Phát triển năng lực khảo sát toán của học sinh trong quá trình khám phá các tình huống toán học có biểu diễn trực quan

Bài viết này trình bày các năng lực khảo sát toán của học sinh thể hiện trong quá trình khám phá các tình huống toán học có biểu diễn trực quan dựa trên một nghiên cứu định tính về tiếp cận dạy học toán này trong lớp học.

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC KHẢO SÁT TOÁN CỦA HỌC SINH TRONG Q TRÌNH KHÁM PHÁ CÁC TÌNH HUỐNG TỐN HỌC CĨ BIỂU DIỄN TRỰC QUAN PHAN VĂN HỒNG Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Khảo sát toán tiếp cận dạy học lấy học sinh làm trung tâm giáo dục toán Tiếp cận nghiên cứu áp dụng thực hành dạy học để đổi việc học tốn học sinh Bài viết trình bày lực khảo sát toán học sinh thể q trình khám phá tình tốn học có biểu diễn trực quan dựa nghiên cứu định tính tiếp cận dạy học tốn lớp học Các lực khảo sát toán cụ thể thể rõ nghiên cứu là: tư bậc cao, suy luận toán học, đặt vấn đề giải vấn đề, lực giao tiếp, khả lập luận khái quát hóa Từ khóa: khảo sát tốn, biểu diễn trực quan, tình tốn học MỞ ĐẦU Khảo sát toán tiếp cận dạy học lấy học sinh làm trung tâm giáo dục tốn Khảo sát tốn khơng đưa quy trình cụ thể mà địi hỏi làm sáng tỏ dần Nó cung cấp cho học sinh kích thích cần có để phát triển theo hướng thắc mắc q trình tốn học em Trần Vui (2010, [3]) học toán phần lớn học sinh giao tốn mang tính quy trình chủ yếu Các em có hội khám phá tình tốn học sử dụng biểu diễn trực quan Vì hầu hết học sinh hứng thú với học tốn Trong đó, thực tế giảng dạy cho thấy học sinh thật hút vào học toán em học tốn mơi trường chứa đựng nhiều yếu tố thách thức kích thích trí tị mị, tưởng tượng em Có nhiều tiếp cận dạy học nhằm thúc đẩy việc học tốn như: tiếp cận hỏi-tìm, giải vấn đề, khảo sát tốn… Trong đó, khảo sát tốn xem tiếp cận dạy học mang lại nhiều hội cho học sinh nâng cao lực toán học, đặc biệt sử dụng tình tốn học có biểu diễn trực quan nhằm hỗ trợ học sinh khảo sát toán Tiếp cận dạy học thu hút quan tâm, nghiên cứu nhà giáo dục toán giới nhằm tìm kiếm cách thức để thúc đẩy việc học toán học sinh phát triển lực toán học cho em CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Biểu diễn trực quan Trực quan hóa khả năng, trình sản phẩm sáng tạo, giải thích, sử dụng phản ánh dựa hình vẽ, hình ảnh, sơ đồ đầu chúng ta, giấy hay công cụ khoa học công nghệ, với mục đích mơ tả giao tiếp thơng tin, tư phát triển ý tưởng chưa biết trước để đến việc hiểu tốn Các biểu diễn trực quan xem công cụ để trực quan hóa nhằm giúp học sinh hiểu đối tượng toán học trừu tượng Biểu diễn trực quan ngày khơng dành cho mục đích minh họa mà thừa nhận thành phần suy luận, đặc biệt suy luận có lý quy nạp ngoại suy (Arcavi, 2003, [5]) Chúng ta điểm bình vài nghiên cứu biểu diễn trực quan giáo dục toán: - Bolyard (2005), Steen, Brooks Lyon (2006) đề cập đến vai trò biểu diễn trực quan động: làm cho đối tượng tốn học trừu tượng có ý nghĩa hơn, thúc đẩy động nâng cao kết học tập học sinh Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sau Đại học lần thứ hai Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 10/2014: tr 42-51 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC KHẢO SÁT TOÁN CỦA HỌC SINH 43 - Trần Vui (2009, [2]) xác định vai trò biểu diễn trực quan hệ thống biểu diễn