S6 CHUYÊN đề 9 CHỦ đề 1 hệ THỐNG KIẾN THỨC cơ bản

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ĐS6.CHUYÊN ĐỀ – PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN PHẦN I.TĨM TẮT LÝ THUYẾT a Số có dạng b , a, b  ¢ , b  gọi phân số n Số nguyên n đồng với phân số a a.m a : n    a, b  Tính chất phân số: b b.m b : n với m, n  ¢, m, n  n  ƯC a m a b phân số tối giản Nếu n dạng tối giản phân số b tồn số nguyên k cho a  mk , b  nk  a, b   Nếu PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Áp dụng tính chất chia hết để giải toán phân số I.Phương pháp giải Bài tốn tổng qt: Tìm số tự nhiên n cho A n B  n có giá trị nguyên Cách làm: A  n  1 d   b  B  n a  C  n     a, b, d  ¢   C  n    d   Ư Nếu a  ta tìm n kết luận Nếu a  ta tìm n cần thử lại kết luận Bài tốn tổng qt: Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản rút gọn được” ta làm sau: Gọi d ước nguyên tố tử mẫu Dùng phép tốn cộng, trừ, nhân để khử n để từ tìm d TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản” ta tìm n để tử số mẫu số không chia hết cho ước ngun tố Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn được” ta tìm n để tử số mẫu số chia hết cho ước nguyên tố II.Bài toán Bài 1: Cho A n 1 n4 a) Tìm n nguyên để A phân số b) Tìm n nguyên để A số nguyên Lời giải: Điều kiện: n  ¢ n  ¢ n  ¢    n  4 a) Để A phân số  n   b) Để phân số A có giá trị số ngun  n  1 M n  4 Mà Ư   n   5 M n  4   n  4  5 M n  4  n   M n   nên 5M n  4  n  4  5 Ư  5   1;  5; Ta có bảng sau: Vậy n   9; 5; 31 ; n4 1 5 n 3 5 9 A 4 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số A n  10 2n  có giá trị số nguyên TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải: Điều kiện: n  ¥ Để phân số A có giá trị số ngun  n  10 M 2n  8   n  10 M n  4   n  4  14 M n  4  14 M n  4  n  4 Ư  14 Ư  14   1;  2;  7;  14 n   4  n  4  2; 11 ; ; 2; 7;14 Mặt khác, n số tự nhiên nên Ta có bảng sau: Vậy n4 1 2 14 n 11 18 A 15 13 2 16 4 3 21 14 ( loại ) ( loại) n   2; 6;18 ( loại) Bình luận: - Ngồi cách lập bảng ta để ý rằng:  n  10 M 2n  8   n  10 M2 n  4  Kết hợp với -   n 10 M ; ; 2; 7;14  n   2; 3; 5; 6;11; 18  n  4   2; 11 Đối với tốn với trị ngun vì: theo n   5; 311 ;   n   2; 6;18 số nguyên thay vào A khơng giá  n  10 M 2n  8   n  10 M n  4 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC khơng có điều ngược lại Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 2n  Bài 3: Chứng minh phân số 4n  tối giản với số tự nhiên n Phân tích: Để chứng minh phân số phân tối giản ta cần chứng minh ước chung lớn tử mẫu phải Lời giải: Điều kiện: n  ¥ 2n  3Md 4n  6Md    2n  3, 4n  8  d 4n  8Md 4n  8Md  2Md  d   1; 2 Giả sử ƯCLN Vì 2n  số tự nhiên lẻ nên  d  2n  Vậy d  nên phân số 4n  phân số tối giản với số tự nhiên n Bài 4: Tìm số tự nhiên n để phân số A 21n  6n  rút gọn Lời giải: Điều kiện: n  ¥ Gọi d ước nguyên tố 21n  6n   21n  3 Md   42n  6 Md    6n  4 Md   42n  28 Md  22Md  d   2;11  6n  4 M2 n  21n  3 M2 n lẻ Nếu d  ta thấy  21n  3 M11   22n  n  3 M11 hay 22n   