12 14 15 16 18 20 21 22 24 25 26 27 28 30 32 33 34 35 36 38 39 40 42 44 45 46 48 49 50 51 52 54 55 56 57 58 60 62 63 64 65 66 68 69 70 72 74 75 76 77 78 80 81 82 84 85 86 87 88 90 91 92 93 94 95 96 98 99 100
Thật vậy, các số này đều nhỏ hơn 100, nên nếu chúng là hợp số thì chúng phải có một ước ngun tố nhỏ hơn hoặc bằng 10. Tức là nó phải là bội của 2, 3, 5, 7 và do đó nó đã bị loại trong q trình trên. Ta đóng khung tất cả các số nguyên tố kể trên.
Bài tốn trên khơng q khó và trừu tượng, nhưng cũng địi hỏi học sinh phải có tư duy logic, ... địi hỏi sự khơng cứng nhắc của tư duy trong q trình phân tích, suy luận để giải quyết. Với cách hướng dẫn khá cụ thể trên sẽ thích hợp để phát triển TDST cho nhóm đối tượng HS trung bình và cả dưới trung bình. Qua bài tập trên, HS có thể thực hiện thao tác tư duy tương tự để tự làm bài tập sau:
Ví dụ 2.18. Hãy xét xem các số tự nhiên từ 2001 đến 2019 số nào là số
nguyên tố?
Qua bài tập ở ví dụ trên, GV có thể định hướng HS sử dụng các thao tác tư duy tương tự để giải quyết bài tập này.
Từ đó ta có lời giải sau:
Trước hết, ta loại bỏ các số chia hết cho 2: 2002, 2004, 2006, …, 2018. ếp theo, ta loại bỏ các số chia hết cho 3: 2001, 2007, 2013, 2019.
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
Tiếp theo, ta loại bỏ các số chia hết cho 5: 2005.
Ta còn phải xét các số: 2003, 2009, 2011, 2017 xem có ước nguyên tố nào nhỏ hơn 2019≈44,9hay không? Các số nguyên tố không vượt quá 44 là: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.
Ta lấy các số cần xét chia cho các ước cịn lại thì thấy 2009 chia hết cho 7. Vậy ta được các số 2003, 2011, 2017 là các số nguyên tố.
⇒ Trong các số từ 2001 đến 2019 có 3 số ngun tố, đó là: 2003, 2011, 2017. Trong q trình học tập, sự mị mẫm cần được hiểu là q trình tìm kiếm, thử sai,... được thực hiện thơng qua các TTDT, các hình thức suy luận, bằng những phương pháp nhất định. Sự mò mẫm hiệu quả và tối ưu là sự mị mẫm có logic, có phương pháp. Trong thực tế có những bài tập khơng thể chỉ áp dụng các thuật giải hay những công thức, quy tắc một cách cứng nhắc mà phải xuất phát từ những phân tích, suy luận linh hoạt, vượt ra khỏi những khn mẫu có sẵn. Chính bởi vậy mà trong q trình giải quyết vấn đề việc mị mẫm, dự đốn trở thành một hoạt động không thể thiếu.
Tất nhiên ta không thể khẳng định rằng q trình “mị mẫm” nào cũng có thể cho kết quả mong muốn. Tức để phân tích bài tốn mới thì có thể đề ra nhiều phương án suy luận (mị mẫm): phân tích từ yếu tố này, xuất phát từ điều kiện kia,... theo một định hướng cụ thể; hoặc từ yếu tố, điều kiện đã cho có thể suy ra được điều kiện gì, kết luận gì; xuất phát từ câu hỏi của bài tốn, có thể suy ra được cần tìm những gì để từ đó suy ngược theo hướng bắc cầu, hoặc có thể căn cứ vào mỗi yếu tố cho trong bài toán để suy ra các điều kiện mới, rồi từ những điều kiện đó để suy tiếp những điều kiện tiếp theo trong bài giải. Có thể đến đích cuối cùng, có thể khơng. Đó là sự tất yếu của hoạt động “mị mẫm - thử sai”.
Ví dụ 2.19. Tìm số n nguyên dương để a) n3 - n2 + n – 1 là số nguyên tố.
b) n1991+n1990+1 là số nguyên tố.
Giải
a) Ta có: n3− n2+ – 1n = −(n 1)( )n2+1
Vì n2+ > − ≥1 n 1 0 với n nguyên dương, nên để n3 - n2 + n – 1 là số nguyên tố thì n− = ⇔ =1 1 n 2.
