Skkn sử dụng sơ đồ tư duy để hệ thống hóa kiến thức trong một số bài dạy môn hình học lớp 11 ở trường thpt

MỤC LỤC Mở đầu .1 1.1 Lý chọn đề tài .1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .2 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng của đề tài 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 18 Kết luận kiến nghị .20 3.1 Kết luận 20 3.2 Đề xuất 20 3.3 Lời kết .20 skkn DANH MỤC VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ THPT Trung học phổ thông SĐTD Sơ đồ tư SGK Sách giáo khoa skkn Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Là giáo viên giảng dạy mơn Tốn lâu năm, tơi ln trăn trở làm để giúp em hệ thống hóa kiến thức cách có hệ thống, dễ nhớ, dễ hiểu ngày u thích mơn tốn Thực tế trình giảng dạy học tập cho thấy mơn tốn mơn học khó, phần lớn em học Tốn cịn yếu, khơng có giảng phương pháp dạy học phù hợp đối tượng học sinh dễ làm cho học sinh thụ động việc tiếp thu, lĩnh hội kiến thức Nhiều giáo viên chưa quan tâm mức đối tượng giáo dục, chưa đặt cho nhiệm vụ trách nhiệm nghiên cứu Hiện tượng dùng đồng loạt cách dạy, giảng cho nhiều lớp, nhiều hệ học trò Do phương pháp có tiến mà người giáo viên trở thành người cảm nhận, truyền thụ tri thức chiều, cịn học sinh khơng chủ động trình lĩnh hội tri thức-kiến thức làm cho học sinh khơng thích học mơn tốn Xuất phát từ mục đích dạy- học phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh nhằm giúp em xây dựng kiến thức, kỹ năng, thái độ học tập cần thiết, kỹ tư duy, tổng kết, hệ thống lại kiến thức, khắc sâu trọng tâm học, sơ đồ tư biểu đồ sử dụng để thể từ ngữ, ý tưởng, nhiệm vụ hay mục liên kết xếp tỏa trịn quanh từ khóa hay ý trung tâm Sơ đồ tư phương pháp đồ họa thể ý tưởng khái niệm học mà giáo viên cần truyền đạt, làm rõ chủ đề qua giúp em hiểu rõ nắm vững kiến thức cách có hệ thống Để giúp học sinh dễ nhớ, dễ hiểu, có hứng thú học tập mơn tốn nói chung mơn hình học nói riêng tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Sử dụng sơ đồ tư để hệ thống hóa kiến thức số dạy mơn hình học lớp 11 trường THPT” với mong muốn thay đổi cách giảng dạy truyền thụ tri thức chiều sang cách tiếp cận kiến tạo kiến thức suy nghĩ Ý tưởng “sơ đồ tư duy” xây dựng theo trình bước người dạy người học tương tác với Vì hoạt động vừa mang tính phân tích vừa mang tính nghệ thuật làm cho học sinh gợi nhớ kiến thức vừa học học từ trước Để thực điều trên, thân xác định phải bám sát nguồn tư liệu như: chuẩn kiến thức, kĩ năng; sách giáo khoa; sách giáo viên sách tham khảo khác Ngoài cịn ln chuẩn bị hệ thống tập dựa mục tiêu cụ thể, giúp học sinh định hướng nắm kiến thức trọng tâm học Thơng qua học sinh nắm vững kiến thức cũ, lĩnh hội kiến thức nhanh Trong phạm vi viết tơi chưa thể trình bày hết tồn nội dung SGK mà thiết kế số ví dụ minh họa học sử dụng SĐTD theo chương trình chuẩn có mong muốn nhỏ trao đổi với đồng nghiệp việc sử dụng sơ đồ tư giảng dạy mơn Tốn cá nhân tơi, vốn kiến thức cịn hạn hẹp, khn khổ đề tài, kinh nghiệm giảng dạy cịn nhiều hạn chế, tơi thành thật mong trao đổi góp ý đồng nghiệp dạy mơn Tốn mơn khác để thân ngày tiến skkn 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài tập trung vào việc