh hưởng đến kết quả) HA : 1 ,  , ,  k không (yếu tố A có ảnh hưởng đến kết quả) Theo giả thiết H0 , ta có F ~ Fisher F(k –1; N – k) - Neáu F > F  (k –1; N–k) bác bỏ H0 , chấp nhận HA , ngưỡng sai lầm  = 0,05 (hoặc  = 0,01) - Neáu F  F (k –1; N – k) chấp nhận H0 Câu 81)Tính trung bình hàng: Y1 = 10 10 c 10 = =0,034; =0,182; Y3   Y3 j =0,28 Y2   Y2 j  Y1 j  Y1 j 10 j1 10 j1 c j1 10 j1 h 2)Tính trung bình cột: Y.1 =  Yi1 =  Yi1 =0,13; i 1 h i 1 Y.4 =0,16; Y.5 =0,17; Y.6  0,153; 3)Tính trung bình toàn thể: 4) Tính: 10  i 1 j1 Yij2 Y.7  0,193; 10 Y   Yij =0,165 30 i1 j1 =1,206; N( Y) =0,816; 5) Tính tổng bình phương toàn phần: Y.2   Yi =0,146; i1 10 i 1 Yi2 QT = Y.8  0,21; Y.9  0,18; (N =3.10 =30) =1,126; 10 10 3 Y.2j =0,833 j1   Yij2 – N(Y) i 1 j1 =0,39 Y.3   Yi3 =0,143; i1 Y.10  0,166 6) Tính tổng bình phương hàng: 7) Tính tổng bình phương cột: Q H = 10 Yi2  N( Y) =0,31 i 1 10 Q C = 3 Y.2j  N( Y) =0,017 j1 8)Tính tổng bình phương thặng dư: 9) Tính phương sai: 10) Tính: FH  S 2H S 2R Q R = Q T – Q H – Q C =0,063 Q Q QR =0,0035 S 2H  H =0,155; SC2  C =0,0018; S 2R  h 1 c 1 (h  1)(c  1) =44,285; FC  SC2 S 2R =0,514 Nguồn Giữa hàng TBPĐL Q H =0,31 Độ tự h–1=2 Phương sai S 2H =0,155 Giữa cột Q C =0,017 c–1=9 S C2 =0,0018 Thặng dư Q R =0,063 (h –1)(c –1)=18 S 2R =0,0035 F FH =44,285 FC =0,514 Đặt giả thiết: H 0H : Yếu tố thuốc trị suyễn không ảnh hưởng đến kết H AH : Yếu tố thuốc trị suyễn có ảnh hưởng đến kết Theo giả thiết H 0H , ta có FH  S 2H S 2R ~ Fisher F(h –1=2;(h–1)(c–1)=9) Vì FH > F 0,01 (h –1=2;(h–1)(c–1)=18)=6 nên bác bỏ H 0H , chấp nhận H AH , ngưỡng sai lầm  = 0,01 KL: Yếu tố thuốc có ảnh hưởng dến kết quả, ngưỡng sai lầm  = 0,01 Đặt giả thiết: H 0C : Yếu tố người bệnh không ảnh hưởng đến kết H AC : Yếu tố người bệnh có ảnh hưởng đến kết Theo giả thiết H 0C , ta coù FC  SC2 S 2R ~ Fisher F(c –1=9;(h–1)(c–1)=18) Vì FC < F 0,05 (c–1=9;(h–1)(c–1)=18)=2,6 nên chấp nhận H 0C KL: Yếu tố người bệnh không ảnh hưởng đến kết Câu 91)Tính trung bình hàng: Y1 = 2)Tính trung bình cột: Y.5 =12,5; Y.6  36,5; 3)Tính trung bình toàn thể: 4) Tính:  i 1 j1 Yij2 c = =25; Y  Y Y  1j  1j  Y2 j =24,125; Y3 =24; Y4 =23,375 j1 c j1 j1 h Y.1 =  Yi1 =  Yi1 =22,5; i1 h i1 Y.7  16,5; =24448; N( Y) =18624,5; 5) Tính tổng bình phương toàn phần: Y.3 =9,5; Y.8  