khối nón từ 5 đến 10 điểm

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lý thuyết – phương pháp chung MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón Một số công thức Hình thành Quay vuông quanh trục , ta được mặt nón như hình bên với  Đường cao ( cũng được gọi là trục của hình nón)  Bán kính đáy  Đường sinh  Góc ở đỉnh  Thiết diện qua trục cân tại  Góc giữa đường sinh và mặt đáy  Chu vi đáy  Diện tích đáy  Thể tích (liên tưởng đến thể tích khối chóp)  Diện tích xung quanh  Diện tích toàn phần Dạng 1 Diện tích xung quanh.

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 21 KHỐI NÓN Lý thuyết – phương pháp chung MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón: Một số cơng thức:  Đường cao: h = SO ( SO gọi trục hình nón)  Bán kính đáy: r = OA = OB = OM  Đường sinh: Hình thành: Quay ∆ vng SOM quanh trục SO , ta mặt nón hình bên với: h = SO  r = OM  Chu vi đáy: p = 2π r  Diện tích đáy: Sđ = π r 1 V = h.Sđ = h.π r 3  Thể tích: (liên tưởng đến thể tích khối chóp) S xq = π rl  Diện tích xung quanh:  Diện tích tồn phần: l = SA = SB = SM ·  Góc đỉnh: ASB  Thiết diện qua trục: ∆SAB cân S  Góc đường sinh mặt Stp = S xq + Sđ = π rl + π r · · · đáy: SAO = SBO = SMO Dạng Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính đáy r π rl A 4π rl B 2π rl C π rl D Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình nón có bán kính đáy r = độ dài đường sinh l = Diện tích xung quanh hình nón cho 14π 98π A 28π B 14π C D Câu (Mã 101 - 2020 Lần 2) Cho hình nón có bán kính đáy r = độ dài đường sinh l = Diện tích xung quanh hình nón cho 20π 10π A 20π B C 10π D Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình nón có bán kính đáy r = độ dài đường sinh l = Diện tích xung quanh hình nón cho 28π 14π A B 14π C 28π D Câu (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Gọi l , h, r độ dài đường sinh, chiều cao S bán kính mặt đáy hình nón Diện tích xung quanh xq hình nón là: S xq = π r h S = π rl S = π rh S = 2π rl A B xq C xq D xq Câu (Chuyên Thái Bình 2019) Cho hình nón có bán kính đáy a , đường cao 2a Tính diện tích xung quanh hình nón? Trang A 5π a Câu Câu Câu B 5π a C 2a D 5a (Mã 104 2017) Cho hình nón có bán kính đáy r = độ dài đường sinh l = Tính diện tích xung quanh hình nón cho S = 3π S = 3π S = 39π S = 12π A xq B xq C xq D xq (Đề Tham Khảo 2017) Cho hình nón có diện tích xung quanh 3π a bán kính đáy a Tính độ dài đường sinh l hình nón cho 3a 5a l= l= A l = 3a B l = 2a C D (Đề Tham Khảo 2018) Cho hình nón có diện tích xung quanh 3π a có bán kính đáy a Độ dài đường sinh hình nón cho bằng: 3a A 3a B 2a C D 2a Câu 10 (Đề Minh Họa 2017) Trong không gian, cho tam giác vuông ABC A , AB = a AC = a Tính độ dài đường sinh l hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB A l = a B l = 2a C l = a D l = a Câu 11 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Tính diện tích xung quanh hình nón 2π a 2 π a2 π a2 2 A B C π a D Câu 12 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình nón có bán kính đáy a độ dài đường sinh 2a Diện tích xung quanh hình nón 2 2 A 4π a B 3π a C 2π a D 2a Câu 13 Câu 14 (Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho hình nón có diện tích xung quanh 3π a , bán kính đáy a Tính độ dài đường sinh hình nón 3a A 2a B C 2a D 3a (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Cho