n  3   n  3 M11  n   11k Nếu d  11  n  11k   k  ¥  6n   6 11k  3    66k  22 M 11   6n  4 M 11 Với n  11k  TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vậy n lẻ n  11k  phân số A 21n  6n  rút gọn a b 12 c  ;  ;  a , b , c , d Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ cho: b c 21 d 11 Lời giải: Điều kiện: a, b, c, d  ¥ , b  0, c  0, d  Ta có: a b   a  3m  b 12 b  5m  4n      c 21   c c  7n  6k   d 11 d  11k   m, n, k  ¥  *  4nM5 nM5   n  BC  5, 6   4, 5  1;  6, 7  nM6 Suy  7nM6 mà mặt khác a, b, c, d nhỏ nên n  BCNN  5, 6  n  5.6  30  m  24; k  35  a  72; b  120; c  210; d  385 n3 Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số 2n  có giá trị nguyên Lời giải: Điều kiện: n  ¥ Cách 1: n3 Để phân số 2n  có giá trị nguyên  n  3 M 2n  2   n  3 M2 n  1    n  3 M  n  1   n  1  4 M n  1  4M n  1 Suy n 1 ước TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Ư  4   1; 2; 4 n  1  11 ; ; 2; 4 mặt khác n số tự nhiên nên n  1 1 nên Ta có bảng sau: n 1 1 5 1 n n3 2n   Loại Loại n3 Vậy n  phân số 2n  có giá trị nguyên Cách 2: n3 Để phân số 2n  có giá trị nguyên  n  3 M 2n  2  2 n  3 M2n    2n  6 M  2n  2   2n  2 8 M 2n  2  8M 2n  2  4M n  1 Suy n 1 ước Ư  4   1; 2; 4 mặt khác n n  1  11 ; ; 2; 4 số tự nhiên nên n  1 1 nên Ta có bảng sau: n 1 1 n n3 2n   1 ( loại) ( loại) n3 Vậy n  phân số 2n  có giá trị nguyên Cách 3: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ n3 Để phân số 2n  có giá trị ngun  n  3 M2   n  3 M2  n  3 M     n  3 M 2n  2   n  3 M2 n  1   n  3 M n  1   n  1  4M n  1 4M n  1  n  3 M2  n  3 M2    n  1  4;  2; 1   n   5; 3; ; 0 n  1 1 n     n  n3 Vậy n  phân số 2n  có giá trị ngun Bài 7: Tìm số ngun n cho: n7 a) 3n  số nguyên 3n  b) 4n  số tự nhiên Lời giải: a) Điều kiện: n  ¢ n7 Để phân số 3n  có giá trị số nguyên  n  7 M 3n  1  3 n  7 M 3n  1   3n  21 M 3n  1   3n  1 22 M 3n  1  22M 3n  1  3n  1  22 Ư Ư  22   1;  2;  11;  22 Ta có bảng sau: 3n  1 1 n (loại TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2  (loại 11 11 22 22 10 23 7  (loại (loại Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ n¢ ) n¢ ) 7 A n¢ )  n¢ ) (loại) n7 n   0;1; 4;  7 Vậy 3n  có giá trị nguyên b) Điều kiện: n  ¢ 3n  Để phân số 4n  số tự nhiên  3n  2 M 4n  5  4 3n  2 M 4n  5   12n  8 M 4n  5 hay  12n  15 23 M 4n  5  3 4n  5  23 M 4n  5 Mà Ư 3 4n  5 M 4n  5 nên 23M 4n  5  4n  5  23 Ư  23   1;  23 Ta có bảng sau: 4n  1 23 n (loại n  ¢ ) 23  (loại n  ¢ ) 5 A (loại) 3n  Vậy n  4n  số tự nhiên Bài 8: Tìm số tự nhiên n để phân số A 8n  193 4n  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ a) Có giá trị số tự nhiên b) Là phân số tối giản c) Phân số A rút gọn với 150  n  170 Lời giải: Điều kiện: n  ¥ a) Để phân số A số tự nhiên  8n  193 M 4n  3 Mà Ư hay  8n  6 187 M 4n  3   2 4n  3  187 M 4n  3 2 4n  3 M 4n  3  187 M 4n  3   4n  3  Ư  187  23   11;  17; 187 Mà n số tự nhiên nên 4n   hay n ; ;187 suy n   1117 Ta có bảng sau: 4n  11 17 187 n 46 (loại n  ¥ ) A Vậy n   2; 46 A 19 8n  193 4n  số