Ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên cộng hưởng electron phonon trong giếng lượng tử thế tam giác

Hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon trong giếng lượng tử thế tam giác được khảo sát bằng phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái khi xét đến sự giam giữ phonon theo mô hình guided mode. Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính vào năng lượng photon được tính số và vẽ đồ thị.

ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ GIAM GIỮ PHONON LÊN CỘNG HƯỞNG ELECTRON-PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ THẾ TAM GIÁC Học NGUYỄN THỊ PHƯƠNG MAI , LÊ ĐÌNH viên Cao học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế Tóm tắt: Hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon giếng lượng tử tam giác khảo sát phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái xét đến giam giữ phonon theo mơ hình guided mode Sự phụ thuộc công suất hấp thụ tuyến tính vào lượng photon tính số vẽ đồ thị Từ đồ thị công suất hấp thụ tuyến tính, chúng tơi khảo sát đỉnh cộng hưởng electron-phonon, từ sử dụng phương pháp Profile để thu độ rộng vạch phổ đỉnh cộng hưởng Kết thu cho thấy xuất đỉnh thỏa mãn điều kiện cộng hưởng electron-phonon độ rộng vạch phổ đỉnh cộng hưởng tăng theo nhiệt độ T cường độ điện trường E0 Từ khóa: Giếng lượng tử, tam giác, cơng suất hấp thụ tuyến tính, cộng hưởng electron-phonon MỞ ĐẦU Trong hệ bán dẫn thấp chiều, tượng cộng hưởng electron-phonon (sau gọi tắt cộng hưởng EPR) gây hấp thụ hay phát xạ phonon có lượng hiệu số hai mức lượng vùng (subband) electron Hiệu ứng EPR thường dị tìm cách chiếu sóng điện từ (dưới dạng photon) vào bán dẫn, lúc ta có hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon dị tìm quang học (sau gọi tắt cộng hưởng ODEPR) Cộng hưởng EPR bắt đầu nghiên cứu kể từ năm 1972 Bryskin Firsov cho trường hợp bán dẫn khối đặt điện trường mạnh [1, 2] Cho đến có nhiều cơng trình nghiên cứu cộng hưởng EPR ODEPR giếng lượng tử [3, 4], dây lượng tử [5, 6] Khi xét đến tương tác electron tự với phonon quang bị giam giữ cấu trúc bán dẫn thấp chiều có số mơ hình phonon giam giữ đưa Mơ hình slab mode thường sử dụng điều kiện biên điện từ bề mặt cần liên tục thành phần tiếp tuyến trường E [7] Mô hình guided mode sử dụng để mơ tả thủy động lực biên độ dao động mạng tinh thể áp dụng điều kiện biên học [8] Huang Zhu đề xuất mẫu điện môi liên tục dựa phương pháp khảo sát chuyển động mạng; điện phonon điện trường liên tục bề mặt [9] 398 HỘI THẢO KHOA HỌC QUỐC GIA CÁC NHÀ NGHIÊN CỨU TRẺ | 11/2019 Trong báo này, khảo sát ảnh hưởng giam giữ phonon lên hiệu ứng ODEPR giếng lượng tử tam giác tác dụng trường laser cao tần Sự phụ thuộc công suất hấp thụ vào nhiệt độ T biên