Lý do ch ọn đề tài
Chúng ta đang sống trong thời kỳ tri thức đóng vai trò quan trọng trong việc thay đổi đất nước về kinh tế, văn hóa và xã hội Sự phát triển của giáo dục và đào tạo là nền tảng thiết yếu để thúc đẩy cuộc cách mạng công nghiệp hóa và hiện đại hóa, đồng thời là điều kiện cần thiết để phát huy tiềm năng con người, yếu tố then chốt cho sự phát triển kinh tế xã hội Tác giả Đỗ Ngọc Miên trong nghiên cứu của mình đã chỉ ra tầm quan trọng này.
Tư duy sáng tạo (TDST) là hình thức tư duy cao nhất trong hoạt động trí tuệ của con người, đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển của các nền văn minh Do đó, TDST không chỉ là một thuộc tính nhân cách được xã hội mong muốn mà còn được xem là mục tiêu giáo dục toàn cầu.
1.1 Phát tri ển tư duy sáng tạo cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng c ủa nhà trường phổ thông
Một trong những nhiệm vụ hàng đầu của giáo dục là hình thành nhân cách sáng tạo cho thế hệ trẻ, trong đó môn Toán đóng vai trò quan trọng trong việc phát hiện và bồi dưỡng nhân cách này Các trường học đặc biệt chú trọng tổ chức các hoạt động học tập nhằm phát triển phẩm chất của học sinh Theo Luật giáo dục (2005), giáo dục phổ thông có mục tiêu giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, đồng thời nâng cao năng lực cá nhân và tính sáng tạo, góp phần hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa.
Ngày nay, máy tính đã giúp giảm bớt gánh nặng cho bộ não con người, tạo cơ hội cho việc nghiên cứu sâu hơn Tuy nhiên, ngay cả những máy vi tính tiên tiến nhất cũng không thể thay thế khả năng cảm xúc, tưởng tượng và sáng tạo của con người.
Mọi sự phát triển của xã hội loài người đều được thúc đẩy bởi trí tuệ cảm xúc (TDST) của con người Vì vậy, TDST đã thu hút sự quan tâm, đầu tư và nghiên cứu từ các nhà tâm lý học và nhà khoa học sư phạm, nhờ vào mối liên hệ chặt chẽ của nó với hoạt động học tập của học sinh trong trường học.
Nội dung chương trình phổ thông hiện nay bao gồm hệ thống tri thức về tự nhiên và xã hội, kỹ năng, kỹ xảo, kinh nghiệm hoạt động sáng tạo, cùng với thái độ chuẩn mực đối với thế giới và con người Những thành phần này đóng vai trò quan trọng trong việc định hình tương lai của thế hệ trẻ, giúp học sinh xây dựng và phát triển mối quan hệ lành mạnh với môi trường xung quanh.
Hoạt động sáng tạo là một trong bốn thành phần thiết yếu trong nội dung giáo dục phổ thông mà các trường cần chú trọng Trong bối cảnh công nghệ 4.0 hiện nay, giáo viên cần nâng cao ý thức và trách nhiệm trong việc rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh để đối mặt với những cơ hội và thách thức lớn, tránh nguy cơ bị tụt hậu.
1.2 Môn Toán chiếm vị trí nổi bật trong việc rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Từ năm 1960, Đảng và nhà nước ta đã chú trọng đến việc phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu toán học của học sinh Sự quan tâm này thể hiện rõ qua việc khuyến khích tư duy sáng tạo và khả năng vận dụng kiến thức trong học toán.
Môn Toán với hệ thống bài tập đa dạng và phong phú đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là trong việc nâng cao tư duy sáng tạo.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, phương pháp dạy và học Toán hiện nay ở Việt Nam còn nhiều hạn chế, chủ yếu thiên về dạy mà thiếu sự tự giác, tích cực và sáng tạo từ phía học sinh Việc nhồi nhét hàng ngàn bài tập giải toán khiến học sinh rơi vào trạng thái "quá tải", học theo kiểu thụ động và không phát triển toàn diện Điều này ảnh hưởng đến khả năng tư duy độc lập và sáng tạo của học sinh, cản trở quá trình học tập và nghiên cứu khoa học Do đó, trong quá trình dạy học môn Toán, giáo viên cần tìm ra các biện pháp phù hợp để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh một cách hiệu quả.
1.3 Vấn đề phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu
Trên thế giới đã có rất nhiều các công trình nghiên cứu về năng lực sáng tạo các vấn đề liên quan đến tư duy sáng tạo
Nhiều tác phẩm của các nhà tâm lý học và giáo dục học từ phương Tây, Liên Xô cũ, Nhật Bản và Trung Quốc đã tập trung vào việc bồi dưỡng năng lực sáng tạo cho học sinh trong nhà trường Crutecxki đã nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của học sinh trong tác phẩm “Tâm lý năng lực giải toán của học sinh”, trong khi Polya, một nhà toán học và tâm lý học, đã khám phá bản chất của quá trình giải toán và sáng tạo toán học trong tác phẩm “Sáng tạo toán học” Tại Việt Nam, nhiều tác giả như Nguyễn Cảnh Toàn, Hoàng Chúng, Trần Bá Hoành và Trần Luận cũng đã nghiên cứu vấn đề này, đóng góp vào lý luận và thực tiễn phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các tác phẩm như “Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học” và “Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông”.
Việc tiếp tục nghiên cứu về TDST là rất cần thiết để hoàn thiện hệ thống lý luận liên quan Đặc biệt, nghiên cứu về việc áp dụng các lý thuyết này vào quá trình dạy học các chủ đề cụ thể trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông sẽ mang lại nhiều lợi ích.
Chương trình số học lớp 6 bao gồm nhiều kiến thức quan trọng như tập hợp, phép toán trong số tự nhiên, lũy thừa, dấu hiệu chia hết, ước và bội Một số dạng toán tiêu biểu như bài toán về chia hết và chia có dư, phương trình nghiệm nguyên, và số nguyên tố có thể khai thác để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi trong các cuộc thi toán học.
Xuất phát từ những lý do đã nêu, tôi quyết định nghiên cứu đề tài "Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chuyên đề số nguyên tố và hợp số ở lớp 6".
M ục đích nghiên cứu
Để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 6, cần xác định các biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc dạy học chuyên đề về số nguyên tố và hợp số Việc áp dụng các phương pháp dạy học tích cực, khuyến khích học sinh khám phá và sáng tạo trong quá trình học sẽ giúp nâng cao khả năng tư duy của các em Đồng thời, việc kết hợp các hoạt động nhóm và thảo luận cũng sẽ tạo điều kiện cho học sinh phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề và tư duy phản biện.
Khách th ể, đối tượng nghiên cứu
3.1 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học chuyên đề số nguyên tố, hợp số ở lớp 6
3.2 Đối tượng nghiên cứu: Biện pháp phát triển một số yếu tố của TDST cho HS trong dạy học chuyên đề số nguyên tố, hợp số ở lớp 6.
Gi ả thuyết nghiên cứu
Việc khai thác hiệu quả các thao tác cơ bản và đặc trưng của tư duy sáng tạo trong dạy học chuyên đề số nguyên tố hợp số sẽ giúp học sinh phát triển năng lực tư duy sáng tạo trong môn toán Nghiên cứu này không chỉ nâng cao chất lượng giảng dạy của giáo viên mà còn góp phần phát triển khả năng tư duy sáng tạo của học sinh.
Ph ạm vi nghiên cứu
Luận văn tập trung vào nghiên cứu các dạng bài tập trong chuyên đề số nguyên tố, hợp số ở lớp 6 nhằm phát triển năng lực TDST cho HS.
Nhi ệm vụ nghiên cứu
- Xác định cơ sở lý luận của TDST
- Xác định thực trạng dạy học chuyên đề số nguyên tố, hợp số cho học sinh ở lớp 6
- Đề xuất một số biện pháp để phát triển TDST cho HS
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài.
