Tiểu luận: Các hàm sơ cấp cơ bản doc

I, Hàm đường thẳng1,Xét đường thẳng có phương trình: y=ax +b, trong đó a,b R được gọi là phương trình hàm đường thẳng..  Đồ thị luôn là một đường thẳng  Hàm số đồng biến khi a>0 và ng

Họ và tên: Phạm Văn Hòa

Ngày sinh: 23/03/1994

Mã số sinh viên: 12020714

Ctmail: hoapv_570@vnu.edu.vn

Phone: 01664187405

Nhóm: 1

TOÁN K57_V TIỂU LUẬN

I, Hàm đường thẳng

1,Xét đường thẳng có phương trình: y=ax +b, trong đó a,b R được gọi là phương trình hàm đường thẳng Ta có: a -là hệ số góc

2, Hàm số có tập xác định là: R=(-∞ ;+∞) và tập giá trị là R

*Tính chất

 Phương trình tổng quát: y=ax +b, trong đó a là hệ số góc

 Đồ thị luôn là một đường thẳng

 Hàm số đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a<0

 Khi b=0 thì đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ

 Khi a=0 thì hàm số trở thành hàm hằng và có đồ thị là một đường thẳng song song với trục ox

 Đặc biệt đồ thị hàm y= x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và chia góc phần tư thứ nhất làm hai phần bằng nhau và được gọi là đường phân giác thứ nhất

*Đạo hàm

 Hàm y= ax +b có đạo hàm bằng: y’=a- là một hằng số

 Hàm hằng có đạo hàm bằng 0

x a<0

y

y=ax+b

o a>0

II,Hàm lũy thừa

1, Hàm lũy thừa có dạng : y=x , trong đó α là một số thực bất kì

2,Miền xác định cuả hàm số phụ thuộc vào a

 Với a N thì miền xác định của hàm số là cả trục số R

 Với a nguyên âm thì tập xác định của hàm số là cả trục số trừ điểm gốc 0

 Với a có dạng ; p Z thì : miền xác định phụ thuộc vào p chẵn hay lẻ và tập giá trị của p

3, Nếu α là số hữu tỷ thì khi đó ta có thể viết :y= thì không xác định được với x<0 Nếu a là số vô tỉ thì quy ước chỉ xét tại mọi x 0 nếu a>o và tại mọi x<0 nếu a<0

Để đúng cho mọi trường hợp ở đây ta xét x>0

4, Đồ thị

*Tính chất

 Hàm số đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a<0 trong khoảng(0,+∞) và liên tục trên khoảng đó

 Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1,1) và đi qua gốc tọa độ nếu a>0 và không đi qua nếu a<0

 Với α=1 thì đồ thị hàm số trùng với đường phân giác thứ nhất

 Đồ thị hàm số với α>1 và 0<α<1 là hai đường cong đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

 Khi a>0 đồ thị hàm số không có tiệm cận Khi a<0 thì đồ thị hàm số nhận trục

Ox làm tiệm cận ngang và nhận trục Oy làm tiệm cận đứng

*Đạo hàm

 Hàm số y=x (α R ) có đạo hàm với mọi x>0 và (x)’=α x

 Đối với hàm số hợp y=u và u=u(x) thì y’=α u u’

y=x

a<0

y=x a=1

0<a<1 a>1

aa>1

III, Hàm mũ

1, Hàm mũ có dạng: y=a , trong đó a là cơ số Hàm số chỉ xác định với cơ số a>0, khi đó tập tập xác định của nó là R=(-∞,+∞)

2, Tập giá trị của hàm số là : (0 ;+∞)

3, Hàm số liên tục trên tập xác định hay liên tục trên R=(-∞ ;+∞)

4, Đồ thị

*Tính chất

 Hàm mũ luôn dương với mọi giá trị của biến số

 Nếu a=1 , hàm y=1 với mọi x

 Với mọi a>0 ta có a =1

 Với a>1 thì ta có hàm số đồng biến trên tập xác định

a =0 a =+∞

 Với 0<a<1 ta có hàm số nghịch biến trên tập xác định

a =+∞ a =0

 Hàm mũ luôn có hàm ngược là hàm lôgarit

 Một số công thức hay dùng :

a a =a ; =a ; (a ) = a

*Đạo hàm

 Đạo hàm của hàm mũ : (a)’=a lna

 Đạo hàm của hàm hợp: Ta có: y=a và u=u(x) , khi đó : y’= u’a lna

IV, Hàm logarit

1, Hàm logarit là hàm ngược của hàm mũ

2,Ta có: hàm mũ có dạng y= a , do đó hàm logarit có dạng : y= log x trong đó a được gọi là cơ số của hàm lôgarit