độ điện trường E0 khảo sát phương pháp Profile nhờ phần mềm Mathematica Phonon chọn phonon quang dọc bị giam giữ theo mơ hình guided mode BIỂU THỨC CƠNG SUẤT HẤP THỤ TUYẾN TÍNH TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ THẾ TAM GIC Gii phng trỡnh Schrăodinger cho electron ging bị giam giữ theo trục z ta hàm sóng 2m∗ α eik⊥ r⊥ Ai (s0 ) − s0 Ai2 (s0 ) Lx Ly ψk⊥ ,n (r⊥ , z) = 2m∗ α × Ai z− εn α , (1) ứng với lượng 1/3 2 k⊥ 2m∗ εn (k⊥ ) = + 2m∗ 3πeE0 n− 2/3 (2) Khi sóng điện từ biến thiên theo thời gian E(t) = 3k=1 E0k e−iωt ek đặt vào hệ biểu thức cơng suất hấp thụ sóng điện từ trường hợp tuyến tính (hấp thụ photon) có dạng E2 P0 (ω) = Re[σij (ω)], (3) “Re” kí hiệu lấy phần thực σij (ω) tenxơ độ dẫn tuyến tính theo phương (x, y, z) Vì electron bị giam giữ theo phương z giếng lượng tử nên σzz (ω) tenxơ độ dẫn tuyến tính theo phương giam giữ z sau: (fβ − fα ) (4) σzz (ω) = −e (z)αβ (jz )βα ω ¯ − εβα − iB0 (ω) αβ Để tính cụ thể biểu thức công suất hấp thụ tuyến tính theo phương z, thay hàm sóng (1) vào yếu tố ma trận sau: z αβ = k⊥ , n|z|k⊥ , n = δk⊥ ,k Kn,n ⊥ +∞ Kn,n = 2m∗ eE0 Ai −∞ jz αβ = ie m∗ k⊥ , n ∂ | ∂z |k⊥ , n +∞ Ln,n = Ai −∞ 3 Ai (s0 )−s0 Ai2 (s0 ) εn z− eE0 = , ε z− n eE0 399 Ai z− εn eE0 dz (5) ie δ L m∗ k⊥ k⊥ Ai (s0 )−s0 Ai2 (s0 ) n,n 3 2m∗ eE0 × Ai 2m∗ eE0 2m∗ eE0 2m∗ eE0 , 2m∗ eE0 z− εn eE0 dz (6) TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ | HTKH 2019 Như vậy, ta thu biểu thức tenxơ độ dẫn σzz (ω) thay yếu tố ma trận z αβ jz αβ vào (4), sau lấy phần thực σzz (ω) thu biểu thức tổng quát công suất hấp thụ tuyến tính theo phương z P0 (ω) = e3 E03 × [Ai (s0 ) − s0 Ai2 (s0 )]2 k ⊥ ,n k⊥ ,n, B0 (ω) δ K L , ( ω ¯ − ∆ε)2 + B02 (ω) k⊥ k⊥ n,n n,n (7) với ∆ε = εβ − εα = εk ⊥ ,n − εk⊥ ,n Hàm độ rộng phổ B0 (ω) (7) xác định sau: π B0 (ω) = |Cβγ (q)|2 × {[(1 + Nq )fγ (1 − fα ) − Nq fα (1 − fγ )]δ( ω − εγα + ωq ) fβ − fα q,γ + [Nq fγ (1 − fα ) − (1 + Nq )fα (1 − fγ )]δ( ω − εγα − ωq )} π + |Cγα (q)|2 × {[(1 + Nq )fβ (1 − fγ ) − Nq fγ (1 − fβ )]δ( ω − εβγ + ωq ) fβ − fα q,γ + [Nq fβ (1 − fγ ) − (1 + Nq )fγ (1 − fβ )]δ( ω − εβγ − ωq )} = B01 + B02 + B03 + B04 , (8) ” |γ ≡ |k⊥ , n” trạng thái trung gian, εγα = εγ −εα = εk⊥” ,n” −εk⊥ ,n với εα lượng electron trạng thái |α , fα = [1 + exp(εα − εF )/kB T ]−1 hàm phân bố Fermi-Dirac khí electron suy biến trạng thái |α , Nq = [exp( ωq /kB T )−1]−1 hàm phân bố Bose-Einstein phonon có lượng ωq , q vectơ sóng phonon Yếu tố ma trận tương tác Cβα (q) (8) phụ thuộc vào hàm sóng electron trạng thái |α >, |β > loại phonon (khối giam giữ) a) Trường hợp phonon khối Yếu tố ma trận tương tác có dạng |Cβα (q)|2 = |Vq β|eiqr |α |2 = |Vq |2 Gn,n δk⊥ +q⊥ ,k⊥ , Gn,n thừa số dạng Xét tương tác electron với phonon quang dọc với ý ωq = ωLO , giả sử phonon khơng tán sắc lúc ωLO ≈ const q = q⊥ + qz2 với giả thiết q⊥ qz2 , tán xạ Vq cho |Vq |2 = 1 D 2πe2 ωLO − ≈ , ε0 V χ∞ χ0 q Vq⊥2 (9) e điện tích electron, ωLO lượng phonon quang dọc, V thể tích hệ; χ∞ , χ0 số điện môi cao tần số điện mơi tĩnh Tiến hành tính số hạng (8), ta thu biểu thức hàm rộng phổ: B0 (ω) = Lx Ly Dm∗ 8π 2 (fβ − fα ) − n” 1 + F01 k⊥ + M01 k⊥ − M01 400 HỘI THẢO KHOA HỌC QUỐC GIA CÁC NHÀ NGHIÊN CỨU TRẺ | 11/2019 1 + F02 N1 + k⊥ + M02 k⊥ − M02 1 + + F04 N3 −k⊥ + M04 k⊥ − M04 + − 1 + F03 −k⊥ + M03 k⊥ − M03 (10) M01,02 = k⊥ + M03,04 = k⊥ − 2m∗ 2m∗ 1/2 ( ω ± ωLO − εn” + εn ) , 1/2 ( ω ± ωLO − εn + εn” ) , F01 F02 F03 F04 M01 + εn” − εF )])−1 =(1 + Nq )(1 − fα )(1 + exp[θ( ∗ 2m 2 M01 + εn” − εF )])−1 ], − Nq fα [1 − (1 + exp[θ( 2m∗ 2 M02 =Nq (1 − fα )(1 + exp[θ( + εn” − εF )])−1 2m∗ 2 M02 + εn” − εF )])−1 ], − (1 + Nq )fα [1 − (1 + exp[θ( 2m∗ 2 M03 =(1 + Nq )fβ [1 − (1 + exp[θ( + εn” − εF )])−1 ] 2m∗ 2 M03 − Nq (1 − fβ )(1 + exp[θ( + εn” − εF )])−1 , 2m∗ 2 M04 =Nq fβ [1 − (1 + exp[θ( + εn” − εF )])−1 ] 2m∗ 2 M04 − (1 + Nq )(1 − fβ )(1 + exp[θ( + εn” − εF )])−1 , ∗ 2m +∞ +∞ Gn ,n” dqz , N1,2 = N3,4 = Gn,n” dqz , −∞ −∞ với Gn,n thừa số dạng trường hợp phonon khối Cuối cùng, thay B0 (ω) vào (7) ta biểu thức tường minh cơng suất hấp thụ sóng điện từ tuyến tính trường hợp phonon khối giếng lượng tử tam giác b) Trường hợp phonon giam giữ Khi phonon bị giam giữ thành phần vectơ sóng theo trục z bị lượng tử hóa, lúc q = mπ , lượng phonon ωq trở thành ωm,q⊥ , với Lz ωm,q⊥ = ωq2 − β(q⊥ + qz2 ), β = 4.73 × 103 ms−1 tham số vận tốc Hàm phân bố phonon Nq trở thành 401 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ | HTKH 2019 Nm,q⊥ Thế tán xạ Vq cho |Vq |2 = 1 D 2πe2 ωLO − ≈ , 2 ε0 V χ ∞ χ q⊥ + q z Vq⊥2 +qz2 (11) Tính tốn tương tự trường hợp phonon khối ta thu biểu thức hàm độ rộng phổ sau B01 (ω) = Lx Ly Dm∗ 8π 2 (fβ − fα ) − n” 1 + F011 k⊥ + M011 k⊥ − M011 1 + F012 N11 + k⊥ + M012 k⊥ − M012 1 + F014 N13 + −k⊥ + M014 k⊥ − M014 + − 1 + F013 −k⊥ + M013 k⊥ − M013 (12) Gm,α thừa số dạng trường hợp phonon giam giữ với m chẵn: n ,n” Gmα+ n ,n Gmα+ n ,n = −2AL4z (b40 (−3B + b0 )L4z − 8b20 (−9B + b0 )L2z π − 48(B + b0 )π ) (b20 L2z + 4π )4 = −2AL3z π(3b30 (−4B + b0 )L4z + 2b0 (6B + b0 )L2z π − π ) (b20 L2z + π )4 ; , m lẻ Cuối cùng, thay B01 (ω) vào (7) ta biểu thức tường minh cơng suất hấp thụ sóng điện từ tuyến tính electron bị giam giữ giếng lượng tử tam giác CỘNG HƯỞNG ELECTRON-PHONON VÀ ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ THẾ TAM GIÁC Trong phần sử dụng phương pháp tính số vẽ đồ thị cơng suất hấp thụ giếng lượng tử làm từ bán dẫn GaAs Các số liệu dùng để tính số là: điện tích e = 1.6 × 10−19 C khối lượng hiệu dụng điện tử m∗ = 6.097 × 