BÀI TẬP LÝ THUYẾT XÁC SUẤT CHƯƠNG 2

BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN CHƯƠNG 2 1 Lập bảng phân phối xác suất 1 Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm xấu Mỗi sản phẩm tốt nặng 3kg, còn mỗi sản phẩm xấu chỉ nặng 2kg Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ lô hàng Gọi là tổng khối lượng của 3 sản phẩm a Hãy lập bảng phân phối xác suất của b Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của Giải a Gọi = Chọn được sản phẩm tốt với Khi đó Ta có bảng phân phối xác xuất của 6 7 8 9 P X X X i A i 0,1, 2, 3i = 3 4 0 3 10 1 2 6 4 1 3 10 2 1 6 4 2 3 10 3.

BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN CHƯƠNG Lập bảng phân phối xác suất Một lơ hàng có 10 sản phẩm, có sản phẩm xấu Mỗi sản phẩm tốt nặng 3kg, sản phẩm xấu nặng 2kg Chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng Gọi X tổng khối lượng sản phẩm a Hãy lập bảng phân phối xác suất X b Tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn X Giải a Gọi Ai = "Chọn i sản phẩm tốt" với i = 0,1, 2,3 Khi P( A ) = C = ; C 30 P( A ) = C C = ; 10 C P( A ) = C C = ; C P( A ) = C = ; C X = 2+2+2 = 10 X = 3+ 2+ = 10 X = 3+3+ = 10 3 X = 3+3+3 = 10 Ta có bảng phân phối xác xuất X E ( X ) = X P 30 10 1 + + + = 7,8 30 10 E ( X ) = 1 + + 82 + 92 = 61, 30 10 Var ( X ) = 61, − (7,8)2 = 0,56   ( X ) = 0,56 = 0, 7483 2 Một hộp chứa 10 viên phấn trắng viên phấn màu Chọn ngẫu nhiên viên phấn Gọi X số viên phấn màu lấy a Hãy lập bảng phân phối xác suất X b Tìm hàm phân phối xác suất X c Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn X Giải a Ta có 3 P( X = 0) = C = ; C 14 15 P( X = 2) = C C = ; 56 C 10 16 10 16 10 27 P( X = 1) = C C = ; 56 C P( X = 3) = C = C 28 16 16 Bảng phân phối xác suất X sau: X P 14 27 56 15 56 28 b Hàm phân phối xác suất X  x0 3   x 1  14  39 F ( x) =  1 x  56   27  28  x    x  c Ta có 27 15 + + + = 1,125 14 56 56 28 27 15 E ( X ) = 02 + 12 + 22 + 32 = 1,875 14 56 56 28 2 Var ( X ) = E ( X ) − ( E ( X )) = 0, 609375   ( X )  0, 7806 E ( X ) = 3 Một xạ thủ phát viên đạn phép bắn viên trúng mục tiêu dừng bắn Biết xác suất bắn trúng viên 0,8 Hãy lập bảng phân phối xác suất số viên đạn a Trúng mục tiêu b Xạ thủ sử dụng Giải a Gọi X = "Số viên đạn xạ thủ bắn trúng mục tiêu" Bảng phân phối xác suất X P 0,008 0,992 b Gọi Y = "Số viên đạn xạ thủ sử dụng" Bảng phân phối xác suất Y Y P 0,8 0,16 0,04 Tìm hàm phân phối xác suất Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Một sinh viên học từ nhà đến trường phải qua ngã tư Xác suất gặp đèn đỏ ngã tư 25% a Tìm hàm phân phối xác suất số lần sinh viên gặp đèn đỏ b Tính số lần sinh viên gặp đèn đỏ trung bình Giải Gọi X = "Số lần sinh viên gặp đèn đỏ" = {0,1,2,3,4} a Xác suất sinh viên gặp đèn đỏ p = 0, 25 Áp dụng mơ hình Bernoulli cho trường hợp ta có P4 (k ) = C p k (1 − p) k , k = 0, k Bảng phân phối xác xuất X X P 0,316 Hàm phân phối xác suất X 0,422 0,211 0,047 0,004  0,316  0, 738 F ( x) =  0,949 0,996   x0  x 1 1 x  2 x3 3 x  x4 b Trung bình số lần sinh viên gặp đèn đỏ E( X ) = x p i =0 = = i i 0.0,316 + 1.0, 422 + 2.0, 211 + 3.0, 047 + 4.0, 004 Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục Cho X đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất 3x f ( x) =   x  [0,1] x  [0,1] a Tìm hàm phân phối xác suất X b Tình kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, mốt trung vị X Giải x a Ta có F ( x) =  f (t )dt Từ − 0  F ( x) =  x3 1  + b E ( X ) = x0  x 1 x 1 3 − x f ( x)dx = 0 3x dx = E ( X ) =  x 3x dx = 3 Var ( X ) = E ( X ) − ( E ( X )) = −   = = 0, 0375 4 80   ( X ) = 0,1936 2 Ta nhận thấy f ( x) đạt cực đại x = nên mod( X ) = Trung vị m thỏa mãn P( X  m)  1 P( X  m)  , tức 2 m F ( m) = 1 1   3x dx =  m3 =  m = 2 2 Vectơ ngẫu nhiên chiều Cho bảng phân phối xác suất đồng thời vectơ ngẫu nhiên hai chiều ( X , Y ) X Y P( X = xi ) 0,10 0,20 0,25 0,55 0,05 0,35 0,05 0,45 P(Y = y j ) 0,15 0,55 0,30 a Hỏi X , Y có độc lập khơng? Vì sao? b Tính kỳ vọng, phương sai, hiệp phương sai, hệ số tương quan, ma trận tương quan ( X , Y ) Giải a Ta có E ( X ) = 1.0,55 + 2.0, 45 = 1, 45; E (Y ) = 1.0,15 + 3.0,55 + 7.0,3 = 3,9 E ( XY ) = 1.0,1 + 2.0, 05 + 3.0, + 6.0,35 + 7.0, 25 + 14.0, 05 = 5,35 E ( X ).E (Y ) = 1, 45.3,9 = 5, 655 Vì E ( XY )  E ( X ) E (Y ) nên X , Y không độc lập b Theo câu a, ta có E ( XY ) = (1, 45;3,9) E ( X ) = 12.0,55 + 22.0, 45 = 2,35 E (Y ) = 12.0,15 + 32.0,55 + 72.0,3 = 19,8 Phương sai Var ( X ) = 2,35 − (1, 45)2 = 0, 2475; Var (Y ) = 19,8 − (3,9) = 4,59 Hiệp phương sai Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = 5,35 − 1, 45.3,9 = −0,305 Hệ số tương quan RXY = Cov( X , Y ) −0,305 = = −0, 286 Var ( X )Var (Y ) 0, 2475.4,59 Ma trận tương quan (ma trận hiệp phương sai)  Var ( X ) Cov( X , Y )   0, 2475 −0,305 Var ( X , Y ) =  = Var (Y )   −0,305 4,590  Cov( X , Y ) Nghiên cứu mối liên hệ doanh thu bán hàng Y (tỉ đồng/năm) chi phí quảng cáo X (triệu đồng/năm) công ty thương mại số cửa hàng, ta có bảng số liệu sau (các số lượng cửa hàng có chi phí quảng cáo X doanh thu Y , gọi tần số cặp giá trị ( X , Y )) 28 29 30 50 55 60 65 5 X Y 32 35 36 a Hãy lập bảng phân phối xác suất lề X Y b Tính kỳ vọng, phương sai, hiệp phương sai, hệ số tương quan vectơ Z = ( X , Y ) Giải a Dựa vào bảng số liệu ta có bảng phân phối xác suất lề Y X 28 29 30 32 50 68 68 68 55 68 68 68 68 68 68 68 60 35 36 P( X = xi ) 34 17 68 17 65 68 P(Y = y j ) 68 68 68 68 68 34 15 68 17 34 68 68 b Các đặc trưng vectơ Z = ( X , Y ) E ( X ) = 50 E( X ) = 116775 34 E (Y ) = 28 E (Y ) = 5 1985 + 55 + 60 + 65 = ; 34 17 17 34 34 15 7 520 + 29 + 30 + 32 + 35 + 36 = 68 68 17 34 68 68 17 31955 34 E ( XY ) = 28.50 + 29.50 + + 65.36  1791, 68 68 68  1985 520  ;   34 17  Kỳ vọng E ( Z ) =  Phương sai 2 116775  1985  31955  520  Var ( X ) = − −   26, Var (Y ) =   4, 34 34  34   17  Hiệp phương sai: Cov( X , Y ) = 1791, − 1985 520  5,8 34 17 Hệ số tương quan: RXY = Cov( X , Y ) 5,8 =  0,55 Var ( X )Var (Y ) 26, 6.4, BÀI TẬP 2.1 Trong hộp có 20 sản phẩm, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Gọi X số phế phẩm sản phẩm lấy a Hãy lập bảng phân phối xác suất X b Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, mốt trung vị X 2.2 Một hộp có bi đỏ bi trắng Một người tham gia trò chơi với quy luật sau: chọn ngẫu nhiên từ hộp bi Nếu bi đỏ thưởng 6.500đ, bi trắng phạt 1.700đ Anh ta có nên chơi trị chơi nhiều