phương trình mũ, logarit

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Chuyên đề 19 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Phương trình logarit Phương trình logarit a  0, a  1: log a x  b  x  a b + Nếu a  0, a  1: log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  + Nếu a  0, a  1: log a f  x   g  x   f  x   a g  x  + Nếu (mũ hóa) Dạng 1.1 Phương trình Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình A x  Câu Câu B x  C x log3  x  1  là: D x log  x  1  (Mã 101 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình A x  B x  C x  D x  10 log  x  1  (Mã 102 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình A x  10 B x  C x  D x  Câu log  x    (Mã 103 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình là: A x  B x  C x  11 D x  10 Câu log  x    (Mã 104 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình A x  11 B x  10 C x  D log  x    (Mã 102 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình A x  41 B x  23 C x  D x  16 Câu Câu log  x    (Mã 103 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình là: x  x  19 x  38 A B C D x  26 Câu log  x    (Mã 104 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình A x  18 B x  25 C x  39 D x  Câu (Mã 101 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình log ( x  8)  A x  17 B x  24 C x  D x  40 Câu 10 log  x  x    (Đề Tham Khảo 2019) Tập nghiệm phương trình : 0;1 1;0 A   B   C  D   Câu 11 (Đề Minh Họa 2017) Giải phương trình log ( x  1)  A x  65 B x  80 C x  82 D x  63 Trang Câu 12 Câu 13 log   x   2 (Mã 110 2017) Tìm nghiệm phương trình A x  B x  3 C x  4 (Mã 102 2018) Tập nghiệm phương trình A Câu 14  10; 10 Câu 16 Câu 18 Câu 19 Câu 20 Câu 21 Câu 22 Câu 23 Câu 24 Trang  3;3 log  x  1  C B x  13 D x   3 D log  x  5  C x  21 (Mã 105 2017) Tìm nghiệm phương trình D x  B x  (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Phương trình 25 x A B x  87 log25  x  1  C log  3x    C D {4;4} 23 x D x  6 có nghiệm 29 x D log  x  x  3  (THPT Ba Đình 2019) Tập nghiệm phương trình  1  0;1  1;0 A B C (THPT Cù Huy Cận 2019) Tập nghiệm phương trình 1; 0 0;1 A  B   C   (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Phương trình 25 x= A B 87 log ( x - 2) = C x=  3 (Mã 103 2018) Tập nghiệm phương trình log3 ( x  7)  4 A   B   C { 15; 15} A x  Câu 17 B (Mã 104 2017) Tìm nghiệm phương trình A x  11 Câu 15  D 11 x  0 log  x  x  3  D là:  1 có nghiệm là: 29 D x= 11   log x  x   (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tập nghiệm phương trình A  B {  2;4} C {4} D {  2} (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho phương trình log (2 x  1)  log ( x  2) Số nghiệm thực phương trình là: A B C D   log x  x  (Chuyên Sơn La 2019) Tập nghiệm phương trình 1; 3 1;3 3 A  B   C   D   (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Tập hợp số thực m để phương trình log x  m có nghiệm thực A Câu 25  0;   B TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  ;  C ¡ D  0;   (Chuyên Bắc Giang 2019) Tổng bình phương nghiệm phương trình log  x  x    A B C 13 D Câu 26 log x  log  (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Tổng nghiệm phương trình A B C D Câu 27 (THPT-Thang-Long-Ha-Noi 2019) Tập nghiệm phương trình A  4 B log 0,25  x  3x   1   2  2  ;   2    C  1;  4 D (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Nghiệm nhỏ phương trình A 3 B a C D Câu 29 (Sở Hà Nội 2019) Số nghiệm dương phương trình A B C Câu 31 (Chuyên Hạ Long 2019) Số nghiệm phương trình A B C  5x   log x  x      17 A B Câu ln x   D ( x  3) log (5  x )  D (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Tổng tất nghiệm phương trình  2x Câu 32  1; 4 log  x  x    Câu 28 Câu 30 là: 19 D C log x  m (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Tập