Phương pháp nghiên cứu
7.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Nghiên cứu chương trình SGK toán 6 tập 1, sách toán tham khảo liên quan đến chuyên đề
- Nghiên cứu các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán
- Nghiên cứu tìm hiểu và phân tích các tài liệu, sách báo, và các công trình nghiên cứu khoa học có liên quan đến đề tài.
7.2 Phương pháp điều tra xã hội học
- Quan sát tiến trình dạy học, thái độ học tập của các em trong những giờ dạy thực nghiệm và không thực nghiệm
Bài viết này tập trung vào việc phỏng vấn và điều tra giáo viên tổ toán cùng học sinh khối 6 về thực trạng dạy học phát triển tư duy sáng tạo Nội dung chính xoay quanh những khó khăn mà giáo viên và học sinh gặp phải trong quá trình giảng dạy và học tập chuyên đề số nguyên tố và hợp số Những thông tin thu thập được sẽ giúp đánh giá hiệu quả dạy học và đề xuất các giải pháp cải thiện.
7.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Thực hiện phỏng vấn, điều tra, thu thập phiếu hỏi của học sinh và giáo viên khối 6 trường THCS Xuân Mai A, thị trấn Xuân Mai, Chương Mỹ, Hà Nội
- Xử lý số liệu điều tra Từ đó, bước đầu kiểm chứng tính khả thi và tính hiệu quả của giả thuyết nghiên cứu.
Đóng góp của đề tài
Luận văn xây dựng được các khái niệm có liên quan đến tư duy, TDST, năng lực TDST và phát triển TDST cho HS trong DH
+ Phân tích và đánh giá thực trạng việc dạy học phát triển TDST cho HS thông qua dạy học chuyên đề số nguyên tố, hợp số
9 Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, mục lục, tài liệu tham khảo và phần phụ lục, luận văn gồm 3 chương:
- Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn của việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học toán ở trung học cơ sở.
- Chương 2 Một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo của học sinh thông qua dạy học chuyên đề số nguyên tố, hợp số ở lớp 6
- Chương 3 Thực nghiệm sư phạm.
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC PHÁT
T ổng quan lịch sử nghiên cứu các vấn đề thuộc lĩnh vực đề tài
1.1.1 Tình hình nghiên c ứu ở ngoài nước
Vào đầu thế kỷ XX, các cuộc cách mạng khoa học công nghệ diễn ra mạnh mẽ, thúc đẩy sự phát triển của các ngành khoa học sáng tạo Các nhà khoa học Mỹ nhấn mạnh rằng việc phát hiện và phát triển những nhân cách sáng tạo là một nhiệm vụ quốc gia quan trọng, vì "hoạt động sáng tạo ảnh hưởng lớn đến sự tiến bộ khoa học và toàn bộ xã hội" (Taylor C.W, 1964).
Vào thập niên 1950, nghiên cứu về sáng tạo đã được tiến hành một cách có hệ thống, dẫn đến sự gia tăng nhanh chóng về số lượng tác giả, tác phẩm và cơ sở nghiên cứu liên quan đến chủ đề này.
Mặc dù khoa học về sáng tạo đã tồn tại từ lâu, nhưng chỉ từ những năm 1950 trở đi, TDST mới thực sự phát huy vai trò quan trọng trong sự phát triển của thế giới Thời điểm này đánh dấu sự quan tâm đáng kể của con người đối với việc tối ưu hóa khả năng sáng tạo Kể từ đó, nghiên cứu về khoa học sáng tạo đã trở thành một lĩnh vực được quan tâm toàn cầu.
1.1.2 Tình hình nghiên c ứu ở trong nước Ở Việt Nam, những hoạt động liên quan đến khoa học về lĩnh vực sáng tạo thật sự được bắt đầu vào những năm 70 của thế kỷ XX Tuy nhiên, mãi cho đến hiện nay những nghiên cứu về sáng tạo vẫn còn khá ít
Trong lĩnh vực tâm lý học, nghiên cứu của Nguyễn Huy Tú trong cuốn “Tâm lý học sáng tạo” chỉ ra rằng sáng tạo xuất hiện khi con người đối diện với những tình huống khó khăn Điều này không chỉ thúc đẩy sự phát triển năng lực mà còn nâng cao phẩm chất cá nhân một cách toàn diện.
Nghiên cứu trong lĩnh vực lý luận dạy học đã chỉ ra rằng việc rèn luyện khả năng “phát hiện vấn đề” là rất quan trọng, như được nhấn mạnh trong tác phẩm của Nguyễn Cảnh Toàn, “Tập cho HS giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học” Tác giả cho rằng để sáng tạo trong toán học, học sinh cần phát triển cả khả năng phân tích và tổng hợp, hai quá trình này hỗ trợ lẫn nhau Tương tự, Hoàng Chúng trong “Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở nhà trường phổ thông” đã nghiên cứu các phương pháp suy nghĩ cơ bản trong sáng tạo toán học như đặc biệt hóa, tổng quát hóa và tương tự hóa.
Trong lĩnh vực giáo dục bậc THCS, nhiều nghiên cứu gần đây đã tập trung vào việc rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo (TDST) cho học sinh Chẳng hạn, tác giả Phạm Gia Đức và Phạm Đức Quang đã thực hiện công trình “Đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường trung học cơ sở nhằm hình thành và phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh” Ngoài ra, tác giả Nguyễn Duy Thuận cũng đóng góp với cuốn “Giáo trình phát triển tư duy Toán học trong học sinh” Bài báo của Nguyễn Thiện Chí trên Tạp chí giáo dục số 440 năm 2019, với chủ đề “Dạy học một số dạng toán số học theo hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 8,9 ở trường THCS”, cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của việc phát triển TDST trong giáo dục.
Hiện nay, nhiều nghiên cứu đã được thực hiện cả trong và ngoài nước về sáng tạo và phát triển tư duy sáng tạo (TDST) cho học sinh trong quá trình giảng dạy Tuy nhiên, nghiên cứu về tính sáng tạo ở Việt Nam vẫn còn ở giai đoạn đầu, dẫn đến những hạn chế trong chất lượng giáo dục và đào tạo Kết quả là, những tiềm năng sáng tạo của thế hệ trẻ chưa được phát huy tối đa.
Các v ấn đề chung về tư duy
1.2.1 Khái ni ệm tư duy
Thế giới thực tại chứa đựng nhiều điều bí ẩn mà con người vẫn chưa khám phá hết Do đó, hoạt động thực tiễn yêu cầu con người cần phải tìm hiểu và nghiên cứu để hiểu rõ những điều chưa biết, từ đó phát hiện bản chất và quy luật của chúng Quá trình này được gọi là tư duy.
Theo tâm lý học, tư duy (TD) là sản phẩm cao cấp của bộ não con người, phản ánh các thuộc tính, bản chất và mối liên hệ quy luật của sự vật, hiện tượng mà chúng ta chưa biết Quá trình tư duy phát sinh từ hoạt động thực tiễn, bắt nguồn từ nhận thức cảm tính, nhưng vượt qua giới hạn của nó nhờ vào ý chí chủ quan và kỹ năng kinh nghiệm độc lập của cá nhân trong nhận thức.
Trong giáo dục, tư duy được định nghĩa là một hệ thống bao gồm nhiều ý tưởng, phản ánh tri thức về một đối tượng hoặc sự kiện cụ thể Tư duy không chỉ là quá trình suy nghĩ mà còn là khả năng tái tạo suy nghĩ nhằm hiểu biết và giải quyết các nhiệm vụ hoặc công việc một cách hiệu quả.
Tóm lại, tư duy (TD) là một hiện tượng tâm lý và hoạt động nhận thức bậc cao của con người, giúp họ hiểu biết về thế giới xung quanh Cơ sở sinh lý của tư duy nằm ở hoạt động của vỏ đại não Hoạt động tư duy tương đương với hoạt động trí tuệ, nơi con người tri giác các sự vật và hiện tượng để khám phá triết lý, lý luận và thuộc tính của chúng, từ đó chinh phục thế giới và phục vụ cho cuộc sống.
