SKKN Sử dụng sơ đồ tư duy các bước để giải 10 bài toán cực trị điển hình của hình học tọa độ không gian lớp 12 Thpt; giúp học sinh giải nhanh và đạt điểm cao trong kì thi trung học phổ thông quốc gia[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG SƠ ĐỒ TƯ DUY CÁC BƯỚC ĐỂ GIẢI 10 BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐIỂN HÌNH CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN LỚP 12-THPT; GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH VÀ ĐẠT ĐIỂM CAO TRONG KÌ THI TRUNG HỌC PHỔ THƠNG QUỐC GIA Người thực hiện: Lưu Thị Huyên Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn học THANH HĨA NĂM 2018 SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC Phần 1: MỞ ĐẦU .1 Lí chọn đề tài: Mục đích nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi đề tài nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: .1 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Thời gian nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: .2 Những nét đổi mới, sáng tạo tạo giá trị áp dụng sáng kiến: Phần 2: NỘI DUNG Cơ sở lí luận đề tài : .3 1.1 Cơ sở khoa học đề tài: .3 1.2 Cơ sở thực tiễn đề tài: Thực trạng vấn đề nghiên cứu: 3 Giải pháp tổ chức thực – Kiểm nghiệm : 3.1 Giới thiệu sơ lược nội dung chương 3-hình học tọa độ khơng gian lớp 12THPT: .3 3.2 Hệ thống hóa kiến thức có liên quan: 3.3 10 toán cực trị điển hình hình học tọa độ khơng gian lớp 12-THPT: Bài tốn 1: Tìm M thuộc đường thẳng ( mặt phẳng P ) cho P 1MA12 MA2 n MAn nhỏ lớn …………………… Bài tốn 2: Tìm M thuộc đường thẳng ( mặt phẳng P ) cho uuuur uuuur uuuur P 1 MA1 MA2 n MAn nhỏ , n i 1 i Bài toán 3: Tìm M P cho MA MB nhỏ .9 Bài tốn 4: Tìm M P cho MA MB lớn , với d A, P d B, P 10 Bài toán 5: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A x1 ; y1 ; z1 , B x2 ; y ; z x x0 y y0 z z0 Tìm M cho MA MB nhỏ .12 a b c Bài tốn 6: Viết phương trình mặt phẳng chứa cách A khoảng lớn đường thẳng : 13 Bài tốn 7: Viết phương trình mặt phẳng chứa tạo với P góc nhỏ 14 Bài tốn 8: Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B tạo với góc lớn 15 SangKienKinhNghiem.net Bài toán 9: Lập phương trình đường thẳng d qua A x1 ; y1 ; z1 cắt đường x x0 y y0 z z0 cho khoảng cách từ B x2 ; y ; z đến đường a b c thẳng d lớn nhỏ .16 Bài toán 10: Lập phương trình đường thẳng d qua A x1 ; y1 ; z1 cắt đường thẳng d ' : x x0 y y0 z z0 cho khoảng cách d a b c x x2 y y2 z z2 : lớn 18 a' b' c' thẳng d ' : 3.4 Hiệu việc sử dụng sơ đồ tư giải tốn hình học tọa độ khơng gian lớp 12- THPT, với thân, đồng nghiệp nhà trường: 19 Phần KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ .20 Mục lục Tài liệu tham khảo Danh mục sáng kiến kinh nghiệm hội đồng đánh giá xếp loại cấp Sở GD&ĐT xếp loại C trở lên Phụ lục SangKienKinhNghiem.net