21,5 Y    Yij =24,125 32 i1 j1 Y.2 =53,5; 8 i 1 QT = Yi2 (N =4.8=32) =18635,25; 8  Y.2j =24408 j1   Yij2 – N(Y) =5823,5 i 1 j1 Y.4 =20,5 6) Tính tổng bình phương hàng: 7) Tính tổng bình phương cột: Q H = 8 Yi2  N( Y) =10,75 i 1 Q C =  Y.2j  N( Y) =5783,5 j1 8)Tính tổng bình phương thặng dư: 9) Tính phương sai: 10) Tính: FH  S 2H S 2R Q R = Q T – Q H – Q C =29,25 Q Q QR =1,392 S 2H  H =3,583; SC2  C =826,214; S 2R  h 1 c 1 (h  1)(c  1) =2,573; FC  SC2 S 2R =593,544 Nguồn Giữa hàng TBPĐL Q H =10,75 Độ tự h–1=3 Giữa cột Q C =5783,5 c–1=7 Thặng dư Q R =29,25 (h –1)(c –1)=21 Phương sai S 2H =3,583 F FH =2,573 S C2 =826,214 FC =593,544 S 2R =1,392 Đặt giả thiết: H 0H : Yếu tố trạng thái tâm lý không ảnh hưởng đến điện da H AH : Yếu tố trạng thái tâm lý có ảnh hưởng đến điện da Theo giả thiết H 0H , ta có FH  S 2H S 2R ~ Fisher F(h –1=2;(h–1)(c–1)=9) Vì FH < F 0,01 (h –1=3;(h–1)(c–1)=21)=2,9 nên chấp nhận H 0H KL: Yếu tố trạng thái tâ m lý không ảnh hưởng đến điện da Đặt giả thiết: H 0C : Yếu tố người không ảnh hưởng đến điện da H AC : Yếu tố người có ảnh hưởng đến điện da Theo giả thiết H 0C , ta có FC  SC2 S 2R ~ Fisher F(c –1=9;(h–1)(c–1)=18) Vì FC > F 0,01 (c–1=7;(h–1)(c–1)=21)=3,5 nên bác bỏ H 0C , chấp nhận H AC , ngưỡng sai lầm  = 0,01 KL: Yếu tố người có ảnh hưởng đến điện da, ngưỡng sai lầm  = 0,01 Câu 10- c 1)Tính trung bình hàng: Y1 =  Y1 j =  Y1 j =12,6; Y2   Y2 j =12.2; Y3 =12; Y4 =10,6 j1 c j1 j1 h 2)Tính trung bình cột: Y.1 =  Yi1 =  Yi1 =11; Y.2 =11; Y.3 =11,75; Y.4 =14,25; Y.5 =11,25 i1 h i1 3)Tính trung bình toàn thể: 4) Tính: Y   Yij =11,85 20 i1 j1   Yij2 =2925; N(Y) =2808,45; i 1 j1 5) Tính tổng bình phương toàn phần: (N =4.5=20) 5 Yi2 =2819,8; i 1 QT =  Y.2j =2838,75 j1   Yij2 – N(Y) =116,55 i 1 j1 6) Tính tổng bình phương hàng: 7) Tính tổng bình phương cột: Q H = 8 Yi2  N( Y) =11,35 i 1 Q C =  Y.2j  N( Y) =30,3 j1 8)Tính tổng bình phương thặng dư: 9) Tính phương sai: 10) Tính: FH  S 2H S 2R Q R = Q T – Q H – Q C =74,9 Q Q QR =6,241 S 2H  H =3,783; SC2  C =7,575; S 2R  h 1 c 1 (h  1)(c  1) =0,6; FC  SC2 S 2R Nguồn Giữa hàng TBPĐL Q H =11,35 Giữa cột Q C =30,3 Thặng dư Q R =74,9 =1,21 Độ tự h–1=3 Phương sai S 2H =3,783 F FH =0,6 c–1=4 S C2 =7,575 FC =1,21 (h –1)(c –1)=12 S 2R =6,241 Đặt giả thiết: H 0H : Yếu tố lực dập