1.2.2 Đặc điểm của tư duy
Khi gặp tình huống “có vấn đề”, con người sẽ nảy sinh hoạt động TD
Mỗi cá nhân sẽ có nhận thức khác nhau về tình huống "có vấn đề", dẫn đến việc chuyển hóa thành những nhiệm vụ cá nhân riêng biệt Tư duy (TD) phản ánh những bản chất chung cho nhiều sự vật, đồng thời làm nổi bật những đặc điểm cụ thể của từng sự vật TD cũng phản ánh gián tiếp thực tế, giúp thoát khỏi những kinh nghiệm cảm tính của mỗi chủ thể tư duy Cuối cùng, kết quả của TD được biểu đạt qua ngôn ngữ, qua đó khách quan hóa cho cả người khác và bản thân chủ thể tư duy.
1.2.3 Các giai đoạn của tư duy
Trong quá trình thực tiễn và nhận thức, mỗi hành động tư duy đều nhằm giải quyết một nhiệm vụ cụ thể Quá trình tư duy trải qua nhiều giai đoạn, từ việc nhận diện tình huống vấn đề đến khi tìm ra giải pháp Hơn nữa, tư duy không chỉ giúp chủ thể nhận thức về vấn đề đã được giải quyết mà còn kích thích sự tìm tòi, sáng tạo và nghiên cứu sâu hơn, từ đó khởi đầu cho những hành động tư duy mới.
Có thể nói, tư duy là một hoạt động trí tuệ trải qua các giai đoạn sau:
Giai đoạn 1: Nhận thức vấn đề
Giai đoạn 2: Huy động các tri thức kinh nghiệm
Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết
Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thiết
Khi giả thuyết được xác nhận, nó cung cấp câu trả lời cho vấn đề đã đặt ra Việc giải quyết vấn đề sẽ dẫn đến nghiên cứu sâu hơn, mở đầu cho một hoạt động nghiên cứu mới.
TD diễn ra theo các giai đoạn, và được trải qua đầy đủ các khâu của quá trình tư duy ở trên.
1.2.4 Các thao tác tư duy
Hoạt động TD của con người diễn ra thông qua các thao tác sau:
Đặc biệt hóa trong quá trình tư duy là việc sử dụng các thao tác tư duy cơ bản để nhận thức và giải quyết vấn đề Trong thực tế, các thao tác này diễn ra một cách linh hoạt và không theo trình tự cứng nhắc Tuy nhiên, tùy thuộc vào từng nhiệm vụ và điều kiện cụ thể, hành động tư duy cần thực hiện các thao tác phù hợp mà không nhất thiết phải trải qua tất cả các thao tác tư duy đã đề cập.
Các v ấn đề về tư duy sáng tạo
1.3.1 Khái ni ệm tư duy sáng tạo
Khi đối diện với các tình huống khó khăn, sáng tạo trở thành một đặc tính tâm lý quan trọng, phản ánh tri thức, kỹ năng và kinh nghiệm của mỗi người.
TD Khi đó, bằng tư duy độc lập cao mà chủ thể TD tạo ra được ý tưởng mới, độc đáo, hợp lý và hiệu quả hơn
Tư duy sáng tạo là đỉnh cao của tư duy, với năng lực sáng tạo là cốt lõi của hoạt động này, được xác định bởi chất lượng của các quá trình tư duy Nhiều tác giả đã đưa ra các khái niệm khác nhau về tư duy sáng tạo, nhưng đều thống nhất rằng đây là một phẩm chất trí tuệ đặc biệt của con người Hoạt động sáng tạo hiện diện trong mọi khía cạnh của cuộc sống, và bản chất của sáng tạo là việc con người tìm kiếm cái mới, độc đáo và có giá trị, góp phần thúc đẩy sự phát triển của xã hội Điểm chung của các tác giả là nhấn mạnh ý nghĩa xã hội của sản phẩm sáng tạo.
Trong luận văn này, tôi định nghĩa tư duy sáng tạo (TDST) là khả năng phát hiện và giải thích bản chất của sự vật theo cách mới, đồng thời tạo ra ý tưởng và giải pháp độc đáo, không dựa vào những tiền lệ đã có.
1.3.2 Đặc trưng của tư duy sáng tạo
Trong nghiên cứu về tư duy sáng tạo (TDST), nhiều quan niệm đã chỉ ra các đặc trưng quan trọng của nó Các đặc trưng này bao gồm tính linh hoạt, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính phê phán, tính độc lập, tính chi tiết và khả năng giải quyết vấn đề theo cách mới Những yếu tố này đều góp phần làm nổi bật bản chất của TDST.
Trong dân gian, nhiều câu nói đã phản ánh tính chất và đặc điểm của sáng tạo, như “tùy cơ ứng biến” và “gió chiều nào che chiều ấy” (với ý nghĩa tích cực) Những câu nói này thể hiện rõ các đặc trưng của tư duy sáng tạo, nhấn mạnh khả năng thích ứng linh hoạt và sự nhạy bén trong việc nắm bắt cơ hội.
TDST thể hiện qua việc khám phá các phương pháp mới và độc đáo nhằm giải quyết vấn đề và hoàn thành nhiệm vụ Sự sáng tạo là một đặc điểm quan trọng trong quá trình này.
TD, là một phẩm chất của quá trình TD
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học và giáo dục học, tư duy sáng tạo (TDST) được đặc trưng bởi năm yếu tố chính: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính chi tiết và tính nhạy cảm.
Tính mềm dẻo của tư duy là khả năng linh hoạt thay đổi góc nhìn và tìm ra mối quan hệ mới giữa các sự vật Điều này không chỉ giúp nhận ra bản chất của sự vật mà còn định nghĩa lại các hiện tượng, từ đó xây dựng phương pháp tư duy mới Các đặc trưng nổi bật của tính mềm dẻo tư duy bao gồm khả năng thích ứng, sự sáng tạo và khả năng phân tích sâu sắc.
+ Các hoạt động trí tuệ được thay đổi một cách linh hoạt; dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác
+ Hướng suy nghĩ được điều chỉnh kịp thời nếu gặp trở ngại
+ Khi gặp hoàn cảnh mới, luôn linh hoạt trong suy nghĩkhông áp dụng máy móc những tri thức, kinh nghiệm, kĩ năng đã có
+ Nhận ra mối liên hệ mới và vai trò mới của đối tượng đã quen biết
Tính nhuần nhuyễn là khả năng kết hợp nhanh chóng các yếu tố riêng lẻ vào bối cảnh cụ thể, từ đó tạo ra các giả thuyết và ý tưởng mới để giải quyết vấn đề Nó được thể hiện qua số lượng và sự đa dạng của các ý tưởng, phản ánh đặc trưng nổi bật của tính nhuần nhuyễn trong tư duy.
+ Khả năng phân tích đối tượng thành nhiều mặt khác nhau; có cái nhìn tổng thể đối với một vấn đề
+ Khả năng tổng hợp được nhiều giải pháp dựa trên nhiều góc độ khác nhau
+ Khả năng tìm được nhiều cách giải quyết cho một vấn đề, biết cách sàng lọc các hướng giải quyết để chọn được cách xử lý tối ưu
Tính độc đáo là khả năng khám phá và lựa chọn những phương thức mới lạ và độc nhất Để đạt được tính độc đáo, cần có sự nhuần nhuyễn trong tư duy, cho phép cá nhân nhận thức và phân tích vấn đề, từ đó đưa ra nhiều giải pháp khác nhau Cuối cùng, tính độc đáo thể hiện qua việc tìm ra giải pháp tối ưu nhất từ những lựa chọn đã có Các khả năng đặc trưng của tính độc đáo bao gồm sự sáng tạo, tư duy phản biện và khả năng giải quyết vấn đề.