10−32 kg, số Planck = 1.054 × 10−34 Js, số Boltzmann kB = 1.38066 × 10−23 J/K, số điện môi ε0 = 12.5, độ thẩm điện môi cao tần ε∞ = 10.9, độ thẩm điện môi tĩnh ε0 = 12.9, lượng Fermi EF = 50 meV, lượng phonon quang dọc ωLO = 36.25 meV [3] Ta xét dịch chuyển electron trạng thái |α > ứng với n = 0; trạng thái |β > ứng với n = Phonon chọn phonon quang dọc bị giam giữ theo mô hình guided mode a) Các đỉnh cộng hưởng electron-phonon 402 HỘI THẢO KHOA HỌC QUỐC GIA CÁC NHÀ NGHIÊN CỨU TRẺ | 11/2019 Hình Sự phụ thuộc cơng suất hấp thụ tuyến tính vào lượng photon trường hợp phonon giam giữ (đường liền nét) phonon khối (đường đứt nét) T = 200 K E0 = 106 V/m Đồ thị hình mơ tả phụ thuộc công suất hấp thụ tuyến tính P0 (ω) vào lượng photon trường hợp phonon khối (đường đứt nét) phonon giam giữ (đường liền nét) Từ đồ thị ta thấy có ba đỉnh cộng hưởng mô tả dịch chuyển khác electron: + Đỉnh thứ vị trí ω = 14.6 meV thỏa mãn điều kiện cộng hưởng ω = εβ − εα = (39.53 − 24.93) meV tương ứng với trình electron từ trạng thái |α > hấp thụ photon dịch chuyển đến trạng thái |β >, q trình khơng kèm theo hấp thụ hay phát xạ phonon + Đỉnh thứ hai vị trí ω = 36.25 meV thỏa mãn điều kiện cộng hưởng ω = ωLO tương ứng với dịch chuyển nội vùng (εα = εβ ) + Đỉnh thứ ba vị trí ω = 50.85 meV thỏa mãn điều kiện cộng hưởng ω = εβ − εα + ωLO = (14.6 + 36.25) meV hay εβ = εα + ω − ωLO (điều kiện ODEPR tuyến tính) tương ứng với q trình electron từ trạng thái có lượng εα hấp thụ photon dịch chuyển đến trạng thái có lượng εβ , đồng thời phát xạ phonon có lượng ωLO b) Sự phụ thuộc độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ Đồ thị bên trái hình mơ tả phụ thuộc cơng suất hấp thụ tuyến tính vào lượng photon ứng với ba giá trị khác nhiệt độ Ta thấy rằng, cực đại xuất vị trí ω = 14.6 meV ứng với giá trị nhiệt độ khác nhau, chứng tỏ vị trí đỉnh ODEPR khơng phụ thuộc vào nhiệt độ Điều giải thích biểu thức giải tích cơng suất hấp thụ chứa hàm delta, cơng suất hấp thụ có giá trị cực đại giá trị lượng photon làm cho đối số hàm delta không Mặt khác, đối số delta khơng chứa nhiệt độ nên vị trí cộng hưởng khơng phụ thuộc vào nhiệt độ 403 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ | HTKH 2019 Hình Sự phụ thuộc cơng suất hấp thụ tuyến tính vào nhiệt độ (T = 77 K: đường liền nét, T = 200 K: đường đứt nét, T = 350 K: đường đứt nét) E0 = 106 V/m (Đồ thị bên trái) Sự phụ thuộc độ rộng vạch phổ đỉnh ODEPR tuyến tính vào nhiệt độ trường hợp phonon khối (đường trịn) phonon giam giữ (đường vng) với E0 = 106 V/m (Đồ thị bên phải) Đồ thị bên phải hình biểu diễn phụ thuộc độ rộng vạch phổ đỉnh ODEPR tuyến tính vào nhiệt độ Dựa vào đồ thị ta thấy độ rộng phổ tăng theo nhiệt độ Điều giải thích độ rộng vạch phổ có liên quan