tốn đặc trưng đối chiếu với biểu diễn đại số Như vậy, kết nghiên cứu cho thấy biểu diễn trực quan hỗ trợ minh họa cho lời giải toán học tuý ký hiệu, chúng thực hữu ích giáo dục tốn Tuy khơng thay cho chuỗi suy luận suy diễn dẫn đến chứng minh tốn học định hướng hỗ trợ tích cực cho q trình giải vấn đề đề xuất khám phá xa hơn, giúp học sinh kiến tạo tri thức toán 2.2 Khảo sát toán 2.2.1 Quy trình khảo sát tốn Khảo sát tốn tiếp cận dạy học nhà giáo dục giới quan tâm nghiên cứu áp dụng vào thực tiễn dạy học từ năm 1970 Tuy nhiên, nhà giáo dục chưa tìm thống quan niệm thuật ngữ Quinnell (2010, [6]) cho khảo sát toán tiếp cận mở, trình học sinh khám phá toán mở tiếp cận khác nhằm đưa đến nhiều ý tưởng nhiều suy luận khác Trong đó, Yea Yeap (2010, [8]) cho khảo sát tốn q trình học sinh khám phá toán thao tác đặc biệt hóa, đốn, kiểm chứng khái quát hóa Từ hai quan điểm nêu trên, thấy khảo sát tốn học tình phức tạp mà học sinh cần phải tìm tịi khám phá thông qua hoạt động nghi vấn, thử nghiệm, kiểm chứng, khái quát hóa phản ánh Khi tham gia vào khảo sát toán học, em bị hút vào tốn địi hỏi em phải đặt câu hỏi, thu thập kiện, tiến hành khám phá Những câu hỏi trọng tâm vào kiến thức tốn học trả lời em tham gia tích cực vào q trình khám phá học tập Quy trình khảo sát tốn trình bày Nguyễn Thị Duyến (2013) gồm bước theo sơ đồ: Hình Quy trình khảo sát tốn Bước q trình khảo sát tốn liên quan đến việc quan sát, xem xét tình để đặt câu hỏi, xây dựng giả thuyết thơng qua đặc biệt hóa, đốn thử, tìm kiếm quy luật… Bước liên quan đến hoạt động thu thập liệu, tìm phương án để giải vấn đề, kiểm chứng hay bác bỏ giả thuyết… Bước liên quan đến việc rút kết luận khái quát hóa… Bước cuối quy trình liên quan đến hoạt động thảo luận, đánh giá phương án giải vấn đề, mở rộng kết tìm kiếm được, đặt câu hỏi để tiến hành khám phá xa Quá trình khảo sát tốn khơng dừng lại bước mà tiếp tục với chu trình 2.2.2 Đặc trưng tình khảo sát tốn Các tình khảo sát tốn phải hợp lý lơi hai yếu tố nhằm đảm bảo thành công học tốn Việc xây dựng mơi trường thúc đẩy việc học với nhiều hội 44 PHAN VĂN HOÀNG để học sinh tranh luận phản ánh cần thiết chưa đủ tình khảo sát khơng đủ thách thức thiếu tính kích thích q trình khám phá tốn học sinh Một tình khảo sát tốn xem có tính thúc đẩy việc khám phá tốn học sinh tích hợp số đặc trưng sau (Trần Vui, 2014, [4]): - Phải trực quan học sinh thao tác mơ hình, qua kích thích học sinh đặt nghi vấn giả thuyết q trình khám phá kiến thức Từ đó, em tích cực thu thập, xử lý liệu để tìm câu trả lời cho nghi vấn mình, khẳng định hay bác bỏ giả thuyết đưa ra, tìm kiếm quy luật đến tổng quát hóa, tiếp tục đề xuất câu hỏi hay giả thuyết để theo đuổi khám phá xa - Mang lại nhiều hội để học sinh phát huy trí tưởng tượng phát triển thói quen suy nghĩ cách sáng tạo Một học sinh tiếp cận tình học tập nhiều góc độ, đặt nhiều nghi vấn giả thuyết khác để mở rộng tình khảo sát ban đầu em có nhiều hội để phát huy lực suy luận lực sáng tạo thân - Địi hỏi học sinh phải tích hợp cách sáng tạo kiến thức kĩ không mơn tốn mà mơn học khác - Vừa đem lại hứng khởi cho học sinh vừa đủ thách thức để kích thích học sinh theo đuổi thắc mắc, nghi vấn q trình khám phá kiến thức Điều địi hỏi tình học tập phải có nhiều điểm bắt đầu phù hợp với trình độ khác học