+ Khả năng tìm ra những mối liên hệ và sự kết hợp mới
+ Khả năng tìm ra những giải pháp mới lạ, ngắn gọn tuy đã biết những giải pháp khác
Tư duy sáng tạo bao gồm nhiều yếu tố quan trọng, trong đó có tính chi tiết và tính nhạy cảm Tính chi tiết thể hiện qua khả năng lập kế hoạch, phối hợp giữa ý nghĩ và hành động, phát triển, kiểm tra và chứng minh ý tưởng Trong khi đó, tính nhạy cảm là năng lực phát hiện vấn đề, mâu thuẫn và sai lầm một cách nhanh chóng, đồng thời thể hiện sự tinh tế và trực giác Đặc điểm của tính nhạy cảm là khả năng thích ứng nhanh và linh hoạt trong các tình huống khó khăn, cũng như tìm ra giải pháp tối ưu ngay cả trong những hoàn cảnh gấp rút và nghiêm ngặt.
Các đặc trưng của TDST có mối liên hệ chặt chẽ và bổ sung cho nhau, trong đó tính độc đáo là yếu tố quan trọng nhất thể hiện sự sáng tạo Tính nhạy cảm với vấn đề cũng gắn liền với quá trình sáng tạo Để đạt được tính độc đáo, tính nhạy cảm, tính chi tiết và sự hoàn thiện, cần có sự mềm dẻo và nhuần nhuyễn trong cách tiếp cận.
1.3.3 Năng lực tư duy sáng tạo
Ngày nay, năng lực tư duy của con người được đánh giá chủ yếu qua khả năng sáng tạo Con người không chỉ tư duy để khám phá thế giới xung quanh mà còn sáng tạo để cải thiện cuộc sống, mang lại những điều kiện thuận lợi hơn cho bản thân.
Năng lực tư duy sáng tạo (TDST) là yếu tố quan trọng để đánh giá khả năng của mỗi cá nhân, đặc biệt là đối với học sinh trung học cơ sở (THCS) Vì vậy, việc rèn luyện và phát triển năng lực TDST ngay từ khi còn học ở trường là cần thiết để giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy và sáng tạo trong học tập và cuộc sống.
Năng lực tư duy sáng tạo trong Toán học là khả năng nghiên cứu và phát triển các giải pháp độc đáo, từ đó tạo ra những lời giải hay và các công trình có ứng dụng thực tiễn cao trong lao động và sản xuất.
1.3.4 Đặc điểm nhân cách của người có tư duy sáng tạo
D ạy học bài tập toán ở trường trung học cơ sở
1.4.1 Vai trò c ủa bài tập trong quá trình dạy học toán
Môn toán cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, giúp học sinh không chỉ nắm vững kiến thức toán học mà còn phát triển tư duy sáng tạo Qua việc tự tìm tòi và khám phá, học sinh có cơ hội mở rộng hiểu biết và phục vụ cho nhu cầu phát triển tư duy cá nhân.
Hoạt động giải toán là hình thức chính trong toán học, giúp học sinh củng cố kiến thức và phát triển tư duy Qua đó, học sinh hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn Bài tập toán học đóng vai trò quan trọng trong việc dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra năng lực của học sinh.
1.4.2 Các bước của hoạt động giải toán
Quá trình tư duy là một quá trình bao gồm 5 giai đoạn:
- Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề
- Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm
- Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết
- Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết
- Giai đoạn 5: Giải quyết vấn đề
(Sơ đồ xin xem trang sau)
Sơ đồ 1.1 Các giai đoạn của quá trình tư duy
1.4.3 Phương pháp dạy bài tập toán trong quá trình dạy học
Trong quá trình dạy học toán, giáo viên cần xây dựng phương pháp giảng dạy và hệ thống bài tập phù hợp nhằm đảm bảo đạt được các mục tiêu giáo dục Việc này không chỉ giúp học sinh tiếp thu kiến thức hiệu quả mà còn phát triển kỹ năng tư duy và giải quyết vấn đề.
Dạy học sinh phương pháp học tập chủ động giúp các em nắm vững kiến thức và ứng dụng hiệu quả vào thực tiễn Điều này không chỉ trang bị cho các em khả năng giải quyết vấn đề trong cuộc sống hàng ngày mà còn là nền tảng vững chắc để nghiên cứu các lĩnh vực khoa học khác.
* Dạy học toán còn nhằm rèn luyện và phát triển TDST của người học
Dạy học toán không chỉ giúp học sinh phát triển kỹ năng tư duy mà còn góp phần rèn luyện phẩm chất đạo đức và nhân cách Dưới đây là một số phương pháp hiệu quả trong việc dạy và học toán dành cho cả giáo viên và học sinh.
+ Huy động vốn kiến thức liên quan:
Bằng cách đặt các câu hỏi: “Các khái niệm, định nghĩa nào được nêu
Xuất hiện các liên tưởng
Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thiết
Chính xác hóa Khẳng định Phủ định
Giải quyết vấn đề hành động tư duy mới là một thách thức thú vị Bạn đã bao giờ gặp những bài toán tương tự chưa? Hãy thử nhớ lại một bài toán quen thuộc với các ẩn số tương tự để tìm ra hướng giải quyết hiệu quả.
+ Dự đoán kết quả phải tìm:
Hãy tự đặt ra những câu hỏi như: “Em đã sử dụng đầy đủ các dữ kiện chưa? Có chú ý đến tất cả các khái niệm trong bài toán không?” và “Em có thể nghĩ ra một bài toán đơn giản hơn hoặc một trường hợp cụ thể từ bài tập đã cho và trình bày cách giải cho bài toán đó không?” để nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.
Sử dụng phương pháp phân tích đi lên và phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề
Trong quá trình dạy học, giáo viên cần khai thác triệt để các gợi ý để giúp học sinh phát triển kỹ năng tìm lời giải cho bài toán Để đạt được hiệu quả này, giáo viên cần kiên trì thực hiện trong mỗi giờ dạy và trong các hoạt động giải toán.
M ột số vấn đề về dạy tư duy và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
1.5.1 Quan ni ệm về “dạy tư duy”
Dạy tư duy là hướng dẫn người học phát triển kỹ năng tư duy hiệu quả, giúp họ áp dụng các thành tố tư duy vào chiến lược giải quyết vấn đề Qua đó, người học sẽ biết cách suy nghĩ trước khi hành động, nhận biết thời điểm và phương pháp thực hiện, cũng như tự đặt câu hỏi và lựa chọn nguyên tắc phù hợp khi đối mặt với các vấn đề.
Sự thành công trong dạy thể dục phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó giáo viên cần hướng dẫn bài học để học sinh tư duy linh hoạt Học sinh cần nhận biết nội dung tri thức mà họ đang thực hiện Nội dung và quá trình dạy thể dục cần được kết hợp chặt chẽ, với các kỹ năng dạy có thể được giới thiệu trước, trong và sau bài học một cách rõ ràng Bài học nên tạo cơ hội cho học sinh thực hành và áp dụng kỹ năng thể dục Giáo viên cần đảm bảo sự cân đối giữa nội dung bài học và quá trình dạy để phù hợp với khả năng của học sinh Để đạt được mục tiêu dạy kiến thức và quá trình dạy thể dục, giáo viên cần có phương pháp cụ thể.
Để giáo viên (GV) dạy tư duy (TD) hiệu quả cho học sinh (HS), cần tạo ra môi trường học tập khuyến khích HS suy nghĩ tích cực trong mọi tình huống Dạy TD không phải là việc phân loại HS theo mức độ thông minh hay thành tích học tập, mà là tạo điều kiện để HS phát triển tư duy của chính mình Sau mỗi bài học, tất cả HS đều có cơ hội cải thiện khả năng tư duy, mang lại kết quả tích cực cho sự phát triển cá nhân của họ.