hợp số thực m để phương trình có nghiệm thực  0;     ;0   0;    A B C D ¡ Dạng 1.2 Biến đổi đưa phương trình (Mã 103 - 2020 Lần 2) Hàm số y  log a x y y  log b x có đồ thị hình bên y  log b x y  log a x x O x1 x2 x ;x x  x2 Đường thẳng y  cắt hai đồ thị điểm có hồnh độ Biết Giá trị a b Trang A Câu Câu Câu Câu S   3 B  S   10; 10 S   3 B S   3;3 D log  x  1   log  x  1 C x  1 C (Mã 101 - 2019) Nghiệm phương trình A x  B x  (Mã 104 - 2019) Nghiệm phương trình A x  B x  2 (Mã 102 -2019) Nghiệm phương trình A x  B x  (THPT Lê A Câu 11 C S   4 Quy Đôn ln  x  1  ln  x  3  ln  x   Câu 10 D S   4 D x  log3  2x  1  log3  x  1  (Mã 105 2017) Tìm tập nghiệm S phương trình Câu Câu  (Mã 103 - 2019) Nghiệm phương trình A x  B x  A Câu C log  x  1  log  x  1  (Đề Tham Khảo 2017) Tìm tập nghiệm S phương trình A Câu 3 B Điện S   1 D S   2 log  x  1   log  x  1 C x  D x  3 log  x  1   log  x  1 C x  D x  log  x  1   log  x  1 C x  Biên 2019) là D x  2 Số nghiệm phương trình B C D Tìm số nghiệm phương trình log x  log ( x  1)  A B C (HSG Bắc Ninh 2019) Số nghiệm phương trình A B C D log3   x   log x   D (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Tìm tập nghiệm S phương trình: log  x  1  log  x  1  A Câu 12 Câu 13 S   3 Trang C S   2 D S   4 log x  log  x  1  (Sở Bắc Giang 2019) Phương trình có tập nghiệm S   1;3 S   1;3 S   2 S   1 A B C D (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Tổng nghiệm phương trình log ( x  1)  log ( x  2)  log5 125  33 A Câu 14 B S   1  33 B C D 33 (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Tập nghiệm phương trình log x  log ( x  3)  S   4 S   1, 4 S   1 S   4, 5 A B C D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 15 Câu 16 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Số nghiệm phương trình A B C 1 A C S   3  B S  2 (THPT  S   5;   Hàm Rồng Thanh Tham log  x  1  log  x  1   Hóa Khảo 2019) Số nghiệm phương trình B A (Đề D   13  S     D log  x  x   log  x    Câu 19 D  log n  1 Giá trị n B C (Mã 110 2017) Tìm tập nghiệm S phương trình A Câu 18   x   0;    , biết log  sin x   log  cos x   2 (Chuyên Sơn La 2019) Cho log  sin x  cos x   Câu 17 log x  log  x    log C 2018) Tổng giá trị 80 B D tất nghiệm phương trình log x.log x.log 27 x.log 81 x  A Câu 20 Câu 21 C (VTED 2019) Nghiệm phương trình x 3 A B x  log x  log x  log C x x D (THPT Lê Quý Dôn Dà Nẵng -2019) Gọi S tập nghiệm phương trình log  x  1  log  x    Số phần tử tập S A Câu 22 82 D B (Chuyên Lam Sơn C Thanh 3log3  x  1  log  x    Hóa 2019) D Số nghiệm thục phương trình 3 A Câu 23 B C D (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tổng nghiệm phương trình log  x    log3  x   Q  a.b A 0 B S  a  b (với a, b số nguyên) Giá trị biểu thức C D Trang Dạng Phương trình mũ Phương pháp đưa số  Phương trình mũ a f  x  a g  x  f  x   g  x  a  0, a  + Nếu a f  x a + Nếu a chứa ẩn + a f  x b g x  log a a f  x g x a    a  1  f  x   g  x       f  x  g  x  log a b g x  f  x   log a b.g  x  (logarit hóa) Dạng 2.1 Phương trình Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu 10 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình A x  B x  C x  Trang  27 D x  x1 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình  là: A x  2 B x  C x  D x  3 x (Mã 102 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình  A x  3 B x  C x  D x  4 x1 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình  A x  B x  C x  2 D x  1 x (Mã 104 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình  27 A x  2 B x  1 C x  D x  x4  (Mã 102 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình A x  16 B x  16 C x  4 D x  x 3  x (Mã 101 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình A x  B x  8 C x  D x  3 