7 0 đề vận dụng cao mũ và logarit số 01(trang 276 305)

BIÊN SOẠN THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED VN|1 CHINH PHỤC VD VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ MŨ VÀ LOGARIT CHINH PHỤC VD VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ MŨ VÀ LOGARIT CHƯƠNG 2 CÁC BÀI TOÁN VDC MŨ VÀ LOGARIT CHỌN LỌC I ĐỀ VẬN DỤNG CAO MŨ VÀ LOGARIT SỐ 01 ĐỀ BÀI Câu 1 Cho hai số thực dương thỏa mãn Biết rằng giá trị nhỏ nhất của ( và là phân số tối giản) Tính hiệu A B C D Câu 2 Cho hàm số với là các số thực dương, biết Xét hàm số , gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của sao cho Số ph.

CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 LOGARIT CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ CHƯƠNG 2: CÁC BÀI TOÁN VDC MŨ VÀ LOGARIT CHỌN LỌC I ĐỀ VẬN DỤNG CAO MŨ VÀ LOGARIT SỐ 01 ĐỀ BÀI Câu 1: Cho hai số thực dương nhỏ A x, y x2 + y a = xy b ( B thỏa mãn a, b ∈ ¥  x −1 y −1  log ( x + y + ) = + log  + ÷ x   y a b a − b phân số tối giản) Tính hiệu 13 C D ( f ( x ) = ax + bx − x ln x + + x Câu 2: Cho hàm số f ( 1) = −3, f ( ) = giá trị thực A Câu 3: Cho thức 12 A Câu 5: m [ −1;1] cho B 12 tập hợp tất điểm log x2 + y +1 ( x + y + m ) ≥ 1, | Phan Nhật Linh số thực dương, biết x ×log S , gọi S tập hợp tất D x = y − 4x +1 y +1 Giá trị lớn biểu B [ −2020; 2019] a , b, c Số phần tử C C Có số nguyên x∈¡ ? 11 A B Gọi với max g ( t ) = 10 y ∈ ( −20; 20 ) S ) g ( t ) = f ( − 2t ) + f ( 3t − ) + m x y , hai số thực dương thỏa mãn P = x2 − y2 Câu 4: Xét hàm số Biết giá trị để tập S với + log thoả mãn C M ( x; y ) m 12 10 x, y D ( 3x + 1) ≤ log 3 ( yx phần tử? − 6x + y) với D số nguyên thoả mãn điều kiện tham số Có số nguyên có khơng q m thuộc đoạn CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT A Câu 6: B 2020 C Cho Câu 9: 2019 S =9 S = 18 B Có số nguyên a m ( m tham số để bất phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn C ( a ≥ 2) ( m + 33 n  7  −3;  D 7   −∞;  3  m n S = m+n , số nguyên dương Tính S = 54 S = 15 C D với cho tồn số thực ) ln a log x + 4a log x + = A + 4m − ≥ x−2 + ( m − ) log a b 1< a ≤ b ≤ , hai số thực thay đổi thỏa , biết giá trị nhỏ biểu thức P = ×log a ( b + 4b − ) + log 2b a A 2 Cho bất phương trình thực) Tập hợp tất giá trị 5   ,  7   ; +∞ ÷ [ −3; +∞ ) 3  A B Câu 8: D log 22 ( x ) − ( m + 1) log x + m − ≤ m Cho bất phương trình ( tham số thực) Tập hợp tất 4 ;    m x giá trị để bất phương trình nghiệm với thuộc đoạn m≤ m≥ m≥ m∈ R 2 A B C D ( m − 1) log 21 ( x − ) Câu 7: 2021 B Câu 10: Có số nguyên thỏa mãn: ln ( x − ) C m ≤ 2021 x log a D để có nhiều cặp số ( x; y ) thỏa mãn log x2 + y + ( x − y + m ) ≥ A 2017 4x − 3y +1 = ? 2020 2019 B C D 2022 mx + log ( mx ) > 2log2 x + log 22 x Câu 11: Gọi S tập hợp nghiệm nguyên bất phương trình m S giá trị nguyên tham số để tập hợp có phần tử Có Tuyển chọn tốn VD-VDC | CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 LOGARIT A B CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ C y ∈ [ − 2022; 2022] Câu 12: Có số nguyên 2019 2020 A B y ∈ ( 0; 2021) Câu 13: Có số nguyên x∈¡ ? 2021 A B Câu 14: Trên khoảng log A 12 ( −20; 20 ) ( + ( a + ) B Câu 15: Cho số thực a , b, c > 13 + ) − log B Câu 16: Cho hàm số f ( x) 2022 D a 14 D x, y , z thỏa mãn ? với x để có hai số thực ( a − 1) − log ( x−1 + 1) = x + ? 