sinh lớp học - Tình phải mang lại hội để học sinh giao tiếp tranh luận với ý tưởng toán học mơi trường tương tác, em làm việc cách cá nhân hợp tác, chia sẻ ý tưởng để tiến hành khảo sát xa qua nâng cao lực giao tiếp, suy luận PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu định tính để quan sát học sinh thực hoạt động khảo sát toán lớp Các tình dạy học thực nghiệm lớp 10B3, Trường THPT Nguyễn Huệ, Tỉnh Thừa Thiên Huế Công cụ nghiên cứu bao gồm biểu diễn trực quan in phiếu học tập để học sinh làm bài; liệu thu thập bao gồm làm học sinh, hồ sơ ghi chép tiến trình học hoạt động học sinh đối thoại học sinh – học sinh, học sinh – giáo viên Từ liệu có được, chúng tơi phân tích, đánh giá phát triển lực khảo sát toán học sinh trình khám phá tình tốn học có biểu diễn trực quan Các liệu thu thập từ quan sát trình học sinh khảo sát toán ghi chép lại phân tích lực khảo sát tốn học sinh Các liệu thu phân tích mang tính định tính đối tượng nhỏ học sinh NĂNG LỰC KHẢO SÁT TOÁN CỦA HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH KHÁM PHÁ Kết từ việc quan sát lớp học cho thấy lực khảo sát toán phát huy em khám phá tình tốn có biểu diễn trực quan Những tình khảo sát tốn có vấn đề mang đến hứng khởi cho học sinh kích thích em tìm kiếm khám phá xa hơn, thấy rõ điều qua việc phân tích đáp ứng học sinh em làm việc với tình khảo sát chu vi họ hình chữ nhật có diện tích Tình 1: Khảo sát chu vi họ hình chữ nhật có diện tích Hãy lập nhiều hình chữ nhật bạn xếp từ 36 hình vng Tìm chu vi hình tạo ghi lại kết vào bảng? PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC KHẢO SÁT TOÁN CỦA HỌC SINH 45 Khảo sát tình sau: a Dùng thơng tin câu hỏi để vẽ đồ thị liên quan chu vi số hàng? b Dùng đồ thị để trả lời câu hỏi sau: b1 Chỉ cạnh hình chữ nhật có chu vi lớn nhỏ nhất? b2 Tìm cạnh hình chữ nhật có chu vi 50 đơn vị? Đề xuất số khám phá mà em rút trình khảo sát trên? Kết thực nghiệm: Câu 1: Học sinh xếp 36 hình vng đơn vị thành hình chữ nhật Câu 2a: Câu 2b1: Học sinh quan sát đồ thị để đưa kết Câu 2b2: Câu 3: Học sinh không dừng lại việc xác định chu vi lớn nhất, nhỏ họ hình chữ nhật có diện tích, mà qua em muốn khám phá xa hơn, chẳng hạn từ việc sử dụng đồ thị để khảo sát chu vi, em rút biểu thức: 46 PHAN VĂN HỒNG Từ đó, em đặt câu hỏi, với số a, b cho trước có tích khơng đổi liệu Tuy nhiên, học sinh khác đưa ví dụ để sai lầm giả thuyết sau: Vì vậy, số học sinh khác nghĩ cần phải có điều kiện cho số a, b, em xét trường hợp dấu a b, sau em đề xuất khám phá bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân: Cho số a b khơng âm, Rõ ràng đề xuất em xác em tiến hành chứng minh cho đề xuất mình, chẳng hạn: Nhóm học sinh khác liên tưởng đến hệ thức lượng tam giác vuông, em sử dụng biểu diễn trực quan để hỗ trợ cho phần chứng minh mình: Khơng dừng lại đó, số học sinh khác cịn đặt câu hỏi ngược lại cho tình trên, hình chữ nhật có chu vi số hình chữ nhật với cạnh có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất? Việc khám phá bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân trên, em dễ dàng đưa câu trả lời cho câu hỏi này: Ngoài ra, từ biểu thức số học sinh khám phá mối liên hệ chu vi diện tích hình chữ nhật hình chữ nhật , S, P diện tích, chu vi Qua khảo sát tình trên, học sinh thể lực: - Năng lực tư suy