Vậy với n = 2 thì n3 - n2 + n – 1 là số nguyên tố. c) Ta thấy: (n1991+n1990+1) (n2+ +n 1)
Vì n2+ + >n 1 1 với n nguyên dương nên để 1991 1990
1 n +n + là số nguyên tố thì 1991 1990 1 2 1 1 n n n n n = + + + + ⇔ =
Vậy với n = 1 thì n1991+n1990+1 là số ngun tố.
Ví dụ 2.20. [2, trang 24]
Tìm số nguyên tố có ba chữ số biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại ta được một số là lập phương của một số tự nhiên.
Nhận xét. Ở bài tập này, ta thấy nếu lập phương của một số tự nhiên là một số
có ba chữ số thì GV có thể hướng dẫn HS xét điều kiện này như sau: Gọi số tự nhiên mà lập phương của nó là số có ba chữ số là a, ta có 53
= 125; 103 = 1000 vậy 5≤ <a 10. Từ đó GV có thể hướng dẫn HS mị mẫm kết quả thông qua bảng sau:
a 5 6 7 8 9
a3 125 216 343 512 729
Số cần tìm 521 612 343 215 927
Kết luận Thỏa mãn Loại Loại Loại Loại Vậy số nguyên tố cần tìm là 521.
Tóm lại: việc hình thành thói quen mị mẫm được chúng tơi cho rằng phù hợp với đặc điểm tâm sinh lý lứa tuổi học sinh lớp 6, đồng thời có thể kích thích, rèn luyện phát triển được trong DH tốn THCS. Kích thích trí tưởng tượng sáng tạo cho HS, tạo lập thói quen mị mẫm - thử sai cho HS được xem như những tác động bên ngoài tạo điều kiện và thúc đẩy TDST phát triển.
2.3.4. Chú trọng rèn luyện khả năng sáng tạo bài toán mới
Nhiệm vụ của quá trình dạy và học bộ mơn tốn khơng chỉ là để tìm ra một lời giải của bài tốn đó, mà chúng ta cịn phải tìm ra được đằng sau mỗi bài toán chứa đựng các vấn đề cần được khai thác để khơi dậy cho học sinh óc tị mị, sự tìm tịi khám phá, sáng tạo trong toán học. Giúp học sinh phát triển hơn về khả năng tư duy của mình đồng thời tìm ra được một chuỗi bài tốn liên quan từ dễ đến khó, hình thành cho học sinh khả năng khái qt hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, xây dựng hệ thống hóa kiến thức theo chủ đề, chủ điểm.
Ví dụ 2.21. Tìm số nguyên tố p để:
a) p+10 và p+14 đều là số nguyên tố.
b) p+6, p+8, p+12, p+14đều là các số nguyên tố.
a) Nhận xét. Bằng cách cho HS kiểm chứng bởi một vài số nguyên tố p với giá trị nhỏ, ta thấy với p = 3 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài. Tuy nhiên để giải bài tốn ta khơng thể hướng dẫn HS mò mẫm thử sai với tất cả các trường hợp được. Do vậy, với giá trị p = 3, ta có thể hướng dẫn HS bằng cách biểu diễn tất cả các số tự nhiên dưới dạng phép chia có dư của 3, và biến đổi để đáp ứng yêu cầu đề bài. Từ đó ta có lời giải sau:
Nếu pvà p nguyên t3 ố thì p = 3. Khi đó: p+10 13= và p+ =14 17 cũng là số nguyên tố.
Nếu p= +3k 2 với k nguyên dương thì p+ = + + = +10 3k 2 10 3k 12 3 Vậy với giá trị p = 3 thì p+10 và p+14 đều là số nguyên tố.
b) Nhận xét. Tương tự như câu a, bằng cách cho HS kiểm chứng bởi một vài số nguyên tố p với giá trị nhỏ, ta thấy với p = 5 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài. GV tiếp tục hướng dẫn HS bằng cách biểu diễn tất cả các số tự nhiên dưới dạng phép chia có dư của 5, và biến đổi để đáp ứng yêu cầu đề bài. Từ đó ta có lời giải sau:
Nếu p5và p nguyên tố thì p = 5. Khi đó: p+ =6 11, p+ =8 13, p+ =12 17, 14 19
p+ = cũng đều là số nguyên tố.
Nếu p= ±5k 1 với k nguyên dương thì p+ = + + = +14 5k 1 14 5k 15 và
6 5 1 6 5 5
p+ = − + = +k k chia hết cho 5.
