HAM HOP TRONG BAI TOAN DON DIEU CUC TRI

Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM HỢP Cơng thức tính đạo hàm hàm hợp : f  u    u / f /  u  / I> HÀM HỢP VỚI HÀM SỐ ĐÃ BIẾT tan x  2m  Tìm m để hàm số nghịch biến tan x  m Ví dụ : Cho hàm số y     0,   4   Giải : Đặt u  tan x , x   0,   u   0,1  4 2u  2m  Hàm số có dạng y  f  u   Tập xác định D  R \  m um / 4m  Đạo hàm y /   f  u   u / f /  u   u / u  m Ta có : u /   tan x   /    0, x   0,  cos x  4 4m    Hàm số cho nghịch biến  0,   y /  0, u   0,1  u /  0, u   0,1  4 u  m  4m  u  m  0, u   0,1 (Vì u /  )  4m     m  1   m   m   m  Ví dụ : Cho hàm số y  m 1 x 1 Tìm m để hàm số đồng biến   3,   1 x  m Giải : Đặt u   x , 3  x  2    x     x   u  Hàm số có dạng y  f  u   /  1 x  /   m2 u  m  0, u     m2 u  m 1  0, x    3,   1 x Hàm số cho đồng biến   3,    y /  0, u   3, mu  Tập xác định D  R \ m um Đạo hàm y /   f  u    u / f /  u   u / Ta có : u /   3,    3,  u /  m2 u  m  0, u   3,  (Vì u /  )   1  m  m  1  m     m  1   m   m  m   m  m   m      Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt  π 2π  Ví dụ : Tìm m để hàm số y  cos3 x  2cos 2x   2m  1 cos x  nghịch biến  ,    Giải : y  cos3 x   2cos2 x  1   2m  1 cos x   cos3 x  4cos x   2m  1 cos x    2 Đặt u  cos x , x   , 6  3     u    ,   2  (Dùng đường tròn lượng giác) Hàm số có dạng y  f  u   u  4u   2m  1 u  Đạo hàm y /   f  u    u / f /  u   u /  3u  8u   2m  1  / /   2  Ta có : u /   cos x    sin x  0, x   ,  6    2  Hàm số cho nghịch biến  ,  6   3  3 /  y /  0, u    ,   u  3u  8u   2m  1   0, u    ,   2   2   3  3u  8u   2m  1  0, u    ,   2  (Vì u /  )  3  3u  8u   2m, u    ,   2  Xét hàm số g  u   3u  8u  g /  u   6u    u   (loại) Bảng biến thiên :  3 17 17 Từ bảng biến thiên ta : 3u  8u   2m, u    ,   2m    m    2  II> HÀM HỢP VỚI HÀM ẨN Điều cốt lõi dạng toán từ giả thiết, ta phải lập bảng biến thiên hàm số hợp Từ đó, trả lời câu hỏi đề Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt Ví dụ : Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình sau Tìm khoảng tăng giảm điểm cực trị hàm số y  f  x  x  y O x Giải : Từ đồ thị hàm số f /  x  , ta : f /  x    x   x  Ta có : y /   x  x  f /  x  x    2x  1 f /  x  x  /  x   x   2x     1  y/    /  x  x   x  nghiệm đơn f  x  x     x  x   x  1  x     Ta xét dấu cách số khoảng  2,    ta số vào y / y /  3  f /    Do 0 khoảng  2,    , y / mang dấu ( + ) Sau đó, điền dấu vào khoảng lại theo quy tắc qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép khơng đổi dấu Ta bảng biến thiên : Từ bảng biến thiên, ta kết luận Ví dụ : Cho hàm số f  x  có đạo hàm f /  x   x  2x  3  x  1 Tìm khoảng tăng giảm điểm cực trị hàm số y  f  x  3 Nhận xét :  2x  3   x  nghiệm kép nên ta khơng cần tính nghiệm Do ta tính : f /  x    x   x  1 Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt Giải : Ta có y /   x  3 f /  x  3  2x.f /  x   / x  x  x0    y/    / x    x    f  x  3     x   1  x   * Ta xét dấu cách số khoảng khoảng    3,   ta số vào y / y /  3  6.92.73  Do  3,   , y / mang dấu ( + ) Sau đó, điền dấu vào khoảng lại theo quy tắc qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu Ta bảng biến thiên : Từ bảng biến thiên ta kết luận Ví dụ : Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm R có bảng xét dấu f /  x  sau : Tìm khoảng tăng, giảm điểm cực trị hàm số y  g  x   f  x  x  Nhận xét : Ta thấy x  nghiệm kép Do ta tính f /  x    x    x  Giải : Ta có g / ( x)  (2 x  2) f / ( x  x) 2 x   x  2 x    g ( x)    /   x  x  2   x  1  f ( x  x)   x2  x   x   * Ta xét dấu cách số khoảng  3,    ta số vào y / y /    f /    Do / 0 khoảng  3,    , y mang dấu ( – ) Sau đó, điền dấu vào khoảng lại theo quy tắc qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép khơng đổi dấu Ta bảng biến thiên : / Từ bảng biến thiên ta kết luận Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt Ví dụ : Cho hàm số f  x  có đồ thị hàm số y  f /  x  hình vẽ bên Tìm khoảng tăng giảm cực trị hàm số y  f  x  1  x  x Giải : Ta có f /  x   f /  x  1   2x  f /  x  1   x  1 Đặt t  x 1 Khi : y /  f /  t   2t Ta thấy : y/   f /  t   2t  phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị y  f /  t  (đã có) đường thẳng y  2t Vẽ thêm đường thẳng y  2t vào hình Từ đồ thị ta có : y /   t  1  t   t   x   x   x  y /   f /  t   2t  1  t    x  Từ ta bảng biến thiên sau : Từ bảng biến thiên ta kết luận Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị III> III.1> Gv : Dư Quốc Đạt CÁCH GIẢI NGẮN GỌN TỪNG DẠNG Tìm khoảng tăng giảm hàm số Ví dụ : Cho hàm số y  f ( x) Hàm số y  f '( x ) có đồ thị hình vẽ y y f '( x ) O 1 x Hàm số y  f ( x ) đồng biến khoảng sau đây?  1 A   ;   2   C   ;    B  0;  D  2; 1 Giải : Ta có y/  2xf /  x  Hàm số đồng biến  y/   2xf /  x     x  x  x  x   /  /    2 2 1  x   x  x  1   x  f  x    f  x     x  2  1  x    x  Vậy ta chọn C Ví dụ : Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm hình vẽ Hàm số y  f  C       3;  ,  3;       3;   D  ;   ,  0;   B ;  ,  x   y  x x 1 f  x    x   1 x   y      f  x 1    x 1     x 1    x 1    có đồ thị x  đồng biến khoảng đây? A ;  , 0; Giải : Xét hàm số y  f Biết hàm số y  f   x  liên tục  x2  x  x  x      x 1   x 1   x    x   x2     x    Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt Bảng biến thiên : Vậy hàm số y  f     x  đồng biến khoảng  3; ,  3;  Ví dụ 10 : Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau: Hàm số y   f  x     f  x   nghịch biến khoảng đây? A 1;  C   ; 1 B  ;  D  ; 3 Giải : Ta có y   f  x   f   x   f  x  f   x  = 3f  x  f   x   f  x   2  f  x    x   x1 , | x1  1  y    f  x    x   x2 , x3 ,3, x4 | x1  x2   x3  2;  x4   f ' x   x  1, 2,3,      Bảng xét dấu : Ta có nghiệm y / nghiệm đơn Trong khoảng  3,  ta số vào 7  7  7  7  y / , ta : y /    3f   f /   f      Do khoảng  3,  y / mang dấu (+) 2  2  2  2  0 0 0 Do ta có hàm số nghịch biến khoảng  ; 3 Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị III.2> Gv : Dư Quốc Đạt Tìm số điểm cực trị :  Trong phần ta đếm số nghiệm đạo hàm để suy số điểm cực trị  Lưu ý : Ta khơng tính nghiệm kép Số điểm cực trị số nghiệm đơn nghiệm bội lẻ Ví dụ : Nếu f /  x    x   x  1  x  3 f /  x    x   x  1  x  3 * Trong : x  1 nghiệm kép ta khơng tính * Nghiệm x  nghiệm đơn, nghiệm x  nghiệm bội lẻ nên ta tính nghiệm * Vậy hàm số f  x  có điểm cực trị  Để đếm số nghiệm ta dùng bảng biến thiên Ví dụ 11 : Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g  x   f   x  A B C D  x  x1   ; 1  Giải : Dựa vào đồ thị y  f  x  ta có f '  x     x  x2   1;0   x  x  0;1    Ta có g '  x   2 x f '   x  x   x    x  x1   ; 1 g '  x    2 x f '   x      2  x  x2   1;0   f '   x      x  x3   0;1  x    x   x1  x   x2  x   x3  1  2  3 1  2  3 Vì  x1  0,  x  0,  x  nên phương trình (1), (2), (3) có nghiệm phân biệt Vậy phương trình y /  có nghiệm đơn nên hàm số có cực trị Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt Ví dụ 12 : Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y  f ( x  x) A B C D Giải : Từ đồ thị hàm số y  f   x  ta thấy f /  x    x  3  x   x  Xét hàm số y  f ( x  x) có đạo hàm y   2 x  2 f    x2  x  x  x    x  1  x   2x    x  2x  3 /  y 0 /     x  2x  x   x  f  x  2x        x   kep    x  2x  Vậy phương trình y /  có nghiệm đơn nghiệm bội nên hàm số có điểm cực trị Ví dụ 13 : Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  , phương trình f   x   có nghiệm thực đồ thị hàm số f   x  hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y  f  x  y O A B C x D Giải : Từ đồ thị ta thấy phương trình f /  x   có nghiệm đơn x  0, x  1, x  (nghiệm kép x  ta khơng tính) x  x    x  x 0 x   kep  / /    y  f  x   y  2xf  x     / x   x   x  1 f  x      x   x  2  x  Vậy phương trình y /  có nghiệm đơn nghiệm bội nên hàm số có điểm cực trị Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt Ví dụ 14 : Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm có đồ thị f   x  hình vẽ y -2 O x Hàm số g  x   f  x  x  có điểm cực đại ? A B C D Nhận xét : Vì đề hỏi số điểm cực đại nên ta bắt buộc phải lập bảng biến thiên Từ đồ thị ta có f /  x    x  2  x  (nghiệm x  nghiệm kép nên ta khơng tính) Giải : Ta có g / ( x)  (2 x  2) f / ( x  x) 2 x   x  2 x    g ( x)    /   x  x  2   x  1  f ( x  x)   x2  x   x   / * Ta xét dấu cách số khoảng  3,    ta số vào y / y /    f /    Do 0 khoảng  3,    , y / mang dấu ( – ) Sau đó, điền dấu vào khoảng lại theo quy tắc qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu Ta bảng biến thiên : Vậy hàm số g  x  có điểm cực đại Ví dụ 15 : Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hàm f   x  hình sau : Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x3  3x  : A B C D 10 Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt Giải : Ta có g  x   f  x3  3x   g   x    3x  3 f   x3  3x    3x    f   x3  3x    x  1  x   x3  3x  m 1 , m  1; 2 * Để biết (1) có nghiệm ta dùng bảng biến thiên  x  1 Xét hàm số h  x   x  3x  h  x   3x     x  Bảng biến thiên : Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình 1 có ba nghiệm phân biệt khác 1 Nên phương trình g   x   có nghiệm đơn phân biệt  g  x   f  x3  3x  có điểm cực trị Ví dụ 16 : Cho hàm số bậc bốn y  f ( x) Hàm số y  f /  x  có đồ thị sau.Biết f   x  có hai điểm cực trị x  a   2; 1 x  b  1;  Hỏi hàm số g  x   2019 f  f   x    2020 có điểm cực trị ? A 10 B 13 C D 11 Giải : Ta có : g  x   2019 f  f   x    2020 ; g   x   2019 f   x  f   f   x    f   x   a   2; 1   f   x   b  1;   f   x   g   x    2019 f   x  f   f   x        f   x   2  f   f   x     f   x   1   f   x   11 Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt * f   x   a có nghiệm x1; x2 ; x3 phân biệt * f   x   b có nghiệm x4 * f   x   2 có nghiệm x5 ; x6 ; x7 phân biệt * f   x   1 có nghiệm x8 ; x9 ; x10 phân biệt * f   x   có nghiệm x11 Vậy hàm số có 11 điểm cực trị Ví dụ 17 : Cho hàm số y  f ( x ) Hàm số y  f /  x  có đồ thị hình vẽ sau Số điểm cực trị đồ thị hàm số y  g  x   f  x  x  3   x    A B   C Giải : g /  x    x   f / x  4x    x     x    x   D x  g /  x    x   f / x  4x   x  4x  1    / 2 f x  4x   x  4x   Ta giải (1) sau :     1 Đặt t  x  4x  Khi : 1  f /  t    t Vẽ thêm vào đồ thị đường thẳng y   t 12 Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt  t  2  x  4x   2  x   x  t  x  4x    /    Theo đồ thị : f  t    t   t  x  2 x  4x       x  4x    x   