3, Hàm lôgarit chỉ được xác định khi x>0 và có giá trị trong khoảng (-∞; +∞) và log x chỉ xác định khi: a>0 và a#1

4, Do hàm logarit là hàm ngược của hàm mũ nên đồ thị hai hàm số đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

5, Đồ thị

*Tính chất

 Hàm logarit đơn điệu và liên tục trong khoảng (0;+∞)

 Hàm logarit đồng biến khi a>1 va nghịc biến khi 0<a<1

 Điểm (0;1) luôn nằm trên đồ thị hàm logarit, nghĩa là log 1=0

 Đặc biệt log a=1

*Một số công thức hay dùng

a) vì y=a và y= log x là hai hàm ngược nhau nên ta có :

a =x ; log a=x b) Với x,y,z>0 thì ta có :

Log xyz=log x+log y+log z Log = log x-log y c) Với m là số thực bất kì ta luôn có :

Log x =mlog x

d) Giả sử a,b là hai số dương bất kì #1, ta có với x>0 thì

log x=log b log x

Đặc biệt : log b log a=1

Lưu ý: logarit với hai cơ số a và b khác nhau của cùng một biến là những

đại lượng tỉ lệ với nhau (khi x thay đổi)

e) Ta có: với mọi a>0, a#1, với mọi x>0 và với mọi số thực β

log x = log x

từ đó: log x= log

f) Loga Nê pe (Napier) hay loga tự nhiên

Người ta gọi lôga với cơ số e là lôga tự nhiên

log x=ln x g) Lôga với cơ số 10 được viết đơn giản là: lg x

*Đạo hàm:

Ta có: y= log x thì y’=

Với hàm hợp ta có : y= log u và u=u(x) thì khi đó ta có : y’=

Lưu ý : một số đạo hàm đặc biệt :

 (lnx)’=

 (ln u)’=

 (lg x)’=

 (lg u)’=

V, Hàm lượng giác

1) Các hàm số có dạng : y=sin x ; y=cos x ; y=tan x ; y=cotg x được gọi là các hàm số lượng giác vì chúng xác định trên R thông qua đường tròn lượng giác 2) Các hàm số : y=sin x và y= cos x có miền xác định là toàn trục số R và có miền giá trị là khoảng đóng [-1 ;1]

3) Hàm số y=tan x xác định tại mọi x # (2k+1)π/2 ;k Z và có miền giá trị là R 4) Hàm số y=cotg x xác định tại mọi x # kπ , k Z và có miền giá trị là R

5) Đồ thị

a,đồ thị hàm y= sin x b, đồ thị y= cos x

c, đồ thị hàm y= tg x d, đồ thị hàm y= cotg x

b, a,

*Tính chất

 Hàm số y=sin x là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kì là 2π

 Hàm số y=cos x là hàm chẵn và tuần hoàn với chu kì 2π

 Hàm số y= tg x là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kì π

 Hàm số y=cotg x là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kì π

* Một số công thức hay dùng

a, các công thức cơ bản

1/ sin 2 a + cos 2 a = 1

2/ tg sin

cos

a

a =

a

3/ cot g cos

sin

a

a =

a

2

1

1 tg

cos

a

2

1

1 cot g

sin

a

6/ tg cot g a a = 1

b, các công thức cộng trừ

1/ sin a b( + ) = sina.cosb sinb.cosa +

2/ sin a b( - ) = sina.cosb sinb.cosa

-3/ cos a b( + ) = cosa.cosb sina.sinb

-4/ cos a b( - ) = cosa.cosb sina.sinb +

5/ tg a b( ) tga tgb

1 tga.tgb

+

1 tga.tgb

+

7/ cot g a b( ) cot ga.cot gb 1

cot ga cot gb

cot ga cot gb

+

-c, các công thức nhân đôi

sin2a = 2sina.cosa = sina cosa + - 1 1 = - sina cosa

-2/ cos2a = cos a sin a 2 - 2 = 2cos a 1 1 2sin a 2 - = - 2

2tga tg2a

1 tg a

=

2cot ga

-=

d, các công thức góc nhân ba

e, các công thức hạ bậc

2

sin a

2

cos a

+

+

tg a

1 cos2a

-=

2

=

1/ sin a3 1(3sina sin3a)