nghiên cứu việc vận dụng sơ đồ việc giảng dạy nói chung cụ thể mơn hình học lớp 11 chương trình THPT nói riêng Mục tiêu nhằm giúp học sinh tiếp cận kiến thức cách đơn giản trực quan nhất, giúp học sinh biết khắc sâu kiến thức trọng tâm, biết liên tưởng kiến thức giúp học sinh ghi nhớ kiến thức cách tốt 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu số dạy mơn hình học lớp 11 cho học sinh Trung học phổ thông 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu, tìm hiểu sở lí luận hiệu việc sử dụng sơ đồ tư Tìm phần kiến thức nào, hoạt động dạy học áp dụng SĐTD giảng dạy có hiệu cao Áp dụng thực tế tiết học Điều tra phân tích hiệu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Cơ sở khoa học của đề tài Sơ đồ tư (SĐTD) gọi đồ tư duy, lược đồ tư duy,… hình thức ghi chép nhằm tìm tịi đào sâu, mở rộng ý tưởng, hệ thống hóa chủ đề hay mạch kiến thức,… bằng cách kết hợp việc sử dụng đồng thời hình ảnh, đường nét, màu sắc, chữ viết với sự tư tích cực Đặc biệt sơ đồ mở, không yêu cầu tỉ lệ, chi tiết chặt chẽ đồ địa lí, vẽ thêm bớt nhánh, người vẽ kiểu khác nhau, dùng màu sắc, cụm từ diễn đạt khác nhau, chủ đề người “thể hiện” dạng SĐTD theo cách riêng, việc lập SĐTD phát huy tối đa khả sáng tạo người SĐTD trọng tới hình ảnh, màu sắc, với mạng lưới liên tưởng (các nhánh). Có thể vận dụng SĐTD vào hỗ trợ dạy học kiến thức mới, củng cố kiến thức sau tiết học, ôn tập hệ thống hóa kiến thức sau chương, học kì SĐTD giúp học sinh học phương pháp học tập chủ động, tích cực SĐTD giúp học sinh học tập tích cực, huy động tối đa tiềm não Việc học sinh vẽ SĐTD có ưu điểm phát huy tối đa tính sáng tạo học sinh, em tự chọn màu sắc để thể ( xanh, đỏ, tím, vàng, nâu, …), đường nét (đậm, nhạt, thẳng cong…), em tự “ sáng tác” nên SĐTD thể rõ cách hiểu, cách trình bày kiến thức học sinh SĐTD em tự thiết kế nên em yêu quý, trân trọng “ tác phẩm” SĐTD giúp học sinh ghi chép hiệu Do đặc điểm SĐTD nên người thiết kế SĐTD phải chọn lọc thông tin, từ ngữ, xếp bố cục để ghi thông tin cần thiết lơgic Vì vậy, sử dụng SĐTD giúp học sinh hình thành cách ghi chép hiệu skkn Hình 1: Tổ chức dạy học với Sơ đồ tư 2.1.2 Cơ sở thực tiễn của đề tài Đa số học sinh chưa có chưa có phương pháp học mơn tốn Kĩ giải tốn trình bày giải yếu Hưởng ứng việc sở giáo dục phát động sử dụng sơ đồ tư dạy học đổi phương pháp dạy học 2.2 Thực trạng của đề tài 2.2.1 Thuận lợi Là giáo viên dạy toán lâu năm, tiếp xúc với học sinh nhiều Tổ chuyên môn thường xuyên thảo luận chuyên đề sơ đồ tư Phần lớn học sinh thích học Tốn Các em học sinh thích tìm phương pháp học tập Bản thân mong muốn học hỏi nâng cao kiến thức 2.2.2 Khó khăn Một phận không nhỏ học sinh học trước quên sau, học chương chương khác quên, học này, quên Kỹ tư phân tích, hệ thống hóa kiến thức cịn skkn 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Sử dụng sơ đồ tư để hệ thống hóa kiến thức “Đường thẳng mặt phẳng song song” chương trình hình học lớp 11 Hình 2: Hệ thống hóa kiến thức “Đường thẳng mặt phẳng song song” BÀI TẬP VẬN DỤNG Dạng 1: Bài toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp giải: d   Bài tập 1: Cho hình chóp trung điểm Chứng minh , hình bình hành skkn