lần khơng? Vì sao? 2.3 Một đội tuyển có vận động viên Xác suất thi đấu thắng trận họ 0,4; 0,3; 0,6 Mỗi vận động viên thi đấu trận độc lập với đội bạn Gọi X số trận thắng đội tuyển a Hãy lập bảng phân phối xác suất hàm phân phối xác suất X b Tìm xác suất đội tuyển thắng trận 2.4 Trong trò chơi, người chơi bắn viên đạn bắn trúng viên 20.000đ, bắn trật viên bị 10.000đ Giả sử xác suất bắn trúng viên 40% a Lập bảng phân phối xác suất số tiền nhận người chơi b Nếu bạn tham gia thi số tiền bạn nhận nhiều bao nhiêu? c Số tiền trung bình mà người tham gia trị chơi nhận bao nhiêu? 2.5 Cho X Y hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất X -1 Y -1 P 0,2 0,3 0,5 P 0,4 0,3 0,3 a Hãy lập bảng phân phối xác suất X + Y XY b Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn X + Y XY 2.6 Giả sử tuổi thọ lồi trùng đại lượng ngẫu nhiên liên tục X (đơn vị tháng) có hàm mật độ xác suất m( x − 2) x  [0, 2] f ( x) =  x  [0, 2]  a Tìm tham số m b Tính tỷ lệ trùng chết trước tháng tuổi c Tính tuổi thọ trung bình loại côn trùng 2.7 Nhu cầu hàng năm loại hàng A đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ sau (đơn vị: ngàn sản phẩm) k (30 − x) x  [0,30] f ( x) =  x  [0,30]  a Tính k b Tính xác suất để nhu cầu loại hàng khơng vượt 12000 sản phẩm năm c Tính nhu cầu trung bình hàng năm loại hàng 2.8 Thời gian xếp hàng chờ mua hàng khách đại lượng ngẫu nhiên liên tục có phân phối xác suất sau (đơn vị tính: phút): x0   F ( x) = ax − 3x + x  x   x 1  a Tính hệ số a b Tính thời gian xếp hàng trung bình 2.9 Diện tích loại đại lượng ngẫu nhiên X (đơn vị đo cm2) với hàm mật độ: kx ( x − 2)2 f ( x) =   x  [0, 2] x  [0, 2] a Xác định k b Tính kỳ vọng, phương sai với k vừa tìm 2.10 Biết tuổi thọ (đơn vị: năm) mạch điện tử máy tính đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất be−bx f ( x) =   x0 x0 (b  0) a Tính kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên theo b b Tìm hàm phân phối xác suất cho đại lượng ngẫu nhiên c Giả sử tuổi thọ trung bình loại mạch điện năm, thời gian bảo hành năm Tính tỷ lệ mạch điện tử bị thay thời gian bảo hành 2.11 Cho E( X ) = 1, E(Y ) = 2, E( XY ) = 2, Var ( X ) = a Có ý kiến cho X , Y độc lập, bạn có đồng ý khơng? b Tính E (Y − X ), E (Y − 4), ( E ( X ))2 2.12 Cho bảng phân phối xác suất X Y sau P( X = xi ) 0,12 0,18 0,30 0,02 0,30 0,50 0,08 0,12 0,20 P(Y = y j ) 0,40 0,60 X Y a X Y có độc lập khơng? Vì sao? b Tính tham số đặc trưng ( X , Y ) 2.13 Tung xúc xắc lần độc lập Gọi X số nút xuất lần tung thứ nhất, Y số nút xuất lần tung thứ hai Khi X , Y có độc lập khơng ? Vì ? 2.14 Tung xúc xắc lần độc lập Gọi X số lần mặt chẵn xuất Y số lần mặt lẻ xuất a Lập bảng phân phối xác suất X Y b Tính hệ số tương quan cho nhận xét 2.15 Tìm phân phối lề X , Y Lập bảng phân phối xác suất X | Y = 10 Lập bảng phân phối xác suất Y | X = Biết YX 10 0,10 0,30 0,20 20 0,06 0,18 0,16 2.16 Cho bảng phân phối xác suất đồng thời sau đây: X Y -1 0 0,10 0,10 0,20 0,08 0,30 0,02 0,10 0,10 a Tìm phân phối lề X , Y Hai đại lượng có độc lập hay khơng? b Tính kỳ vọng, phương sai, hiệp phương sai hệ số tương quan X , Y Hai đại lượng có phụ thuộc tuyến tính hay khơng? 