4

4

f, các công thức nhân ba

1/ sin3a = 3sina 4sin a - 3 2/ cos3a = 4cos a 3cosa 3

3tga tg a tg3a

1 3tg a

-=

cot g a 3cot ga cot g3a

3cot g a 1

-=

g, Công thức biểu diễn sinx,cosx, tgx qua t tgx

2

1/ sinx 2t 2

1 t

=

1 t

-= +

3/ tgx 2t2

1 t

=

2t

-=

h, công thức biến đổi tổng->tích

tga tgb

cosa.cosb

+

tga tgb

cosa.cosb

cot ga cot gb

sina.sinb

+

cot ga cot gb

sina.sinb

tga cot gb

cosa.sinb

cot ga tgb

sina.cosb

+

I, công thức biến đổi tích ->tổng

1/cosa.cosb 1 cos a b( ) cos a b( )

* Đạo hàm của hàm số lượng giác

 (sin x)’ = cos x

 (cos x) = - sin x

 (tg x)’ =

 (cotg x)’ =

VI, Hàm số lượng giác ngược

1, Công thức hàm lượng giác ngược:

y=arcsin x ; y=arccos x ; y= arctg x ; y=arccotg x

2, Tập giá trị và tập xác định của các hàm lượng giác ngược

 Hàm y= arcsin x xác định với mọi x [-1;1] và có tập giá trị là đoạn [ - ; ]

 Hàm y=arccos x xác định và liên tục trong x [-1 ;1] và có tập giá trị là đoạn [0 ;π]

 Hàm y=arctg x xác định và liên tục với mọi x (-∞ ;+∞) và có tập giá trị là : (- ; )

 Hàm y=arccotg x xác định và liên tục với mọi x (-∞ ;+∞) và có tập giá trị là : (0 ;π)

3, Đồ thị

Các hàm lượng giác ngược có đồ thị đối xứng với các hàm lượng giác tương ứng qua đường phân giác thứ nhất

* Tính chất :

 Các hàm y=arcsin x và y= arctg x là các hàm tăng Các hàm y=arccosx và y=arccotg x là các hàm giảm

 Tập hợp tất cả các nhánh của một hàm lượng giác ngược được kí hiệu là Arc của hàm lượng giác tương ứng

* Các trị số hay gặp :

 arcsin 0=0 ; arcsin 1= ; arcsin = ; arcsin = ; arcsin =

 arccos 0= ; arccos 1=0; arccos = ; arccos = ; arccos =

 arctg 0=0; arctg 1= ; arctg = ; arctg =

 Tương tự đối với hàm arccotg sao cho: arctg x+arccotg x=

* sai lầm:

A arctan x =kп

* Các công thức hay dùng























VII, Hàm hypebolic

1, Các hàm hypebolic gồm:

shx= ; chx= ; thx= = ; cothx= =

2, Tập gái trị và tập xác định của các hàm hypebolic

 Hàm shx xác định với mọi x R và có tập giá trị là R

 Hàm chx xác định với mọi x R và có tập giá trị là [1;+∞]

 Hàm thx xác định với mọi x R và có tập giá trị là (-1;+1)

 Hàm cothx xác định với mọi x R\{o} và có tập giá trị là (-∞;-1)  (1;+∞)

3, Các hàm hypebolic đều liên tục trên tập xác định của chúng

4, Đồ thị

* Một số công thức hay dùng

1, ch a + sh a=1

2, sh(a+b)=shachb+shbcha

3, sh(a-b)=shachb-shbcha

4, ch(a+b)=chachb+shashb

5, ch(a-b)=chachb-shashb

6, th(a+b) =

7, th(a-b) =

8, ch2a = ch a + ch a

9, sh2a=2chasha

10, th2a =

11, Với th =t , ta có: cha = ; sha = ; tha =

12, sh3a = 3sha +4sh a

13, ch3a = 4ch a- 3cha

VIII, Hàm hypebolic ngược:

1, Công thức các hàm hypebolic ngược là: y=argshx; y=argchx; y=argthx;

y=argcotcothx ( với arg là viết tắt của acsgumen)

2, Vì hàm y=ch x là hàm chẵn nên tồn tại hàm ngược y= argch x với x[0; +∞)

3, Hàm y=argsh x liên tục trên R=(-∞;+∞)

4, Hàm y=argch x xác định và liên tục khi x [1;+∞) và có tập giá trị là : [0;+∞)

5, Hàm y=argth x xác định và liên tục trên (-1;1) và có tập giá trị là R=(-∞;+∞)

6, Hàm y=argcoth x xác định với x<-1 và x>1 và có tập giá trị là R\{0}

7, Đồ thị

argch x = ln (x+ ) argth x = ln argcoth x= ln

THE END !