11 thỏa mãn a x = b y = c z = abc 16 16 + −z x y có đạo hàm x x e x+ y ≥ e x+ y + 3x2 D số thực dương thay đổi 24 − + log ( x + 1) ≤ log ( yx − 12 x − y − 1) C Tìm giá trị lớn biểu thức 24 P= A thỏa mãn: 11 D để tồn thỏa mãn: 2021 C C x x , có tất số nguyên x 10 C ¡ 20 20 − D f ( x ) > + f ′ ( x ) , ∀x ∈ ¡ thỏa mãn f ( x ) < 2020e + 3 f ( ) = 2021 x Tập nghiệm bất phương trình 1    ;+ ∞÷  0; e   e A B x, y  ÷  Câu 17: Cho hai số thực dương thỏa mãn: P = x + 5y biểu thức Pmin = 125 Pmin = 57 A B Câu 18: Gọi E C số nguyên | Phan Nhật Linh thỏa mãn ( −∞ ;0 ) log ( x + ) ( y + 1)  tập hợp tất số nguyên dương x C y D y +1 Pmin = 43 = 125 − ( x − 1) ( y + 1) D cho ứng với số log 22 x − y log x + y < Tập E ( 0; + ∞ ) y Giá trị nhỏ Pmin = 25 có khơng 4031 có phần tử? CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT A B Câu 19: Cho hai số thực C thỏa mãn D ln ( x − y ) + ln ( x + y ) = x − y +1 x+ y − x− y Biết giá trị nhỏ x0 + y0 = ( x0 ; y0 ) P = 8x + 4x y − x − y x, y m p n đạt cặp Đặt p 3m + 2n − p tự nhiên nhỏ 25 Giá trị 16 25 12 A B C ) ( D 29 m, n, p số log m2 +1 − x + ≥ ( m − 1) , m Câu 20: Cho bất phương trình tham số Có tất giá trị m để bất phương trình cho có nghiệm ? A B C D x + 3x +1 + 2m = ( 3x +1 + 1) 3x + m Câu 21: Cho phương trình Có giá trị tham số thực m ∈ [−20; 20] 4m ∈ ¢ để phương trình cho có nghiệm phân biệt biết ? 79 82 81 80 A B C D Câu 22: Tìm số nguyên 3y A − x −2 y 10 B biểu thức 420 A A a, b > 11 tồn số nguyên C số thực dương thỏa mãn P= Câu 24: Cho cho với số nguyên x y thỏa mãn ≤ log y +3 ( x − y + ) x, y Câu 23: Cho x + 2 x y B 360 a x = b y = ab B D  x+ y  + log  + ÷ = + xy 10 x y   C 400 Tìm giá trị nhỏ C Tìm giá trị nhỏ D P = 6x + y2 320 D 45 16 Tuyển chọn toán VD-VDC | CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 LOGARIT Câu 25: Cho ba số thực a, b c > b > a >1 thỏa mãn T = log b c − 2log a b biểu thức A Câu 26: Cho a , b, c B CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ log 2a b − log b2 c = log a c c − logb − b b Giá trị C D a >b+4 số thực dương thỏa mãn −1 Giá trị nhỏ biểu thức   a3   P = log a  ÷+  log 3a a ÷  4b  16  4+b  A P = P = B Câu 27: Cho hệ phương trình trình có nghiệm m số A B bao C P = 9 x − y =  log m ( x + y ) − log ( 3x − y ) = ( x; y) Câu 28: Có nhiêu cặp thỏa mãn điều kiện với P = D m 3x + y ≤ số thỏa tham số thực Hệ phương Tìm giá trị lớn tham C ( x, y ) 5 D x, y ∈ ¢ ; ≤ x, y ≤ 2021 mãn  2y   2x +1  ÷ ≤ ( x + y − xy − ) log  ÷  x −3   y+2 ( xy + x + y + ) log3  A 4036 y = ln Câu 29: Cho B x −1 x +1 y= 2020 C − + 8m − 2021 x −1 x +1 hàm số có điểm chung Số phần tử A B Câu 30: Cho x, y hai số thực, với lớn biểu thức y≥0 , thỏa mãn P = 2x + y S Gọi S D 2018 m tập giá trị để đồ thị là? C 2021 x2 + y = Khi tổng a + 2b dương, nguyên tố Tính | Phan Nhật Linh 2019 D Gọi m+M m, M có dạng 2020 giá trị nhỏ b 1+ +2 a a , với a, b nguyên CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT A B C D 10  1 x y  x + x ÷( + ) = 4  x, y Câu 31: Cho hai số thực thỏa mãn Giá trị nhỏ biểu thức x x P= + + y y + + + x.3 y thuộc khoảng sau đây? 3; 0; ( 5; 2020 ) ( 4;5) A B C D ( ) ( Câu 32: Xét số thực P= 4y 2x + y +1 A x, y ) 2x + y +1 thỏa mãn ≤ ( x2 + y − 2x + 2) 4x gần với số đây? B ( x; y) Câu 33: Có cặp số nguyên ? A B thoả mãn Giá trị lớn biểu thức C D ≤ x ≤ 2020 ( x + ln ( x + 1) ) + x + = y + e y C y = f ( x) D f ( 0) ≠ ¡ Câu 34: Cho hàm số chẵn xác định , cho phương trình x −x − = f ( x) có 10 nghiệm thực phân biệt Số nghiệm thực phương trình x x + 4− x = f  ÷+ 2 A 10 B 20 C D 15 Câu 35: Có số nguyên x − ( m + ) x + 2m − 1 + = ln ( x + ) 3x − x−2 A 4042 B 2027 Câu 36: Có cặp số nguyên dương ba số thực 13 A a ∈ ( −1;1) ( m , n) thỏa mãn 15 B m ∈ [ −2020; 2021] có ba nghiệm phân biệt? C cho m + n ≤ 16 ( 2a m = n ln a + a + C 14 để D phương 2016 ứng với cặp ) trình ( m , n) tồn ? D 16 Tuyển chọn toán VD-VDC | CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 LOGARIT Câu 37: Xét số thực 8x + 2x − y +1 P= A x, y 2x CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ + y +1 thỏa mãn ≤ ( x2 + y − x + ) 4x gần với số đây? B Câu 38: Cho số thực x, y ≥ giá trị nhỏ T = 519 A thỏa mãn điều kiện x = x0 ; y = y0 Đặt T = 520 B xy ≤ số có tổng lớn 15 B 17 D Biểu thức m C nhất, giá trị biểu thức A B Câu 42: Cho số thực P = x + y + xy A x, y 30 − 20 | Phan Nhật Linh 14 22 xy + x + y = để với cặp hai e3 x + y − e x − y +1 = − x − y D − xy x+ y 16 Giá trị lớn biểu thức D Khi [ 9; +∞ ) P = xy + xy đạt giá trị lớn C D  2− x log  ÷− log y = x + y + xy −  2+ x Hỏi giá trị nhỏ bao nhiêu? B thỏa mãn đạt ? x ≥ 1, y ≥ thỏa mãn 1 1 P = x2 + y2 − 3 + ÷ x y thuộc tập đây? [ 5;9 ) [ −5;0 ) [ 0;5 ) A B C x y Câu 41: Cho , số thực dương thỏa mãn ( −20; 20 ) thuộc khoảng đồng thời thỏa mãn 3x + y  y2  P = log x ( x ) − log y  ÷    x+ y log  ÷ = xy − ( x + y ) −  xy  x, y Câu 40: Cho Mệnh đề sau đúng? T = 521 T = 518 C D log 32 ( x + y − 1) + ( m − 1) log ( − y ) + m2 − > A T = x0 + y0 Câu 39: Có tất giá trị nguyên tham số ( x; y ) C Giá trị lớn biểu thức 33 − 22 C 24 − 16 D 36 − 24 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 LOGARIT Câu 43: Trong hệ tọa độ Oxy CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ M ( x; y) cho điểm x , y ∈ ¢ , − < x < 6, y ≠ với thỏa mãn phương  36 − x  + = log ÷ 3 3x  y  M trình Hỏi có điểm thỏa u cầu nêu trên? A Bốn điểm B Ba điểm C Một điểm D Hai điểm 39 y − 336 x, y Câu 44: Xét số thực P= A 4y 2x + y +1 −5 + y +1 thỏa mãn ≤ ( x2 + y − x + 2) 4x Giá trị nhỏ biểu thức gần với số đây? B x, y Câu 45: Cho 2x −3 C log số thực dương thỏa mãn P= Giá trị lớn biểu thức A B Câu 46: Có số nguyên x 5x + y − 2x + y +1 −2 D −4 3x + y + = ( x + y − 1) ( x + y − 1) − ( xy + 1) x2 + y C cho ứng với x D có khơng q 728 số ngun y thỏa mãn log ( x + y ) ≥ log ( x + y ) A 116 ? 115 B C f ( x ) = 2020 x − 2020− x Câu 47: Cho hàm số f ( a + b + ab + ) + f ( −9a − 9b ) = a +b giá trị 91 A A D Các số thực P= Khi biểu thức a, b 58 a+b > thoả mãn 4a + 3b + a + b + 10 đạt giá trị lớn nhất, tính B 89 Câu 48: Xét số thực thỏa mãn 8x + 2x − y +1 2x P= 59 C + y +1 521 D ≤ ( x2 + y − 2x + 2) 4x gần với giá trị sau nhất? B C 745 Giá trị lớn biểu thức D Tuyển chọn tốn VD-VDC | CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 LOGARIT ( m, n ) CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ Câu 49: Có cặp số nguyên dương số thực A 11 Câu 50: Cho số thực dương biểu thức P=6 A ( thỏa mãn 12 B x ứng với cặp số 2.a m = n.ln a + a + a ∈ ( −1;1) P= cho m + n ≤ 14 y C + 9.3x 13 −2 y D ( −2 y ) 14 y − x2 + Tìm giá trị