luận: Với mơ hình này, học sinh tự đặt cho câu hỏi: Từ bảng kết khảo sát chu vi, làm để xây dựng hàm số thể mối liên hệ chu vi số hàng? Biết sử dụng đồ thị hàm số để khảo sát, trả lời cho câu hỏi phiếu học tập, học sinh rèn luyện khả tư suy luận thân - Năng lực lập luận: Các bước trình bày, lập luận làm tốt - Năng lực giao tiếp: Khả bộc lộ suy nghĩ vấn đề tốn học, trình bày cách hiểu dạng ngơn ngữ nói viết PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC KHẢO SÁT TOÁN CỦA HỌC SINH 47 - Năng lực đặt vấn đề giải: Khả đặt vấn đề giải vấn đề đặt - Năng lực sử dụng đồ dùng hỗ trợ cơng cụ: Với mơ hình học sinh trực tiếp làm quen thực thao tác mơ hình, phần mềm GSP hỗ trợ em trình giải vấn đề (vẽ đồ thị), trả lời câu hỏi phiếu học tập Như vậy, mơi trường khảo sát tốn mang đến cho học sinh nhiều hội để khám phá kiến thức tốn Các em khơng bị gị bó vào phương pháp giải tốn trình bày sách giáo khoa mà cố gắng tìm kiếm cho đường tiếp cận khác Các em tự đề xuất giả thuyết theo đuổi ý tưởng để tìm kiếm cho kết thú vị cách tiến hành hoạt động ngoại suy, suy luận Bên cạnh đó, việc khảo sát tình mở có sử dụng biểu diễn trực quan cịn mang đến cho học sinh hội tìm phương án giải vấn đề phù hợp với lực Bài tập áp dụng: Người ta cần xây phịng trọ hình chữ nhật theo chiều dài tường cố định có sẵn hình vẽ với chu vi phần cho phép lại 36m Tìm chiều dài chiều rộng hình chữ nhật cho diện tích sử dụng lớn nhất? Nếu ngăn thành phịng chiều dài chiều rộng phòng để diện tích sử dụng lớn nhất? Kết thực nghiệm: 48 PHAN VĂN HỒNG Phân tích: Bài tập áp dụng nhằm mục đích giúp học sinh hình dung ý nghĩa kiến thức học, điều làm học sinh tị mị muốn tìm hiểu, khám phá Trong tình khám phá bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, học sinh khắc sâu: Khi giá trị tích số khơng đổi tổng đạt nhỏ số phải nhau, tổng số khơng đổi tích đạt giá trị lớn số phải Tuy nhiên tập áp dụng học sinh cần huy động quan sát, khả phân tích, hiểu rõ lý thuyết vận dụng bất đẳng thức vào giải toán Như vậy, việc khảo sát tình tốn có biểu diễn trực quan cho học sinh có nhiều hội để khám phá kiến thức tốn, qua phát huy lực: tư duy, suy luận, đặt giải vấn đề, giao tiếp khả lập luận, khái qt hóa… Ngồi ra, việc khảo sát tình mở cịn mang đến cho học sinh hội tìm phương án giải vấn đề phù hợp với khả Có thể thấy rõ điều qua việc phân tích đáp ứng học sinh với tình khảo sát Dán nhãn Tình 2: Dán nhãn Một công ty dán nhãn cho dài cách ghép khối lập phương liên tiếp sử dụng máy dán nhãn để dán nhãn "mặt cười" Mỗi mặt nhìn thấy khối lập phương phải có nhãn dán Chẳng hạn, có độ dài 2, cần 10 miếng dán (xem Hình 2) Đề xuất quy tắc tìm số lượng nhãn cần dán cho có độ dài bất kỳ? Giải thích quy tắc bạn? Hình Tình Dán nhãn Kết thực nghiệm: Khi học sinh hình thành khái qt hóa cho tình dán nhãn, em mang theo lý luận xác quan niệm sai lầm Sau số phương án mà học sinh sử dụng để khái qt hóa tình Dán nhãn Một số học sinh sử dụng phương án đếm cho rằng: Tuy nhiên, em gặp khó khăn sử dụng phương án đếm cho có độ dài lớn, chẳng hạn yêu cầu "Hãy xây dựng đếm số nhãn dán cho có độ dài 137?” “Bạn sử dụng bạn biết ngắn để tìm quy tắc tính số nhãn dán có độ dài 137?” Do em phải tìm cho phương án khác nhanh hơn, số học sinh khác sử dụng phương án đệ quy cho rằng: (xem Hình 3) PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC KHẢO SÁT TỐN CỦA HỌC SINH 49 Một có độ dài có dán nhãn Một có độ dài có 10 dán nhãn (Hơn nhãn so với có độ dài 1) Một có độ dài có 14 dán nhãn (Hơn nhãn so với có độ dài 2) Hình Phương án đệ quy xây dựng liên quan đến trước Một số học sinh khác sử dụng phương án đệ quy xây dựng liên quan đến trước (xem Hình 4) Phương án dẫn đến xuất quy tắc sau để tính số nhãn dán: , n chiều dài thanh, S số nhãn Độ dài 10 Số nhãn dán = B1+4 = B2+4 = B3+4 = B4+4 = B5+4 = B6+4 = B7+4 = B8+4 = B9+4 Hình Sử dụng cơng thức đệ quy bảng tính Ngồi ra, có số em sử dụng phương án áp dụng chung cho toàn đối tượng, cho rằng: Tuy nhiên số học sinh đếm số lượng nhãn dán cho có độ dài 20 ( ) nên khẳng định phương án có kết sai Sau em điều chỉnh cách trừ miếng dán thêm có độ dài 10 Bên cạnh đó, số học sinh tìm số nhãn dán cách sử dụng phương án mô tả: đếm, vẽ hình ảnh xây dựng mơ hình minh họa cho vấn đề xác định thuộc tính mong muốn Xây dựng đệ quy đối tượng chọn làm đơn vị từ xây dựng đối tượng lớn bội số đơn vị, điều chỉnh liên tục để xây dựng giá trị (số nhãn dán) phụ thuộc vào biến (độ dài thanh) Một số em khác sử dụng phương án ngữ cảnh cho rằng: 50 PHAN VĂN HOÀNG Tuy nhiên, giải thích theo quy tắc để thấy mối quan hệ chung cho có độ dài khó khăn, quy tắc dẫn đến số lượng nhãn dán xác Mỗi khối nằm ngồi có dán nhãn Mỗi khối có dán nhãn Hình Phương án ngữ cảnh Một số học sinh sử dụng phương án điều chỉnh tỷ lệ cho rằng: tốc độ thay đổi (4 nhãn dán thêm khối lập phương) xác định, ta tìm xác số nhãn dán cho có độ dài cho trước, chẳng hạn, với có độ dài n số lượng nhãn dán phương án này: Một số học sinh thắc mắc đại diện cho n tình n nhận giá trị nào, n 3/4? Khơng dừng lại đó, em cịn đặt câu hỏi, xây dựng dài có chứa xác 40 nhãn dán? Sau em khái quát tình em dễ dàng trả lời câu hỏi Một số học sinh khác đặt câu hỏi để mở rộng vấn đề dán nhãn, chẳng hạn thay khối lập phương lăng kính khác, lăng kính tam giác ngũ giác Nhóm học sinh sử dụng phương án đệ quy sửa đổi để tạo công thức lăng kính ngũ giác Giá trị bắt đầu cho có độ dài Nguyên tắc: Giá trị Sau = Giá trị trước +3, số nhãn dán cần thiết độ dài tăng Nhóm học sinh sử dung phương án ngữ cảnh mơ tả trước nhanh chóng áp dụng cho trường hợp này, kết Như vậy, thơng qua mở rộng vấn đề giúp học sinh phát triển tư khái qt hóa để áp dụng cho tình có liên quan Khái qt tình dán nhãn cung cấp cho học sinh hội để tham gia thảo luận ý tưởng toán học, hỗ trợ học sinh xây dựng xác nhận đoán, thấy kết nối nhiều nội dung toán học qua nâng cao lực khảo sát tốn Một khó khăn phải đối mặt học sinh khơng giải thích kết có trước đây, họ thường sử dụng chúng để giải thích thơng qua ví dụ Do đó, giáo viên không nên thúc đẩy việc chứng minh việc nêu ví dụ KẾT LUẬN Khảo sát toán tiếp cận dạy học mang đến cho học sinh nhiều hội khám phá kiến thức toán em môi trường học tập động Ở đó, học sinh tự đề xuất theo đuổi ý tưởng phù hợp với mức độ nhận thức Các em có nhiều hội giao tiếp ý tưởng tốn cách thoải mái với bạn học, qua phát huy lực tốn học q trình khảo sát tình tốn học có sử dụng biểu diễn trực quan như: lực tư duy, lực suy luận, lực đặt vấn đề giải vấn đề, lực giao tiếp khả lập luận, khái quát hóa… Điều cho thấy học sinh phát huy lực khảo sát tốn tham gia khám phá