khối nón ( N) Tính bán kính đường trịn đáy khối nón A B C ( N) tích 4π chiều cao D Câu 15 (THPT Trần Nhân Tông - QN -2018) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông cân A , gọi I trung điểm BC , BC = Tính diện tích xung quanh hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AI S = 2π S = 4π S = 2π S = 2π A xq B xq C xq D xq Câu 16 (Đồng Tháp - 2018) Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Diện tích xung quanh hình nón πa 2 2πa 2 πa 2 A B C D πa Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 17 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018) Cho hình hình nón có độ dài đường sinh , diện tích xung quanh 8π Khi hình nón có bán kính hình trịn đáy A B C D Câu 18 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Cho hình nón có bán kính đáy chiều cao Tính diện tích xung quanh hình nón A 12π B 9π C 30π D 15π Câu 19 (THPT Hậu Lộc - TH - 2018) Cho hình nón có đường sinh l = , bán kính đáy r = Diện tích tồn phần hình nón là: S = 15π S = 20π S = 22π S = 24π A B C D Câu 20 (Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - 2018) Cho hình nón ( N ) có đường kính đáy N hình nón ( ) đường sinh 5a Tính diện tích xung quanh S 2 A S = 10π a B S = 14π a C S = 36π a Câu 21 4a , D S = 20π a (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Cho hình nón có diện tích xung quanh 5π a bán kính đáy a Tính độ dài đường sinh hình nón cho? A a B 3a C 3a D 5a Câu 22 (Thanh Hóa - 2018) Mặt phẳng chứa trục hình nón cắt hình nón theo thiết diện là: A hình chữ nhật B tam giác cân C đường elip D đường tròn Câu 23 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho hình nón có bán kính đáy r = độ dài đường sinh l = Tính diện tích xung quanh S hình nón cho A S = 3π B S = 24π C S = 16 3π D S = 3π Dạng Thể tích Câu (Mã 103 - 2019) Thể tích khối nón có chiều cao h có bán kính đáy r πr h πr h 2 A 2π r h B C π r h D Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho khối nón có chiều cao h = bán kính đáy r = Thể tích khối nón cho A 16π B 48π C 36π D 4π Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối nón có bán kính đáy r = chiều cao h = Thể tích khối nón cho bằng: 10π 50π A B 10π C D 50π Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối nón có bán kính đáy r = chiều cao h = Thể tích khối nón cho 8π 32π A B 8π C D 32π Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho khối nón có bán kính r = chiều cao h = Thể tích khối nón cho 20π 10π A B 20π C D 10π Trang Câu Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho khối nón có bán kính đáy r = chiều cao h = Thể tích khối nón cho 8π 16π A 8π B C D 16π (Mã 110 2017) Cho khối nón có bán kính đáy r = chiều cao h = Tính thể tích V khối nón cho 16π V= A V = 12π B V = 4π C V = 16π D Câu (Mã 101 - 2019) Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r 2 πr h πr h 2 A B 2π r h C D π r h Câu (Mã 104 2019) Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r πr h πr h 2 A B C 2π r h D π r h Câu 10 (Mã 102 - 2019) Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r 2 πr h πr h 2 A B π r h C 2π r h D Câu 11 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho khối nón có bán kính đáy r = , chiều cao h = Tính thể tích V khối nón A Câu 12 V= 3π B V = 3π 11 C V= 9π D V = 9π (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Cho tam giác ABC vuông A, AB = c, AC = b Quay tam giác ABC xung quanh đường thẳng chứa cạnh AB ta hình nón tích 1 2 π bc bc bc πb c A B C D Câu 13 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho hình nón có độ dài đường sinh 25 bán kính đường trịn đáy 15 Tính thể tích khối nón A 1500π B 4500π C 375π D 1875π Câu 14 o · (Mã 105 2017) Trong không gian cho tam giác ABC vuông A , AB = a ACB = 30 Tính thể tích V khối nón nhận quay tam giác ABC quanh cạnh AC A V = πa Câu 15 Câu 16 Trang B V = 3πa C V= 3πa3 D V= 3πa3 (Đề Tham Khảo 2019) Cho khối nón có độ dài đường sinh 2a bán kính đáy a Thể tích khối nón cho 3π a3 3π a 2π a π a3 A B C D (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho khối nón có bán kính đáy r = 2, chiều cao h = Thể tích khối nón TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 4π A 4π B 2π C D 4π Câu 17 (KTNL Gia Bình 2019) Cho khối nón trịn xoay có chiều cao bán kính đáy a Khi thể tích khối nón 3 πa πa πa A B C π a D Câu 18 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho khối nón có bán kính đáy r = chiều cao h = Tính thể tích V khối nón cho 16π V= V = 16π 3 B C V = 12π D V = 4π A Câu 19 (THPT Đơng Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho khối nón có độ dài đường sinh 2a đường cao a Thể tích khối nón cho 2π a A Câu 20 B 3π a C 3π a 3 π a3 D (Chuyên Hà Tĩnh 2019) Cho khối nón có thiết diện qua trục tam giác cân có góc 120° cạnh bên a Tính thể tích khối nón π a3 3π a π a3 π a3 A B C 24 D Câu 21 Nếu giữ nguyên bán kính đáy khối nón giảm chiều cao lần thể tích khối nón thay đổi nào? A Giảm lần B Giảm lần C Tăng lần D Không đổi Câu 22 (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa -2019) Cho khối nón có độ dài đường sinh đường kính đáy a Thể tích khối nón π a3 π a3 π a3 π a3 A 16 B 48 C 24 D Câu 23 (Chuyên An Giang - 2018) Cho khối nón có bán kính r = chiều cao h = Tính thể tích V khối nón A V = 9π B V = 3π C V = π D V = 5π Câu 24 (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2018) Cho khối nón có bán kính đáy r = , chiều cao h = (hình vẽ) Thể tích khối nón là: Trang 4π A 2π B 4π D C 4π o (THPT Lê Xoay - 2018) Cho hình nón có bán kính đáy (cm), góc đỉnh 60 Thể tích khối nón 8π 8π 8π 3 V= cm V= cm V= cm3 V = π cm A B C D Câu 25 ( Câu 26 ) ( ) ( ( ) ) (Cụm Trường Chun - ĐBSH - 2018) Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác vng cân có cạnh huyền a Tính thể tích V khối nón A V= π a3 B V= π a3 C V= π a3 6 D V= π a3 (THPT Cầu Giấy - 2018) Cho khối nón trịn xoay có đường cao h = 15 cm đường sinh l = 25 cm Thể tích V khối nón là: V = 1500π ( cm3 ) V = 500π ( cm3 ) V = 240π ( cm3 ) V = 2000π ( cm ) A B C D Câu 27 Chuyên đề 21 KHỐI NÓN Lý thuyết – phương pháp chung MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón:  Đường cao: h = SO ( SO gọi trục hình nón)  Bán kính đáy: r = OA = OB = OM  Đường sinh: l = SA = SB = SM Một số công thức:  Chu vi đáy: p = 2π r  Diện tích đáy: Sđ = π r 1 V = h.Sđ = h.