Phần 1: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Thực chủ trương đổi giáo dục nước ta mục tiêu, nội dung chương trình phương pháp giảng dạy, đặc biệt đổi nội dung chương trình sách giáo khoa cách thức thi, kiểm tra, đánh giá học sinh Trong kì thi THPT quốc gia, đề thi mơn tốn có 50 câu trắc nghiệm, học sinh hoàn thành với thời gian 90 phút Làm để khoảng thời gian ngắn thế, mà điểm cao thật không dễ! Rõ ràng, cách dạy trình bày lí luận khơng cịn phù hợp, thay vào phải dạy để học sinh ghi nhớ tốt nhiều công thức, nhiều phương pháp, phát huy tính sáng tạo chủ động học sinh, trả lời nhiều câu hỏi thời gian nhanh Chính thế, tơi chọn đề tài: “Sử dụng sơ đồ tư bước để giải 10 tốn cực trị điển hình hình học tọa độ không gian lớp 12 –THPT; giúp học sinh giải nhanh đạt điểm cao kì thi trung học phổ thông quốc gia” Thực tế giảng dạy cho thấy rằng: học sinh thích học đại số học hình học sợ học mơn hình học Lí vậy? Hầu hết số lí người học thiếu phương pháp làm cách khoa học dễ nhớ, giống người cần đèn pin soi đường đêm tối, người học khơng có phương pháp, khơng thể học tốt Trong phạm vi đề tài, nghiên cứu 10 tốn cực trị điển hình hình học tọa độ khơng gian lớp 12- THPT Thiết nghĩ, tốn hình học trình bày đơn từ đầu đến cuối, học sinh dễ nhàm chán, không nắm phương pháp; sử dụng sơ đồ tư duy, với ưu điểm: có màu sắc, hình vẽ minh họa, đảm bảo tính khoa học – logic, học sinh dễ học - dễ nhớ; soi đường, lối cho em tìm phương pháp học đạt hiệu cao Trong xu hội nhập vào cách mạng công nghiệp 4.0, học sinh phải đáp ứng nhiều tiêu chí: thơng minh, nhanh nhẹn, làm việc khoa học - sáng tạo Tơi hi vọng đề tài giúp học sinh có tiêu chí trên, đặc biệt nhiệm vụ trước mắt giải câu khó dành điểm 9,10 đề thi THPTQG, tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp, em học sinh mong nhận chia sẻ, góp ý, để đề tài ứng dụng rộng rãi Mục đích nghiên cứu đề tài Qua nghiên cứu đề tài, giáo viên phải nắm phương pháp giải 10 toán điển hình hình học tọa độ khơng gian lớp 12-THPT, qua giúp học sinh áp dụng giải tập tương tự theo sơ đồ cho Từ khơi nguồn tạo cảm hứng việc dạy - học tập tìm tịi u thích mơn tốn học Đối tượng phạm vi đề tài nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Các tập cực trị hình học tọa độ khơng gian lớp 12- THPT; áp dụng dạy cho học sinh khối, lớp mà phân công trực tiếp giảng dạy từ năm 2016 đến Cụ thể sau: - Lớp 12A2, 12A4 năm học 2016– 2017 trường THPT Đông Sơn 1 SangKienKinhNghiem.net 3.2 Phạm vi nghiên cứu: - Chương trình SGK Hình học lớp 12 chưa cải cách (NXB GD năm 2000) - Chương trình SGK Hình học , lớp 12 cải cách (NXB GD năm 2006) Thời gian nghiên cứu: Từ tháng năm 2016 đến tháng năm 2018 Phương pháp nghiên cứu: Xuất phát từ đối tượng nhiệm vụ nghiên cứu để đạt mục đích đề q trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp chủ yếu sau: + Nghiên cứu tài liệu + Nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm giảng dạy + Thực nghiệm sư phạm + Phân tích tổng hợp lý thuyết + Phân loại hệ thống lý thuyết + Phương pháp thực nghiệm (thông qua thực tế dạy học lớp, giao tập, củng cố học, hướng dẫn HS chuẩn bị bài, kết hợp với kiểm tra, đánh giá) Những nét đổi mới, sáng tạo tạo giá trị áp dụng sáng kiến: - Sáng tạo hơn: học sinh có hướng tư giải tốn hình học dạng dạng khác có liên quan;giúp học sinh học tập chủ động tích cực, phát huy khả tự học nhà - Tiết kiệm thời gian: sổ tay ghi nhớ, cẩm nang để bàn giúp học sinh cần nhìn vào sơ đồ biết cách làm bài; giúp học sinh làm nhanh nhiều tập tắc nghiệm thời gian ngắn, đạt điểm cao - 10 kì thi - Ghi nhớ tốt hơn: sơ đồ tư với hình vẽ bắt mắt, chữ viết màu sắc, giúp học sinh dễ học dễ nhớ - Nhìn thấy tranh tổng thể: học sinh nắm bước rõ ràng đảm bảo tính logic, hệ thống, tổng quát tập từ đầu đến cuối - Phát triển nhận thức tư duy: học sinh áp dụng cách học cho nhiều tập khác, môn học khác ; đồng thời thay đổi cách suy nghĩ cũ:“ thấy hình học khó”, mà u thích học mơn tốn, đặc biệt mơn hình học khơng gian - Đây tài liệu bổ ích giúp giáo viên giảng dạy ơn tập hiệu cao SangKienKinhNghiem.net Phần 2: NỘI DUNG Cơ sở lí luận đề tài: 1.1 Cơ sở khoa học đề tài: - Sơ đồ tư bước giải hình thức ghi chép nhằm tìm tịi, đào sâu, mở rộng ý tưởng, hệ thống hóa chủ đề hay mạch kiến thức cách kết hợp việc sử dụng màu sắc, chữ viết, hình vẽ minh họa với tư tích cực - Sơ đồ tư trọng đến màu sắc, nhánh, bước liên đới với Có thể sử dụng sơ đồ vào dạy học mới, ôn tập chương – kì - Sơ đồ tư giúp người học phát huy tối đa tính chủ động, tích cực,tính sáng tạo em - Sơ đồ tư cách ghi chép hiệu quả, xếp bố cục thông tin cần thiết logic 1.2 Cơ sở thực tiễn đề tài: - Học sinh chưa có phương pháp học hiệu - Thời gian học tập nhà cịn - Kĩ giải tốn trình bày giải cịn hạn chế Thực trạng vấn đề nghiên cứu: - Phần lớn học sinh khơng nhớ kiến thức hình học lớp 10,11; kiến thức lớp 12 nhớ không chắn, lúc nhớ lúc quên - Kĩ tự học, học làm nhà học sinh hạn chế; em bị phân tán nhiều trò chơi mạng xã hội - Kĩ phân tích giả thiết quan hệ đối tượng hình học tọa độ cịn nhiều lúng túng - Giáo viên môn chưa trọng nhiều đến việc hướng dẫn học sinh kĩ tự học, kĩ tìm cách giải tốn sơ đồ tư duy, kĩ đánh giá giúp học sinh giải câu có nội dung kiến thức vận dụng cao (chống máy tính CASIO) Chính thế, việc sử dụng sơ đồ tư vào giải tốn hình học tọa độ khơng gian giúp học sinh ghi nhớ tốt, nhìn vào sơ đồ biết cách làm, thao tác lặp lại nhiều lần hình thành kĩ học tập giải tốn tốt hơn; đồng thời học sinh nhìn tranh tổng thể, tự phân tích mối quan hệ đối tượng, từ khả tự học