x2  x (Mã 104 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình A x  2 B x  C x  4 D x   27 (Mã 101 - 2019) Nghiệm phương trình: A x  B x  C x  D x  x1  27 (Mã 102 - 2019) Nghiệm phương trình A B C D x x1 x1 Câu 11 Tìm nghiệm phương trình  27 A x  10 B x  Câu 12 x1 C x  x1  125 có nghiệm (Mã 104 2018) Phương trình 5 x A B x  C x  D x  D x TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 13 (Mã 101 2018) Phương trình A x  Câu 14 Câu 15 Câu 16 B Câu 18 Câu 19 Câu 20  32 có nghiệm (Mã 104 - 2019) Nghiệm phương trình 17 x A x  B C x   32 D x 2 x1 C x D x  x1  (Mã 103 - 2019) Nghiệm phương trình x A x  B C x  D x x (Mã 104 2017) Tìm tất giá trị thực m để phương trình  m có nghiệm thực A m  Câu 17 x x1 B m  C m  D m  2x x  (THPT An Lão Hải Phịng 2019) Tìm tập nghiệm S phương trình  1  1 S  0;  S  1;   S  0;    2  2 A S  d B C D x1 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm tập nghiệm S phương trình  S   4 S   1 S   3 S   2 A B C D (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Phương trình nghiệm? A B C  5 x2 4 x 6  log 128 D x (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Tập nghiệm S phương trình A S   1;3 B S   3;1 C S   3;  1 có D 2 x  27 S   1;3 Câu 21 Câu 22 x (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Số nghiệm thực phân biệt phương trình e  là: A B C D x (Sở Ninh Bình 2019) Phương trình   có tập nghiệm A S   3 B S   2 C S   0 D S   2 Câu 23 Câu 24 cos x   (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Họ nghiệm phương trình      k ; k  ¢   k ; k  ¢     k ; k  ¢  C  k 2 ; k  ¢  A B  D  x (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho biết  12  , tính giá trị biểu thức P  8.9 3 x 1 A 31 Câu 25 x 1  19 B 23 C 22 D 15 2x (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tính tổng tất nghiệm phương trình 2 5 x 4 Trang A  B 1 D C x 1 Câu 26 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình  2m  m   có nghiệm 3  1   3 m   1;  m ;  m   1;  m  0;     2  2   2 A B C D a  ab     Câu 27 Cho a, b hai số thực khác 0, biết:  125  8 A B   625  a 8 ab a Tỉ số b là: 4 D 21 C x - x +1 = Câu 28 Tổng nghiệm phương trình A B - C Câu 29 Câu 30 Câu 31 D 2x (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Phương trình nghiệm A B C 1 2x (THPT Ngơ Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Phương trình A B C 1 2x (Sở Bắc Ninh 2019) Phương trình  A B 5 x  5 x  5 x  D  có tổng tất   25 có tổng tất nghiệm D   49 có tổng tất nghiệm C 1 D Dạng 2.2 Biến đổi đưa phương trình Câu x +1 x- Tập nghiệm phương trình: + = 272 { 3; 2} { 2} { 3} A B C D { 3;5} x2  27 Câu Câu (HKI-NK HCM-2019) Phương trình 1; 7 1; 7 A  B  x 3 1    3 C có tập nghiệm  1; 7 D  1; 7 x x1 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Phương trình  72 có nghiệm x x 2 A B x  C D x  x  x 3 Câu Trang 1   (Chuyên Bắc Giang 2019) Nghiệm phương trình   A x  1; x  B x  1; x  2 C x  1; x   x 1 D Vơ nghiệm TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 x  x 3 Câu Câu 1   Tập nghiệm phương trình   1 1; 2 A   B  x Tổng nghiệm phương trình A 6 B 5  x 1  1; 4 C 2 x D  82 x C  2 D x2  x3 Câu 1 x 1    7 (SGD Điện Biên - 2019) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x12  x22 Khi bằng: A 17 C B D  x2 x2 Câu Câu Tổng bình phương nghiệm phương trình A B C 7x1  82x1 Nghiệm phương trình x  B x  3 A 1   5 D C x  2 D x  x 1  2,5    5 Câu 10 (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Giải phương trình A x  B x  C x  D x  x 7 3x Câu 11 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Phương trình x1 , x2 Tính x1 x2 A 6 Câu 12 B 5 4 x 1 1   9 có hai nghiệm D 2 C x (Sở Quảng Nam - 2018) Tổng nghiệm phương trình A B 5 C 2 2 x  82 x D 6 x 1 4x x      Câu 13 (THPT Thăng Long - Hà Nội - 2018) Tập