π r 3  Thể tích: (liên tưởng đến thể tích khối chóp)  Diện tích xung quanh:  Diện tích tồn phần: S xq = π rl Hình thành: Quay ∆ vng  Góc đỉnh: ·ASB SOM quanh trục SO , ta  Thiết diện qua trục: ∆SAB cân Stp = S xq + Sđ = π rl + π r mặt nón hình bên với: S h = SO  Góc đường sinh mặt  r = OM · · · đáy: SAO = SBO = SMO Dạng Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính đáy r π rl A 4π rl B 2π rl C π rl D Lời giải Chọn C Áp dụng cơng thức diện tích xung quanh hình nón Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình nón có bán kính đáy r = độ dài đường sinh l = Diện tích xung quanh hình nón cho 14π 98π A 28π B 14π C D Lời giải Chọn B S = π rl = π 7.12 = 14π Có xq (Mã 101 - 2020 Lần 2) Cho hình nón có bán kính đáy r = độ dài đường sinh l = Diện tích xung quanh hình nón cho 20π 10π A 20π B C 10π D Lời giải Chọn C S = π rl = π 2.5 = 10π Ta có diện tích xung quanh hình nón cho là: xq (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình nón có bán kính đáy r = độ dài đường sinh l = Diện tích xung quanh hình nón cho 28π 14π A B 14π C 28π D Lời giải Chọn B S xq = π rl = 2.7.π = 14π (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Gọi l , h, r độ dài đường sinh, chiều cao S bán kính mặt đáy hình nón Diện tích xung quanh xq hình nón là: S xq = π r h S = π rl S = π rh S = 2π rl A B xq C xq D xq Lời giải Chọn B Diện tích xung quanh hình nón S xq = π rl (Chuyên Thái Bình 2019) Cho hình nón có bán kính đáy a , đường cao 2a Tính diện tích xung quanh hình nón? A 5π a Ta có B 5π a S xq = π Rl = π a a + 4a = 5π a 2 C 2a Lời giải D 5a (đvdt) Trang 7 (Mã 104 2017) Cho hình nón có bán kính đáy r = độ dài đường sinh l = Tính diện tích xung quanh hình nón cho A S xq = 3π B S xq = 12π S = 3π C xq Lời giải D S xq = 39π Chọn C Diện tích xung quanh hình nón là: S xq = π rl = 3π (Đề Tham Khảo 2017) Cho hình nón có diện tích xung quanh 3π a bán kính đáy a Tính độ dài đường sinh l hình nón cho A l = 3a B l = 2a l= C Lời giải 3a D l= 5a Chọn A Diện tích xung quanh hình nón là: 10 S xq = π rl = π al = 3π a ⇒ l = 3a (Đề Tham Khảo 2018) Cho hình nón có diện tích xung quanh 3π a có bán kính đáy a Độ dài đường sinh hình nón cho bằng: 3a A 3a B 2a C D 2a Lời giải Chọn A S = π rl Diện tích xung quanh hình nón: xq với r = a ⇒ π a.l = 3π a ⇒ l = 3a (Đề Minh Họa 2017) Trong không gian, cho tam giác vuông ABC A , AB = a AC = a Tính độ dài đường sinh l hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB A l = a B l = 2a C l = a Lời giải D l = a Chọn B 2 2 Xét tam giác ABC vng A ta có BC = AC + AB = 4a ⇔ BC = 2a Đường sinh hình nón cạnh huyền tam giác ⇔ l = BC = 2a 11 (THPT Lê Quy Đơn Điện Biên 2019) Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Tính diện tích xung quanh hình nón 2π a 2 A Trang π a2 B C π a Lời giải 2 π a2 2 D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn D Ta có tam giác SAB vng cân S có SA = a a a π a2 R = OA = , S = π Rl = π a = l = SA = a Nên xq 2 Khi đó: 12 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình nón có bán kính đáy a độ dài đường sinh 2a Diện tích xung quanh hình nón A 4π a B 3π a C 2π a Lời giải 2 D 2a Trang O a 2a A Ta có: 13 14 S xq = π rl = π a.2a = 2π a (Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho hình nón có diện tích xung quanh 3π a , bán kính đáy a Tính độ dài đường sinh hình nón 3a A 2a B C 2a D 3a Lời giải S 3π a S xq = π Rl ⇒ l = xq = = 3a πR πa (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Cho khối nón Tính bán kính đường trịn đáy khối nón A Trang 10 B ( N) tích 4π chiều cao ( N) C D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải C Ta có BM bán kính đường trịn ( ) R ( h − x) BM SM AO.SM = ⇔ BM = ⇔ BM = SO h Do tam giác ∆SBM ∽ ∆SAO nên AO SO C Thể tích khối nón đỉnh O