Nếu p= ±5k 2 với k nguyên dương thì p+ = + + = +8 5k 2 8 5k 10 chia hết cho 5 và
12 5 2 12 5 10
p+ = − + = +k k chia hết cho 5.
Vậy, chỉ có giá trị p = 5 thỏa mãn để p+6, p+8, p+12, p+14 cũng là các số nguyên tố.
Nhận xét. Như vậy từ bài tốn trên, GV có thể hướng dẫn HS tự ra đề cho dạng bài tập tìm số nguyên tố p sao cho một số biểu thức chứa p cũng là số nguyên tố bằng cách chọn ra số nguyên tố p trước sau đó thay đổi biểu thức chứa p để biểu thức này nhận giá trị là số nguyên tố.
Bài tập tương tự. Tìm các số nguyên tố p để:
a) 2p+1 và 6p+1 đều là số nguyên tố. b) 6p+1 và 6p−1 đều là số nguyên tố. c) 7p+8, p+10, 5p+4 đều là số nguyên tố. d) 7p+4, p+4, 5p+2 đều là số nguyên tố. e) 8p+1,6p+1, 5p+4 đều là số nguyên tố. 2− 4+ đều là số nguyên tố.
Ví dụ 2.22. Cho p và 8p - 1 đều là số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng 8p
+1 là hợp số.
Giải.
Vì p là số nguyên tố, p > 3 nên 𝑝 khơng chia hết cho 3. Do đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (𝑘 ∈ 𝑁)
Nếu p = 3k + 2 th ì 8p - 1 = 8(3k + 2) - 1 = 24k + 15 = 3(8k + 5) ⋮ 3 Mà 8p - 1 > 3 do đó 8p - 1 là hợp số (trái với đề bài).
Vậy 𝑝 ≠ 3𝑘 + 2
Nếu p = 3k + 1Khi đó 8p + 1 = 8(3k + 1) + 1 = 24k + 9 = 3(8k + 3) ⋮ 3 mà 8p + 1 > 3. Vậy 8p + 1 là hợp số.
Kết luận chương 2
Nhằm mục đích phát triển TDST cho từng HS, từng nhóm đối tượng HS, người GV cần phải thông qua các biện pháp và kĩ thuật dạy TDST để có thể phát triển tối đa năng lực TDST của mỗi HS. Tuy nhiên không phải mỗi HS đều phát triển hết các yếu tố của TDST như nhau mà sự phát triển mỗi yếu tố này ở mỗi HS là tùy thuộc vào khả năng của bản thân họ.
Trong nội dung chương 2, chúng tơi đã trình bày về chuyên đề số nguyên tố - hợp số trong chương trình tốn THCS. Trong đó có nêu lên các kiến thức cơ bản, các kiến thức liên quan và các dạng toán thường gặp của chuyên đề. Ngồi ra cịn có tiềm năng của việc phát triển TDST cho HS thông qua chuyên đề này.
Tiếp đến, luận văn trình bày một số biện pháp phát triển TDST cho HS thông qua chuyên đề số nguyên tố - hợp số. Biện pháp đầu tiên mà chúng tôi đưa ra là chú trọng vào rèn luyện các thao tác tư duy cơ bản. Đây là biện pháp được xem là chú trọng vào sự phát triển về “lượng” - là nội dung của hoạt động TD, khơng có các TTTD được thực hiện thì sẽ khơng có q trình TD diễn ra. Rèn việc sử dụng linh hoạt các TTTD là một nội dung quan trọng quyết định đến sự phát triển các yếu tố của TDST ở HS. Tuy nhiên, nếu chỉ dừng ở rèn các TTTD thì chưa đủ để có sự sáng tạo. Cho nên luận văn còn đưa ra biện pháp thứ hai, đó là chú trọng vào rèn luyện các đặc trưng của TDST như: tính mềm dẻo, thuần thục, độc đáo. Thông qua chun đề số ngun tố, hợp số, GV cịn có thể dẫn dắt HS thử thách bản thân bằng cách rèn luyện thói quen mị mẫm, thử sai cũng như tự tìm ra các bài toán tương tự với đề bài cụ thể để từ đó thúc đẩy phát triển TDST cũng như tăng thêm niềm u thích đối với mơn tốn. Cho nên biện pháp thứ ba và thứ tư mà chúng tơi trình bày trong luận văn là chú trọng rèn luyện thói quen mị mẫm – thử sai cho HS và chú trọng rèn luyện khả năng sáng tạo bài toán mới.