nghiệm phương trình  2  1  3 0;  0;  0;   0; 2 A   B   C D   Câu 14   3 (THPT Hải An - Hải Phịng - 2018) Tìm nghiệm phương trình A C x x B D x  1  log  x x1  2   3 25  15 Trang Câu 15 (THPT Kim Liên - Hà Nội - 2018) Tính tổng S  x1  x2 biết x1 , x2 giá trị thực thỏa mãn 2x x 3 6 x 1 đẳng thức A S  5 Câu 16 1    4 B S  D S  (Chuyên Hùng Vương - Bình Dương - 2018) Tập nghiệm S phương trình x x1 4 7     7 4  16 0 49 ìï - 1ü ù ý ùợù ùỵ ù ù A S = í Câu 17 ìï - 1ü ï ; ý ùợù 2 ùỵ ù ù C S = B S = { } ìï - ü ù ; 2ý ùợù ùỵ ù ù D S = í (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Nội - 2018) Tích nghiệm phương trình  52  x 1   52  x 1 x 1 B 4 A 2 Câu 18 C S  C D x 3  84  x (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Giải phương trình 4 x x x A B C x  D PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Chuyên đề 19 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Phương trình logarit Phương trình logarit a  0, a  1: log a x  b  x  a b + Nếu a  0, a  1: log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  + Nếu a  0, a  1: log a f  x   g  x   f  x   a + Nếu Dạng 1.1 Phương trình Câu g  x (mũ hóa) (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình A x  B x  x C Lời giải log  x  1  Chọn B Điều kiện: 2x 1   x    x  x  log3  x  1     2 x   32   x   x  Ta có Trang 10 là: D x Lời giải Chọn B 3x Phương trình tương đương  3x 2  x  3 (2 x  m  2)  ln  x  m   ln  x  x  3 ln  x  x  3  32 x  m 2.ln  x  m   2 x 3 (*) f t  ln t , t  Xét hàm đặc trưng   hàm số đồng biến nên từ phương trình (*) suy  x  x   x  m   g  x   x2  x  x  m   t  x  x  2m  x  m 2 x  x  m g  x    g ' x   x  m x  m  x  2m  2 x Có  x  x  m g ' x     x  x  m Xét trường hợp sau: g x TH1: m  ta có bảng biến thiên   sau: Phương trình có tối đa nghiệm nên khơng có m thoả mãn TH2: m  tương tự g x TH3:  m  , bảng biến thiên   sau:  m   m  1     2m    2m    m    2m    2m    m   Phương trình có nghiệm Cả giá trị thoả mãn, nên tổng chúng Câu 13 Trang 210 10;10  (Chuyên Lam Sơn - 2020) Có giá trị nguyên tham số a đoạn  để phương trình e x  a  e x  ln   x  a   ln   x  có nghiệm 10 A B C D 20 Lời giải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x 1 a   Điều kiện xác định  x   (*) e x  a  e x   ln   x  a   ln   x    Phương trình tương đương với xa x f  x   e  e g  x   ln   x  a   ln   x  Q  x   f  x   g  x  Đặt , , Q  x  Phương trình cho viết lại thành Q  x  +) Với a  (ln với x thoả mãn (*)) f  x g  x +) Với a  có (*) tương đương với x  1 , đồng biến nghịch biến với x  1 Q  x Khi đó, đồng biến với x  1 (1)   1 x  a  a    Q  x   lim   e x  a  e x  ln  lim  e x a  e x  ln 1   x lim      x  1   x  x  1    x    1   lim Q x  lim e x e a   ln 1  a        x    x    1 x  Ta có  (2) Q  x  Kết hợp (1), (2) phương trình có nghiệm g  x f  x +) Với a  có (*) tương đương với x  1  a , đồng biến nghịch biến với x  1  a Q  x Khi đó, nghịch biến với x  1  a (3) Ta có:   1 x  a  a    Q  x   lim   e x  a  e x  ln  lim  e x  a  e x  ln 1   x lim      x  1 a    x  x  1 a     x    1 a    lim Q x  lim e x e a   ln   a        x    x     x   (4) Q  x  Kết hợp (3), (4) suy có nghiệm 10;10 Do a số nguyên đoạn  nên kết hợp trường hợp thấy có 20 giá trị a thoả mãn điều kiện   Câu 14    2020; 2020  để (Chuyên Sơn La - 2020) Có giá trị nguyên tham số m thuộc e x  ln  x  2m   2m phương trình có nghiệm? 2019 2020 A B C 2021 D 4039 Lời giải Chọn A e x  ln  x  2m   2m  e x  x  ln  x  2m   x  2m  e x  x  eln  x 2 m   ln  x  2m  Ta có (*) t t  f  t  e t  f  t   e   0, t f  t Xét hàm số với t  ¡ Suy hàm số đồng biến ¡  *  f  x   f  ln  x  2m    x  ln  x  2m   x  2m  e x  2m  e x  x Do g  x   e x  x  g   x   ex 1  g   x    x  Xét hàm số Bảng biên thiên Trang 211 2m   m  Từ bảng biên thiên suy phương trình có nghiệm m  ¢ , m   2020; 2020  m   1; 2;3; ; 2019 Mà nên  2020; 2020  Vậy có 2019 giá trị nguyên tham số m thuộc e x  ln  x  2m   2m có nghiệm để phương trình Dạng Phương trình mũ – logarit chứa nhiều ẩn Câu ( x ; y ) thỏa mãn £ x £ 2020 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Có cặp số nguyên log ( x + 3) + x = y + y ? 