phát huy Qua đó, việc truyền thụ kiến thức đến học sinh thầy cô nhẹ nhàng hơn, dễ hiểu hơn; em thích học hình học đam mê học toán GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN - KIỂM NGHIỆM : 3.1 Giới thiệu sơ lược nội dung chương 3-hình học tọa độ không gian lớp 12-THPT: Trong không gian Oxyz cho: A x A ; y A ; z A , B x B ; y B ; z B r r a a1 ;a ;a , b b1 ; b ; b3 Khi đó: uuur +) AB x B x A ; y B y A ; z B z A +) AB x B x A y B y A z B z A 2 SangKienKinhNghiem.net r r +) a b a1 b1;a b ;a b3 +) +) +) +) +) +) +) +) +) r k.a ka1 ; ka ; ka r a a12 a 22 a 32 r r a b a1 b1 ;a b ;a b3 rr a.b a1.b1 a b a b3 r r r r r r r a a a a / /b a k.b a, b b1 b b3 r r rr a b a.b a1.b1 a b a b3 r r a a a a1 a1 a a, b ; ; b b b b b1 b 3 r r r r r r r r r a, b,c đồng phẳng m, n ¡ : a mb nc hay a, b c r r r r r r r r r a, b,c không đồng phẳng m, n ¡ : a mb nc hay a, b c +) M chia đoạn AB theo tỉ số uuuur uuur x kx B y A ky B z A kz B k MA kMB M A ; ; 1 k 1 k 1 k x x B yA yB zA zB Đặc biệt: M trung điểm AB: M A ; ; 2 x x B x C y A y B yC z A z B zC +) G trọng tâm tam giác ABC: G A ; ; 3 +) G trọng tâm tứ diện ABCD: x x B x C x D y A y B yC y D z A z B zC z D G A ; ; 4 r r r +) Véctơ đơn vị: i (1;0;0); j (0;1;0); k (0;0;1) +) Điểm trục tọa độ: M(x;0;0) Ox; N(0; y;0) Oy; K(0;0; z) Oz +) Điểm thuộc mặt phẳng tọa độ: M(x; y;0) Oxy ; N(0; y; z) Oyz ; K(x;0; z) Oxz uuur uuur +) Diện tích tam giác ABC: SABC AB, AC uuur uuur +) Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD AB, AC uuur uuur uuur +) Thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD AB, AC AD uuur uuur uuuur +) Thể tích khối hộp ABCD.A 'B'C 'D ' : VABCD.A ' B 'C ' D ' AB, AD AA ' 3.2 Hệ thống hóa kiến thức có liên quan: +) Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng : Ax By Cz D ' : A ' x B' y C 'z D ' SangKienKinhNghiem.net Gọi góc hai mặt phẳng, ta có: cos AA ' BB' CC ' A B2 C A '2 B'2 C '2 +) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho mp : Ax By Cz D điểm M x ; y0 ; z Khi đó: d M ; Ax By Cz D A B2 C +) Góc hai đường thẳng Cho đường thẳng d có vectơ phương u a; b;c đường thẳng d ' có vectơ phương u ' a '; b ';c ' Gọi góc hai đường thẳng ta có: u u' cos u u' a.a ' bb ' cc ' a b c a ' b' c' 2 2 2 (0 900 ) +) Góc đường thẳng với mặt phẳng Cho đường thẳng d có vectơ phương u a; b;c mặt phẳng có vectơ r pháp tuyến n A; B;C Gọi góc hợp đường thẳng d mặt phẳng ta có: u.n sin u.n Aa Bb Cc A B2 C a b c +) Khoảng cách từ điểm M1 x1; y1; z1 đến đường thẳng có vectơ phương u : Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng qua M1 vng góc với - Tìm tọa độ giao điểm H mặt phẳng - d M1; M1H uuuuuur r M1M , u Cách 2: Sử dụng công thức: d M1; r u +) Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo qua M x ; y0 ; z