Lời giải S P M A D *) Trong Ta có : Gọi B C N trung điểm đường trung bình (1) *) Lại có (2) ( Do trung điểm ) *) Từ (1) (2) Tứ giác hình bình hành (Điều phải chứng minh) Bài tập 2: Cho hình bình hành không nằm mặt phẳng Gọi , điểm cho , Tìm để Lời giải Gọi giao điểm Trong mặt phẳng ta có cắt nên (định lí Ta – lét đảo) Ta lại có Suy (định lí Ta – lét) Khi Vậy skkn Dạng 2: Xác định giao tuyến mặt phẳng Phương pháp giải: Để tìm giao tuyến mặt phẳng, ngồi phương pháp “Tìm điểm chung mặt phẳng”, ta sử dụng định lí giao tuyến sau: Bước 1: Chỉ , chứa hai đường thẳng song song Bước 2: Tìm điểm chung hai mặt phẳng Bước 3: Khi Bài tập 1: Cho tứ diện giác tam giác phẳng Gọi theo thứ tự trọng tâm tam Tìm giao tuyến mặt phẳng với mặt Lời giải Gọi theo thứ tự trung điểm Trong tam giác Do , ta có: Mà: Bài tập 2: Cho hình chóp có đáy hình bình hành tâm trung điểm , điểm cạnh cho a) Chứng minh rằng: b) Xác định giao tuyến Gọi Lời giải: K S M A B N O D C H a) Chứng minh I skkn Ta có Mà , suy (đpcm) b) Gọi (cùng nằm ) Suy điểm chung thứ Ta có , suy (cùng nằm ); nên điểm chung thứ hai Do giao tuyến hai mặt phẳng Dạng thiết diện đai qua điểm song song với đường thẳng Định nghĩa thiết diện: Thiết diện (mặt cắt) đa giác phẳng thu cắt khối chóp mặt phẳng (Các cạnh đa giác thu đoạn giao tuyến mặt phẳng với mặt bên mặt đáy hình chóp) Phương pháp giải: Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng : Bước 1: Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến với mặt hình chóp (có thể mặt phẳng trung gian) Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm cắt cạnh mặt hình chóp, ta điểm chung với mặt khác Từ xác định giao tuyến với mặt Bước 3: Tiếp tục tới giao tuyến khép kín ta thiết diện Chú ý: + Thiết diện khối chóp đa giác bao quanh viền ngồi khối chóp, khơng có đường thẳng đâm xun bên khối chóp + Có thể tìm thiết diện phương pháp dựng giao điểm Bài tập 1: Cho tứ diện Giả sử thuộc đoạn thẳng Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng qua song song với Lời giải A P Q B N M D C nên giao tuyến song song với cắt với đường thẳng qua skkn nên giao tuyến với đường thẳng qua song song với cắt nên giao tuyến với đường thẳng qua song song với cắt Ta có Vậy thiết diện hình bình hành Bài tập 2: Cho tứ diện Trên cạnh lấy trung điểm , cạnh lấy điểm Gọi mặt phẳng chứa đường thẳng song song với a) Hãy xác định thiết diện mặt phẳng với tứ diện b) Xác định vị trí cho thiết diện hình bình hành Lời giải a) Xác định thiết diện mặt phẳng với tứ diện Ta có (1) Ta có (2) Và (3) (4) Từ (1), (2), (3), (4) ta : Vậy thiết diện hình thang b) Xác định vị trí Ta có: ( cho thiết diện hình bình hành đường trung bình tam giác hình bình hành Do trung điểm ) skkn Vậy trung điểm hình bình hành 2.3.2 Sử dụng sơ đồ tư để hệ thống hóa kiến thức số “ Hai mặt phẳng song song” chương trình hình học lớp 11 Hình 3: Hệ thống hóa kiến thức “ Hai mặt phẳng song song” BÀI TẬP VẬN DỤNG Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp giải: Áp dụng định lý Nhận xét: Thực chất việc chứng minh mặt phẳng song song tìm đường thẳng cắt mặt phẳng song song với đường thẳng cắt mặt phẳng Vậy: Chứng minh mặt phẳng song song với mặt phẳng khác