1.5.2 D ạy tư duy sáng tạo cho học sinh
Khi dạy tư duy, giáo viên đóng vai trò trung gian, tạo điều kiện cho học sinh tương tác với môi trường học tập Việc tổ chức và sắp xếp các yếu tố học tập giúp phát triển tư duy và tư duy sáng tạo của học sinh Qua quá trình rèn luyện có hướng dẫn từ giáo viên, học sinh trở thành những người tư duy tích cực hơn, từ đó nâng cao tính linh hoạt trong tư duy của mình Kết quả là học sinh sẽ đạt được các mục tiêu học tập một cách hiệu quả hơn.
* Làm cho HS biết TD tốt hơn trong cả học tập lẫn cuộc sống
Để học sinh phát huy tối đa tiềm năng và thế mạnh của bản thân, cần tạo ra môi trường hỗ trợ và khuyến khích sự phát triển Việc không chú trọng đến những khả năng này có thể dẫn đến việc chúng bị lãng quên và không được khai thác.
* Làm cho HS khắc phục được những thiếu sót, hạn chế trong kĩ năng
Ngoài ra, giáo viên cũng có thể trau dồi TDST cho HS bằng nhiều cách khác:
Học sinh nên viết nghị luận để bày tỏ quan điểm của mình về những vấn đề hiện tại tại địa phương hoặc những vấn đề thời sự nổi bật đang thu hút sự quan tâm của dư luận Việc này không chỉ giúp các em rèn luyện kỹ năng tư duy phản biện mà còn nâng cao ý thức xã hội, đồng thời khuyến khích sự tham gia tích cực vào các vấn đề cộng đồng.
* Cho HS trả lời câu hỏi bằng nhiều phương án.
Th ực trạng việc dạy và học phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học toán ở trung học cơ sở hiện nay
1.6.1 Nh ận thức của giáo viên về tư duy sáng tạo và dạy học phát triển tư duy sáng t ạo cho học sinh trong dạy học toán ở trung học cơ sở
Qua phiếu thăm dò ý kiến
Qua kết quả khảo sát bằng phiếu hỏi cho thấy: nhận thức của đại đa số
Quan niệm về dạy thể dục hiện vẫn còn mơ hồ và chung chung Khi được hỏi: “Xin Thầy/Cô cho biết quan niệm của mình về dạy thể dục?”, chúng tôi ghi nhận rằng có tới 27% ý kiến phản hồi.
Khoảng 66% giáo viên không trả lời rõ ràng câu hỏi về phương pháp dạy thể dục, mà chỉ đưa ra những ý kiến chung chung như việc cho học sinh làm nhiều bài tập để phát triển thể chất hoặc nhấn mạnh việc dạy học lấy học sinh làm trung tâm và phát huy tính tích cực của các em Chỉ có khoảng 7% giáo viên cho rằng dạy thể dục thực sự là hướng dẫn học sinh cách vận dụng thể dục trong quá trình giải bài tập.
Với câu hỏi: Xin thầy cô cho biết những yếu tố (việc làm của GV) nào trong những yếu tố dưới đây thúc đẩy TD của HS:
- Xây dựng tính tự học cho HS
- Quan tâm kích thích khả năng sáng tạo đến từng HS và cả lớp
- Cử những HS giỏi đại diện cho nhóm trả lời câu hỏi thảo luận
- Quan sát toàn bộ lớp học và lắng nghe ý kiến của HS
- Gọi những HS khá giỏi hoặc những HS xung phong trả lời các câu hỏi
- Đúng mực trong việc góp ý biểu dương hay khiển trách HS
- Khuyến khích HS tích cực hoạt động
- Đưa ra câu trả lời hay phương án giải quyết khi thấy HS gặp khó khăn
- Khen thưởng ngay lập tức khi HS thứ nhất có câu trả lời đúng và chuyển luôn sang câu hỏi hoặc vấn đề khác
- Sử dụng những câu hỏi mở và câu hỏi mở rộng
- Khuyến khích những suy nghĩ đa chiều của HS đồng thời khích lệ sự đa dạng trong những câu trả lời của HS
Kết quả khảo sát cho thấy 94% giáo viên đồng ý rằng tất cả các yếu tố đều góp phần thúc đẩy tinh thần học tập của học sinh Tuy nhiên, một số yếu tố như việc cử học sinh giỏi đại diện nhóm, gọi những học sinh khá giỏi hoặc xung phong trả lời, đưa ra giải pháp khi học sinh gặp khó khăn, và khen thưởng ngay lập tức khi có câu trả lời đúng, có thể không thực sự thúc đẩy tinh thần học tập của học sinh.
Khi cử đại diện nhóm là học sinh giỏi để trả lời, các học sinh khác sẽ không có cơ hội để suy nghĩ và tham gia thảo luận Điều này dẫn đến việc họ không cần phải tư duy và phát triển kỹ năng của mình.
HS giỏi thường xung phong trả lời câu hỏi, nhưng nếu giáo viên đưa ra giải pháp ngay khi thấy HS gặp khó khăn, HS sẽ lười suy nghĩ Khi một HS giỏi trả lời đúng và nhanh, nếu giáo viên khen thưởng và chuyển sang vấn đề khác, lớp học sẽ mất cơ hội cho hoạt động thảo luận diễn ra Chúng tôi đã đưa ra một số biểu hiện của HS để giáo viên lựa chọn, và kết quả cho thấy sự cần thiết phải khuyến khích HS tham gia tích cực hơn trong quá trình học tập.
Bảng 1.1 Một số biểu hiện tư duy sáng tạo của học sinh trong giờ học
STT Một số biểu hiện (hoạt động)
1 Tích cực suy nghĩ và hay thắc mắc 0,15
2 Tìm được cách giải hay và độc đáo 0,59
3 Tìm ra nhiều cách giải quyết cho cùng một vấn đề học tập 0,41
4 Tìm ra câu trả lời nhanh, chính xác và sắc sảo cho câu hỏi hoặc yêu cầu của giáo viên
5 Biết cách suy luận, phát hiện và giải quyết vấn đề 0,54
6 Đưa ra những lý do sắc sảo, hợp lý cho những câu trả lời 0,45
7 Đưa ra nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán và sử dụng những từ ngữ cụ thể, chính xác để diễn đạt lời giải
8 Suy nghĩ về quá trình tư duy của mình (diễn đạt lại quá trình tìm lời giải cho vấn đề)
9 Đưa ra những câu hỏi phức tạp về chủ đề đang giải quyết 0,54
(Từ 0 đến 0,25: Rất nhiều; từ 0,26 đến 0,5: Nhiều; Từ 0,51 đến 0,75: Không nhiều; từ 0,76 đến 1: Không bao giờ)
Theo phần trả lời của giáo viên, hầu hết giáo viên nhận thấy rằng các biểu hiện tư duy sáng tạo của học sinh trong giờ học là nhiều và rất nhiều Cụ thể, với biểu hiện tò mò và hay thắc mắc, khoảng 79% giáo viên cho rằng học sinh thể hiện điều này nhiều; trong khi đó, 71% giáo viên nhận thấy học sinh tìm ra nhiều cách giải quyết cho cùng một vấn đề học tập Tuy nhiên, một số biểu hiện như tìm ra cách giải quyết vấn đề hay và độc đáo, hay đưa ra câu hỏi phức tạp về chủ đề đang giải quyết lại được nhiều giáo viên đánh giá là không nhiều.
Trong việc đánh giá học sinh có tư duy sáng tạo (TDST), giáo viên thường dựa vào sáu căn cứ chính Đầu tiên, họ xem xét câu trả lời của học sinh (1) và bài làm hay sản phẩm thực hành của học sinh (2) Tiếp theo, cách thức suy luận và giải quyết vấn đề của học sinh cũng được đánh giá (3), cùng với khả năng phản ứng nhanh (4) Bên cạnh đó, giáo viên có thể căn cứ vào cách thực hiện lời giải hoặc con đường tìm đến kết quả (5), và đồng thời cũng xem xét cả kết quả lẫn cách thực hiện (6) Tuy nhiên, căn cứ (5) và (6) có sự mâu thuẫn, nhưng nhiều giáo viên vẫn chọn cả hai, cho thấy sự đánh giá của họ thường mang tính cảm tính.
Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc giải toán, giáo viên cần hướng dẫn học sinh phân tích đề bài để xác định các đối tượng, mối quan hệ giữa chúng và yêu cầu của bài toán Điều này giúp học sinh nhận diện các yếu tố cũng như điều kiện cần và đủ Bên cạnh đó, giáo viên cũng nên khuyến khích học sinh tìm ra cách giải hay và độc đáo cho từng bài toán.
Hướng dẫn học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán là rất quan trọng, giúp các em phát triển tư duy sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề Việc vận dụng các thao tác tư duy trong quá trình giải quyết bài toán không chỉ nâng cao kỹ năng toán học mà còn rèn luyện khả năng phân tích và tổng hợp thông tin Hầu hết các phương pháp này đều góp phần tạo nền tảng vững chắc cho việc học toán hiệu quả.
Các giáo viên đều lựa chọn cả bốn gợi ý, cho thấy họ linh hoạt áp dụng các phương pháp dạy học nhằm tối đa hóa khả năng phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh, từ đó giúp các em nâng cao tư duy sáng tạo của mình.
Sau đó, với mục đích thăm dò về việc phát triển TDST cho HS của
Chúng tôi đề xuất một số phương pháp phát triển tư duy sáng tạo (TDST) cho học sinh, giúp giáo viên lựa chọn phù hợp với nhu cầu Xin thầy cô cho ý kiến về các cách dưới đây nhằm nâng cao TDST cho học sinh.
Bảng 1.2 Một số cách phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
1 Khích lệ được lòng khát khao, sự hứng thú đối với việc tiếp thu cái mới cho HS
2 Định hướng động cơ học tập tích cực cho HS 0,25 0,22 0,23 0,24
3 Tạo ra sự thử thách vì sự thử thách sẽ làm nảy sinh sự sáng tạo
4 Tạo tình huống để học sinh hình thành thói quen phân tích vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau
5 Rèn thói quen và khuyến khích HS tìm tòi cách giải hay, mới lạ cho bài toán
6 Sử dụng những câu hỏi kích thích nhu cầu, khả năng nhận thức, khám phá của học sinh
7 Tạo lập thói quen mò mẫm - phát hiện vấn đề trong quá trình học tập
8 Rèn luyện việc vận dụng linh hoạt các thao tác tư duy trong quá trình học tập
9 Rèn luyện các kĩ năng suy luận lôgic trong quá trình học tập của học sinh
10 Kích thích trí tưởng tượng sáng tạo cho HS 0,15 0,18 0,24 0,19
11 Tác động vào các yếu tố đặc trưng của TDST cho HS
12 Loại bỏ các chướng ngại vật ngăn cản hoạt động TDST của HS
(Từ 0 đến 0,25: Rất cần thiết; từ 0,26 đến 0,5: Cần thiết; Từ 0,51 đến 0,75: Không cần thiết; từ 0,76 đến 1: Không có ý kiến)
Theo kết quả từ bảng 1.2, hầu hết giáo viên đều đồng ý với các phương án phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh mà chúng tôi đề xuất Họ nhận định rằng những phương án này là cần thiết, thậm chí rất cần thiết Tuy nhiên, dù đã nhất trí cao với các phương án phát triển tư duy sáng tạo, giáo viên hầu như không đề xuất thêm biện pháp nào đáng kể.
1.6.2 Bi ểu hiện tư duy sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập
Chúng tôi đã sử dụng phiếu hỏi gồm ba câu hỏi để khảo sát hoạt động học tập của học sinh lớp 6, đồng thời đánh giá mức độ tự điều chỉnh trong học tập của các em khi tham gia các hoạt động này Bên cạnh đó, chúng tôi cũng thu thập ý kiến của các em về một số hoạt động và phương pháp học tập khác nhau.
DH của GV có thể giúp đánh giá hoạt động của học sinh trong việc giải quyết vấn đề cụ thể, từ đó xác định được các đặc trưng của tư duy sáng tạo (TDST) mà các em thể hiện Những câu hỏi đưa ra sẽ giúp làm rõ mức độ và hình thức thể hiện TDST trong quá trình học tập của các em.
Với câu hỏi: Trong lớp học các con thực hiện những hoạt động (hành vi, việc làm) sau đây như thế nào?
MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG
Chuyên đề số nguyên tố, hợp số trong chương trình toán trung học cơ
2.1.1 Các ki ến thức cơ bản
* Định nghĩa 1: Một số tự nhiên lớn hơn 1, không có ước nào khác ngoài 1 và chính nó được gọi là số nguyên tố.
* Định nghĩa 2: Một số tự nhiên lớn hơn 1 và không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số.
Tập hợp số tự nhiên được chia thành ba bộ phận:
- Tập hợp các số nguyên tố;
- Tập hợp các hợp số
Nếu số tự nhiên a là hợp số, thì nó có thể phân tích thành tích của hai số tự nhiên m và n lớn hơn 1, tức là a = m × n với m, n > 1 Trong trường hợp này, m và n được gọi là ước số của a, và a được xem là bội của m và n Điều này có nghĩa là a chia hết cho các số m và n.
Nhận xét 2 Nếu a là hợp số thì bao giờ a cũng có một ước số d mà 1< d< a
Nhận xét 3 Từ định nghĩa và các chú ý trên ta suy ra nếu a là hợp số thì bao giờ a cũng có ít nhất 4 ước số
2.1.1.2 Các định lý Định lý 1 Ước nhỏ nhất lớn hơn 1 của một số tự nhiên lớn hơn 1 là một số nguyên tố
Giả sử a là một số tự nhiên lớn hơn 1 và p > 1 là ước nhỏ nhất của a, thì p phải là một số nguyên tố Nếu p không phải là số nguyên tố, tức là p là hợp số, thì sẽ tồn tại một số tự nhiên p1 là ước của a với điều kiện 1 < p1 < p, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng p là ước nhỏ nhất lớn hơn 1 của a.
Nhận xét Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có một ước nguyên tố Định lý 2 Có vô số số nguyên tố.
Định lý 1 chứng minh sự tồn tại của các số nguyên tố bằng cách giả định rằng chỉ có hữu hạn số nguyên tố p₁, p₂, , pₙ Ta xét số X = p₁ × p₂ × × pₙ + 1, một số tự nhiên lớn hơn 1 Theo định lý, tồn tại ít nhất một ước số nguyên tố q của X Tuy nhiên, vì số nguyên tố là hữu hạn, nên q phải trùng với một trong các số p₁, p₂, , pₙ, dẫn đến q là ước nguyên tố của X.
Định lý 3 khẳng định rằng ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số N không vượt quá căn bậc hai của N Nếu q là ước của tích p1, p2, , pn, thì q = 1, điều này mâu thuẫn với giả thuyết rằng q là số nguyên tố Như vậy, định lý đã được chứng minh.
Gọi p là ước nguyên tố nhỏ nhất của N, tức là N = p.N 1 với p ≤ N 1
Hệ quả Nếu số tự nhiên N > 1 không có một ước nguyên tố nào từ 2 cho đến
N thì N là một số nguyên tố
2.1.2 Các ki ến thức cần thiết Để giải quyết tốt các bài toán liên quan đến chuyên đề số nguyên tố, hợp số thì HS cần huy động đến các kiến thức liên quan sau:
- Ước và bội: nếu a b ⇔ a là bội của b ⇔ b là ước của a
- Các dấu hiệu chia hết
- Phép chia hết và phép chia có dư
Để nâng cao kỹ năng cho học sinh khá giỏi và ôn thi học sinh giỏi, việc nghiên cứu sâu về vai trò của tập hợp số nguyên tố trong tập hợp số tự nhiên là rất quan trọng Dưới đây là các bổ đề và định lý quan trọng liên quan đến chủ đề này.