có vectơ phương u đường thẳng ' qua M '0 x '0 ; y '0 ; z '0 có vectơ phương u ' Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng chứa song song với ' - Tính khoảng cách từ M '0 mặt phẳng SangKienKinhNghiem.net - d(, ') d(M '0 ,()) r ur uuuuuur u, u ' M M '0 Cách 2: Sử dụng công thức: d(, ') r ur u, u ' +) Áp dụng bất đẳng thức: a b c d a c b d đẳng thức xảy a c b d 3.3 10 tốn cực trị điển hình hình học tọa độ khơng gian lớp 12THPT: Để tìm cực trị không gian thường sử dụng hai cách: Cách 1:Sử dụng phương pháp hình học Cách 2:Sử dụng phương pháp đại số Bài tốn 1: Trong khơng gian Oxyz, cho n điểm A1 , A2 , , An Tìm M thuộc đường thẳng ( mặt phẳng P ) cho P 1MA12 MA2 n MAn a) Nhỏ 1 n b) Lớn 1 n Phân tích sơ đồ: Trong sơ đồ uuu bước giải uuu toán 1a, gồm bước sau: uur r r r Bước 1: Tìm điểm I thỏa mãn: 1 IA1 IA2 n IAn Bước 2: Biến đổi P 1 n MI 1 IA12 IA2 n IAn Bước 3: Nếu 1 n P lớn MI nhỏ hay M hình chiếu vng góc I lên đường thẳng lên mặt phẳng P SangKienKinhNghiem.net Sai lầm học sinh mắc phải: - Học sinh nắm kiện toán song biểu thị biểu thức véc tơ lúng túng - Học sinh sai lầm cách tính véc tơ - Học sinh chưa biết điều kiện để MI lớn hay nhỏ Cách khắc phục: Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh biểu thị véc tơ: uur uuur uuur - Tính véc tơ IA1 , IA2 , , IAn uur uuur uuur r - Thực phép toán cộng, trừ, nhân véc tơ cho 1 IA1 IA2 n IAn - Tìm điểm I - Biến đổi biểu thức P 1MA12 MA2 n MAn - Biện luận theo 1 n Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ P Lưu ý:Các sơ đồ hiểu thứ tự bước giải sơ đồ bước giải tốn 1a Ngồi ra, tìm thêm cách khác để giải tốn Từ đó, ta lập sơ đồ bước giải tương ứng Bài tập áp dụng toán 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm A 2; 2;3, B 1;0; 3, C 2; 3; 1 Tìm M thuộc mặt phẳng : x y z cho S 2MA2 3MB 4MC nhỏ Bài giải: uur uur uur r Gọi I x; y; z điểm thỏa mãn điều kiện IA 3IB IC uur IA 2 x; y;3 z ; uur Mà IB 1 x; y; 3 z ; uur IC 2 x; 3 y; 1 z Do I 7;16;1 Khi : uuur uur uuur uur uuur uur S MA2 3MB MC MI IA MI IB MI IC IM IA2 3IB IC Do IA2 3IB IC không đổi nên S nhỏ MI nhỏ M hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng x 7 2t Ta có: IM Phương trình đường thẳng IM : y 16 t z 2t x 7 2t x 5 y 16 t Tọa độ điểm M nghiệm hệ: y 17 z 2t z 1 2 x y z Vậy M 5;17; 1 điểm cần tìm Bài tập tương tự tốn 1: SangKienKinhNghiem.net Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A 1; 2;3, B 1;0; 3, C 2; 3; 1 Tìm M thuộc mặt phẳng : x y z cho S 2MA2 5MB 3MC nhỏ Bài toán 2: Trong không gian Oxyz, cho n điểm A1 , A2 , , An Tìm M thuộc đường uuuur uuuur uuuur thẳng ( mặt phẳng P ) cho P 1 MA1 MA2 n MAn nhỏ , n i 1 i 0 Bài tập áp dụng tốn 2: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm x 1 y 1 z 1 A 2; 2;3, B 1;0; 3, C 2; 3; 1 Tìm M