không ảnh hưởng đến thời gian tan rã củ a viên thuốc H AH : Yếu tố lực dập có ảnh hưởng đến thời gian tan rã viên thuốc Theo giả thiết H 0H , ta coù FH  S 2H S 2R ~ Fisher F(h –1=2;(h–1)(c–1)=9) Vì FH < F 0,05 (h –1=3;(h–1)(c–1)=12)=3,49 nên chấp nhận H 0H KL: Yếu tố lực dập không ảnh hưởng đến thời gian tan rã viên thuốc Đặt giả thiết: H 0C : Yếu tố loại keo không ảnh hưởng đến thời gian tan rã viên thuốc H AC : Yếu tố loại keo không ảnh hưởng đến thời gian tan rã viên thuốc Theo giả thiết H 0C , ta có FC  SC2 S 2R ~ Fisher F(c –1=9;(h–1)(c–1)=18) Vì FC < F 0,05 (c–1=4;(h–1)(c–1)=12)=3,26 nên chấp nhận H 0C KL: Yếu tố loại keo khô ng ảnh hưởng đến thời gian tan rã viên thuố c Câu 11- c 1)Tính trung bình hàng: Y1 =  Y1 j =  Y1 j =27; Y2   Y2 j =26,666; Y3 =25,666; Y4 =26,333 j1 c j1 j1 h 2)Tính trung bình cột: Y.1 =  Yi1 =  Yi1 =21,75; Y.2 =28,5; Y.3 =30,25; Y.4 =23,75; Y.5 =27,25; Y.6 =27 i1 h i1 3)Tính trung bình toàn thể: 4) Tính: Y   Yij =26,416 24 i1 j1   Yij2 =17084; N(Y) =16748,17; i 1 j1 5) Tính tổng bình phương toàn phần: (N =4.6=24) 6 Yi2 =16755,04; i 1 QT = 6  Y.2j =16944 j1   Yij2 – N(Y) =335,83 i 1 j1 6) Tính tổng bình phương hàng: 7) Tính tổng bình phương cột: Q H = 6 Yi2  N(Y) =6,87 i 1 Q C =  Y.2j  N( Y) =195,83 j1 8)Tính tổng bình phương thặng dư: Q R = Q T – Q H – Q C =133,13 Q Q QR 9) Tính phương sai: S 2H  H =2,29; SC2  C =39,166; S2R  =8,875 h 1 c 1 (h  1)(c  1) 10) Tính: FH  S 2H S 2R =0,26; FC  SC2 S 2R Nguồn Giữa hàng TBPĐL Q H =6,87 Giữa cột Q C =195,83 Thặng dư Q R =74,9 =4,41 Độ tự h–1=3 c–1=5 (h –1)(c –1)=15 Phương sai S 2H =2,29 S C2 =39,166 S 2R =8,875 F FH =0,26 FC =4,41 Đặt giả thiết: H 0H : Yếu tố thuốc ngủ không ảnh hưởng đến thời gian ngủ H AH : Yếu tố thuốc ngủ có ảnh hưởng đến thời gian ngủ Theo giả thiết H 0H , ta coù FH  S 2H S 2R ~ Fisher F(h –1=2;(h–1)(c–1)=9) Vì FH < F 0,05 (h –1=3;(h–1)(c–1)=15)=3,29 nên chấp nhận H 0H KL: Yếu tố thuốc ngủ không ảnh hưởng dến thời gian ngủ Đặt giả thiết: H 0C : Yếu tố bệnh không ảnh hưởng đến thời gian ngủ H AC : Yếu tố bệnh có ảnh hưởng đến thời gian ngủ Theo giả thiết H 0C , ta coù FC  SC2 S 2R ~ Fisher F(c –1=5;(h–1)(c–1)=15) Vì FC > F 0,05 (c–1=5;(h–1)(c–1)=15)=2,9 nên bác bỏ H 0C , chấp nhận H AC , ngưỡng sai lầm  = 0,05 KL: Yếu tố bệnh có ảnh hưởng dến