2019 A B C 2020 D Lời giải Chọn D Cách 1: log ( x + 3) + x = y + y Û log ( x +1) + x +1 = y + 32 y ( 1) Ta có: log3 ( x +1) = t Þ x +1 = 3t Đặt ( 1) trở thành: t + 3t = y + 32 y ( 2) Phương trình f ( u ) = u + 3u Xét hàm số ¡ u f ¢( u ) = + ln > 0, " u Ỵ ¡ f ( u) nên hàm số đồng biến ¡ ( 2) Û f ( t ) = f ( y ) Û t = y Þ log3 ( x +1) = y Û x +1 = y Û x = y - Do y y Vì £ x £ 2020 Þ £ - £ 2020 Û £ £ 2021 Û £ y £ log 2021 ( log 2021 ằ 3, 464) y ẻ Â ị y ẻ { 0;1; 2;3} Do , có giá trị y nên có giá trị x ( x ; y) Vậy có cặp số nguyên Cách 2: log ( x + 3) + x = y + y Û log ( x +1) + x +1 = y + 32 y Ta có: f ( x) = log ( x +1) + x +1 x Ỵ [ 0; 2020] Xét hàm số với f ¢( x) = +1 > 0, " x Ỵ x Ỵ [ 0; 2020] Þ f ( x) x +1) ln ( Ta có Hàm số đồng biến đoạn [ 0; 2020] f ( 0) £ f ( x) = log ( x +1) + x +1 £ f ( 2020) Û £ f ( x ) £ log 2021 + 2021 Suy Þ £ y + y £ log 2021 + 2021 < 2028 y y Nếu y < Þ y + < < = ị y y ẻ Ơ ị ( y + y ) ẻ Ơ ị y + y £ 2027 Þ y £ 2027 - y £ 2027 Khi Þ y £ log 2027 » 3, 465  y  Þ £ y £ Trang 212 TI LIU ễN THI THPTQG 2021 ị y ẻ { 0;1; 2;3} f ( x) Do hàm số đồng biến nên với giá trị y cho giá trị x +) y = Þ log ( x +1) + x +1 = Û x = +) y = Þ log ( x +1) + x +1 = 11 Û log ( x +1) + x = 10 Û x = +) y = Þ log ( x +1) + x +1 = 85 Û log ( x +1) + x = 84 Û x = 80 +) y = Þ log ( x +1) + x +1 = 735 Û log ( x +1) + x = 734 Û x = 729 Vậy có cặp số nguyên Câu ( x ; y) (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Có số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn log ( x  y )  log x  y ? A B C D Vô số Lời giải Chọn B Cách 1:  x  y  3t  t  log ( x  y)  log  x  y     1 x  y  4t   Đặt Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 9t t 2 t   x  y    x  y    t   t  log Như vậy,  x  y  4t  x  4t   log  1,89  x   1; 0;1  y  3t t   x 0   t y   y    Trường hợp 1: t  t   y  1 x 1   t  y  1  y    Trường hợp 2:  y  3t  t  x  1     x2  y   t t  y     y     Trường hợp 3: mâu thuẫn với x2  y  log suy loại x  1 x   0;1 Vậy có hai giá trị Cách 2: t  x  y  t  log ( x  y)  log  x  y     1 t x  y    Đặt t Suy x, y tọa độ điểm M với M thuộc đường thẳng d : x  y  đường tròn  C  : x  y  4t d,  C  d  O, d   R Để tồn y tức tồn M nên có điểm chung, suy t 3  2t  t  log O  0;0  , R  2t 2 nên Trang 213 log  0  x  y   1   log  x  y  32  Khi Minh họa quỹ tích điểm M hình vẽ sau Ta thấy có giá trị x  ¢ thỏa mãn x  1; x  0; x  Thử lại: t  t  y  x 0   t   y  y   Trường hợp 1:  y  3t  t   x 1   t  y  1  y    Trường hợp 2:  y  3t  t  x  1     x2  y2   t t  y     y     Trường hợp 3: mâu thuẫn với x2  y  Câu log 2 suy loại x  1 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Có cặp số nguyên dương  m; n  cặp A Chọn D  m; n  cho m  n  10 ứng với   2a m  n ln a  a  a   1;1 tồn số thực thỏa mãn ? 10 B C D Lời giải     2a m  ln a  a  n Ta có g  x  xm f  x   ln x  x   1;1 n Xét hai hàm số f  x   0 f  x x  Ta có nên ln đồng biến   f   x   ln  x  x   ln     ln x  x    f  x  f  x  x  x 1  nên hàm số lẻ g x   hàm số chẵn có bảng biến thiên dạng + Nếu m chẵn 2a m  n ln a  a     Trang 214     TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy phương trình có nhiều nghiệm, m lẻ g  x + Nếu m lẻ hàm số hàm số lẻ đồng biến Ta thấy phương trình ln có nghiệm x  Dựa vào tính chất đối xứng đồ thị hàm số lẻ, suy  1;1 có nghiệm  0;1 , hay phương trình cho có nghiệm 2 f  1  g  1  ln    n   2,26  n   1;2 n ln  m   1;3;5;7;9 Đối chiếu