thuộc đường thẳng : 1 uuur uuur uuuur cho P 2MA 3MB 4MC nhỏ Bài giải: uur uur uur r Gọi I x; y; z điểm thỏa mãn điều kiện IA 3IB IC uur IA 2 x; y;3 z ; uur Mà IB 1 x; y; 3 z ; Do I 7;16;1 uur IC 2 x; 3 y; 1 z Khi : uuur uuur uuuur uuur uur uuur uur uuur uur P MA 3MB MC MI IA MI IB MI IC MI Do P nhỏ MI nhỏ M hình chiếu vng góc I lên đường thẳng uuur Ta có: M M 1 2t ; 1 3t ;1 t IM 2t 8;3t 17; t SangKienKinhNghiem.net Vì IM 2t 3t 17 t t 13 3 Vậy M 6; ; điểm cần tìm 2 Bài tập tương tự tốn 2: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A 1; 2;3, B 1;0; 3, C 2; 3; 1 Tìm M uuur uuur uuuur x 1 y 1 z 1 cho P 3MA 4MB 6MC lớn 1 Bài toán 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A x1 ; y1 ; z1 , B x2 ; y ; z mặt thuộc đường thẳng : phẳng P : ax by cz d Tìm M P cho MA MB nhỏ Bài tập áp dụng tốn 3: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A 4; 2;6 , B 3; 2;1 mặt phẳng : x y z Tìm M cho MA MB nhỏ Bài giải: uur Mặt phẳng P có nP 2; 1; véc tơ pháp tuyến SangKienKinhNghiem.net Thay tọa độ hai điểm A, B vào vế trái phương trình P ta 18 nên hai điểm A,B nằm phía so với P Gọi A’ điểm đối xứng với A qua P Khi A’ B khác phía so với P với điểm M P ta có: MA MA ' Do M P : MA MB MA ' MB A ' B mà A’B không đổi đẳng thức xảy M A ' B P suy MA +MB nhỏ M A ' B P x 2t Ta có: AA ' P AA ' : y 2 t z 2t Tọa độ giao điểm H AA’ P nghiệm hệ: x 2t x y 2 t y H 0;0; z 2t z 2 x y z x A ' xH x A 4 H trung điểm AA’ y A ' yH y A A ' 4; 2; 2 z z z 2 H A A' x 4 7t uuuur Suy A ' B 7; 4;3 , phương trình A ' B : y 4t , t R z 2 3t x 4 7t x y 4t 1 5 Tọa độ điểm M nghiệm hệ y 1 M ; 1; 4 4 z 2 3t 2 x y z z Vậy M ; 1; điểm cần tìm 4 4 Bài tập tương tự tốn 3: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A 5; 2;6 , B 3; 2;1 mặt phẳng : x y z Tìm M cho MA MB nhỏ Bài tốn 4: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A x1 ; y1 ; z1 , B x2 ; y ; z mặt phẳng P : ax by cz d Tìm M P cho MA MB lớn , với d A, P d B, P 10 SangKienKinhNghiem.net Bài tập áp dụng tốn 4: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A 4; 2;6 , B 3; 2; 2 mặt phẳng P : x y z Tìm M P cho MA MB lớn Bài giải: uur Mặt phẳng P có nP 2; 1; véc tơ pháp tuyến Thay tọa độ hai điểm A, B vào vế trái phương trình P ta 16 -2 nên hai điểm A,B nằm khác phía so với P Vì A,B nằm khác phía so với P nên với ta ln có AM MB AB , đẳng thức xảy M AB P x t Phương trình AB: y 2 z 8t 28 x t x y 2 10 28 Tọa độ M: y 2 M ; 2; z 8t 10 2 x y z z 10 Vậy M ; 2; điểm cần tìm Bài tập tương tự tốn 4: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A 5; 2;6 , B 3; 2;1 mặt phẳng P : x y 3z Tìm M P cho MA MB lớn 28 11 SangKienKinhNghiem.net Bài tốn 5: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A x1 ; y1 ; z1 , B x2 ; y ; z đường thẳng : x x0 y y0 z z0 Tìm M cho