tự nhiên b) Gọi d ước nguyên tố 8n  193 4n  thì: 8n  193Md 8n  193Md 8n  193Md     2 4n  3 Md 4n  3Md 8n  6Md   8n  193   8n  6  Md  187Md TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ  d   1117 ;  với n  ¥ d số nguyên tố  4n  3 M11   4n  3 11 M11   4n  8 M11  4 n  2 M11   n  2 M11 Với d  11 ta có Do n   11k  k  ¥  hay n  11k   k  ¥   4n  3 M17   4n  3 17 M17   4n  20 M17  4 n  5 M17   n  5 M17 Với d  17 ta có Do n   17m  m  ¥  Vậy với n  11k   k  ¥  hay n  17m   m  ¥ *  n  17m   m  ¥ *  phân số A 8n  193 4n  tối giản c) Từ câu b) ta có: Để phân số A 8n  193 * 4n  rút gọn n  11k   k  ¥  n  17m   m  ¥  Vì 150  n  170 nên:  k   14;15 TH1: 150  11k   170  148  11k  168 Với k  14 n  156 Với k  15 n  167 TH2: 150  17m   170  155  17m  175  m  10 Với m  10 n  165 Vậy n   156;165167 ;  phân số A 8n  193 4n  rút gọn 18n  Bài 9: Tìm tất số tự nhiên n để phân số 21n  rút gọn Lời giải: Điều kiện: n  ¥ Gọi d ước nguyên tố 18n  21n  thì: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 18n  3Md   7 18n  3 Md 126n  21Md    6 21n  7 Md 21n  7Md 126n  42Md   126n  42   126n  21  Md  21Md  d   3; 7 với n  ¥ d số nguyên tố 18n  3 n  ¥ nên để phân số 21n  rút gọn 21n  7M Với d  mà 18n  3M 7M3 )  d  Mà 21n  7M3 n  ¥ (vì 21nM 18n  Với d  21n  M7 n nên để phân số 21n  rút gọn 18n  3M7  21n   3n  3 M7  3 n  1 M7  n 1M7  n  1 7k  n  7k   k  ¢  Vậy với n  7k   k  ¢  18n  phân số 21n  rút gọn 4n  Bài 10: Tìm số nguyên n để phân số 2n  có giá trị số nguyên Lời giải Điều kiện: n  ¢ 4n  Để phân số 2n  số nguyên  4n  5 M 2n  1 Mà Ư hay  4n  2 7 M 2n  1  2 2n  1  7 M 2n  1 2 2n  1 M 2n  1  7M 2n  1   2n  1  Ư  7  7   1;  7 Ta có bảng sau: 2n  1 7 n 3 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 5 A n   0;1;  3; 4 Vậy 4n  2n  số nguyên Bài 11: Cho biểu thức : A 2n  3n  4n    n  n  n  Tìm giá trị n để: a) A phân số b) A số nguyên Lời giải: 2n  3n  4n  2n  1 3n  5  4n  5 n  A     n 3 n 3 n 3 n3 n 3 Ta có: n 1 a) Để n  phân số n  ¢ n  ¢   n   n  n 1 b) Để n  số nguyên  n  1 M n  3 Mà Ư hay  n  3 M n  3  n  3 4 M n  3  n  3  4 M n  3 hay   M n  3   n  3  Ư  4  4   1;  2;  4 Ta có bảng sau: n 3 1 2 4 n 1 A 3 1 Vậy n   11 ; ; 2; 4; 5; 7 n 1 n  số nguyên Bài 12: Với giá trị số tự nhiên a : 8a  19 a) 4a  có giá trị nguyên TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 5a  17 b) 4a  23 có giá trị lớn Lời giải: Điều kiện: a  ¥ 8a  19 a) Để 4a  số nguyên  8a  19 M 4a  1 Mà Ư hay  8a  2 17 M 4a  1 2 4a  1  17 M 4a  1 hay  2 4a  1 M 4a  1  17 M 4a  1   4a  1  Ư  17  17   1;  17 Ta có bảng sau: 4a  1 a 1 17  Vậy a   0; 4 a) Ta có: 19  (loại a  ¥ ) (loại a  ¥ ) A 17 8a  19 4a  số nguyên 5 47 a  17 a  23    5a  17 47  5  4 4a  23 4a  23 4a  23 4 4a  23 5a  17 Để 4a  23 có giá trị lớn 4a  23 có giá trị nhỏ Mà a  ¥ nên 4a  23   4a  24  a  5a  17 Vậy a  4a  23 có giá trị lớn TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ x z   Bài 13: Tìm x, y , z biết y 10 x  z   y Lời giải: x z  x z 10 Ta có: 10 y z  y z z 10 10 Theo đề: x z  7 y 3 z z 7 z 10 3 zz z7 10 z7 10 z  10 Suy x 3 10  3; y  10  10 Vậy x  3; y  6; z  10 Bài 14: Tìm số nguyên x, y y   cho x Lời giải: Ta có: y 5 y      x x 3 2y   x 6  2y  x Do đó: x   y   18  2.32 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Do x, y số nguyên nên  y ước 18, mặt khác  2y số lẻ Ước lẻ 18 là: 1; 1;3; 3;9; 9 Ta có: 5 2y 1 3 9 2y 4 14 y 2 x 18 18 6 2 Vậy có sáu cặp số x, y bảng thỏa mãn toán a b ab   a , b Bài 15: Tìm số tự nhiên cho:  Lời giải: Ta có: a a  (xảy dấu với a  ) b b  (xảy dấu với b  ) a b a b ab     Do đó: 5 a b ab   trường hợp a  b  Xảy Dạng 2: Tìm phân số biết mối liên hệ tử mẫu Một số điều kiện cho trước thường gặp:  Biết tử số (hoặc mẫu số), phân số cần tìm lớn phân số nhỏ phân số  Viết phân số dạng tổng phân số biết số tử (hoặc số mẫu)  Liên hệ phép chia phân số cần tìm với phân số cho TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ  Biết phân số phân số biết quan hệ ƯCLN(Tử , Mẫu) tổng (hiệu) tử mẫu  Cộng số vào tử mẫu phân số Phương pháp giải: - Nếu toán cho tử số (mẫu số), biến đổi cho ba phân số đồng tử (đồng mẫu) so sánh phân số ta tìm mẫu số(tử số) cịn thiếu - Ở dạng tốn viết phân số dạng tổng phân số biết số tử (hoặc số mẫu) ta phải tìm số thuộc ước mẫu cho tổng chúng tử Khi ta tìm phân số có tổng phân số ban đầu, phân số có tử số ước mẫu nên viết dạng tối giản có tử số - Từ kiện toán ta vận dụng linh hoạt tính chất phân số tối giản với tính chia hết để giải tốn - a (a, b  0) Dạng tốn: Tìm phân số phân số b , biết ƯCLN tử mẫu phân số a c , ta tìm phân số tối giản b sau nhân tử mẫu phân số tối giản với c ta số cần tìm Bài 1: Tìm phân số có tử , biết phân số lớn  11 11  12 nhỏ 15 Phân tích: Do phân số có tử số nên ta gọi dạng phân số cần tìm x , sau ta biến đổi ba phân số có tử số Khi so sánh hai phân số tử, phân số có mẫu số lớn nhỏ Khi ta tìm khoảng giá trị x chọn giá trị x phù hợp Lời giải: Gọi mẫu phân số cần tìm x x ¥* TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 11 11 55 55 55       75  11x  60  x  6 60 11x 75 Ta có: 12 x 15 Vậy phân số cần tìm  Bình luận: Bài toán thuộc dạng biết tử số (hoặc mẫu số), phân số cần tìm lớn phân số nhỏ phân số 11 Bài 2: Tìm phân số có mẫu 12 , biết phân số lớn 13 nhỏ Lời giải: Gọi tử phân số cần tìm x x 11 420 65 x 1716       420  65 x  1716  x   7;8;9; ; 25; 26 780 780 780 Ta có: 13 12 25 26 ; ; ; ; ; 12 12 Vậy phân số cần tìm là: 12 12 12 11 Bài 3: Hãy viết phân số 15 dạng tổng phân số có tử số có mẫu số khác (15)   1;3;5;15 Phân tích: Nhận thấy mẫu số 15 , Ư ta khơng tìm ba số có tổng 11 Lặp lại cách thử mẫu tử phân số nhân tử mẫu phân số với số tìm số thỏa mãn Dễ thấy nhân tử mẫu phân số với ta phân 44 (60)   1; 2;3; 4;5;10;15; 20;30;60 số 60 , Ư ta tìm ba số cộng với 44  4;10;30 Lời giải: 11 44   (60)  1; 2;3; 4;5;10;15; 20;30;60  15 60 Ư TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 30  10   44  44 10 30 11 1        60 60 60 60 15 15 Bài 4: Hãy viết phân số dạng tổng phân số có tử số có mẫu số