B ổ đề 1 Giả sử p là một sô nguyên tố, n là một số tự nhiên tùy ý Khi đó, hoặc n chia hết cho p hoặc n nguyên tố với p
Nếu một tích các số tự nhiên chia hết cho một số nguyên tố p, thì ít nhất một thừa số trong tích đó cũng phải chia hết cho p Bên cạnh đó, mọi số tự nhiên N lớn hơn 1 đều có thể được phân tích thành tích các thừa số nguyên tố một cách duy nhất, không tính đến thứ tự của các thừa số Điều này cũng liên quan đến khái niệm ước số của một số tự nhiên.
Số tự nhiên a có thể được phân tích thành tích các thừa số nguyên tố dưới dạng a = p p 1 α 1 2 α 2 p n α n Một số tự nhiên d sẽ là ước số của a khi và chỉ khi nó có dạng d = p p 1 β 1 2 β 2 p n β n, với điều kiện 0 ≤ β α i ≤ i cho mọi i từ 1 đến n.
Số các ước của một số tự nhiên
Kí hiệu (a) là số các ước của một số tự nhiên a Ta có:
Nếu a= p p 1 α 1 2 α 2 p n α n là sự phân tích tiêu chuẩn của a thành tích các thừa số nguyên tố thì ( ) ( a = α 1 + 1 )( α 2 + 2 ) ( α n + 1 )
2.1.3 Các d ạng toán thường gặp
Dạng 1 Chứng minh một số hoặc một biểu thức nào đó là số nguyên tố hay hợp số
Chia số (biểu thức) đó cho các số nguyên tố từ nhỏ đến số nguyên tố không vượt quá căn bậc hai của số (biểu thức) đó: 2, 3, 5, 7, …
Nếu có một phép chia hết thì số (biểu thức) đó không phải là số nguyên tố
Nếu không có một phép chia hết nào thì số (biểu thức) đó là hợp số
Để chứng minh rằng một biểu thức luôn nhận giá trị là hợp số, ta cần chỉ ra rằng biểu thức đó chia hết cho một số tự nhiên lớn hơn 1 và khác chính nó Số này có thể là một số cụ thể hoặc được biểu diễn dưới dạng biểu thức, tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể.
Để chứng minh rằng một biểu thức luôn cho giá trị là số nguyên tố, cần chứng minh rằng biểu thức đó không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào p, với điều kiện p nhỏ hơn căn bậc hai của a.
Dạng 2 Tìm giá trị của p để biểu thức đã cho nhận giá trị là số nguyên tố hay hợp số
Phương pháp Vận dụng linh hoạt các định nghĩa, nhận xét và các tính chất về chia hết và phép chia có dư
Ngoài ra, ở dạng toán này ta còn hay sử dụng hai tính chất sau:
+ p là số nguyên tố, p = ab, a và b là các số nguyên tố thì:
+ Trường hợp không thể sắp thứ tự a và b thì có các khả năng sau: a = 1; b = p; a = -1; b = -p; a = p; b = 1; a = -p; b = -1
Dạng 3 Vận dụng tính chất của số nguyên tố trong bài toán chứng minh chia hết
Dạng 4 Một số dạng toán khác về số nguyên tố và hợp số.
Ti ềm năng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong giải toán chuyên đề số nguyên tố, hợp số
Chuyên đề số nguyên tố và hợp số có tiềm năng lớn trong việc phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh Giáo viên không chỉ giúp học sinh giải quyết bài tập trong sách giáo khoa mà còn hướng dẫn các em làm các bài tập nâng cao và ôn thi học sinh giỏi Hơn nữa, giáo viên có thể khuyến khích học sinh tự tạo ra các bài tập tương tự và đặc biệt, nhằm phát huy tính linh hoạt, nhạy bén và sáng tạo trong tư duy của các em.
M ột số biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy
dạy học chuyên đề số nguyên tố, hợp số
Các môn học tại trường phổ thông cần được tổ chức dạy và học để phát triển tư duy sáng tạo (TDST) cho học sinh (HS) Việc giảng dạy TDST cần được điều chỉnh phù hợp với từng nhóm đối tượng HS, bao gồm khá, giỏi, trung bình và dưới trung bình Trong khoảng thời gian 40 đến 45 phút của một tiết học, giáo viên (GV) không thể áp dụng cùng một phương pháp giảng dạy cho tất cả HS, vì mỗi đối tượng cần những cách hướng dẫn và yêu cầu khác nhau Hơn nữa, thời gian học có hạn, do đó GV không thể chia đều thời gian để tập trung rèn luyện cho từng nhóm HS riêng biệt.
- Thứ nhất, phân hóa qua nội dung dạy học:
+ Sử dụng các câu hỏi, bài tập, vấn đề khó ở mức độ cao, đòi hỏi TDST ở mức độ cao cho nhóm HS khá, giỏi
Để hỗ trợ nhóm học sinh trung bình và dưới trung bình, cần sử dụng các câu hỏi, bài tập và vấn đề khó ở mức độ trung bình, yêu cầu tư duy sáng tạo (TDST) ở mức độ vừa phải Việc này giúp học sinh phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề và nâng cao khả năng tư duy của họ một cách hiệu quả.
- Thứ hai, phân hóa qua cách thức hướng dẫn, tổ chức:
+ Đối với nhóm HS khá giỏi:
Thêm yêu cầu, thay đổi số liệu, dữ liệu để tăng mức độ khó, phức tạp của bài tập, câu hỏi, vấn đề học tập
Trừu tượng hoá, khái quát hóa cách hỏi, ngôn ngữ diễn đạt, đòi hỏi khả năng suy luận, khả năng tưởng tượng, liên tưởng cao
Tăng mức độ khó, khai thác sâu, chi tiết hoá vấn đề khi vận dụng các TTTD để phân tích, suy luận vấn đề
+ Đối với nhóm HS trung bình, dưới trung bình:
Để giúp học sinh trung bình và dưới trung bình, cần chia nhỏ câu hỏi và bài tập thành các phần dễ giải quyết, từ đó dần dần tiến tới việc giải quyết các vấn đề lớn và phức tạp Việc đặt lại đề bài bằng ngôn ngữ trực quan và rõ ràng sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về bài tập Cần đưa ra yêu cầu vừa phải, không yêu cầu khái quát hóa cao, mà chỉ cần vận dụng kiến thức vào các tình huống đơn giản và có nhiều phương án giải quyết.
Giáo viên sẽ áp dụng các biện pháp riêng lẻ kết hợp với biện pháp chung, đồng thời linh hoạt điều chỉnh theo từng nhóm đối tượng học sinh, nhằm tối ưu hóa khả năng phát triển tư duy sáng tạo của từng cá nhân trong lớp học.
2.3.1 Chú tr ọng bồi dưỡng các thao tác tư duy cơ bản trong dạy học chuyên đề số nguyên tố, hợp số
Trong khuôn khổ luận văn này, để rèn luyện TD cho HS, chúng tôi tập trung rèn luyện các thao tác TD sau:
2.3.1.1 Rèn luyện thao tác phân tích, tổng hợp
Phân tích là quá trình chia một chỉnh thể thành nhiều khía cạnh để khám phá chi tiết của từng phần, trong khi tổng hợp là kết hợp các bộ phận và tìm kiếm mối liên hệ giữa chúng Hai thao tác tư duy này mặc dù khác nhau nhưng lại hỗ trợ lẫn nhau Việc phát triển kỹ năng phân tích và tổng hợp sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng một cách sáng tạo.
Trong dạy học môn Toán, thao tác phân tích là công cụ quan trọng giúp giáo viên và học sinh hiểu rõ đề bài, nhận diện dạng bài toán và phân tích các mối liên hệ, thuật ngữ, câu hỏi, yêu cầu và tình huống liên quan Quá trình này bao gồm việc bóc tách đối tượng nhận thức thành các thành phần khác nhau, từ đó chỉ ra những thuộc tính và đặc điểm nổi bật Sau khi phân tích, việc tổng hợp các yếu tố và điều kiện sẽ giúp đưa ra những kết luận mới, góp phần nâng cao khả năng giải quyết vấn đề trong toán học.
Ví dụ 2.1 Chứng minh rằng với n là một số nguyên lớn hơn 1 ta có các số sau đây là hợp số a) n 4 +n 2 +1 b) n 4 + 4 n
Nhận xét Đây là một bài tập khó, phù hợp với đối tượng học sinh khá giỏi
GV có thể tham khảo để dạy cho đối tượng HS ôn luyện thi học sinh giỏi toán
6 Khi hướng dẫn HS giải quyết bài tập này, GV có thể tham khảo cách hướng dẫn sau đây
GV có thể phân tích đề bài toán theo hệ thống câu hỏi sau:
- Bài toán yêu cầu điều gì? (chứng minh một số tự nhiên là hợp số)
- Có bao nhiêu cách chứng minh một số tự nhiên là hợp số?
- Em hãy tách, thêm bớt để đưa biểu thức trên dưới dạng của tích các thừa số
Nếu n là số nguyên lớn hơn 1, thì các thừa số của n sẽ luôn nhận giá trị lớn hơn 1 Để giải bài toán này, giáo viên sẽ tổng hợp các lời giải và nhấn mạnh ý tưởng chính Cuối cùng, giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh cách tiếp cận và phân tích vấn đề một cách hiệu quả.
HS giải bài toán theo hướng tổng hợp như sau:
Do n là số nguyên lớn hơn 1 nên ( n 2 + + 1 n ) và ( n 2 + − 1 n ) đều là các số tự nhiên và có n 2 – n + 1 = n n ( − 1 ) + 1 > 1
Vậy n 4 2 + n + 1 là hợp số với n là số nguyên lớn hơn 1 b) n 4 + 4 n
Ta xét hai trường hợp:
+ n = 2 ( k k ∈ + ) thì n 4 + 4 n là số chẵn lớn hơn 2 nên n 4 + 4 n là hợp số + n = 2 +1 ( k k ∈ + ) thì:
Rõ ràng mỗi thừa số của tích đều là các số tự nhiên lớn hơn 2 nên n 4 + 4 n là hợp số
Ví dụ 2.2 Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số: a) 3150 + 2125 b) 5163 + 2532 c) 19 21 23 + 21 25 27 d) 15 19 37 – 225
Bài tập này rất đơn giản và phù hợp với học sinh có lực học trung bình Giáo viên có thể áp dụng các phương pháp hướng dẫn hiệu quả để giúp học sinh giải quyết bài tập Đối với nhóm học sinh trung bình và dưới trung bình, giáo viên nên phân tích đề bài toán thông qua một hệ thống câu hỏi cụ thể.
+ Phân tích đề bài GV có thể hướng dẫn HS phân tích bài toán thông qua hệ thống câu hỏi sau:
- Bài toán yêu cầu điều gì? (xét xem tổng hiệu đã cho là số nguyên tố hay hợp số)
- Để một tổng (hiệu) là hợp số thì ta phải chứng minh điều gì? (tổng (hiệu) đó phải chia hết cho một ước nào đó khác 1 và chính nó)
Dựa vào các dấu hiệu chia hết, hãy xác định các tổng và hiệu chia hết cho số nào Đối với nhóm học sinh khá và giỏi, giáo viên có thể phân tích đề bài toán theo các yêu cầu cụ thể để giúp học sinh hiểu rõ hơn về các quy tắc chia hết.
- Bằng các dấu hiệu chia hết em hãy cho biết các tổng (hiệu) ở các câu a, b, c, d trong bài tập này chia hết cho số nào?
+ Tổng hợp lời giải GV chốt lại ý tưởng giải bài toán Sau đó, GV hướng dẫn
HS đã trình bày bài toán tổng hợp với các điểm chính như sau: a) Tổng lớn hơn 5 và chia hết cho 5, do đó tổng là hợp số b) Tổng lớn hơn 5 và chia hết cho 5 (vì chữ số ở hàng đơn vị của tổng là 5), vì vậy tổng cũng là hợp số c) Tổng lớn hơn 21 và chia hết cho 21, nên tổng này là hợp số d) Hiệu lớn hơn 15 và chia hết cho 15, do đó hiệu cũng là hợp số.
Qua ví dụ 2.2, học sinh đã kết hợp hiệu quả giữa phát triển kỹ năng tư duy phân tích và tổng hợp Đồng thời, các em cũng đã linh hoạt vận dụng kiến thức về các dấu hiệu chia hết, từ đó nâng cao tính nhuần nhuyễn trong tư duy khi giải quyết các bài tập tương tự.
Mỗi số nguyên tố p lớn hơn 3 khi chia cho 6 sẽ có số dư là 1 hoặc 5 Ngoài ra, khi chia một số nguyên tố bất kỳ cho 30, số dư cũng sẽ là 1 hoặc một số nguyên tố khác Để chứng minh điều này, giáo viên có thể phân tích bài toán qua hệ thống câu hỏi hợp lý.
- Em hãy biểu diễn số nguyên tố p bất kì dưới dạng phép chia có dư của 6
- Số dư của phép chia một số nguyên tố bất kì cho 6 là những giá trị nào? (có thể là một trong các số 1, 2, 3, 4, 5)
Đề bài yêu cầu chứng minh rằng số dư của phép chia một số nguyên tố \( p \) (với \( p > 3 \)) cho 6 sẽ là 1 hoặc 5 Để làm rõ điều này, chúng ta cần xem xét các số dư của phép chia và phân tích các trường hợp khác nhau.
2, 3, 4 thì điều gì sẽ xảy ra?
Từ đó ta có lời giải sau
Với số nguyên tố p > 3, ta có: p = 6q + r, 0 < r < 6
Nếu r = 2, 3, 4, thì p sẽ có ước thực sự, điều này mâu thuẫn với giả thiết p là số nguyên tố Do đó, r chỉ có thể nhận giá trị 1 hoặc 5 Đề bài yêu cầu chứng minh số dư của phép chia số nguyên tố p cho 30 là 1 hoặc một số nguyên tố Chúng ta có thể biểu diễn số nguyên tố p dưới dạng phép chia có dư của 30 (p = 30q + r, với 0 < r < 30) Từ đó, ta có thể tìm ra lời giải cho bài toán.
Với số nguyên tố p bất kì, ta có: p = 30q + r, 0 < r < 30
Giả sử r là một hợp số Khi đó r > 1 và r có ước nguyên tố nhỏ nhất là p 1
Tuy nhiên, khi đó p lại có một ước thực sự, điều này mâu thuẫn với giả thuyết rằng p là số nguyên tố Do đó, r chỉ có thể là 1 hoặc một số nguyên tố.
Ví dụ 2.4 Chứng minh rằng mọi số tự nhiên lớn hơn 11 đều là tổng của hai hợp số
- Em hãy biểu diễn một số tự nhiên bất kì dưới dạng số chẵn hoặc số lẻ (n= 2k; n = 2k +1)
- Em có nhận xét gì về giá trị của k khi n là số tự nhiên lớn hơn 11? ( k 6 ≥ )
- Với ( k 6 ≥ ), em hãy phân tích n = 2k và n = 2k + 1 và
- Từ đó, ta có chứng minh sau.
Xét số tự nhiên n lớn hơn 11, ta có n chẵn hoặc lẻ
- Nếu n chẵn thì n = 2k và k 6≥ suy ra n − = 6 2( k − ⇔ = 3) n 2( k − + 3) 6 nên n là tổng của hai hợp số
- Nếu n lẻ thì n = 2k + 1 và k 6≥ ta có n − = 9 2( k − ⇔ = 4) n 2( k − + 4) 9 nên n là tổng của hai hợp số
Vậy, ta đã chứng minh được mọi số tự nhiên lớn hơn 11 đều là tổng của hai hợp số