tình tốn học có biểu diễn trực quan Vì thế, người giáo viên cần tích cực tìm kiếm, thiết kế tình toán học biểu diễn trực quan tốt để thúc đẩy học sinh khám phá trình kiến tạo tri thức tốn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC KHẢO SÁT TỐN CỦA HỌC SINH 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] Nguyễn Thị Duyến (2013) “Phát huy tính tích cực sáng tạo học sinh mơi trường khảo sát tốn”, Tạp chí Khoa Học, Đại học Sư phạm TP HCM, 50, tr 186-200 Trần Vui (2009) “Những đóng góp đáng quan tâm biểu diễn trực quan việc học toán”, Tạp chí Khoa học Giáo dục, Viện KHGD Việt Nam, ISSN 0868 – 3662, Số 43 tháng 4/2009, tr 23–26 Trần Vui (2010) A combined abduction-induction strategy in teaching mathematics to gifted students-with-computers through dynamic representations, Proceedings of APEC Conference on Replicating Exemplary Practices in Mathematics Education, pp 1-10, Samui, Thailand Trần Vui (2014) Giải vấn đề thực tế dạy học toán, NXB Đại học Huế Arcavi, A (2003) The role of visual representations in the learning of mathematics Educational Studies in Mathematics, Kluwer Academic Publishers Quinnell, L (2010) “Why are Mathematical Investigations important?”, Australian Mathematics Teacher, Vol 66, No.3, pp 35-40 Steen, K., Brooks, D & Lyon, T (2006) “The impact of virtual manipulatives on first grade geometry instruction and learning”, Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, No 25, pp 373–391 Yea, J B.W & Yeap, B.H (2010) Charaterising the Cognitive Processes in Mathematical Investigation, International Journal for Mathematics Teaching and Learning, No 05.10, pp 1-10 Title: DEVELOPING STUDENTS’ MATHEMATICAL INVESTIGATIONS THROUGH EXPLORING MATHEMATICAL SITUATIONS WITH VISUAL REPRESENTATIONS Abstract: Mathematical investigation is a student-centered teaching approach in mathematics education This approach has been studied and applied to teaching practices to innovate students' learning mathematics This paper examines students’ mathematical investigations through exploring mathematical situations with visual representations The specific capabilities of the student investigation have shown in this research are: higher order thinking, mathematical reasoning, problem posing, problem solving, mathematics communication and generalization Key words: Mathematical investigation, visual representations, mathematical situations PHAN VĂN HOÀNG Học viên Cao học, chuyên ngành Lý luận Phương pháp dạy học mơn Tốn, khóa 21 (2012-2014), Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế ĐT: 0943 105 157, Email: pvhoangsp@yahoo.com.vn ... liệu có được, chúng tơi phân tích, đánh giá phát triển lực khảo sát toán học sinh trình khám phá tình tốn học có biểu diễn trực quan Các liệu thu thập từ quan sát trình học sinh khảo sát toán. .. phân tích lực khảo sát tốn học sinh Các liệu thu phân tích mang tính định tính đối tượng nhỏ học sinh NĂNG LỰC KHẢO SÁT TOÁN CỦA HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH KHÁM PHÁ Kết từ việc quan sát lớp học cho... kiếm, thiết kế tình toán học biểu diễn trực quan tốt để thúc đẩy học sinh khám phá trình kiến tạo tri thức tốn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC KHẢO SÁT TỐN CỦA HỌC SINH 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3]