điều kiện, với n  suy , có cặp số thỏa mãn m   1;3;5;7 Với n  có cặp số thỏa mãn Vậy có cặp số thỏa mãn tốn  Câu    (Mã 101 - 2020 Lần 2) Có cắp số nguyên dương m, n  cặp  A 14 tồn ba số thực B 12 Chọn a   1;1 thỏa mãn C 11 Lời giải  m, n  cho m  n  14 ứng với  2a m  n ln a  a  ? D 13 C f  x   x m  ln x  x  1;1 n Xét  2m m 1 f  x  x  0 n x  Đạo hàm   2m m 1 x  f x 0 x  có hai nghiệm Theo đề   có ba nghiệm nên n y  x m 1 ; y  x  , suy m  chẵn m   Xét đồ thị hàm  x1   m   3;5;7;9;11;13 f  x  x 0 Suy Khi có nghiệm   f  1    f  1  Phương trình có nghiệm   2  n  ln    n   n   1; 2    ln   n  n   1; 2  m   3;5;7;9;11;13  m ; n  thỏa yêu cầu , m  n  14 nên ta có 11 cặp tốn Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Có cặp số nguyên dương (m, n) cho m  n  12 ứng với m cặp (m, n) tồn số thực a  (1,1) thỏa mãn 2a  n ln( a  a  1) ? A 12 B 10 C 11 D Lời giải Chọn D 2a m  n ln( a  a  1)  a m  ln( a  a  1) (*) n Ta có Trang 215 Xét hàm f (a )  ln(a  a  1) (1,1) (dễ thấy hàm f lẻ, đồng biến R ), có BBT: g (a)  a m n Xét hàm (1,1) Với m chẵn, g ( a) hàm chẵn g (a )  0, a  R , (*) khơng thể có nghiệm Với m lẻ, g (a ) hàm lẻ, đồng biến R tiếp tuyến đồ thị điểm a  đường thẳng y  Dễ thấy (*) có nghiệm a   (1;1) Để (*) có nghiệm tức cịn có nghiệm  a0 với  a0  2 g (1)  1m   f (1)  ln(1  2)  n   2, 26  n  1; n  n n ln(1  2) Muốn vậy, Cụ thể: m   3;5;7;9 n   1;2 : Có cặp (m, n) + m  11 n   1 : Có cặp ( m, n) + + m  : Đồ thị hàm số g (a) đường thẳng ( g (a)  a; g (a)  2a ) cắt đồ thị hàm số f (a ) giao điểm a0  tiếp tuyến hàm số f (a ) điểm có hoành độ a  đường thẳng y  a Vậy có thảy cặp (m, n ) Câu m   1;1 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Có tất giá trị thực tham số 2 log m 1  x  y   log  x  y    x; y  nhất? cho phương trình có nghiệm nguyên A B C D Lời giải Chọn B x2  y2   x  y 1  Điều kiện:   x ;y   y ;x  Nhận xét: Vì x, y có vai trị nên phương trình có nghiệm 0 0 nghiệm phương trình  x0  y0 *) Điều kiện cần: Phương trình cho có nghiệm log m 1  x0   log  x0   Thay vào phương trình ta x  x0   log  x0    log m 1  x02   log m 1  x0   x  ¢  x0   Vì Lại có 1    log x0 2  m  1  log x0  2 log x0 2 log x0 2  m  1 2  m    m  mà m   1;1  m  1 *) Điều kiện đủ: Với m  1 phương trình cho trở thành Trang 216 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x  2  x  y  x  y    x  1   y  1    log  x  y   log  x  y   y 1  1;1 Suy phương trình cho có nghiệm Vậy có hai giá trị m cần tìm m  1 Câu (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Có số nguyên y để tồn số thực x log11  3x  y   log x  y thỏa mãn ? A B C D vô số Lời giải Chọn B 3x  y  11t log11  3x  y   log  x  y   t   2 t  x  y  (*) Đặt t C : x  y  4t Hệ có nghiệm  đường thẳng  : 3x  y  11 đường trịn   có điểm chung   t 11t  11   d  O,    R   2t      t  log 11 5 2 t y 2 2 Do x  y  nên 2 Vì y  ¢ nên Thử lại: t y   1;0;1 log 11  1.9239767 3x   11t  11t   t t t t       121  8.11  25  9.4 t x 1    - Với y  1 , hệ (*) trở thành  (**)  11t   1    1   t  Nếu t t 121  t 0  121t  4t  11t  4t  25  t t 8.11  8.4 Nếu Vậy (**) vô nghiệm t t   log11 - Với y  hệ (*) trở thành t 121t 11 3x  11 t    t  log  x   11 t  x   11t   3x   11 t     1  t x 1    - Với y  hệ (*) trở thành  1  t t t  ;1 Xét hàm số f (t )  121  8.11  25  9.4 , liên tục   có t  121t  8.11t  25  9.4t 1 f   f  1  2 nên phương 1   ;1 trình f (t )  ln có nghiệm thuộc đoạn   Khi hiển nhiên tồn x thỏa mãn Vậy có giá trị nguyên y thỏa mãn y  0, y  Câu (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Có cặp số thực x  x 3  log3  y  4 y  y    y  3  ?  