khác Lời giải: 10       1; 2;3;6 Ư    10  10 1        6 6 a a a 12 0 Bài 5: Tìm phân số tối giản b nhỏ (với b ) biết chia b cho 15 25 thương số nguyên Phân tích: a 15a Do tính chất chia hết ta có: b chia hết cho 15 nên 7b số nguyên, a chia hết cho , 15 chia hết a 12 25a cho b Tương tự, b chia hết cho 25 nên 12b số nguyên, a chia hết cho 12 , 25 chia hết cho b  15, 25 Do tính chất phân số tối giản lớn nên ta có a  BCNN(7,12) b  ƯCLN Lời giải: a a.15 a.25 ; a , b    Vì b tối giản nên a  ƯCLN b.7 b.12 số nguyên nên a chia hết cho 12 15 25 chia hết cho b Do a  BC  7,12   15, 25 b  ƯC TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ a  15, 25 nên Vì b phân số tối giản nhỏ lớn nên a  BCNN(7,12) b  ƯCLN 84 a  84; b  Do phân số cần tìm a a a 11 0 Bài 6: Tìm phân số tối giản b nhỏ (với b ) biết chia b cho 10 15 thương số nguyên Lời giải: a a.10 a.15 ; a , b    Vì b tối giản nên a  ƯCLN b.9 b.11 số nguyên nên a chia hết cho 11 10 15 chia hết cho b Do a  BC  9,11  10,15 b  ƯC a  10,15  nên Vì b phân số tối giản nhỏ lớn nên a  BCNN(9,11) b  ƯCLN 99 a  99; b  Do phân số cần tìm 20 Bài 7: Tìm phân số phân số 39 , biết ƯCLN tử mẫu phân số 36 Lời giải:  20,39   Suy phân số Ta thấy ƯCLN 20 39 phân số tối giản Mà ƯCLN tử mẫu phân số cần tìm 36 TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 20 Nên phân số cần tìm rút gọn thành 39 cách chia tử mẫu cho 36 Vậy phân số cần tìm 20.36 720  39.36 1404 15 Bài 8: Tìm phân số phân số 20 , biết ƯCLN tử mẫu phân số 14 Lời giải:  15, 20   Suy Ta thấy ƯCLN 15 3  20 phân số tối giản Mà ƯCLN tử mẫu phân số cần tìm 14 Nên phân số cần tìm rút gọn thành cách chia tử mẫu cho 14 Vậy phân số cần tìm 3.14 42  4.14 56 Bài 9: Tìm phân số tối giản, biết cộng mẫu số vào tử số cộng mẫu số vào mẫu số phân số phân số mới, lớn gấp lần phân số ban đầu ? Lời giải: a Gọi phân số tối giản lúc đầu b Nếu cộng mẫu số vào tử số cộng mẫu số vào mẫu số ta ab ab  2b phân số b  b ab Để 2b gấp lần phân số lúc đầu a  b phải lần a  Mẫu số b phải gấp lần tử số a TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Phân số tối giản thoả mãn điều kiện Bình luận: Từ giả thiết tốn ta tìm mối liên hệ tử mẫu Từ tìm phân ban đầu Bài 10: Tìm phân số tối giản, biết cộng tử số vào tử số cộng tử số vào mẫu số phân số phân số mới, giảm lần phân số ban đầu ? Lời giải: a Gọi phân số tối giản lúc đầu b Nếu cộng tử số vào tử số cộng tử số vào mẫu số ta phân số aa 2a  ba a b 2a Để a  b giảm lần phân số ban đầu a  b phải 12 lần b  Tử số a phải gấp 11 lần mẫu số b 11 Phân số tối giản thoả mãn điều kiện a 15  ;  a, b  BCNN  a, b   3549 Bài 11: Tìm số tự nhiên a b biết rằng: b 35 ƯCLN Lời giải: Ta có: a 15 *   b 35  a  3k ; b  7k  k  ¥  (1) ƯCLN  a, b  BCNN  a, b   3549  a.b  3549 (2) * Từ (1) (2) suy 21k  3549  k  169  k  13 (Vì k  ¥ )  a  3.13  39; b  7.13  91 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 21 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 12: Tìm số tự nhiên a b biết rằng: a 132  ; BCNN  a, b   1092 