t  Vậy phương trình g /  x   có nghiệm đơn nên hàm số có cực trị Bài tập Câu Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm f   x  sau: Hàm số y  f  x2  x  nghịch biến khoảng đây? A  2;1 Câu B  4;  3 Cho hàm số y  f  x  liên tục C  0;1 D  2;  1 hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ Hàm số y  g  x   f 1  x  x   2020 đồng biến khoảng đây? A  1;0  Câu B  0;1 C  2;3 D  3;5 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x    x  5 Hàm số g  x   f 10  5x  đồng biến khoảng đây? A  ;1 Câu B 1;  C  2;   D 1;3 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f ( x)  x( x  1) ( x  2) với giá trị thực x Xét hàm  5x  số g ( x )  f   Trong khẳng định sau khẳng định đúng?  x 4 A Hàm số đồng biến khoảng (0;1) B Hàm số nghịch biến khoảng (0; 4) C Hàm số đạt cực đại x  D Hàm số đạt giá trị nhỏ x  13 Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Câu Gv : Dư Quốc Đạt Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   (3  x) 10  3x   x   với x  Hàm số 2 g  x   f   x   ( x  1)3 đồng biến khoảng khoảng sau? A  ;0  Câu B  0;1 C 1;   Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm 1  D  ;   2  có đồ thị hàm f   x  hình vẽ Hàm số g  x   f  x  x  đồng biến khoảng nào? 1  A  ;1 2  Câu 1  C  1;  2  B 1;  Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm y  f   x  ( y  f   x  liên tục D  ; 1 Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số ) Xét hàm số g  x   f  x2  3 Mệnh đề sai? y 2 1 O x A Hàm số g  x  đồng biến  1;0  B Hàm số g  x  nghịch biến  ; 1 C Hàm số g  x  nghịch biến 1;  D Hàm số g  x  đồng biến  2;   Câu Cho hàm số y  f  x  đạo hàm liên tục có đồ thị hàm số f   x  hình vẽ Hỏi hàm số y  f  x2  x  đồng biến khoảng sau đây? A  1;0  Câu B  0;1 Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục C 1;3 D  2;   , có đồ thị hình vẽ 14 Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt Hỏi hàm số y   f  x   nghịch biến khoảng sau đây? A  1;1  5 B  0;   2 5  C  ;  2  D  2; 1 Câu 10 Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng ? A  0;1 B  1;1 C  0;  D 1;  Câu 11 Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình bên Hàm số g  x   f   x  đồng biến khoảng khoảng sau ? A  ; 1 B  1;  C  2;3 D  4;7  Câu 12 Cho hàm số bậc ba y  f  x  , hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ Hỏi hàm số g  x   f  x  1 đồng biến khoảng đây? 15 Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị A 1,   Gv : Dư Quốc Đạt B  1,  C  1,  D  ,1 Câu 13 Có giá trị nguyên tham số m nhỏ 10 để hàm số y  3x4  x3  12 x  m nghịch biến trến khoảng  ; 1 ? A B C D Câu 14 Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ sau: Hàm số g  x   f   x  nghịch biến khoảng sau đây? 1 3 A  ;  2 2 5  C  ;  2  B  ; 2  Câu 15 Cho hàm số y  f ( x) liên tục 3 5 D  ;  2 2 Biết hàm số y  f '( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số y  f ( x 5) nghịch biến khoảng sau ? A ( 1; 0) C ( 1;1) B (1; 2) D (0;1) Câu 16 Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình bên y x -4 -3 -2 -1 Hàm số y  f   x  nghịch biến khoảng A  1;   B  0;  C  ; 1 D 1;3 Câu 17 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm Đường cong hình vẽ đồ thị hàm số y  f '( x ) Xét hàm số g ( x)  f (3  x ) Mệnh đề đúng? 16 Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt y -1 O x A Hàm số g ( x) đồng biến (;1) B Hàm số g ( x) đồng biến (0;3) C Hàm số g ( x) nghịch biến (1; ) D Hàm số g ( x) nghịch biến ( ; 2) (0; 