MA MB nhỏ a b c Bài tập áp dụng tốn 5: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A 2; 2; 2 , B 1; 2;1 đường thẳng : x y z 1 Tìm M cho MA MB 1 nhỏ Bài giải: Vì M M t ; 2t ;1 t , uuuur uuuur AM t 2; 2t 2; t 3, BM t 1; 2t 2; t Ta có MA MB 6t 18t 17 6t 6t 2 3 7 6 7 6t 6t 2 2 Áp dụng bất đẳng thức : a b c d a c b d đẳng thức xảy a c b d 2 3 6 7 6t 6t Ta có: MA MB 2 38 Đẳng thức xảy 6 6t 6t t 2 Vậy M ;1; điểm cần tìm 2 2 Bài tập tương tự tốn 5: 1 12 SangKienKinhNghiem.net Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A 3; 2; 1, B 1; 2;1 đường thẳng x 1 y z Tìm M cho MA MB nhỏ 1 x x0 y y0 z z0 Bài tốn 6: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng : a b c điểm A cho trước Viết phương trình mặt phẳng chứa cách A : khoảng lớn Cách 1: Phương pháp hàm số: Cách 2: Dùng hình học: Gọi K,H hình chiếu vng góc A lên P Khi d A, P AH AK , ta có, mà AK khơng đổi Do đó, d A, P lớn H K uuur Hay P mặt phẳng qua K, nhận AK làm véctơ pháp tuyến Bài tập áp dụng tốn 6: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng : x 1 y z 1 , điểm A(1;-1;0) Viết phương trình mặt phẳng Q chứa 1 cách A khoảng lớn Bài giải: r Đường thẳng qua B(1;0;-1) có u 2;1; 1 véc tơ phương r Giả sử n a; b; c véc tơ pháp tuyến Q , suy phương trình mặt phẳng Q có dạng: Q : a( x 1) by c(z 1) ax by cz a c 1 Do Q nên 2a b c c 2a b c b 2a 4a Do đó: d A, Q 2 5a 4ab 2b a b c 5a 4ab 2b 13 SangKienKinhNghiem.net Nếu b d A, Q 4a 4t a f t đặt t , xét hàm số f t với Nếu b 2 5a 4ab 2b 5t 4t b tR 16t 16t Ta có f ' t , f ' t t 1, t Ta lại có: lim f (t ) t 5t 4t Chọn b 1 ta tìm a 1, c Suy maxf t f 1 , maxd A, Q Vậy phương trình mặt phẳng Q : x y z Bài tập tương tự tốn 6: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng : đạt t 1 x y z 1 , điểm A(1;-1;1) Viết 1 phương trình mặt phẳng Q chứa cách A khoảng lớn x x0 y y0 z z0 , a b c mặt phẳng P : ax by cz d Viết phương trình mặt phẳng chứa tạo Bài tốn 7: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng : với P góc nhỏ Bài tập áp dụng tốn 7: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng x 1 y z 1 mặt phẳng P : 2x-y z Viết phương trình mặt phẳng 1 R chứa tạo với P góc nhỏ : Bài giải: uur Mặt phẳng P có nP 2; 1; véc tơ pháp tuyến r Đường thẳng qua B(1;0;-1) có u 2;1; 1 véc tơ phương 14 SangKienKinhNghiem.net r Giả sử n a; b; c véc tơ pháp tuyến R suy phương trình mặt phẳng R có dạng: R : a( x 1) by c(z 1) ax by cz a c 1 Do R nên 2a b c c 2a b suy phương trình mặt phẳng R có dạng: R : ax by 2a b z a b Gọi ·P , R , 00 900 Ta có cos 2a b 2a b a 2a b b Nếu a cos 36a 12ab b 5a 4ab 2b 36a 12ab b t 12t 36 b f t ta có 5a 4ab 2b 2t 4t a 53 maxf t f f (t ) Khảo sát hàm số f t , có: tlim ta tìm 10 b Suy max cos chọn b 7 a 10 a 10 Vậy phương trình R :10 x y 13z Nếu a đặt t Bài