mật thiết đến tốc độ hồi phục, nhiệt độ tăng xác suất tán xạ electron-phonon tăng, độ rộng vạch phổ tăng Từ đồ thị ta thấy độ rộng vạch phổ trường hợp phonon giam giữ lớn trường hợp phonon khối Điều lý giải phonon bị giam giữ xác suất tán xạ electron-phonon tăng Như vậy, nhiệt độ tăng, giam giữ phonon trở nên quan trọng bỏ qua c) Sự phụ thuộc độ rộng vạch phổ vào cường độ điện trường Dựa vào đồ thị bên trái hình 3, ta thấy đường cong biểu diễn phụ thuộc công suất hấp thụ vào lượng photon ứng với hai giá trị khác biên độ điện trường có ba đỉnh Các đỉnh dịch chuyển phía lượng photon bé biên độ điện trường tăng, lúc vị trí đỉnh thứ khơng đổi Điều giải thích sau: Đỉnh ứng với điều kiện cộng hưởng ω = εβ − εα , đỉnh ứng với điều kiện cộng hưởng ω = εβ − εα + ωLO phụ thuộc vào biên độ điện trường thông qua biểu thức lượng, lúc đỉnh ứng với điều kiện ω = ωLO , không phụ thuộc vào biên độ điện trường Đồ thị bên phải hình biểu diễn phụ thuộc độ rộng vạch phổ vào biên độ điện trường Dựa vào đồ thị ta thấy rằng, độ rộng phổ đỉnh ODEPR tuyến tính tăng theo biên độ điện trường Trong giếng lượng tử tam giác, giam giữ electron phụ thuộc vào biên độ điện trường E0 theo hệ thức V (z) = eE0 z Khi biên độ điện trường tăng bề rộng giếng giảm, khả tán xạ electron-phonon tăng, dẫn đến độ rộng phổ tuyến tính tăng 404 HỘI THẢO KHOA HỌC QUỐC GIA CÁC NHÀ NGHIÊN CỨU TRẺ | 11/2019 Hình Sự phụ thuộc cơng suất hấp thụ tuyến tính vào lượng photon ứng với hai giá trị khác biên độ điện trường (E0 = 1.0 × 106 V/m: đường liền nét, E0 = 1.5 × 106 V/m: đường đứt nét) T = 200 K (Đồ thị bên trái) Sự phụ thuộc độ rộng vạch phổ tuyến tính vào biên độ điện trường trường hợp phonon khối (đường trịn) phonon giam giữ (đường vuông) với T = 200 K (Đồ thị bên phải) KẾT LUẬN Trong báo này, sử dụng phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trang thái để thiết lập biểu thức công suất hấp thụ tuyến tính giếng lượng tử tam giác đặt điện trường xoay chiều tính đến giam giữ phonon Từ đồ thị diễn tả phụ thuộc công suất hấp thụ vào lượng photon, khảo sát điều kiện cộng hưởng ODEPR sử dụng phương pháp Profile để khảo sát phụ thuộc độ rộng vạch phổ đỉnh ODEPR cho hai trường hợp phonon giam giữ phonon khối vào nhiệt độ biên độ điện trường Kết thu hai trường hợp, độ rộng vạch phổ tăng theo biên độ điện trường nhiệt độ Ngoài ra, độ rộng vạch phổ ODEPR trường hợp phonon giam giữ có giá trị lớn so với trường hợp phonon khối, ảnh hưởng giam giữ phonon vào độ rộng vạch phổ quan trọng khơng thể bỏ qua TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] V V Bryksin and Yu A Firsov (1972), “General Theory of Transport Processes in Strong Electric Fields”, Soviet Physics JETP 34(6), pp 1272–1280 [2] V V Bryksin, Yu A Firsov, and