2.17 Một hộp đựng bi đỏ, bi xanh bi vàng Lấy ngẫu nhiên bi gặp bi đỏ dừng Gọi X số bi xanh, Y số bi vàng lấy a Lập bảng phân phối xác suất đồng thời X , Y b Tính Cov( X , Y ), RXY ,Var ( X , Y ) 2.18 Quỹ đầu tư A thiết kế phương án đầu tư chuyển cho hai công ty B C xét duyệt cách độc lập Xác suất công ty B C chấp nhận phương án đầu tư 0,7 0,8 Nếu B chấp nhận phải trả cho A triệu đồng, ngược lại trả triệu đồng Nếu C chấp nhận phải trả cho A triệu đồng, ngược lại trả triệu Chi phí cho việc thiết kế A 10 triệu đồng thuế 10% doanh thu Gọi X số lãi A nhận sau trừ chi phí thuế Hỏi A có nên nhận thiết kế hay khơng? Vì sao? 2.19 Cho X Y hai đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất đồng thời sau Y 0,12 0,15 0,03 0,28 0,35 0,07 X a Chứng minh X , Y độc lập b Tìm quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên Z = XY tìm giá trị kỳ vọng EX , EY , EZ 2.20 Có xạ thủ bắn vào mục tiêu với xác suất bắn trúng 0,6; 0,7; 0,5 a Biết có người bắn trúng, tìm xác suất người thứ ba bắn trượt b Giả sử có người bắn trúng, tìm xác suất người thứ hai c Gọi X số xạ thủ bắn trúng số người Hãy lập bảng phân phối xác suất tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn X 2.21 Có hai kiện hàng Kiện thứ có 12 sản phẩm, có sản phẩm loại A Kiện thứ hai có sản phẩm, có sản phẩm loại A Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ kiện thứ bỏ vào kiện thứ hai, sau từ kiện thứ hai lấy sản phẩm Gọi X số sản phẩm loại A có sản phẩm lấy sau a Lập bảng phân phối xác suất X b Tính E(X); Var(X) 2 x  2.22 Cho hàm số f ( x ) =  x  [0,1] x  [0,1] a Chứng tỏ f ( x ) hàm mật độ xác suất đại lượng ngẫu nhiên X b Tìm hàm phân phối xác suất F ( x ) X c Tính xác suất P(0  x  ) 2.23 Xác suất hộp sữa kho bị hỏng 0,5% Chọn ngẫu nhiên 800 hộp kho.Tìm xác suất có hộp bị hỏng Tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn số hộp sữa bị hỏng 800 hộp 2.24 Có hộp, hộp đựng 10 sản phẩm Số phế phẩm có hộp tương ứng là: 1, 2, a Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm Tìm bảng phân phối xác suất số sản phẩm tốt có sản phẩm lấy b Chọn ngẫu nhiên hộp, từ hộp chọn lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tìm bảng phân phối xác suất số phế phẩm có sản phẩm lấy 2.25 Hộp thứ có 10 chai thuốc, có chai phẩm chất Hộp thứ hai có chai thuốc, có chai phẩm chất Lấy ngẫu nhiên chai thuốc hộp thứ bỏ vào hộp thứ hai, sau từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên chai thuốc Gọi X số chai thuốc phẩm chất có chai lấy từ hộp thứ hai Tìm Mod(X) 2.26 Năng suất máy tương ứng đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, X3 (đơn vị tính sản phẩm/phút) Cho biết bảng phân phối xác suất X1, X2, X3 sau: X1 P 0,1 0,2 0,5 0,2 X2 P 0,4 0,3 0,3 X3 P 0,1 0,4 0,4 0,1 Giả sử bạn cần mua loại máy bạn chọn mua loại máy nào? Vì sao? (Giả thiết chất lượng giá bán loại máy nhau) 2.27 Một hộp chứa 10 viên phấn trắng viên phấn màu Chọn ngẫu nhiên viên phấn Gọi X số viên phấn màu lấy Hãy lập bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn X 2.28 Một sinh viên thi môn, xác suất đậu môn 0,7 Gọi X số môn đậu Hãy lập bảng phân phối xác suất tính kỳ vọng, phương sai, mốt, trung vị X 2.29 Một hộp đựng 10 sản phẩm tốt phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm lấy sản phẩm tốt dừng Lập bảng phân phối xác suất tính kỳ vọng, phương sai số sản phẩm lấy 2.30 Một đội tuyển có vận động viên Xác suất thi đấu thắng trận họ 0,4; 0,3; 0,6 Mỗi vận động viên thi đấu trận độc lập với đội bạn Gọi X số trận thắng đội tuyển a Hãy lập bảng phân phối xác suất hàm phân phối xác suất X b Tìm xác suất đội tuyển thắng trận 2.31 Một ơtơ đoạn đường có đèn tín hiệu giao thơng hoạt động độc lập Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn số lần ôtô dừng đoạn đường đó, biết tín hiệu xanh phép a Cả đèn có thời gian tín hiệu xanh 30 giây, vàng giây, đỏ 15 giây b Ở đèn thứ thời gian dành cho ba tín hiệu là: 40 giây, 10 giây, 30 giây; đèn thứ hai: 25 giây, giây, 10 giây; đèn thứ ba: 20 giây, giây, 35 giây 2.32 Trong hộp có 50 sản phẩm, có 12 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm Gọi X số phế phẩm sản phẩm lấy Tìm phân phối xác suất X tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn X 2.33 Đề thi trắc nghiệm có 20 câu hỏi, câu có phương án trả lời, có phương án Một sinh viên không học nên thi chọn ngẫu nhiên phương án cho câu hỏi Gọi X số câu trả lời Hãy tìm phân phối xác suất X tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn X 2.34 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất sau X 0,6 x3 P 0,3 0,5 p3 Cho biết E(X) = a Hãy tính x3 , p3 b Lập hàm phân phối xác suất X c Tính phương sai, độ lệch chuẩn X 2.35 Cho X đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất sau X P a 2a 2a 3a a2 2a2 7a2 + a a Hãy tìm a; b Tính P( X  5) , P( X  3) c Tìm số k nhỏ cho P( X  k )  2.36 Xác suất để hạt thóc giống bị lép 0,003 Chọn 1000 hạt thóc giống.Tìm xác suất có khơng hạt lép Gọi X số hạt lép 1000 hạt thóc Hãy tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn X 2.37 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ phân phối xác suất  x2  f ( x) =  0  x  ( 0,3 ) x  ( 0,3 ) Tìm xác suất để phép thử độc lập có lần X nhận giá trị khoảng (1,3 ) 2.38 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ phân phối xác suất 6 x(1 − x ) f ( x) =   x  [0;1] x  [0;1] a Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, mốt trung vị X   1 b Tìm P   X    2.39 Cho X đại lượng ngẫu nhiên có hàm phân phối xác suất sau   x  F ( x ) =  A + B ar csin   x  −2 −2  x  x2 a Tìm A, B để F(x) liên tục tập xác định 1   X   2  b Tính P  − c Tìm hàm mật độ phân phối xác suất X 2.40 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất    F ( x ) = sin2x    x0 0x x a Tìm hàm mật độ phân phối xác suất X b Tính P    X    6 4   ... 1  14  39 F ( x) =  1 x  56   27  28  x    x  c Ta có 27 15 + + + = 1, 125 14 56 56 28 27 15 E ( X ) = 02 + 12 + 22 + 32 = 1,875 14 56 56 28 2 Var ( X ) = E ( X ) − ( E ( X )) =... xác suất X | Y = 10 Lập bảng phân phối xác suất Y | X = Biết YX 10 0,10 0,30 0 ,20 20 0,06 0,18 0,16 2. 16 Cho bảng phân phối xác suất đồng thời sau đây: X Y -1 0 0,10 0,10 0 ,20 0,08 0,30 0, 02. .. ta có E ( XY ) = (1, 45;3,9) E ( X ) = 12. 0,55 + 22 .0, 45 = 2, 35 E (Y ) = 12. 0,15 + 32. 0,55 + 72. 0,3 = 19,8 Phương sai Var ( X ) = 2, 35 − (1, 45 )2 = 0, 24 75; Var (Y ) = 19,8 − (3,9) = 4,59 Hiệp