nhỏ x + y + 11 x B ? P=9 C P=7 D P =8 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Chọn D Ta có:   x − y −   x −1 y −1 log ( x + y + ) = + log  + + ÷ ⇔ log ( x + y + ) = log 3  ÷ x  x   y   y x y 1 1 ⇔  + ÷ = ( x + y ) +  + ÷+ ≥ y x x y 1 1 + ÷+ x y ( x + y )   x y  x y x y 10 x + y 10 ⇔  + ÷ ≥  + ÷+ + ⇒ + ≥ ⇔ ≥ y x xy y x  y x Câu 2: Chọn A ( f ( x ) = ax + bx − c ln x + + x | Phan Nhật Linh ) ( f ( x) hàm số lẻ) tồn ? = + 9x thỏa mãn ) ( m, n ) Do a + b = 13 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT f ′ ( x ) = 3ax + b − f ′′ ( x ) = 6ax + c + x2 ; cx ( 1+ x )  c = x  6a +  + x2 ( + x2 ) + x2   ÷ ÷  f ′′ ( x ) = ⇔ x = g ( t ) = f ( − 2t ) + f ( 3t − ) + m Xét y = f ( − 2t ) + f ( 3t − ) có đạo hàm: y′ = −6 f ′ ( − 2t ) + f ′(3t − 2) 3 − 2t = − ( 3t − ) t = ⇔ ⇔ y′ = ⇔ f ′ ( − 2t ) = f ′ ( 3t − )  t = −1 3 − 2t = 3t − Cho: y ( −1) = f ( ) + f ( −5 ) + m = f ( ) + m = m + y ( 1) = f ( 1) + f ( 1) + m = f ( 1) + m = m − 15 2m − 13 + 17  2m − 13 = m = max g ( t ) = = 10 ⇔ 2m − 13 =  ⇔ [ −1;1]  2m − 13 = −3  m = Câu 3: Chọn D log Ta có Nếu Nếu x y +1 2x y +1 = − ⇒ log 2 = y +1 2x y + x ( 1) y +1 >1 2x y +1 y + = 2x ⇒ y = 2x −1 , vế phải , vế phải ( 1) > ( 1) < , , ( 1) ( 1) ⇔ log ( 3) + log Nên y ∈ ( −20; 20 ) ( 3x vơ lí P = x − y = −3x + x − ≤ Chọn C Giả sử tồn số nguyên vô lí + 1) ≤ log + log cho: ( yx ( 3x + 1) ≤ log ( yx − x + y ) , ∀x − 6x + y ) Tuyển chọn toán VD-VDC | 10 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT 2t ≤ t + ⇒ ≤ t ≤ ⇔ ≤ x + y − x + ≤ ⇔ ≤ ( x − 1) + y ≤ Từ đồ thị ta thấy Gọi ( C) I ( 1;0 ) hình trịn tâm , bán kính 4y P= ⇒ ∆ :2 Px + ( P − ) y + P = 2x + y +1 R =1 ( C) ⇒∆ d ( I, ∆) ≤ R Yêu cầu tốn có điểm chung, tức 3P ⇒ ≤ ⇒ −1 − ≤ P ≤ − ⇒ Pmax = − ≈ 1,23 4P2 + ( P − 4) Câu 33: Chọn C Ta có: ( x + ln ( x + 1) ) + x + = y + e y ⇔ ln ( x + 1) + e f ( t) = t +e Xét hàm số: t f ′( t ) = 1+ e > 2ln ( x +1) = y + e y ( 1) t , ta có: nên hàm số f ( t) ( 1) ⇔ f ( ln ( x + 1) ) = f ( y ) ⇔ y = ln ( x + 1) Do đó: ≤ x + ≤ 2021 ⇔ ≤ y ≤ ln 2021 ≈ 15, 22 ≤ x ≤ 2020 Do nên y ∈ { 0;1; 2; ;14;15} y ∈¢ Do nên đồng biến ¡ y Có Với y = ln ( x + 1) ⇔ x = e − y ∈ { 0;1; 2; ;14;15} Vậy có có cặp số ngun y=0 ( x; y) để x∈¢ thoả mãn đề Câu 34: Chọn B Nhận xét: Từ giả thiết f ( 0) ≠ x − 4− x = f ( x ) ⇔ ( x − 2− x ) ta suy x + 4− x x=0 nghiệm hai phương trình  x  x = f  ÷+ x + 4− x = f  ÷+ 2 2 Ta có  x x −x  − = f  ÷ ( 1)   x = f  ÷⇔   x 2 x −x 2 − = − f  ÷ ( ) 2  ( ) ⇔ 2− x − x =  x f  − ÷ ( 3)  2 Tuyển chọn toán VD-VDC | 26 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 LOGARIT t= Xét phương trình đặt x CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ Khi ta có: Theo giả thiết phương trình 4t − − t = f ( t ) x − 4− x = f ( x ) t nghiệm Suy phương trình có 10 nghiệm ( 4) có 10 nghiệm phân biệt nên phương trình có 10 x1 ; x2 ; ; x10 x phân biệt Giả sử 10 nghiệm − x1 ; − x2 ; ; − x10 Chứng minh tương tự ta có phương trình có 10 nghiệm phân biệt Dễ thấy số nghiệm phương trình tổng số nghiệm phương trình Suy phương trình có 20 nghiệm ( 1) ( 3) Câu 35: Chọn D Tập xác định: D = ( − 5; + ∞ ) \ { − 4;1; 2} x − ( m + ) x + 2m − 1 1 1 ⇔ m= x− − − x + x = x − ln ( x + ) − ln ( x + ) − x−2 Ta có g ( x) = x − Đặt g '( x) = 1+ 1 − − x x − ln ( x + ) − ( x − 2) + 3x ln + > 0, ∀x ∈ D ( x + ) ln ( x + ) ( 3x − 3) Bảng biến thiên hàm số y = g ( x) m≤− ( 1) Phương trình có nghiệm phân biệt m ∈ ¢  m ∈ { −2020; − 2019; ; − 5} m ∈ [ −2020; 2021] Do nên Vậy có 2016 số thỏa mãn yêu cầu toán 27 | Phan Nhật Linh 1 3293 A = lim+ g ( x ) = −5 + − −5 =− x → −5 −3 728 Câu 36: Chọn A 3293 = − 4,523 ( 351648 ) 728 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 LOGARIT ) ( 2a m = n ln a + a + ⇔ Ta có Xét hàm số f ′( a) = Có Theo đề ( ( 1) ) ( m a − ln a + a + = n f ( a ) = a m − ln a + a + n 2m m−1 a − n a2 + CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ ) với f ′( a) = ⇔ suy có ba nghiệm phân biệt nên y= a2 + Xét hàm số a ∈ ( −1;1) ( 2) ( 1) 2m m−1 a = n a2 + ( 2) có hai nghiệm , ∀a ∈ ( −1;1) a a y′ = − a2 + = − ⇒ y′ = ⇔ a = ( tm ) a +1 ( a + 1) a + Ta có Ta có BBT sau y= Xét hàm số 2m m−1 a , ∀a ∈ ( −1;1) n m m −1 ≥ m −1 Nếu chẵn lẻ hàm số biến nên hàm số có BBT sau Từ hai BBT ta có tốn Vậy m ( 2) có nhiều y= nghiệm nên 2m m−1 a , ∀a ∈ ( −1;1) n m hàm số đồng chẵn không thỏa mãn yêu cầu số nguyên dương lẻ Tuyển chọn toán VD-VDC | 28 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 LOGARIT Nếu m =1 f ′( a) = Theo đề ⇔ Khi y= ( 1) − n a2 +1 f ′( a) = ⇔ suy có ba nghiệm phân biệt nên 2 < < ⇔ < n < 2 ⇒ n ∈φ n m CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ Vậy số nguyên dương lẻ lớn m = n a2 + ( 3) ( 3) có hai nghiệm số ngun dương lẻ lớn ta có 2m ( m − 1) m−2 2m m−1 a , ∀a ∈ ( −1;1) ⇒ y′ = a , ∀a ∈ ( −1;1) ⇒ y′ = ⇔ a = ( tm ) n n Ta có BBT sau Vậy y= ( 2) có hai nghiệm 2m m −1 a , ∀a ∈ ( −1;1) n Với điều kiện ( *) Mặt khác ta thấy đồ thị hai hàm số cắt hai điểm phân biệt ( 2) có hai nghiệm a1 < 0, a2 > nghiệm phương trình Khi ta có BBT hàm số 29 | Phan Nhật Linh ⇔ y= f ( a) sau a +1 , ∀a ∈ ( −1;1) 2m 2 > ⇔m> n ⇔ n f ( a) = ( *) CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT  f ⇔  f ( 1) Để 2 ( −1) <  n > ln ⇔ ( 1) >  < ln  n ( +1 ) ( −1 ⇔ n ≤ ⇒ n ∈ { 1; 2} ) có ba nghiệm phân biệt m ≤ 15 ⇒ m n = m > Với lẻ, nên có cặp m ≤ 14 ⇒ m n=2 m > Với lẻ, nên có cặp Vậy có tổng cộng 13 cặp ( m, n ) thỏa yêu cầu đề Câu 37: Chọn C 2x + y +1 ≤ ( x2 + y − x + 2) 4x ⇔ 2x + y − x +1 ≤ x + y − x + ⇔ 2( x −1) + y 2 t = ( x − 1) + y ⇒ 2t − t − ≤ ⇔ 2t ≤ t + ⇔ ≤ t ≤ ⇒ ( x − 1) + y ≤ Đặt ( x; y ) Do tập hợp cặp số thỏa mãn thuộc hình trịn 8x + P= ⇒ ( P − ) x − P y + ( P − ) = ( d ) 2x − y +1 Do − ( x − 1) + y  − ≤   d ( C) ⇔ 3P − 12 ≤ ⇔ d ( I,( d ) ) ≤ R ⇔ có điểm chung ( P − 8) ( C) tâm 3P − 12 ( P − 8) I ( 1;0 ) , R = +P ≤1 + P ⇔ − ≤ P ≤ + Câu 38: Chọn B y2 log  y  log ( x ) = + log x − log y − P = log x ( x ) − log y  ÷ = −   log ( x ) log ( y ) + log x log y + Ta có xy ≤ ⇒ log ( xy ) ≤ ⇔ u + v ≤ u, v ≥ nên Hay + u 2v − + u P= − = −1+ + u 2v + + u 2v + Hơn x, y ≥ , với ≤ u ≤ u = log x; v = log y Khi u + v ≤ 2 3+u ⇒ ≤ v ≤ 3−u ⇒ ≥ ⇒P≥ −1+  2v + − 2u − 2u 2+u  v, u ≥ Ta có 3+u f ( u) = −1+ f ( u) ≤ u ≤ − 2u 2+u Đặt , ta tìm min, max với Tuyển chọn toán VD-VDC | 30 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 LOGARIT f '( u ) = ( − 2u ) f ( 0) = Ta có − ( + u) ; CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ f ' ( u ) = ⇔ u = ∈ [ 0;3] 11 11   3 ; f ( 3) = ; f  ÷ = ⇒ f  ÷ ≤ f ( u ) ≤ f ( 3) 14   11 4 3 3 P ≥ f ( u) ≥ f  ÷ u = ⇒ v = 3− = 4 4 P Suy Nên 3    u = log x = x = 24 ⇔ ⇔  v = log y =  y = 24    Do   x0 = ⇒ T = 23 + 29 = 520   y = 24  Câu 39: Chọn B Ta có e3 x + y − e x − y +1 = − x − y ⇔ e3 x + y + 3x + y = e x −2 y +1 + x − y + (*) f ( t ) = et + t f ′ ( t ) = et + > 0, ∀t Xét hàm số có Do đó: (*) ⇔ f ( x + y ) = f ( x − y + 1) ⇔ 3x + y = x − y + ⇔ x + y = − y > Khi ta có log 32 ( x + y − 1) + ( m − 1) log ( − y ) + m − > ⇔ log 32 ( − y ) + ( m − 1) log ( − y ) + m − > Đặt u = log ( − y ) , u > , yêu cầu tốn trở thành tìm m để bất phương trình u + ( m − 1) u + m − > 0, ∀u > Khi ta xét trường hợp: ∆′ < ⇔ 10 − 2m < ⇔ m > Trường hợp 1:  ∆′ = 10 − 2m = m =  ⇔ ⇔ ⇔m=5  b m ≥ − 2a ≤ 1 − m ≤ Trường hợp 2: Trường hợp 3: ∆′ > −2m + 10 >   ⇔ 3≤ m0 đồng biến Do x ≥ 1, y ≥ f ′( t ) = 1+ Ta có ( 0; +∞ ) nên 3 ( x + y ) ≥   xy ≥ > 0, ∀t > t ln ( 1) ⇔ f ( ( x + y ) ) = f ( xy ) ⇔ ( x + y ) = xy 3( x + y) 1 1 P = x + y −  + ÷ = ( x + y ) − xy − xy x y Ta lại có 16 16 = ( xy ) − xy − = a − 2a − = g ( a ) 9 a = xy = Với 3 3 ( x + y ) ≥ xy = a ⇔ a ≥ ⇔ a ≥ 4 2 x= y= Dấu xảy Mặt khác x ≥ 1, y ≥ ⇔ ( x − 1) ( y − 1) ≥ ⇔ xy − ( x + y ) + ≥ ⇔ xy − xy + ≥ ⇔ xy ≤ 3 x =  y = x =  y =1 Dấu xảy 9  a ∈  ;3 4  Do 32 9  g′ ( a ) = a − = ⇔ a = ∉  ;3 16   Khi ta có x = x = 9 g  ÷ = , g ( 3) =   Pmax = 4 y = y =1 Và Vậy Câu 41: Chọn C Ta có 22 xy + x+ y > ⇒ − xy > ⇔ xy <  x + y > Tuyển chọn toán VD-VDC | 32 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 LOGARIT 22 xy + x + y = Ta có CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ  − xy  − xy ⇔ log ( 22 xy + x + y ) = log  ÷ x+ y  x+ y  ⇔ xy + x + y = log  ( − xy )  − log ( x + y ) ⇔ log ( x + y ) + ( x + y ) = ( − xy ) + log ( − xy ) Xét hàm đặc trưng Suy hàm số f ( t) f ( t ) = log t + t , f ′( t ) = ∀t > +1 > ∀t > t ln , ( 0, +∞ ) nên ta có 2− y ( ∗) ⇔ f ( x + y ) = f ( − xy ) ⇔ x + y = − xy ⇒ x = 1+ y P Thay vào ta 3x + y = Vậy đồng biến khoảng có ( ∗) P= 2− y ( + y ) y = − y + y ⇒ max P = 1+ y y =1⇒ x = Câu 42: Chọn D Điều kiện x ∈ ( −2; ) , y > Ta có  2− x  log  ÷− log y = x + y + xy −  2+ x ⇔ log ( − x ) + ( − x ) = log ( y + xy ) + ( y + xy ) ( *) f ( t ) = log t + t ⇒ f ' ( t ) = Xét hàm số Suy Ta có ( *) ⇔ f ( − x ) = f ( y + xy ) ( x + y) ≥ xy = 16 − ( x + y ) + > 0, ∀t > t ln ⇔ − x = y + xy ⇔ = x + y + xy suy điều kiện tồn x, y t =x+ y P = ( x + y ) − xy = ( x + y ) + ( x + y ) − = t + 2t − = h ( t ) 2 P = 36 − 24 ⇔ x = y = −2 + 2 Vậy Cách (*) ⇔ xy + x + y = ⇔ ( x + ) ( y + ) = 33 | Phan Nhật Linh  x + y ≥ −4 +   x + y ≤ −4 − ( L ) CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT x + > 0, y + > x + + y + ≥ Ta có ; ( ) = ⇒ x+ y ≥ −4 P + xy + x + y + = x + y + + xy + x + y = ( x + y + 1) P = x + y + xy; Xét ( x + 2) ( y + 2) ⇒ P ≥ − − = 36 − 24 Vậy Min P = 36 − 24  x + y = − ⇔ x = y = 2 −2   x = y Câu 43: Chọn D  36 − x  + = log ÷ 3 3x  y  336 39 y − Ta có: ⇔ 39 y − 336 − x + log = log ( 36 − x ) − log3 ( y ) ⇔ 39 y − 336− x = log ( 36 − x ) − log ( y ) 2 ⇔ 39 y + log ( y ) = 336− x + log ( 36 − x ) ( ∗) 2 Xét hàm số f ( t ) = 3t + log t f ( t) Suy hàm số Do đó, từ Do ( ∗) y ∈¢ với t >0 đồng biến f ( 9y Đạo hàm ( 0; + ∞ ) ) = f ( 36 − x ) ta có y≠0 y ∈ { −2; − 1;1; 2}  y = −1  x = −3 y =1 ⇔    x = 3 2x + y +1 Ta có Đặt Xét hàm số x2 y ⇔ y = 36 − x ⇔ + =1 36 2 ( 0; − ) ≤ ( x + y − x + ) x ↔ 2( x −1) t = ( x − 