S A Ktitorov (1981), “Electrophonon resonance in narrow band semiconductors”, Sol Stat Comm 39, pp 385–389 [3] S C Lee, J W Kang, H S Ahn, M Yang, N L Kang, S W Kim (2005), “Optically detected electrophonon resonance effects in quantum wells”, Physica E 28, pp 402– 411 405 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ | HTKH 2019 [4] W Xu (1998), “Nonlinear optical absorption and LO-phonon emission in steady-state terahertz-driven three-dimensional electron gases”, Phys Rev B 57, pp 12939–12950 [5] S C Lee (2008), “Optically detected electrophonon resonance effects in quantum wires”, J Korean Phys Soc 52, pp 1832–1837 [6] Tran Cong Phong, Huynh Vinh Phuc (2011), “Nonlinear absorption line-widths in rectangular quantum wires”, Mod Phys Lett B 25, pp 1003–1011 [7] K L Kliewer and Ronald Fuchs (1965), "Optical modes of vibration in an ionic crystal slab including retardation I Nonradiative region", Phys Rev 144, pp 495 - 502 [8] B K Ridley (1989), "Electron scattering by confined LO polar phonons in a quantum well", Phys Rev B 39, pp 5282–5294 [9] K Huang and B Zhu (1988), "Dielectric continuum model and Frohlich interaction in superlattices", Phys Rev B 38, pp 13377–13386 Title: INFLUENCE OF PHONON CONFINEMENT ON ELECTRON-PHONON RESONANCE IN TRIANGULAR QUANTUM WELLS Abstract: Electron-phonon resonance effects in triangular potential quantum wells was investigated by the state-dependent projection operator method when considering phonon confinement in the guided mode model Dependence of linear absorption power on photon energy is calculated and plotted From the graph of linear absorption power depending on photon energy, we investigate the maximum peaks corresponding to electron-phonon resonance conditions, then using Profile method to obtain the linewidth of these resonant peaks The result shows that the peaks that meet the electron-phonon resonance conditions and the linewidths of the resonant peak increase with the temperature T and the electric field strength E0 Keywords: Quantum well, triangle potential, linear absorption power, electron-phonon resonance 406 ... hấp thụ sóng điện từ tuyến tính electron bị giam giữ giếng lượng tử tam giác CỘNG HƯỞNG ELECTRON -PHONON VÀ ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ THẾ TAM GIÁC Trong phần chúng tơi sử dụng phương... GIA CÁC NHÀ NGHIÊN CỨU TRẺ | 11/2019 Trong báo này, khảo sát ảnh hưởng giam giữ phonon lên hiệu ứng ODEPR giếng lượng tử tam giác tác dụng trường laser cao tần Sự phụ thuộc công suất hấp thụ vào... trường Trong giếng lượng tử tam giác, giam giữ electron phụ thuộc vào biên độ điện trường E0 theo hệ thức V (z) = eE0 z Khi biên độ điện trường tăng bề rộng giếng giảm, khả tán xạ electron- phonon