đáy ( ) là:  R ( h − x)  R2  x = π ( h − x) x V = π BM OM = π  h h   R2 f ( x) = π ( h − x) x < x < h ) ta có h Xét hàm số ,( R2 R2 h f ′ ( x ) = π ( h − x ) ( h − 3x ) f ′ ( x ) = ⇔ π ( h − x ) ( h − 3x ) ⇔ x = h h Ta có ; Lập bảng biến thiên ta có Từ bảng biến ta tích khối nón đỉnh O Câu 13 C đáy ( ) lớn x= h AD ⊥ ( ABC ) ABC (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Cho hình tứ diện ABCD có , tam giác vuông B Biết BC = a , AB = a , AD = 3a Quay tam giác ABC ABD (Bao gồm điểm bên tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta khối trịn xoay Thể tích phần chung khối trịn xoay 3π a A 16 3π a 3 B 3π a 16 C Lời giải 3π a D 16 Trang 79 Khi quay tam giác ABD quanh AB ta khối nón đỉnh B có đường cao BA , đáy đường trịn bán kính AE = cm Gọi I = AC ∩ BE , IH ⊥ AB H Phần chung khối nón quay tam giác ABC tam giác ABD quanh AB khối nón đỉnh A đỉnh B có đáy đường trịn bán kính IH ⇒ IC BC = = IA AE ⇒ IA = 3IC Ta có ∆IBC đồng dạng với ∆IEA AH IH AI 3 3a ⇒ = = = ⇒ IH = BC = AB BC AC 4 Mặt khác IH //BC Gọi V1 , V2 thể tích khối nón đỉnh A B có đáy hình trịn tâm H V1 = π IH AH V2 = π IH BH π 3a 3 π 9a 2 ⇒ V = IH AB ⇒ V = a ⇒ V = ⇒ V = V1 + V2 16 16 Câu 14 (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018) Cho tam giác nhọn ABC , biết quay tam giác 3136π , quanh cạnh AB , BC , CA ta hình trịn xoay tích 672π , 9408π 13 Tính diện tích tam giác ABC A S = 1979 B S = 364 C S = 84 Lời giải D S = 96 Vì tam giác ABC nhọn nên chân đường cao nằm tam giác Gọi , hb , hc đường cao từ đỉnh A , B , C tam giác ABC , a , b , c độ dài cạnh BC , CA , AB Khi π hc c = 672π + Thể tích khối trịn xoay quay tam giác quanh AB 3136π π a = + Thể tích khối trịn xoay quay tam giác quanh BC 9408π π hb b = 13 + Thể tích khối trịn xoay quay tam giác quanh CA Trang 80 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 4 S  4S 1 c= = 672   c h = 672 3 c 3.672  c2    3136 ⇔  S = 3136 ⇔ a = 20 S  a.ha = 3.3136 3 a  3 4 S  9408 52S  9408 = b = b h =   b  3.9408 13 13 3 b  Do  2 ⇒ ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b) = S 1 1 1 ⇔ 16 S = S 9408 28812 9408 28812 ⇔ S = 16.81.9408.28812 ⇔ S = 84 Câu 15 (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Một ly dạng hình nón ( hình vẽ với chiều cao ly h ) Người ta đổ lượng nước vào ly cho chiều cao lượng nước ly chiều cao ly Hỏi bịt kín miệng ly úp ngược ly lại tỷ lệ chiều cao mực nước chiều cao ly nước bao nhiêu? − 63 A B 63 − 63 C D Lời giải V = π hr Giả sử ly có chiều cao h đáy đường trịn có bán kính r , nên tích Khối nước ly có chiều cao chiều cao ly nên khối nước tạo thành khối nón có h r 1  h r π  ÷ =  π hr ÷ = V  64 chiều cao bán kính đáy thể tích nước   64  Trang 81 63 V= V 64 64 Do thể tích khoảng khơng x h' r.h ' = ⇒x= h Nên úp ngược ly lại ta có tỉ lệ: r h V− 3 1  r.h '   h'   h'  h '.π x = h '.π  ÷ = π hr  ÷ =  ÷ V  h  h h Suy ra: thể tích khoảng khơng bằng: 3 63 h' 63 63 63  h'  h '  63 ⇒ V = ÷V ⇒ ÷ = ⇒ =3 = ⇒ h' = h 64 h 64 4 h  h  64 Nên chiều cao mực nước bằng: h −h' = h − 63 − 63 h= h 4 − 63 Vậy tỷ lệ chiều cao mực nước chiều cao ly nước Câu 16 · (Nam Định - 2018) Cho tam giác ABC có A = 120°, AB = AC = a Quay tam giác ABC (bao gồm điểm tam giác) quanh đường thẳng AB ta khối trịn xoay Thể tích khối trịn xoay bằng: π a3 A π a3 B π a3 C Lời giải π a3 D 2 Theo định lý cosin ta có: BC = AB + AC − AB AC cos A = a Quay tam giác ABC (bao gồm điểm tam giác) quanh đường thẳng AB ta khối trịn xoay tích V = V1 − V2 với V1 ,V2 thể tích khối trịn xoay quay tam giác vuông BCH tam giác ACH quay xung quanh với HB ( H hình chiếu vng góc C lên AB ) Ta tính CH = a a ; AH = 2 Khi đó, ta có: 1 1 a 3 π a3 2 V = π CH BH − π CH AH = π CH AB = π  ÷ a = 3 3  ÷  Trang 82 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Câu 17 (Chuyên Bắc Giang 2019) Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao 40cm Người ta cắt vật N1 mặt cắt song song với mặt đáy để hình nón nhỏ N tích thể tích N1 Tính chiều cao h hình nón N ? A 10cm B 20cm C 40cm Lời giải D 5cm Chọn B Gọi r1 = BE , h1 = AB bán kính đáy chiều cao hình nón N1 Gọi r2 = CD , h = AC bán kính đáy chiều cao hình nón N Khi thể tích hai khối nón V1 = πr12 h1 V2 = πr22 h Theo đề ta có πr h   V2 r h = = ÷ = V1 πr h  r1  h1 1 ( 1) Xét hai tam giác đồng dạng ACD, ABE có: AC CD r h = ⇔ = AB BE r1 h1 ( 2) h h 1  ÷ = ⇔ = ⇔ h = h1 = 20 ( 1) ( ) suy  h1  h1 Từ Trang 83 Câu 18 (Tốn Học Tuổi Trẻ 2019) Cho bìa hình dạng tam giác vng, biết b c độ dài cạnh tam giác vuông khối trịn xoay Hỏi thể tích V khối trịn xoay sinh bìa bao nhiêu? V= A b2c2 b2 + c2 V= B π b2c b2 + c2 V= C Lời giải 2π b 2c b2 + c2 V= D π b2c 2(b + c ) Gọi tam giác vuông ABC , kẻ AH ^ BC , H chân đường cao 1 bc = + Þ AH = 2 AH AB AC b2 + c Khi Thể tích khối trịn xoay cần tính tổng thể tích khối nón tạo hai tam giác vng ACH ABH quay quanh trục BC V1 = π CH AH Khối nón tạo tam giác vuông ACH quay quanh trục BC tích V2 = π BH AH Khối nón tạo tam giác vng ABH quay quanh trục BC tích Thể tích khối trịn xoay cần tính là: 1 V = V1 +V2 = π CH AH + π BH AH 3 1 bc π b 2c = π BC AH = π b + c ( )2 = 3 b2 + c b2 + c Câu 19 Trang 84 Một thùng chứa đầy nước có hình khối lập phương Đặt vào thùng khối nón cho đỉnh khối nón trùng với tâm mặt khối lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với cạnh mặt đối diện Tính tỉ số thể tích lượng nước trào ngồi lượng nước cịn lại thùng TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 π A 12 − π B 11 π C 12 Lời giải 11 D 12 Chọn A Coi khối lập phương có cạnh Thể tích khối lập phường V = Từ giả thiết ta suy khối nón có chiều cao h = , bán kính đáy Thể tích lượng nước trào ngồi thể tích V1 khối nón r= 1 π V1 = π r h = π = 3 12 Ta có: Thể tích lượng nước cịn lại thùng là: V1 π = Do đó: V2 12 − π Câu 20 V2 = V − V1 = − π 12 − π = 12 12 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Một phễu có dạng hình nón Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu chiều cao phễu Hỏi bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên chiều cao mực nước xấp xỉ bao nhiêu? Biết chiều cao phễu 15cm A 0,501( cm) B 0,302( cm) C 0,216( cm) D 0,188( cm) Lời giải Trang 85 Gọi h1 h1 r1 h r = ⇒ r1 = r = h1 = h ; h r Từ hình vẽ ta có: h r chiều cao nước ta có h2 h = ⇔ rh =r 2 r2 r h Ta tích nước trước sau lơn ngược nhau: ⇔ h1.π r12 = h.