đồng thời điều kiện A B C D Lời giải Chọn D  x; y  thỏa mãn Trang 217 Ta có: Vì x  x 3  log3 x2  x 3  5  y      y    x2  x 3 (*)  30  5 y 3   y    y  3 y  y    y  3   4 y   y  1   y  3   y  y  Với y  3 ta có: 2  3  y  Kết hợp với y  3 suy y  3 Thế y  3 vào (*) ta được: Vậy cặp số thực  x; y  x  x 3  x  1   x2  2x     x  thỏa mãn  1; 3 ;  3; 3  x0 ; y0  nghiệm phương trình (Chuyên Bến Tre - 2020) Giả sử x 1  x sin  x 1  y  1   x  2sin  x 1  y  1 Mệnh đề sau đúng? A x0  B 2  x0  C  x0  D 5  x0  2 Lời giải Chọn B x 1  x sin  x 1  y  1   x  2sin  x 1  y  1 Ta có  x  4.2 x   x   sin  x 1  y  1    Câu   x     x   sin  x 1  y  1  sin  x 1  y  1  cos  x1  y  1     x     x   2sin  x 1  y  1  2sin  x 1  y  1   cos  x 1  y  1  2   x    2sin  x 1  y  1   cos  x1  y  1   x   2sin  x 1  y  1    cos  x 1  y  1   cos  2 Vì  Câu 10 Trang 218  y  1   sin  2 sin  x 1  y  1   x  sin  2  x 1 x 1 x 1  y  1  1 (vô nghiệm)  y  1  1    x  x0    2;  x x; y  (Chuyên Lào Cai - 2020) Có cặp số nguyên  thỏa mãn  x  4000 5 25 y  y  x  log  x  1  ? A B C D Lời giải Chọn A log  x  1  t  x  5t  Đặt Phương trình trở thành: 52 y  y  5t   5t   52 y  y  5t 1   t  1 f  u   5u  u  f   u   5u.ln   Xét hàm số nên hàm số đồng biến f y  f  t  1  y  t   y   t  log  x  1 Vậy để         y   log 4001   y    y   0;1; 2 Với nghiệm y ta tìm nghiệm x tương ứng Câu 11 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có ( x; y ) với x, y nguyên  2y   2x 1   xy  x  y   log     x  y  xy   log    x, y  2020 thỏa mãn  x 3 ?  y2 A 2017 B 4034 C Lời giải D 2017.2020 Chọn B Từ giả thiết kết hợp ĐKXĐ bất phương trình ta có:  y  2020;  x  2020; x, y  Z ,(1)  2y   2x 1   xy  x  y  8 log3     x  y  xy   log    x 3   y2 Ta có:  2y   2x 1    x   (y 2) log    x   (y 2) log    x3   y2 (*)   2x 1   f ( x)  log    log 2   0, x   4; 2020 x  x      Xét (2) y  + Với thay vào (*) ta được: 2  2x 1  3( x  4) log   ( x  3) log   x   4; 2020 3  x 3  ( (1) (2) ) Suy có 2017 ( x; y ) x   4; 2020 + Với y  thay vào (*) ta thấy ( x ; y ) Suy có 2017 + Với  y  2020  y    2y   y y  y2 g(y)  log    log3   log   0, y  y  y  y        Xét (3) Suy (*) vô nghiệm ( Do (2) (3) ) Vậy có 4034 ( x; y ) Câu 12 (Chuyên Sơn La - 2020) Cho x số thực dương y số thực thỏa mãn x x  log 14  ( y  2) y   A 2022 2 Giá trị biểu thức P  x  y  xy  2020 B 2020 C 2021 D 2019 Lời giải Chọn C Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Đặt x x 1  x  2, x   x  x x y   t , t  thu 14  ( y  2) y   14  (t  3)t  t  3t  14  16  (t  1) (t  2)  16, t  log 14  ( y  2) y    log 16    Dẫn đến Như hai vế dấu đẳng thức xảy tức Trang 219 t    2  x   x  1; y   P  x  y  xy  2020  2021 x   x  log  x  x    y  y  x  x  Câu 13 (Sở Hưng Yên - 2020) Cho phương trình Hỏi có bao  x; y   x  2020 ; y  ¥ thỏa mãn phương trình cho? nhiêu cặp số A B C D Lời giải Chọn D 2 log  x  x    y  y  x  x   log 3  x  x    y  y  x  x  y2 2   log x  x    y  x  x  2 y2  log3  x  x     x  x     y (1) 2 z log  x  x    z  x  x   Đặt (1) trở thành: z y2   z   y (2)  Xét hàm số  f  t   3t  t  f   t   3t ln   0, t  ¡ f  t Suy hàm số đồng biến ¡  f  z   f  y   z  y2 (2) log  x  x    y  x  x   y Thay trở lại cách đặt ta có: g  x   x  x  2, x   0; 2020   g   x   x  Xét hàm số:  g  x   x  Bảng biến thiên: Suy ra:   g  x   4076362   y  4076362   y  log 4076362   y  log 4076362  3,  y   0;1; 2;3 Do y  ¥ g  x   g  x   g  x   g  x   39  g  x Dựa vào bảng biến thiên hàm số ta thấy phương trình có nghiệm  x  2020 Trang 220 Vậy có cặp số Câu 14  x; y  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 thỏa mãn đề  x; y  thỏa mãn  x  2021 (Sở Phú Thọ - 2020) Có cặp số nguyên y  log  x  y 1   x  y ? 