2) Câu 19 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục có đồ thị hàm y  f   x  hình vẽ Xét hàm số g ( x)  f  x   Mệnh đề sai? y 1 O x 2 4 A Hàm số g ( x) đồng biến  2;   B Hàm số g ( x) nghịch biến  0;  C Hàm số g ( x) nghịch biến  1;0  D Hàm số g ( x) nghịch biến  ; 2  Câu 20 Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình bên Hàm số y  f   x  đồng biến khoảng: A 1;3 B  2;   C  2;1 D  ;  Câu 21 Cho hàm số y  f ( x  2)  có đồ thị hình bên Tìm số điểm cực trị hàm số 3  g  x   f  x  x  (0;  ) 2  A B C D 17 Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt Câu 22 Cho hàm số f ( x ) liên tục xác định R, đồ thị hàm số y  f /  x  hình vẽ Hàm số có điểm cực trị? A B C D / Câu 23 Cho hàm số f ( x ) liên tục xác định R, đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  3x   A B C D Câu 24 Cho hàm số f ( x ) liên tục xác định R, đồ thị hàm số y  f /  x  hình vẽ y -2 O Hàm số có điểm cực đại A B C x D Câu 25 Cho hàm số f  x  xác định liên tục R có f /  x    x   x  5 x  1 f    Hàm số g  x   f  x   có điểm cực trị ? A B C D Câu 26 Cho hàm số f ( x ) liên tục xác định R, đồ thị hàm số y  f /  x  hình vẽ Số điểm cực tiểu hàm số g  x   f A B   x  2x  2020 C D 18 Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt Câu 27 Cho hàm số f ( x ) liên tục xác định R có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g  x   f   x  A B C D / Câu 29 Cho hàm số f ( x ) liên tục xác định R, đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ Hàm số g  x   f  x  2x  có điểm cực tiểu ? A B C D Câu 30 Cho hàm số bậc ba có đồ thị hình vẽ Hỏi hàm số g  x   f  x  x  có điểm cực trị? A B C D / Câu 31 Cho hàm số f ( x ) liên tục xác định R, có đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  2x  A B C D Câu 32: Cho hàm số bậc bốn có đồ thị hình bên 19 Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  2x  A B C D Câu 33 Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  3x  A B C D Câu 34 Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục R có đồ thị hình vẽ sau: Hỏi hàm số y  f  x  2x  1  2020 có điểm cực tiểu? A B C D A B C D Câu 35 Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số y  f  x  2x  Câu 36 Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ 20 Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị Gv : Dư Quốc Đạt Số điểm cực trị hàm số g  x   f  2x  3x 1 A B C D 11 Câu 37 Cho hàm số y  f  x  liên tục R có đồ thị hàm số y  f /  x  hình vẽ bên  5x  Hàm số g  x   f   có điểm cực tiểu? x 4 A B C D Câu 38 Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ y x -1 O Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  3x  A B C Câu 39 Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ D Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  3x  A B C D Câu 40 Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình vẽ bên Hàm số y  f  3x  1 có điểm cực tiểu? A B C D _ 21 ...   x3  2;  x4   f ' x   x  1, 2,3,      Bảng xét dấu : Ta có nghiệm y / nghiệm đơn Trong khoảng  3,  ta số vào 7  7  7  7  y / , ta : y /    3f   f /   f   ... khoảng  ; 3 Hàm hợp toán đơn điệu – cực trị III.2> Gv : Dư Quốc Đạt Tìm số điểm cực trị :  Trong phần ta đếm số nghiệm đạo hàm để suy số điểm cực trị  Lưu ý : Ta khơng tính nghiệm kép Số... nghiệm bội lẻ Ví dụ : Nếu f /  x    x   x  1  x  3 f /  x    x   x  1  x  3 * Trong : x  1 nghiệm kép ta khơng tính * Nghiệm x  nghiệm đơn, nghiệm x  nghiệm bội lẻ nên ta