π r − h2 π r2 hπ r − h1π r12 hr − h1.r12 hr h1.r12 ⇔ h2 = ⇔ h2 = ⇔ h2 = − π r2 r2 r2 r2 1 h1 r h1 h h .152 ⇔ h2 = − ⇔ h2 = − 15 1 ⇔h = r h2 h2 − h ⇔ h23 = 153 − .152 h2 2 2 h h h 2 h ⇔ h23 = 3250 ⇔ h2 = 3250 mực nước xấp xỉ bằng: Câu 21 Vậy bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên chiều cao 0,188( cm) (Chun Hùng Vương Gia Lai 2019) Hai hình nón có chiều cao dm đặt hình vẽ bên (mỗi hình đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía dưới) Lúc đầu, hình nón chứa đầy nước hình nón khơng chứa nước Sau đó, nước chảy xuống hình nón thơng qua lỗ trống đỉnh hình nón Hãy tính chiều cao nước hình nón thời điểm mà chiều cao nước hình nón dm 1 3 A B C D Lời giải Gọi a bán kính đáy hình nón; V1 , V2 thể tích hình nón lúc chứa đầy nước chiều cao nước dm; h, V3 chiều cao nước, thể tích hình nón chiều cao nước hình nón dm; Trang 86 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 R, r bán kính hình nón nước, bán kính hình nón nước chiều cao nước hình nón dm R a = ⇒R= Ta có: a Thể tích nước hình nón chiều cao r h ah = ⇒r= Mặt khác: a V3 = 13 h.π ( 2h a ) = Do thể tích nước hình nón V2 = 1.π ( a ) 2 π a2 = 12 π a h3 12 Thể tích nước hình nón đầy nước V1 = 2.π a π a h3 π a2 = 3 2.π a − 12 ⇔ + h = ⇔ h = Lại có: V3 = V1 − V2 ⇒ 12 Câu 22 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tại trung tâm thành phố người ta tạo điểm nhấn cột trang trí hình nón có kích thước sau: chiều dài đường sinh l = 10 m , bán kính đáy R = m Biết tam giác SAB thiết diện qua trục hình nón C trung điểm SB Trang trí hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C mặt nón Xác định giá trị ngắn chiều dài dây đèn điện tử C m D 5 m Lời giải • Cắt hình nón theo hai đường sinh SA, SB trải ta hình (H2) sau: A 15 m B 10 m S 5m C 10m A B H2 Khi đó, chiều dài dây đèn ngắn độ dài đoạn thẳng AC hình H2 C = 2π = 5π » • Chu vi cung trịn AB : ⇒ ∆SAC vng S ⇒ AC = SA2 + SC = 102 + 55 = 5m Câu 23 Một phểu có dạng hình nón, chiều cao phểu 20cm Người ta đổ lượng nước vào phểu cho chiều cao cột nước phểu 10cm Nếu bịt kím miêng phểu lật ngược lên chiều cao cột nước phểu gần với giá trị sau Trang 87 A 1,07cm B 0,97cm C 0, 67cm Lời giải D 0,87cm Chọn D R Gọi R bán kính đáy phểu ta có bán kính đáy chứa cột nước 1 R 35 V = π ( R ) 20 − π  ÷ 10 = π R 3 2 Ta tích phần nón khơng chứa nước h Khi lật ngược phểu Gọi chiều cao cột nước phểu.phần thể tích phần nón khơng chứa  R ( 20 − h )  1 V = π ( 20 − h )  π ( 20 − h ) R ÷ = 20   1200 nước 35 3 π ( 20 − h ) R = π R ⇒ ( 20 − h ) = 7000 ⇒ h ≈ 0,87 1200 Câu 24 ( ) y = m + x − 2mx + m2 + Giả sử đồ thị hàm số có điểm cực trị A, B, C mà x A < xB < xC Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta khối tròn xoay Giá trị m để thể tích khối trịn xoay lớn thuộc khoảng khoảng đây: ( 4;6 ) ( 2; ) ( −2;0 ) ( 0; ) A B C D Lời giải Chọn B y′ = 4( m2 + 1) x3 − 4mx = x ( m2 + 1) x - m x = y′ = ⇔ x ( m + 1) x - m  = ⇔  m x = ± (m > 0)  m + + + Với m > đồ thị hàm số có điểm cực trị (với x A < xB < xC ) là: A(− m m2 m m2 ; + m + 1) C ( ; + m + 1) 2 B (0; m + 1) m2 + m2 + m + m + ; ; + Quay ∆ABC quanh AC khối trịn xoay tích là: Trang 88 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2  m2  m = π = π ÷ 2 2  m +1 m +1 V = .π r h = π BI IC 3 f ( x) = (m + Xét hàm số f '( x) = Có: Ta có BBT: m m9 (m ) +1 ) +1 m8 (9 - m ) (m ) +1 ; f ′( x) = ⇔ m = ( m > 0) Vậy thể tích cần tìm lớn m = Câu 25 Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm đường kính đáy 24 cm mặt phẳng song song với đường sinh hình nón ta thu thiết diện có diện tích lớn gần với giá trị sau đây? A 170 B 260 C 294 D 208 Lời giải Cắt hình nón mặt phẳng song song với đường sinh hình nón ta thu thiết diện parabol Trang 89 Xét dây cung chứa đoạn KH hình vẽ, suy tồn đường kính AB ⊥ KH , tam giác SAB , KE / / SA, E ∈ SB , Suy Parabol nhận KE làm trục hình vẽ thiết diện thỏa u cầu toán (Thiết diện song song với đường sinh SA ) Đặt BK = x (với < x < 24 ) HK = BK AK = x ( 24 − x ) Trong tam giác ABH có: KE BK BK 5x = ⇔ KE = SA ⇔ KE = BA Trong tam giác SAB có: SA BA Thiết diện thu parabol có diện tích: Ta có: Đặt S2 = S= KH KE 16 16 25 x 100 10 KH KE = x ( 24 − x ) = ( 24 x − x ) ⇒ S = 24 x − x 9 36 81 f ( x ) = 24 x3 − x , với < x < 24 x = f ' ( x ) = ⇔ 72 x − x3 = ⇔  f ' ( x ) = 72 x − x  x = 18 Ta có: Suy Bảng biến thiên: 10 34992 ≈ 207,8 cm Vậy thiết diện có diện tích lớn là: Câu 26 Một hình nón trịn xoay có đường sinh 2a Thể tích lớn khối nón 16π a A 3 16π a B 4π a 8π a C 3 D 3 Lời giải Fb: Bi Trần Gọi hình nón trịn xoay có đường sinh l = 2a có bán kính đáy R đường cao h V = π R2h 2 Thể tích khối nón: Ta có: R + h = 4a Áp dụng bất đẳng thức Cô si: 4a = R + h = R2 R2 R 4h2 + + h2 ≥ 3 2 R h 64 16π 3 ⇒ ≤ a ⇒ π R2h ≤ a 27 27   R2 a h = = h   ⇔  2 2  h + R = 4a R = a   Đẳng thức xảy Trang 90 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khi Câu 27 Vmax = 16π 3 a 27 (Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Huyền có bìa hình vẽ, Huyền muốn biến đường trịn thành phễu hình nón Khi Huyền phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB dán OA , OB lại với Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phểu lớn nhất? π A π B π C Lời giải π D Chọn A S xq = R2 x xR 2π r ⇒r= ⇒x= R 2π bán kính đáy phểu; Ta có diện tích hình phểu 1 V = π r h = π r R − r = π r R − r 3 thể tích phểu Xét hàm số phụ y = r R − r ⇒ y′ = 4r R − 6r y′ = ⇔ 2.R − 3r = ⇔ r = Vậy y max V V max Câu 28 R r= R 2π r 2π R 2π ⇔x= ⇔x= ⇔x= R 3R (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Tại trung tâm thành phố người ta tạo điểm nhấn cột trang trí hình nón có kích thước sau: đường sinh l = 10m, bán kính đáy R = 5m Biết tam giác SAB thiết diện qua trục hình nón C trung điểm SB Trang trí hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C mặt nón Định giá trị ngắn chiều dài dây đèn điện tử Trang 91 A 15 m B 10 m C m Lời giải D 5 m Ta có: ∆SAB cân SB = AB ⇒ ∆SAB S = πRl = 50π ( m2 ) Diện tích xung quanh hình nón xq ( P ) qua C vuông góc với AB Mặt phẳng ( P ) cắt hình nón theo thiết diện Elip Vẽ Khi đó, chiều dài dây đèn điện tử ngắn chiều dài dây cung AC Elip * Ta dùng phương pháp trải hình thấy sau Hình trải dài hình quạt với AB độ dài nửa đường tròn ·ASB.πR 360.25π S ABS = S = 25π ⇔ = 25π ⇔ ·ASB = = 900 2 360 π.10 2 Vậy ∆SAC vuông S AC = SA + SC = 5 Trang 92 AB = R.π = 5π ( m ) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Trang 93 ... Tính thể tích khối nón A 150 0π B 450 0π C 3 75? ? D 18 75? ? Lời giải Trang 15 2 2 Gọi h chiều cao khối nón ⇒ h = l − r = 25 − 15 = 20 1 ⇒ V = π r h = π 152 .20 = 150 0π 3 14 o · (Mã 1 05 2017) Trong... Cho khối nón có bán kính đáy r = chiều cao h = Thể tích khối nón cho bằng: 10? ? 50 π A B 10? ? C D 50 π Lời giải Chọn C 50 π V = π r 2h = 3 Thể tích khối nón (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối nón. .. bằng: 10? ? 50 π A B 10? ? C D 50 π Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối nón có bán kính đáy r = chiều cao h = Thể tích khối nón cho 8π 32π A B 8π C D 32π Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho khối nón