skkn Bài tập 1: Cho hình lập phương Chúng minh Lời giải Gọi O trung điểm trung điểm *)Tam giác *) *) từ tứ giác hình bình hành *) Và I trung điểm Tương tự: *) Từ Bài tập 2: Cho hình chóp có , , trung điểm , a) Chứng minh  MNP  //  ABC  b) Gọi , , trọng tâm tam giác , , Chứng minh:  HGL  //  MNP  Lời giải a) Ta có: đường trung bình tam giác nên MN // AB Tương tự đường trung bình tam giác nên MP // AC , 10 skkn MN  MP  M  MNP  Từ  1 ,   ,  3 suy  MNP  //  ABC  b) Gọi , , trung điểm * HG //IJ ( tam giác Do có , , Khi ta có: ) (4) * HL // IK ( tam giác Do có ) (5) Từ , , suy Mà  ABC  //  MNP  nên (đpcm) Dạng 2: Xác định thiết diện mặt phẳng với hình chóp biết mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước Phương pháp giải: Để xác định thiết diện trường hợp ta sử dụng tính chất sau - Khi song song với tất đường thẳng ta chuyển dạng thiết diện song song với đường thẳng - Sử dụng - Tìm đường thẳng nằm xét mặt phẳng có hình chóp mà chứa , nên cắt mặt phẳng chứa (nếu có) theo giao tuyến song song với Bài tập: Cho hình chóp có đáy hình bình hành tâm có , Tam giác tam giác Một mặt phẳng di động song song với mặt phẳng điểm qua đoạn a) Xác định thiết diện hình chóp cắt    b) Tính diện tích thiết diện theo a, b x Lời giải a) Xác định thiết diện hình chóp cắt    * Trường hợp 1: Xét thuộc đoạn 11 skkn Ta có , Tương tự , Vậy thiết diện tam giác Do Hai tam giác có cặp cạnh tương ứng song song nên chúng đồng dạng, mà nên tam giác * Trường hợp 2: Điểm thuộc đoạn , tương tự trường hợp ta thiết diện tam giác (như hình vẽ) b) Tính diện tích thiết diện theo a, b x * Trường hợp 1: thuộc đoạn Ta có , Do * Trường hợp 2: thuộc đoạn , tính tương tự ta có Vậy 2.3.3 Sử dụng sơ đồ tư để hệ thống hóa kiến thức số “Đường thẳng vng góc với mặt phẳng” chương trình hình học lớp 11 12 skkn Hình 4: Hệ thống hóa kiến thức “Đường thẳng vng góc với mặt phẳng” Dạng Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Phương pháp giải: Định nghĩa: Đường thẳng gọi d vng góc với mặt phẳng vng a góc với đường thẳng chứa mặt α phẳng Kí hiệu hay Định lý: d Đường thẳng vng góc với mặt phẳng b vng góc với hai đường thẳng cắt a α chứa mặt phẳng Bài tập: Cho hình chóp trung điểm a) b) có đáy Biết hình thoi tâm Gọi Chứng minh rằng: Lời giải a Vì Vì Vậy, nên cân nên S cân A b Vì B I J O trung điểm D C 13 skkn nên Vậy, Dạng Xác định góc đường thẳng mặt phẳng 1) Khái niệm Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu vng góc xuống mặt phẳng 2) Cách xác định góc đường thẳng mặt phẳng Giả sử cần xác định góc đường thẳng mặt phẳng , ta thực theo bước sau - Tìm hình chiếu lên - Khi đó, , tốn quay tìm góc hai đường thẳng Bài tập: Cho hình chóp có đáy hình chiếu vng góc xuống mặt phẳng giác , cho Tính góc giữa: a) b) c) d) Lời giải a) Gọi Do trọng tâm tam giác Ta có: hình vng cạnh , trọng tâm tam nên thuộc Vậy b) Ta có: , Mặt khác, Vậy với c) Ta có: 14 skkn d) Trong có: Mặt khác Vậy với Dạng 3.Xác định thiết diện Bài tập: Cho tứ diện với tam giác vuông cân đỉnh , điểm tuỳ ý cạnh , đặt Gọi mặt phẳng qua vng góc với a) Tìm thiết diện tứ diện với ? b) Tính diện tích thiết diện theo Lời giải a) Tìm thiết diện tứ diện với ? ? S Ta có: Từ ta kẻ N Ta có: Từ D A C M kẻ B thiết diện với b/ Tính diện tích thiết diện theo vng ? Ta có: Ta có: 2.3.4 Sử dụng sơ đồ tư để hệ thống hóa kiến thức số “ Hai mặt phẳng vuông góc” chương trình hình học lớp 11 15 skkn Hình 5: Hệ thống hóa kiến thức “ Hai mặt phẳng vng góc” 16 skkn Dạng Góc hai mặt phẳng Phương pháp giải Để xác định góc hai mặt phẳng ta thực sau: + Xác định giao tuyến + Tìm mặt phẳng trung gian mà , (Đây bước quan trọng nhất) Bài tập: Xác định đoạn giao tuyến thành phần: Cho tứ diện đều, vng cân Biết , có tam giác Tính góc Lời giải D a B E C 2a A Ta có: Gọi trung điểm Tam giác có Do đó: Vậy Dạng Chứng minh vng góc Phương pháp giải: Để chứng minh hai mặt phẳng vng góc với ta dùng cách sau: Cách Xác định góc hai mặt phẳng , tính trực tiếp góc 17 skkn Cách Chứng minh mặt phẳng có đường thẳng vng góc với mặt phẳng Cách Tìm hai vec tơ vng góc với mặt phẳng chứng minh Bài tập: (ĐH khối B 2006) Cho hình chóp S.ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD=a , SA=a Gọi M trung điểm AD Chứng minh Lời giải S Giả sử I giao điểm AC MB Ta có: MA=MD AD//BC suy M A a B Vậy AMI tam giác vuông I, suy Mặt khác (2) Từ (1),(2) suy D I a C (1) (đpcm) Dạng Xác định thiết diện Phương pháp giải: Cho mặt phẳng đường thẳng khơng vng góc với định mặt phẳng chứa vng góc với β A b Xác a d H α - Chọn điểm - Dựng đường thẳng qua mặt phẳng vng góc với Khi 18 skkn Chú ý :Tính diện tích thiết diện Cho đa giác nằm mặt phẳng có diện tích đa giác hình chiếu vng góc mặt phẳng Khi tính theo cơng thức: P H S'=Scosα P' H' với góc Bài tập 1: Cho hình chóp có đáy hình thang vng , , ; cạnh bên vng góc với đáy Mặt phẳng qua vng góc với mặt phẳng Tính diện tích thiết diện tạo với hình chóp cho Lời giải Gọi trung điểm Mặt khác Từ , suy , suy hình vng nên Ta có Vậy thiết diện tam giác Ta có Do tam giác ; có cạnh nên 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau triển khai đề tài thấy hiệu tốt, học sinh có tự tin, biết hệ thống hóa kiến thức gặp tốn liên quan, có niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho việc tự học, tự nghiên cứu 19 skkn Để thấy kết sát thực SKKN (sáng kiến kinh nghiệm), chọn hai lớp 11A8 11A4 lớp 11A4 có học lực để tiến hành làm đối chứng cụ thể sau: Trước áp dụng SKKN đề cho học sinh hai lớp vẽ sơ đồ tư hệ thống hóa kiến thức khoảng cách- hình học chương 3, lớp 11, từ nêu dạng toán thường gặp Yêu cầu em làm giấy chấm điểm, kết sau: Lớp Sĩ số 11A8 48 11A4 37 Giỏi 8.3% 18.9% Khá Trung bình 16.7% 22 45.8% 21.6% 17 44.9% Yếu, 14 29.2% 13.6% Kết làm học sinh chủ yếu mức độ trung bình, yếu có em gần bế tắc, số đạt khá, giỏi có Trước tình trạng tơi tập trung bồi dưỡng cho em vào số buổi học bồi dưỡng, truyền thụ nội dung chủ yếu SKKN, em tự tin làm loại tập này, kết thu kiểm tra lần hai tốt nhiều so với lần đầu, ghi lại sau: Lớp Sĩ số 11A8 48 15 11A4 37 17 Giỏi 31,3% 45,9% Khá 20 42% 12 32.4% Trung bình 19% 21.7% Yếu, 7.7% 0.0% Với kết làm thực tế học sinh, nhận thấy việc hệ thống hóa kiến thức, hệ thống hóa dạng tập, giúp học sinh tiếp thu vận dụng làm tập cách tự tin, nhanh chóng Kết kiểm tra lần hai cao nguyên nhân học sinh hiểu rõ vấn đề, trang bị khối lượng kiến thức chắn 20 