1) + y ≥ > 0, ∀t > t.ln : loại Vậy có hai điểm thỏa u cầu tốn Câu 44: Chọn B f ′ ( t ) = 3t ln + nên  y = −2 y = ⇔ x =  Với : thỏa mãn Với Khi + y2 2t ≤ t + 1, t ≥ f ( t ) = 2t − t − 1, t ≥ ( 0; ) ≤ ( x − 1) + y + f ′ ( t ) = 2t ln − = ⇔ t = log Có = t0 ≈ 0,5287 ln Tuyển chọn tốn VD-VDC | 34 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 LOGARIT f ′ ( t ) > ⇔ t > t0 Ta có bảng biến thiên f ( ) = f ( 1) = Từ bảng biến thiên suy P= f ( t ) ≤ ⇔ t ∈ [ 0;1] t ∈ [ 0;1] ⇒ ≤ ( x − 1) + y ≤ Ta có CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ 4y ⇔ Px + Py + P = y ⇔ P ( x − 1) + ( P − ) y = −3P 2x + y +1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 P =  P ( x − 1) + ( P − ) y  ≤  P + ( P − )  ( x − 1) + y  ≤ P − P + 16   Do Vậy P + P − 16 ≤ ⇔ −1 − ≤ P ≤ −1 + Pmin = −1 − ≈ −3, Câu 45: Chọn C log 3x + y + = ( x + y − 1) ( x + y − 1) − ( xy + 1) x2 + y2 ⇔ log ( x + y + ) − log ( x + y ) = ( x + y ) − ( x + y + ) + ⇔ log ( 3x + y + ) − log ( x + y ) + 1 = ( x + y ) − ( x + y + ) ⇔ log ( x + y + ) − log 2 ( x + y ) = ( x + y ) − ( x + y + ) ⇔ ( x + y + ) + log ( x + y + ) = ( x + y ) + log 2 ( x + y ) ( *) Xét hàm số f ( t ) = t + log t đồng biến khoảng ( *) ⇔ ( 3x + y + ) = ( x + y ) Ta có ( x + y) 35 | Phan Nhật Linh ( 0; +∞ ) nên ≤ ( x + y ) ⇔ ( x + y ) ≤ ( 3x + y + ) ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) − ≤ 2 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 LOGARIT CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ ⇔ −1 ≤ x + y ≤ Ta có x, y 0< x+ y ≤ 4⇒ x+ y−4≤0 Do số thực dương nên x + y − ≤ x+ y−4 ⇒ ≤0  2 x + y + > x + y + P= x + y − 2 ( x + y + 1) + ( x + y − ) x+ y−4 = = 2+ ≤2 2x + y + 2x + y +1 2x + y + Suy Pmax = x= y=2 Vậy xảy Câu 46: Chọn A Điều kiện : Với x + y >  x + y > x ∈¢ ta có x2 ≥ x Xét hàm số D = (− x; +∞) Tập xác định ⇒ f D tăng Ta có f '( y ) = f ( y ) = log ( x + y ) − log ( x + y ) 1 − ≥ 0, ∀x ∈ D ( x + y) ln ( x + y ) ln f (− x + 1) = log ( x − x + 1) − log ( x − x + 1) ≤ Có khơng q 728 số ngun y thỏa mãn f ( y) ≤ ⇔ f (− x + 729) > ⇔ log 729 − log ( x − x + 729 ) > ⇔ x − x + 729 − 46 < ⇔ x − x − 3367 < ⇔ −57,5 ≤ x ≤ 58,5 Mà x ∈¢ nên Câu 47: Chọn C Xét hàm số x ∈ { −57, − 56, ,58} f ( x ) = 2020 x − 2020− x Vậy có 58 − (−57) + = 116 Tập xác định ¡ số nguyên x thỏa − x ∈ ¡ ∀x ∈ ¡ ⇒  −x x  f ( − x ) = 2020 − 2020 = − f ( x ) Khi Vậy hàm số hàm số lẻ Mặt khác f ′ ( x ) = 2020 x.ln 2020 + 2020 − x.ln 2020 > 0, ∀x ∈ ¡ đồng biến f ( a + b + ab + ) + f ( −9a − 9b ) = ⇔ f ( a + b + ab + ) − f ( 9a + 9b ) = Ta có nên f ( x) 2 ¡ ⇔ f ( a + b + ab + ) = f ( 9a + 9b ) ⇔ a + b + ab + = 9a + 9b Tuyển chọn toán VD-VDC | 36 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 LOGARIT CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ ⇔ 4a + 4b + 4ab + − 36a − 36b = ⇔ ( 2a + b ) − 18 ( 2a + b ) − 19 = −3 ( b − ) ⇒ ( 2a + b ) − 18 ( 2a + b ) − 19 ≤ ⇔ −1 ≤ 2a + b ≤ 19 2 4a + 3b + ( a + b + 10 ) + 2a + b − 19 2a + b − 19 = = 2+ a + b + 10 a + b + 10 a + b + 10 P= Do a + b >  2a + b = 19  a = ⇒P≤2 P=2⇔ ⇔  2a + b ≤ 19 b − = b = Vì a = max P = ⇔  ⇒ a + b = 521 b =  Vậy Câu 48: Ta có 2x + y +1 ⇔ 2x ≤ ( x2 + y − x + ) 4x ⇔ 2x + y − x +1 + y − x +1 − ( x + y − x + 1) − ≤ ≤ x2 + y − x + Đặt t = x2 + y − x + f ( t ) = − t −1 t Xét hàm số t f ′ ( t ) = 2t.ln − f ′ ( t ) = ⇔ ln − = ⇔ t = log ln ≈ 0, 53 Bảng biến thiên Dựa bảng biến thiên ta có P= Ta có ≤ t ≤1 ≤ x + y − x + ≤ ⇔ ≤ ( x − 1) + y ≤ , suy 8x + ⇔ ( P − ) x − Py + ( P − 4) = ( ∆) 2x − y +1 x, y Vì số d ( I, ∆) ≤ ⇔ thỏa mãn nằm hình trịn tâm ( P − ) + ( P − 4) ( 2P − 8) + P ⇔ 5− ≤ P ≤ 5+ 37 | Phan Nhật Linh ≤1 ⇔ 3P − 12 ≤ I ( 1;0 ) ( 2P − 8) bán kính nên ta suy + P2 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 LOGARIT Khi P = 5+ ( x − 1) có hệ số góc dương tiếp xúc với đường tròn + y2 = (∆) Vì đường thẳng ( ∆) CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ ln   A  − ;0 ÷   qua nên với H ( xH ; y H ) tiếp điểm ta có 1 1 = + = + = ⇒ yH = 2 2 2 yH HA HI AI − IH HI Mặt khác Vậy Câu 49: Vì H thuộc ( ∆) max P = + nên Py − ( P − 4) xH = H = 2P − x= đạt y= ( ) − +1 = 5+2 (5 + 5) ( m, n ) số nguyên dương nên phương trình 2.a m = n.ln a + a + ⇔ a m = ln a + a + n ) ( f ( x) = Xét hàm số f ′( x) = 2m m−1 x − n ( m x − ln x + x + n x2 + g ( x) = ) ( Cho khoảng f ′( x) = 2m m −1 x , h ( x) = n Xét hai hàm số ) ⇔ ( −1;1) 2m m−1 x = n , ta có x2 + x2 + h ( x) Ta có BBT hàm số Tuyển chọn toán VD-VDC | 38 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 LOGARIT f ( x) = Phương trình ⇔ f ′( x) = có nghiệm điều kiện cần phương trình 2m m −1 x = n nghiệm ⇔ CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ hai đồ thị hàm số x2 + có nghiệm 2m m −1 g ( x) = x , h ( x) = n x2 + cắt điểm g ( x ) = x m−1 , h ( x ) = ⇔ có x2 + hai đồ thị hàm số cắt điểm h ( x) g ( x) , h ( x) suy hai đồ thị hàm số cắt nhiều hai điểm Từ BBT (m − 1)M2  ⇔ m− > ⇒ m ∈ { 3, 5, 7,9,11,13}  m, n ∈ ¥ * ; m + n ≤ 14  Khi phương trình f ′( x) = có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn −1 < x1 < < x2 < f ( x) Ta có BBT hàm số f ( x) = Phương trình Vì  f ∈ ( −1;1) ⇔  f  có nghiệm ( ( n ∈ ¥ * ⇒ n ∈ { 1, 2} Với m ∈ { 3, 5, 7, 9,11} , n ∈ { 1, 2} , m + n ≤ 14 ( m, n ) có 10 cặp m = 13, n ∈ { 1, 2} , m + n ≤ 14 ( m, n ) Với có cặp ( m, n ) Vậy tìm 11 cặp số thỏa mãn yêu cầu toán Câu 50: Chọn C ⇔ + 9.3x Từ giả thiết 39 | Phan Nhật Linh −2 y ( = + 9x −2 y ) 49 x2 − y ) 2 > ln +  ( 1) > n ⇔ ⇔n≤2 ( −1) < − < ln −   n ) CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT + 9.3t = ( + 9t ) t = x − 2y Đặt Từ suy t=2 Nhận thấy thỏa mãn 49 ⇔ 5.7t + 9.3t.7t = 49.5 + 49.9t t t t>2 5.7t > 5.7 = 5.49 9.3t.7 t > 49.9t Thật với VT > VP t ⇒ x2 − > ⇒ x > x + x − + 11 x + x + 9 = = x + +1 x x x 2 f ( x) = x + Xét hàm số f ′( x) = 1− Vì 49 7 7  ÷ > ÷ = 3 3 +1 x khoảng ( x2 − = , f ′( x) = ⇔ x = x2 x2 2, + ∞ Ta có bảng biến thiên hàm P = x = 3, y = Dựa vào BBT ta có ) f ( x) Tuyển chọn toán VD-VDC | 40 ... tham số để tập hợp có phần tử Có Tuyển chọn toán VD-VDC | CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 202 2 LOGARIT A B CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ C y ∈ [ − 202 2; 202 2] Câu 12: Có số nguyên 201 9 202 0 A B y ∈ ( 0; ... − 57, − 56, ,58} f ( x ) = 202 0 x − 202 0− x Vậy có 58 − (− 57) + = 116 Tập xác định ¡ số nguyên x thỏa − x ∈ ¡ ∀x ∈ ¡ ⇒  −x x  f ( − x ) = 202 0 − 202 0 = − f ( x ) Khi Vậy hàm số hàm số. .. ) Câu 7: 202 1 B Câu 10: Có số nguyên thỏa mãn: ln ( x − ) C m ≤ 202 1 x log a D để có nhiều cặp số ( x; y ) thỏa mãn log x2 + y + ( x − y + m ) ≥ A 20 17 4x − 3y +1 = ? 202 0 201 9 B C D 202 2