Trong một tiết học, GV không thể cùng một lúc, cùng một cách hướng dẫn, cùng một cách dạy để phát triển TDST cho mọi đối tượng HS trong lớp học nên trong mỗi biện pháp được trình bày, GV cần vận dụng linh hoạt theo các mức độ khác nhau phù hợp với từng nhóm HS bằng việc phân hoá các NDDH kết hợp phân hoá cách hướng dẫn, cách tổ chức cho phù hợp với từng nhóm đối tượng HS trong lớp để phát huy được tối đa TDST của mỗi HS.
CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Khái quát về thực nghiệm sư phạm
3.1.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài: “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chuyên đề số nguyên tố, hợp số ở lớp 6”.
Tuy nhiên, vì điều kiện thời gian hạn hẹp nên việc thực nghiệm chỉ mới bước đầu kiểm tra được tính khả thi của các biện pháp có trong đề tài.
3.1.2. Nội dung thực nghiệm
Các biện pháp phát triển TDST cho HS được vận dụng vào trong bài dạy của GV. Trong quá trình dạy thực nghiệm, GV sẽ vận dụng tư tưởng của biện pháp phát triển TDST vào việc thiết kế giáo án lên lớp của mình.
3.1.3. Đối tượng thực nghiệm
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm ở khối 6 của trường THCS Xuân Mai A. Trong q trình thực nghiệm chúng tơi tiến hành chọn ra lớp đối chứng và lớp thực nghiệm có sĩ số và trình độ tương đương nhau, HS có học lực tương đối đều nhau và các giáo viên trực tiếp giảng dạy có trình độ kinh nghiệm tương đương nhau.
Lớp thực nghiệm 1: lớp 6A, sĩ số: 35, kí hiệu là T1 do cô giáo Nguyễn Thúy Hà là giáo viên có 12 năm kinh nghiệm trực tiếp giảng dạy.
Lớp đối chứng 1: Lớp 6B, Sĩ số: 33. Kí hiệu: Đ1, do cơ Lê Kim Anh, GV có 16 năm kinh nghiệm trực tiếp giảng dạy.
Lớp thực nghiệm 2: lớp 6C, sĩ số: 34, kí hiệu là T2 do cơ giáo Nguyễn Thị Thùy Dung, là giáo viên có 20 năm kinh nghiệm trực tiếp giảng dạy.
Lớp đối chứng 2: Lớp 6D, Sĩ số: 34. Kí hiệu: Đ2, do thầy Lê Hữu Đại, GV có 17 năm kinh nghiệm trực tiếp giảng dạy.
3.1.4. Thời gian thực nghiệm
Thời gian thực nghiệm được chúng tơi tiến hành vào học kì I của năm học 2019 - 2020. Tiết dạy thực nghiệm được bố trí vào giờ dạy chính khóa và tiết tăng cường vào buổi hai.
3.1.5. Tổ chức thực nghiệm
Để chuẩn bị cho quá trình thực nghiệm đạt hiệu quả tốt, trước khi thực nghiệm khoảng một tháng, tôi đã gặp gỡ và trao đổi với Ban giám hiệu trường THCS Xuân Mai A để xin phép được tiến hành thực nghiệm.
Sau đó, chúng tơi đã tiến hành phổ biến cũng như cung cấp tài liệu cho các giáo viên của các lớp thực nghiệm đề nghị họ nghiên cứu tìm hiểu kĩ yêu cầu, nội dung và cách thức dạy thực nghiệm.
Chúng tôi tiến hành soạn bài kiểm tra đầu vào để kiểm tra thực trạng TDST của HS trước khi tiến hành thực nghiệm. Trong đó, nội dung bài kiểm tra hướng vào kiểm tra một yếu tố đặc trưng (tính mềm dẻo, tính thuần thục, tính độc đáo) của TDST. Các câu hỏi, bài tập phù hợp cho mọi đối tượng HS (khá, giỏi, trung bình,…) để các em có thể thể hiện mức độ TDST của mình. Sau đó, chúng tôi áp dụng DH theo phương châm mà các biện pháp nêu ra, từ đó xây dựng giáo án DH của GV trong cả tiết dạy bài mới, tiết luyện tập, cũng như tiết luyện tập tăng cường. Sau thời gian thực nghiệm, chúng tôi tiến hành cho HS làm bài kiểm