a) b 143 a 21  ;  a, b   30 b) b 35 ƯCLN Lời giải: a) Ta có: a 132 12 *   b 143 13 nên a  12k ; b  13k  k  ¥  (1) Lại có: ƯCLN  12,13   Theo đề thì: ƯCLN BCNN  a, b   1092  12k ,13k   k BCNN  12k ,13k   12.13.k (2) (3) Từ (1), (2) (3)  12.13.k  1092  156k  1092  k  1092 :156  Khi a  12.7  84; b  13.7  91 Vậy a  84; b  91 b) Ta có: a 21 *   b 35 nên a  3k ; b  5k  k  ¥  (1) Lại có: ƯCLN  3,5   Theo đề thì: ƯCLN ƯCLN  a, b   30  3k ,5k   k (2) (3) Từ (1), (2) (3)  k  30 Khi a  3.30  90; b  5.30  150 Vậy a  90; b  150 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 22 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 15 49 36 ; ; Bài 13: Cho ba phân số 42 56 51 Biến đổi ba phân số thành phân số chúng cho mẫu phân số thứ tử phân số thứ hai, mẫu phân số thứ hai tử phân số thứ ba Lời giải: 49 42   Vì mẫu phân số thứ tử phân số thứ hai nên ta có: 56 48 36 12 48   Vì mẫu phân số thứ hai tử phân số thứ ba nên ta có: 51 17 68 15 42 48 ; ; Vậy ba phân số cần tìm là: 42 48 68 Bài 14: Trung bình cộng tử số mẫu số phân số 68 Cộng thêm vào tử số phân số đơn vị ta phân số phân số Tìm phân số ban đầu Lời giải: Tổng tử số mẫu số là: 68.2  136 Nếu cộng thêm vào tử số đơn vị ta tổng là: 136   140 Ta có sơ đồ: Tử số: | -| -| -| Mẫu số: | -| -| 140 :     84 Tử số là: Tử số ban đầu là: 84   80 Mẫu số ban đầu là: 136  80  56 80 Vậy phân số ban đầu là: 56 Bài 15: Cho hai số a b thỏa mãn: a  b   a  b  a a b Chứng minh a  3b Tính b Tìm a, b Lời giải: a  b  2 a  b a  b  2a  2b a  2a  2b  b  a  3b Ta có: a  3b TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 23 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Thay a  3b vào 3b  b  a b  a b ta được: a b 4b  3 b 9 a  3  4 Suy Vậy a  3b, a 9  3; a  ;b  b 4 11 a 23   a , b Bài 16: Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: 17 b 29 8b  9a  31 Lời giải: Theo đề ta có: Vì a, b  ¥ nên 8b  9a  31  b  4a 31  9a 32   8a  a  32  8a   a  a 1    4 a 8 8 a 1 a 1 ¥   ¥   a  1 M  a  8k  1 k  ¥  8 Khi đó: b 31   8k  1 40  72k   9k  8 11 a 23 11 8k  23      17 9k  29 Lại có: 17 b 29 38   k  37 11 9k    17  8k  1   29 k   23 k       k  86   25 k   2;3 Vì k  ¥ nên  a  8k   8.2   17  Với k  b  9k   9.2   23 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 24 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ  a  8k   8.3   25  Với k  b  9k   9.3   32 Vậy a  17; b  23 a  25; b  32  HẾT  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 25 ... TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 5 A n   0;1;  3; 4 Vậy 4n  2n  số nguyên Bài 11: Cho biểu thức : A 2n  3n  4n    n  n  n  Tìm giá... ÁN GIÁO DỤC Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ x z   Bài 13: Tìm x, y , z biết y 10 x  z   y Lời giải: x z  x z 10 Ta có: 10 y z  y z z 10 10 Theo đề: x z  7 y 3 z z 7... Theo đề thì: ƯCLN ƯCLN  a, b   30  3k ,5k   k (2) (3) Từ (1), (2) (3)  k  30 Khi a  3.30  90; b  5.30  150 Vậy a  90; b  150 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 22 CHUYÊN ĐỀ 5: