Tư duy hiện thân, biểu tượng và hình thức trong ngữ cảnh dạy học đạo hàm

Nghiên cứu này đề cập đến lý thuyết ba phạm vi biểu đạt toán học của Tall và vận dụng vào ngữ cảnh dạy học đạo hàm. Mục tiêu của nghiên cứu là làm rõ khung lý thuyết này và phân tích tư duy của học sinh lớp 11 thể hiện trong ba phạm vi hiện thân, biểu tượng và hình thức.

TƯ DUY HIỆN THÂN, BIỂU TƯỢNG VÀ HÌNH THỨC TRONG NGỮ CẢNH DẠY HỌC ĐẠO HÀM PHẠM VĂN TUÂN - TRẦN KIÊM MINH Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế Tóm tắt: Nghiên cứu đề cập đến lý thuyết ba phạm vi biểu đạt toán học Tall vận dụng vào ngữ cảnh dạy học đạo hàm Mục tiêu nghiên cứu làm rõ khung lý thuyết phân tích tư học sinh lớp 11 thể ba phạm vi thân, biểu tượng hình thức Nghiên cứu khẳng định khả vận dụng khung lý thuyết vào dạy học đạo hàm Kết nghiên cứu cho thấy phạm vi thân cần thiết để cung cấp tảng ban đầu cho phát triển nhận thức tư học sinh khái niệm đạo hàm, trước chuyển sang mức độ tư toán học bậc cao biểu tượng hình thức Từ khóa: Ba phạm vi biểu đạt tốn học, tư thân, tư biểu tượng, tư hình thức, đạo hàm MỞ ĐẦU Các nghiên cứu giáo dục toán cho thấy khái niệm giải tích tốn học giới hạn, đạo hàm, tích phân,… nhìn chung khái niệm trừu tượng khó để lĩnh hội đa số học sinh phổ thơng Một khó khăn học sinh không thấy chất khái niệm phạm vi biểu đạt thao tác khác Chẳng hạn, khái niệm đạo hàm xuất phát từ toán độ thay đổi chuyển động hay độ dốc đường cong Trượt bàn tay theo đường cong vẽ bảng cho ta cảm nhận độ dốc thay đổi điểm đường cong Những trải nghiệm dựa trực giác, cảm giác hay hành động đối tượng phạm vi giới vật lý mang tính chất tảng ban đầu cho việc nhận thức khái niệm đạo hàm Tư toán học học sinh phát triển lên cấp độ cao em thao tác phạm vi ký hiệu hay biểu tượng toán học liên quan đến khái niệm Để đặc trưng trình phát triển nhận thức chuyển từ tư tốn học sang tư tốn học hình thức bậc cao, (Tall, 2004, [8]; Tall, 2008, [9]; Tall, 2013, [10]) xây dựng khung lý thuyết phân biệt ba phạm vi biểu đạt thao tác toán học khác phạm vi thân, phạm vi biểu tượng phạm vi hình thức Khung lý thuyết ba phạm vi toán học Tall nhiều nhà nghiên cứu giáo dục toán phát triển vận dụng vào nghiên cứu dạy học khái niệm khác hàm số, giới hạn, không gian véctơ… Chẳng hạn, Christou et al, 2005, [2] vận dụng lý thuyết vào ngữ cảnh dạy học hàm số Các tác giả phân tích tư học sinh thể qua việc giải nhiệm vụ toán liên quan đến chủ đề hàm số ba phạm vi toán học Stewart & Thomas, 2007, [7] vận dụng khung lý thuyết vào nghiên cứu nhận thức sinh viên khái niệm tổ hợp tuyến tính độc lập tuyến tính Nghiên cứu sinh viên gặp khó khăn để thơng hiểu định nghĩa hình thức, đồng thời phạm vi thân cung cấp bổ sung có ý nghĩa cho phát triển nhận thức sinh viên liên quan đến khái niệm Mục tiêu tổng quát báo giới thiệu khung lý thuyết ba phạm vi biểu đạt toán học xây dựng phát triển Tall, 2004, [8]; Tall, 2008, [9]; Tall, 2013, [10] vận dụng vào ngữ cảnh dạy học đạo hàm phổ thông Cụ thể hơn, phân tích thể khác tư học sinh lớp 11 chủ đề đạo hàm qua ba phạm vi toán học Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sau Đại học lần thứ hai Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 10/2014: tr 89-96 PHẠM VĂN TUÂN – TRẦN KIÊM MINH 90 Trong phần báo, chúng tơi giới thiệu tóm tắt khung lý thuyết ba phạm vi biểu đạt toán học vận dụng vào khái niệm đạo hàm Sau đó, chúng tơi mơ tả phương pháp nghiên cứu phân tích liệu thực nghiệm Phần cuối báo nêu lên kết luận nghiên cứu định hướng vận dụng khung lý thuyết vào dạy học toán LÝ THUYẾT BA PHẠM VI BIỂU ĐẠT TOÁN HỌC Lý thuyết ba phạm vi biểu đạt toán học chia sẻ quan điểm kiến tạo giai đoạn phát triển nhận thức cá nhân (tri giác, hành động, phản ánh)của Piaget,1970, [6] cách thức biểu đạt trí tuệ (biểu đạt qua hành động, biểu đạt hình tượng, biểu đạt biểu tượng) trình phát triển nhận thức Bruner, 1966, [1] Dựa công trình này, (Tall, 2004, [8]; Tall, 2008, [9]; Tall, 2013, [10]) mô tả đặc trưng phát triển tư toán học học sinh ba phạm vi biểu đạt: thân khái niệm (conceptual embodiment), biểu tượng hóa thao tác (operational symbolism) hình thức hóa tiên đề (axiomatic formalism) Phạm vi thân khái niệm (gọi tắt thân) phạm vi trải nghiệm cảm giác, hình ảnh hành động đối tượng (thực ảo) Trong phạm vi này, học sinh tri nhận đối tượng qua trực giác, thao tác, hành động với hỗ trợ ngôn ngữ Các hoạt động phạm vi cung cấp tảng ban đầu cho phát triển nhận thức học sinh đối tượng toán học hướng đến Khái niệm phạm vi thân kế thừa từ kết gần khoa học nhận thức lý thuyết thân Lakoff đồng nghiệp (Lakoff & Nunez, 2000, [5]) Hình Ba phạm vi biểu đạt toán học (Tall, 2013) Phạm vi biểu tượng thao tác (gọi tắt biểu tượng) đề cập đến biểu tượng (symbols) mà sử dụng để tính tốn số học để thao tác biến đổi hình thức đại số, giải tích… Trong phạm vi này, biểu tượng tốn học nhìn nhận đồng thời hai khía cạnh: trình thao tác đối tượng (hay khái niệm) toán học Gray Tall, 1994, [4] đưa khái niệm procept để mơ tả vai trị đối ngẫu biểu tượng hay ký hiệu toán học Một procept tập hợp ba thành phần: q trình thao tác tính tốn cho phép hình thành nên đối tượng toán học, biểu tượng biểu đạt q trình đối tượng Chẳng hạn, biểu tượng lim f ( x)  L nhìn nhận đồng thời hai x a TƯ DUY HIỆN THÂN, BIỂU TƯỢNG VÀ HÌNH THỨC TRONG NGỮ CẢNH DẠY HỌC… 91 góc độ: Q trình tính tốn giới hạn ( x dần tới a f ( x) dần tới L ) đối tượng (hay khái niệm) toán học "giới hạn hàm số điểm" Bản chất đối ngẫu biểu tượng toán học cho phép thực thao tác tính tốn biến đổi để tư vềmột khái niệm hay đối tượng toán học liên quan Phạm vi hình thức hóa tiên đề (gọi tắt hình thức) liên quan đến đối tượng toán học định nghĩa hình thức dựa tiên đề Đây phạm vi tốn học hình thức chặt chẽ tính chất suy suy luận diễn dịch chứng minh hình thức dựa định nghĩa tiên đề Phạm vi tương ứng với mức độ cao tư toán học học sinh Mỗi phạm vi tốn học có đối tượng, hình thức biểu đạt kiểu hợp thức chân lý khác Trong phạm vi thân, đối tượng toán học phân biệt đặc trưng hình ảnh, vật lý việc nhận thức đối tượng dựa trực giác, cảm giác, vận động… Trong phạm vi này, việc hợp thức lập luận dựa tính chất tri nhận trực giác, cảm giác Trong phạm vi biểu tượng, đối tượng toán học kết trình biểu đạt biểu tượng hay ký hiệu toán học Việc hợp thức chân lý phạm vi dựa tính tốn thao tác biểu tượng Trong phạm vi hình thức, đối tượng tốn học hình thức hóa định nghĩa tiên đề Việc hợp thức lập luận phạm vi hình thức dựa chứng minh toán học BA PHẠM VI BIỂU ĐẠT TOÁN HỌC TRONG NGỮ CẢNH ĐẠO HÀM Đạo hàm khái niệm sở giải tích toán học Lịch sử khái niệm đạo hàm gắn liền với lịch sử phép tính vi tích phân Các nghiên cứu lịch sử tri thức luận cho thấy khái niệm đạo hàm hình thành từ hai ngữ cảnh: ngữ cảnh thứ toán vật lý vận tốc tức thời, tốc độ thay đổi đại lượng; ngữ cảnh thứ hai tốn tìm cực trị xác định tiếp tuyến của đường cong Nghiên cứu Grabiner,1983, [3] cho thấy khái niệm đạo hàm sử dụng công cụ để giải toán đặt hai ngữ cảnh trên, sau khám phá phát triển, cuối định nghĩa hình thức cách chặt chẽ Khái niệm đạo hàm xem xét nhiều hệ thống biểu đạt khác số học, đồ thị, biểu tượng Đặc điểm mang đến tiềm để nhận thức khái niệm ba phạm vi toán học Trong phạm vi thân, học sinh có hội trải nghiệm với hình ảnh trực quan khác liên quan đến ý nghĩa đạo hàm Chẳng hạn, trượt bàn tay theo đường cong cho trước cho ta cảm nhận độ dốc điểm đường cong Phóng to lân cận điểm đường cong cho ta cảm nhận khác dáng điệu đường cong lận cận đó: hàm số biểu diễn đường cong có đạo hàm lân cận phần đường cong lân cận trơng giống đường thẳng (tính thẳng hàng địa phương); hàm số biểu diễn đường cong khơng có đạo hàm điểm lận cận đường cong bị "gãy" Hình Trải nghiệm phạm vi thân với khái niệm đạo hàm PHẠM VĂN TUÂN – TRẦN KIÊM MINH 92 Những hình ảnh trực quan độ dốc hay tính thẳng hàng địa phương phạm vi thân cung cấp tảng ban đầu cho phát triển tư học sinh đạo hàm Trong phạm vi biểu tượng, học sinh có hội liên kết hình ảnh với biểu tượng ký hiệu đại số đạo hàm Chẳng hạn, việc tính tốn độ dốc tiếp tuyến điểm điểm hỗ trợ hình ảnh trực quan phạm vi thân Phạm vi hình thức dành cho định nghĩa đạo hàm, tính chất liên quan đến đạo hàm Độ dốc cát tuyến AM đồ thị hàm số f ( x)  x : f ( x  h)  f ( x ) h x  xh  h  x  h  x  h Khi h nhỏ, độ dốc ổn định quanh giá trị 2x Hình Thao tác phạm vi biểu tượng Như vậy, khái niệm đạo hàm có khía cạnh đặc trưng biểu đạt ba phạm vi toán học Trong nghiên cứu này, xem xét đặc trưng thể qua việc thiết kế nhiệm vụ toán phù hợp cho phạm vi phân tích tư học sinh thể ba phạm vi toán học PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đối tượng tham gia vào khảo sát thực nghiệm gồm 30 học sinh lớp 11 trường THPT Số Quảng Trạch địa bàn tỉnh Quảng Bình Phần lớn học sinh có trình độ mức trung bình Dữ liệu thu thập cách sử dụng phiếu học tập vấn nửa cấu trúc Phiếu học tập bao gồm tám toán với nhiệm vụ thiết kế dựa khung lý thuyết ba phạm vi biểu đạt toán học Các vấn cá nhân thực khoảng thời gian ba tuần sau hoàn thành thu thập liệu từ phiếu học tập với mục đích tìm hiểu sâu nhận thức học sinh liên quan đến đạo hàm PHÂN TÍCH 5.1 Trong phạm vi thân Chúng tơi thiết kế tập sau để phân tích tư học sinh đạo hàm phạm vi thân Mục tiêu tốn từ hình ảnh trực quan cho đồ thị hàm số hướng độ dốc tiếp tuyến học sinh nhận mối liên hệ với dấu đạo hàm điểm Học sinh dựa vào hướng tiếp tuyến góc tiếp tuyến với trục hoành để trả lời câu hỏi TƯ DUY HIỆN THÂN, BIỂU TƯỢNG VÀ HÌNH THỨC TRONG NGỮ CẢNH DẠY HỌC… 93 Bài tập Hình bên đồ thị hàm số y= f(x) khoảng (a;b) Biết điểm M , M M , đồ thị hàm số có tiếp tuyến thể hình vẽ Dựa vào hình vẽ em nêu nhận xét về: a) Dấu f ( x1 ) ? Giải thích ? b) Dấu f ( x2 ) ? Giải thích? c) Dấu f ( x3 ) ? Giải thích ? Kết thực nghiệm cho thấy câu a) có 18 học sinh trả lời đúng, 12 học sinh trả lời sai câu trả lời Trong 18 học sinh trả lời có 11 học sinh giải thích thơng qua khái niệm "độ dốc" đường tiếp tuyến giáo viên giới thiệu trước đó, học sinh cịn lại dựa vào góc đường tiếp tuyến với trục hồnh Ox Câu b) có 15 học sinh đưa đáp án đúng, 15 học sinh lại đưa đáp án sai Trong số 15 học sinh đưa đáp án có học sinh sử dụng "độ dốc" giải thích mình, học sinh cịn lại tìm góc tiếp tuyến điểm trục hồnh cho giải thích Giải thích theo độ dốc tiếp tuyến Xn Đức Lý Giải thích theo góc tiếp tuyến với trục hoành Phong Xuân Đức Câu c) có 16 học sinh trả lời đúng, 14 học sinh trả lời sai khơng có câu trả lời Nhìn chung, phần lớn học sinh giải thích dấu đạo hàm dựa vào hình ảnh đồ thị tiếp tuyến Một số học sinh cố gắng tính xác giá trị x1 , x2 , x3 xác định cơng thức hàm số tính đạo hàm điểm khơng thành cơng Điều giải thích thực hành dạy học đạo hàm tại, học sinh chủ yếu quen thuộc với tập liên quan đến thao tác tính tốn phạm vi biểu tượng phạm vi thân 5.2 Trong phạm vi biểu tượng Chúng tơi chọn tốn sau chứa đựng khía cạnh đặc trưng thuộc phạm vi biểu tượng để phân tích tư học sinh Bài tập a) Hàm số y  f ( x) xác định đẳng thức x y  y  x  xy  Tìm đạo hàm y ' ? b) Đạo hàm hàm số f ( x) f   x   ax  b Với giá trị a b độ dốc tiếp tuyến với với đồ thị hàm f x = nhận giá trị dương? Giải thích ? PHẠM VĂN TUÂN – TRẦN KIÊM MINH 94 Ở phạm vi biểu tượng, học sinh chủ yếu tính tốn thao tác biểu tượng ký hiệu liên quan đến đạo hàm Chúng thiết kế tập nhằm xem xét khả tính tốn lập luận học sinh liên quan đến đạo hàm điểm, mối liên hệ với hình ảnh độ dốc tiếp tuyến tập thứ Câu a) có 25 học sinh đưa đáp án xác cho yêu cầu tính đạo hàm hàm số cho đẳng thức x y  y  x  xy  , tất học sinh đưa câu trả lời xác biết cách đưa phương trình cho dạng hàm số y  f  x  Có học sinh biến đổi sai q trình nên khơng đưa hàm số đúng, học sinh cịn lại khơng đưa câu trả lời Ở câu b), có 16 học sinh đưa câu trả lời Trong 14 học sinh trả lời chưa xác khơng có câu trả lời có học sinh đưa đáp án b  mà không cần quan tâm đến giá trị a, học sinh đưa giải thích khơng xác học sinh không đưa câu trả lời Sau giải thích số học sinh cho câu hỏi b): Học sinh Giải thích Hiếu Phong 5.3 Phối hợp ba phạm vi Để xem xét học sinh tư phạm vi trước tốn cho trước, chúng tơi thiết kế nhiệm vụ cho phép học sinh xem xét ba phạm vi thân, biểu tượng hình thức Sau nội dung nhiệm vụ : Bài tập Hãy giải thích tính sai mệnh đề : « Đạo hàm hàm số chẵn hàm số lẻ », với giả thiết hàm số có đạo hàm tập số thực R Đối với tập này, học sinh xem xét giải thích phạm vi khác Chẳng hạn, phạm vi thân, học sinh dựa vào tính đối xứng đồ thị hàm số chẵn qua trục tung để suy tính đối độ dốc tiếp tuyến tương ứng hai điểm đối xứng qua trục tung sau: Học sinh lập luận tính tốn, biến đổi dựa ký hiệu đạo hàm để giải thích cho câu trả lời, tức làm việc phạm vi biểu tượng Học sinh lập luận TƯ DUY HIỆN THÂN, BIỂU TƯỢNG VÀ HÌNH THỨC TRONG NGỮ CẢNH DẠY HỌC… 95 cách khái quát phạm vi hình thức sau : từ đẳng thức f ( x)  f ( x) , lấy đạo hàm hai vế theo quy tắc đạo hàm hàm hợp ta f ' ( x)   f ' ( x) Vậy f ' ( x) hàm số lẻ Dữ liệu thực nghiệm cho thấy, hầu hết học sinh giải thích trả lời toán đưa phạm vi biểu tượng, cách biến đổi dựa biểu thức đạo hàm Một số làm sau minh họa điều đó: Học sinh Giải thích Thúy Hằng Thái Hùng Các giải thích dựa đồ thị, hình ảnh trực quan phạm vi thân lập luận hình thức khơng học sinh sử dụng tập Điều lý giải ảnh hưởng thể chế dạy học đạo hàm đến tư học sinh Thật vậy, hệ thống tập sách giáo khoa đạo hàm chủ yếu đề cập đến thao tác tính tốn biến đổi thuộc phạm vi biểu tượng Các tốn có liên quan đến đạo hàm phạm vi thân hạn chế KẾT LUẬN Lý thuyết ba phạm vi biểu đạt tốn họccung cấp mơ hình cho phép phân tích hiểu phát triển nhận thức tư học sinh từ thấp đến cao Trong nghiên cứu này, phân tích làm rõ khung lý thuyết này, thiết kế nhiệm vụ toán thuộc ba phạm vi biểu đạt khác xem xét khả lập luận học sinh phạm vi Phân tích làm học sinh cho thấy nhiều học sinh quen thuộc lập luận phạm vi biểu tượng Phạm vi thân hỗ trợ tốt cho học sinh bước đầu nhận thức khái niệm đạo hàm, cung cấp tảng để tư học sinh phát triển đến mức cao phức tạp Theo Tall, 2004, [8], dạy học khái niệm giải tích (giới hạn, đạo hàm, tích phân), học sinh nên bắt đầu tiếp cận chúng phạm vi thân trước, sau đến phạm vi biểu tượng cuối phạm vi hình thức Một cách tiếp cận dạy học cổ điển theo thứ tự Định nghĩa - Định lý - Chứng minh khó để học sinh phát triển tư hiểu sâu sắc khái niệm PHẠM VĂN TUÂN – TRẦN KIÊM MINH 96 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] Bruner, J S (1966) Towards a theory of instruction Cambridge, MA: Harvard University Press Christou, C., Pitta‐Pantazi, D., Souyoul, A., & Zachariades, T (2005) Theembodied, proceptual, and formal worlds in the context of functions Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 5(2), 241-252 Grabiner, J (1983) The Changing Concept of Change: The Derivative from Fermat to Weierstrass Mathematics Magazine, 56, 195-206 Gray, E., &Tall, D O (1994) Duality, ambiguity & flexibility: a proceptual view of simple arithmetic Journal for Research in Mathematics Education, 26, 115–141 Lakoff, G., & Nunez, R (2000) Where mathematics comes from: How the embodied mind brings mathematics into being New York: Basic Books Piaget, J (1970) Piaget’s theory In Mussen P.H (Ed.), Carmichael’s handbook of child psychology (pp 703–732) New York: Wiley Stewart, S., & Thomas, M O (2007) Embodied, symbolic and formal thinking in linear algebra International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 38(7), 927-937 Tall, D (2004) Thinking through three worlds of mathematics In M Johnsen Høines, & A B Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28thconference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp 281-288) Norway: Bergen University College Tall, D (2008) The Transition to Formal Thinking in Mathematics Mathematics Education Research Jounal,20(2), 5-24 Tall, D (2013) How Humans Learn to Think Mathematically: Exploring the Three Worlds of Mathematics Cambridge University Press Title: EMBODIED, SYMBOLIC AND FORMAL THINKING IN THE CONTEXT OF DERIVATIVES Abstract: This research refers to Tall’s theory of three worlds of mathematics and its application in the context of derivatives The objective of the study is to explicitly explain this theoretical framework and analyze 11th grade students’ thinking in the embodied, symbolic and formal worlds The study confirmed the application of this theory to the teaching and learning of derivatives The results suggested that the embodied world is necessary to provide initial foundation for students’ cognitive development within the context of derivatives, before moving to more advanced mathematical thinking such as symbolism and formalism Key words: three worlds of mathematics, embodied thinking, symbolic thinking, formal thinking, derivative PHẠM VĂN TUÂN Học viên Cao học, chuyên ngành Lý luận Phương pháp dạy học mơn Tốn, khóa 21 (2012-2014), Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế Email: tuantoanthptqb1@gmail.com TS TRẦN KIÊM MINH Khoa Toán học, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế Email: kiemminh@gmail.com ... phạm vi biểu tư? ??ng Học sinh lập luận TƯ DUY HIỆN THÂN, BIỂU TƯỢNG VÀ HÌNH THỨC TRONG NGỮ CẢNH DẠY HỌC… 95 cách khái quát phạm vi hình thức sau : từ đẳng thức f ( x)  f ( x) , lấy đạo hàm hai... TƯ DUY HIỆN THÂN, BIỂU TƯỢNG VÀ HÌNH THỨC TRONG NGỮ CẢNH DẠY HỌC… 93 Bài tập Hình bên đồ thị hàm số y= f(x) khoảng (a;b) Biết điểm M , M M , đồ thị hàm số có tiếp tuyến thể hình vẽ Dựa vào hình. .. x a TƯ DUY HIỆN THÂN, BIỂU TƯỢNG VÀ HÌNH THỨC TRONG NGỮ CẢNH DẠY HỌC… 91 góc độ: Quá trình tính tốn giới hạn ( x dần tới a f ( x) dần tới L ) đối tư? ??ng (hay khái niệm) toán học "giới hạn hàm