tập tương tự toán 7: x y 1 z mặt phẳng 2 1 P : 2x-y z Viết phương trình mặt phẳng R chứa tạo với P Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng : góc nhỏ x x0 y y0 z z0 a b c hai điểm A x1 ; y1 ; z1 , B x2 ; y ; z Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B Bài toán 8: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : tạo với góc lớn 15 SangKienKinhNghiem.net Bài tập áp dụng tốn 8: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng x y z 1 hai điểm M 2;1;1, N 1; 2; 1 Viết phương trình mặt 1 phẳng chứa M , N tạo với góc lớn : Bài giải: r Đường thẳng có u 2;1; 1 véc tơ phương Giả sử phương trình mặt phẳng có dạng: : a x by cz d 3a c b 2a b c d Do M , N nên a a 2b c d d b 2 Ta có dạng phương trình : a x 2by 3a b z a 3b uur Suy n 2 a; 2b; 3a b véc tơ pháp tuyến Gọi · , , 00 900 uur r n u 4a 2b 3a b 49a 14ab b Ta có: sin uur r 2 13a 6ab 5b n u 4a 3a b 4b Nếu a sin 30 49a 14ab b t 14t 49 b f t , t R ta có 13a 6ab 5b 5t 6t 13 a 17 75 f (t ) , suy maxf t f Xét hàm số f t , ta có: tlim 19 14 b 17 Do max sinmax chọn b 17, a 19 a 19 Vậy phương trình :19 x 17 y 20 z 35 Nếu a đặt t Bài tập tương tự toán 8: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng x 1 y z hai điểm M 1;1;1, N 1; 2; 1 Viết phương trình mặt phẳng 2 1 chứa M , N tạo với góc lớn : Bài tốn 9: Lập phương trình đường thẳng d qua A x1 ; y1 ; z1 cắt đường thẳng d ' : x x0 y y0 z z0 cho khoảng cách từ B x2 ; y ; z đến đường a b c thẳng d lớn nhất, nhỏ 16 SangKienKinhNghiem.net Bài tập áp dụng toán 9: Lập phương trình đường thẳng d qua A 0; 1; cắt đường thẳng d ': x 1 y z cho khoảng cách từ B 1;1;1 đến đường thẳng d 1 a) lớn b) nhỏ Bài giải: Giả sử d cắt d’ điểm M M 1 2t ; t ; t , t R uuuur AM 2t 1; t 1; t véc tơ phương đường thẳng d uuur uuur uuuur Ta có AB 1; 2; 1 nên AB, AM 1 t ;1 t ;3 3t Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là: uuur uuuur AB, AM d B, d uuuur AM 11t 22t 11 f t 6t 2t 22 5t 11 t 11t 22t 11 11 f (t ) Ta có f t nên f ' t Ta lại có: tlim 6t 2t 6t 2t 1 Từ tìm maxf t f , minf t f 1 Do a) maxd B, d đạt t thẳng cần tìm d : x y 1 z 7 1 uuuur AM 7; 4;1 nên phương trình đường 5 17 SangKienKinhNghiem.net ... thế, tơi chọn đề tài: ? ?Sử dụng sơ đồ tư bước để giải 10 toán cực trị điển hình hình học tọa độ khơng gian lớp 12 –THPT; giúp học sinh giải nhanh đạt điểm cao kì thi trung học phổ thơng quốc gia”... lớn nhất, nhỏ P Lưu ý :Các sơ đồ hiểu thứ tự bước giải sơ đồ bước giải tốn 1a Ngồi ra, tìm thêm cách khác để giải tốn Từ đó, ta lập sơ đồ bước giải tư? ?ng ứng Bài tập áp dụng tốn 1: Trong khơng... vận dụng cao (chống máy tính CASIO) Chính thế, việc sử dụng sơ đồ tư vào giải tốn hình học tọa độ không gian giúp học sinh ghi nhớ tốt, nhìn vào sơ đồ biết cách làm, thao tác lặp lại nhiều lần hình