2020 A B C 2019 D 10 Lời giải Chọn D y 1 t t y 1 log  x  y 1   t Đặt Suy x   , x   y  t   2t  y 1   y  2.2 y  y  2.2t  t Phương trình cho trở thành: x x g  x   2.2  x g   x   2.2 ln   0, x y  g  x Xét hàm số có nên hàm số ln đồng biến y 1 y t y  log  x   Khi 2.2  y  2.2  t  y  t hay y 1 y y y 1 y 1 Suy x    x    y 1  y   log 2021  Mà  x  2021 nên   2021   y   log 2021 hay y   2,3, ,11 Lại có y số nguyên nên tức 10 giá trị thỏa mãn y 1 Xét biểu thức x  , giá trị nguyên y cho tương ứng giá trị nguyên x nên có 10  x, y  thỏa mãn yêu cầu đề cặp số nguyên Câu 15 (Sở Bắc Ninh - 2020) Có cặp số nguyên dương x y  x  3x  1   x  1 y  x , với x  2020 ? A 13 B 15 C D  x; y  thảo mãn Lời giải Chọn D Ta có 3x  y  x  3x  1   x  1 y  x  3y  3x  x  1  x  3x  x  1   3x  x  1  y  x   3x  x   0, x    3x  x  1  y  x    y  x  y  log x  x  3k Ta thấy k k x  2020   2020    k   0;1; 2;3; 4;5;6 Vì Câu 16 3 3z 2z (Sở Bình Phước - 2020) Biết a, b số thực cho x + y = a.10 + b.10 , đồng thời 2 x, y, z số số thực dương thỏa mãn log( x + y) = z log( x + y ) = z +1 Giá trị 1 + a2 b2 thuộc khoảng A (1;2) B (2;3) C (3;4) D (4;5) Lời giải Chọn D ïìï log( x + y) = z Û í ïï log( x2 + y2 ) = z +1 Ta có: ïỵ z ì ïíï x + y = 10 Þ x2 + y2 = 10( x + y) ïï x2 + y2 = 10z+1 = 10.10z ỵ 3 3z 2z Û ( x + y) x2 - xy + y2 = a 10z ( ) ( ) + b.( 10z ) Khi x + y = a.10 + b.10 2 Û ( x + y) ( x2 - xy + y2 ) = a.( x + y) + b.( x + y) Û x2 - xy + y2 = a.( x + y) + b.( x + y) Û x2 - xy + y2 = a.( x2 + 2xy + y2 ) + ỉ bư b x + y2 ) Û x2 + y2 - xy = ỗ a+ ữ x2 + y2 ) + 2a.xy ( ữ ( ỗ ữ ỗ ố 10ứ 10 Trang 221 b ïìï ï a+ 10 = 1Þ í ïï 2a =- Đồng hệ số ta ỵï Câu 17 ìï ïï a =2 í 1 ïï Þ + = 4+ = 4,008 ẻ ( 4;5) b = 15 ợù a b 225 x; y  (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Có cặp số nguyên  thỏa mãn  y  2020 3x  3x   y  log y A 2020 B C D Lời giải Chọn C Ta có:  log3 y x x x  x   y  log y    x    y  3log3 y    x     3log y  * t f t   3 t  2 Xét hàm số:   t f  t  ln   0, t  ¡ y  f  t Ta có:   Suy hàm số đồng biến ¡ *  f  x   f   log y   x   log y  y  3x  Khi đó:    y  2020 x, y Do nguyên nên:  3x   2020   x   log 2020  x   2;3; 4;5;6; 7;8 x; y  Ứng với giá trị x có giá trị y nên có cặp số  nguyên thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 18 3 3z 2z (Đơ Lương - Nghệ An - 2020) Giả sử a, b số thực cho x  y  a.10  b.10 với số thực dương x, y , z thỏa mãn log( x  y )  z log( x  y )  z  Giá trị a  b 25 31 31 29   A B C D Lời giải Chọn D  x  y  10 z  x  y  10 z  log( x  y )  z      2 2 z 1 z log( x  y )  z   x  y  10 ( x  y )  xy  10.10  x  y  10 z  x  y  10 z    2z  102 z  10.10 z z 10  xy  10.10 xy      102 z  10.10 z  z x  y  ( x  y )3  3xy ( x  y )  103 z   .10   Khi 1  2.103 z  3.103 z  30.102 z  103 z  30.102 z   103 z  15.102 z 2     3 3z 2z Lại có x  y  a.10  b.10  29 a    ab    Suy  b  15 Câu 19 Trang 222  1;1 cho tồn số thực (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Có số hữu tỉ a thuộc đoạn b thỏa mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B a  a 1  a 1 1  C D Vô số Lời giải log   a  b  2b   A a a  a Chọn C Ta có: 2x 8x  1 2x 4x  2x  1      4x  2x   2x  4x  2x x x 2x 4x       2x     x  x    x x 4 2x  1 2  4.2 2x 4x   1 x x Áp dụng bất đẳng thức Cô si:  4.2  1 3 x  3 x 1   3 x   x   2  x     x    4  4  Lại có   2 2x 4x 1    1 x x x x 1; 2 Từ     suy     log   a  b  2b     a  b  2b   a  b  2b    a   b  1  a   b  a  0 1;1 nên chọn phương án C Câu 20 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Có cặp số nguyên x  y  0;  20  x  20 log  x  y   x  y  3xy  x  y  ? A 19 B C 10 D 41 Lờigiải Chọn C + Điều kiện: x  y   x ; y  thoả mãn + Ta có: x  y  nên log  x  y   x  y  3xy  x  y   log  x  y   x  y   x  y  3xy  x  y  x y  log  x  y  xy   log  x  y   x  y  xy  x  y   log  x  y  xy   x  y  xy  log  x  y   x  y f '( t ) = (1) +1 > t ẻ ( 0; +Ơ ) f t t ln nên hàm số   đồng f t  log t  t Xét hàm số:   , ta có: ;   biến   1  f  x  y  3xy   f  x  y   x  y  3xy  x  y Do đó: Trang 223   x  y   x  y  1   x   y x + y > nên x + y = 1- y > 19 £ y