thời gian ngủ Câu 121)Tính trung bình hàng: Y1 =26,4; Y2 =26,2; 2)Tính trung bình cột: Y.1 =27,25; 3)Tính trung bình toàn theå: Y    Yij =26,3 20 i1 j1 4) Tính: 5) Tính tổng bình phương toàn phần: Y4 =26,4 Y.2 =21,75; Y.3 =23,75;   Yij2 =14138; N(Y) =13833,8; i 1 j1 Y3 =26,2; Y.4 =28,5; (N =4.5=20) i 1 j1 5 Yi2 =13834;  Y.2j =14208 QT =   Yij2 – N(Y) =304,2 i 1 j1 Y.5 =30,25 Q H = 6 Yi2  N( Y) =0,2 6) Tính tổng bình phương hàng: i 1 Q C =  Y.2j  N( Y) =194,2 7) Tính tổng bình phương cột: j1 8)Tính tổng bình phương thặng dư: 9) Tính phương sai: 10) Tính: FH  S 2H S 2R Q R = Q T – Q H – Q C =109,8 Q Q QR =9,15 S 2H  H =0,066; SC2  C =48,55; S 2R  h 1 c 1 (h  1)(c  1) =0,007; FC  SC2 S 2R =5,306 Nguồn Giữa hàng TBPĐL Q H =0,2 Độ tự h–1=3 Phương sai S 2H =0,066 F FH =0,007 Giữa cột Q C =194,2 c–1=4 S C2 =48,55 FC =5,306 Thặng dư Q R =109,8 (h –1)(c –1)=12 S 2R =9,15 Đặt giả thiết: H 0H : Yếu tố hạt giống không ảnh hưởng đến tỉ lệ hạt nẩy mầm H AH : Yếu tố hạt giống có ảnh hưởng đến tỉ lệ hạt nẩy mầm Theo giả thiết H 0H , ta có FH  S 2H S 2R ~ Fisher F(h –1=2;(h–1)(c–1)=9) Vì FH < F 0,05 (h –1=3;(h–1)(c–1)=12)=3,49 nên chấp nhận H 0H KL: Yếu tố hạt giống không ảnh hưởng đến tỉ lệ hạt nẩy mầ m Đặt giả thiết: H 0C : Yếu tố phương pháp ươm hạt giống không ảnh hưởng đến tỉ lệ hạt nẩy mầm H AC : Yếu tố phương pháp ươm hạt giống có ảnh hưởng đến tỉ lệ hạt nẩy mầm Theo giả thiết H 0C , ta có FC  SC2 S 2R ~ Fisher F(c –1=5;(h–1)(c–1)=15) Vì FC > F 0,05 (c–1=4;(h–1)(c–1)=12)=3,26 nên bác bỏ H 0C , chấp nhận H AC , ngưỡng sai lầm  = 0,05 KL: Yếu tố phương pháp ươm hạt giống có ảnh hưởng đến tỉ lệ hạt nẩy mầm TS CHU VĂN THỌ Trưởng Bộ môn Toán Đại Học Y Dược Tp HCM ... với y? ??u tố loại Y? ??u tố C H i C j sau: Y? ??u tố H C1 C2 Cj Cc H1 Y1 1 Y1 2 Y1 j Y1 c Y1 H2 Y2 1 Y2 2 Y2 j Y2 c Y2 Hi Yi1 Yi Yic Yi Hh Yh1 Yh Yhc Yh Y. 1 Y. 2 Yij... ngưỡng sai lầm  = 0,01 KL: Y? ??u tố phương pháp chiết suất có ảnh hưởng dến kết quả, ngưỡng sai lầm  = 0,01 TS CHU VĂN THỌ Trưởng Bộ môn Toán Đại Học Y Dược Tp HCM BÀI TẬP PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI TS CHU. .. cột: Y j  với j = 1, 2,…, c Trung bình toàn thể: h c Y    Yij với N = h.c N i1 j1 (j thứ tự cột) Ta coù: Yij  Y = ( Yi  Y) + ( Y j  Y) + (Yij  Yi  Y j  Y) Nhận xét: Sự khác biệt Yij Y