skkn Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau: Sáng kiến kinh nghiệm đưa số giảng minh họa cách vẽ SĐTD, trình bày dạng tốn cách có hệ thống, giải lượng lớn tập, đặc biệt tổ chức thực nghiệm sư phạm thành công để minh họa tính khả thi hiệu biện pháp đề xuất Học sinh hứng thú tiếp cận vẽ SĐTD hệ thống dạng tập Qua thực tế giảng dạy thân trường trung học phổ thông Đông Sơn 1,với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn tồn diện hơn, đa chiều toán, giúp học sinh tự hệ thống kiến thức, tự suy luận vấn đề, phân chia dạng toán cách khoa học, dễ nhớ, dễ hiểu Tôi hi vọng có điều kiện để trình bày mở rộng vấn đề năm 3.2 Đề xuất Sau thời gian nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm tơi có số kiến nghị sau: Đây đề tài cần mở rộng phát triển sâu, rộng để giáo viên học sinh tiếp cận, đào sâu, có kỹ vẽ SĐTD, hệ thống hóa dạng toán, làm cho toán học trở nên dễ nhớ, dễ hiểu Học sinh khơng cịn tâm lý né tránh, hay sợ sệt Cần có thêm loại sách tham khảo, tài liệu SĐTD để em quen dần đưa vào môn học mà ko mơn tốn 3.3 Lời kết Làm để em học sinh ngày yêu toán học hơn? Biết vận dụng toán học vào thực tiễn cách linh hoạt? Thể vai trò to lớn giáo dục đến phát triển trí tuệ, nhân cách cá nhân phát triển kinh tế xã hội? ln niềm trăn trở, mục đích hướng tới người giáo viên có lương tâm trách nhiệm nghề nghiệp Bài toán sử dụng SĐTD để hệ thống hóa kiến thức chuyên đề hay rộng, song khuôn khổ giới hạn sáng kiến kinh nghiệm nên nêu số SĐTD vài học, số dạng tốn điển hình, tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu hội đồng chuyên môn đồng nghiệp để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác NGƯT, ThS LƯƠNG HỮU HỒNG Lê Bích Hảo 21 skkn TÀI LIỆU KHAM KHẢO Bộ đề thi trung học phổ thông quốc gia năm 2016-2017; 2017-2018 Bộ đề tinh túy ôn thi trung học phổ thơng quốc gia 2017 mơn tốn, Nhà xuất đại học Quốc Gia Hà Nội Bộ đề: Luyện thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017, Nhà xuất giáo dục Việt Nam, Phạm Đức Tài, 2016 Bộ đề: Luyện thi trung hoc phổ thông quốc gia năm 2018, Nhà xuất giáo dục Việt Nam, Phạm Đức Tài, 2018 Tham khảo qua mạng Internet 22 skkn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA TRƯỜNG THPT ĐƠNG SƠN I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG SƠ ĐỒ TƯ DUY ĐỂ HỆ THỐNG HĨA KIẾN THỨC TRONG MỘT SỐ BÀI DẠY MƠN HÌNH HỌC LỚP 11 Ở TRƯỜNG THPT Người thực hiện: Lê Bích Hảo Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn học THANH HĨA NĂM 2022 23 skkn ... Internet 22 skkn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA TRƯỜNG THPT ĐƠNG SƠN I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG SƠ ĐỒ TƯ DUY ĐỂ HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC TRONG MỘT SỐ BÀI DẠY MƠN HÌNH HỌC LỚP 11 Ở TRƯỜNG THPT Người... có: 2.3.4 Sử dụng sơ đồ tư để hệ thống hóa kiến thức số “ Hai mặt phẳng vng góc” chương trình hình học lớp 11 15 skkn Hình 5: Hệ thống hóa kiến thức “ Hai mặt phẳng vng góc” 16 skkn Dạng Góc... tư? ?ng tự ta có Vậy 2.3.3 Sử dụng sơ đồ tư để hệ thống hóa kiến thức số “Đường thẳng vng góc với mặt phẳng” chương trình hình học lớp 11 12 skkn Hình 4: Hệ thống hóa kiến thức “Đường thẳng vng góc