Đáp án đề thi chuyên toán vào 10 năm 2018 Quảng Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018 2019 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (Chuyên Tin) (Bản hướng dẫn này gồm 05 trang) Câu Nội dung Điểm Câu 1 (1,5) Cho biểu thức , với và Rút gọn biểu thức và tìm để 1,5 (mỗi ý được 0,25đ) 0,5 (mỗi ý được 0,25đ) 0,5 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu 2 (1,0) Tìm 2 số nguyên tố và biết rằng và đều là các số chính phương 1,0 Theo đề ta có , suy ra 0,25 Từ là số nguyên tố và nên ta có các t.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018-2019 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Chun Tin) (Bản hướng dẫn gồm 05 trang) Câu Nội dung Cho biểu thức A = Điểm x − , với x > x ≠ Rút gọn biểu thức A tìm x để x−2 x x−4 A= Câu (1,5) Câu A= x − = x−2 x x−4 x − (mỗi ý 0,25đ) x ( x − 2) ( x + 2)( x − 2) x +2−4 − = = x − ( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) 2 A= ⇔ = ⇔ x= x +2 ⇔x= = (mỗi ý 0,25đ) x +2 Nội dung Tìm số nguyên tố p q, biết p + q p + 4q số phương  p + q = a2  Theo đề ta có  p + 4q = b , suy b − a = 3q ⇔ ( b − a ) ( b + a ) = 3q  *  a; b ∈ N Từ q số nguyên tố a + b ≥ nên ta có trường hợp sau: b − a = + TH 1:  suy b = a + 2a + = 3q , suy q lẻ b + a = q  q Ta viết = 2k + ( k ∈ N * ) Câu Khi 2a = 3q − = 6k + hay a = 3k + p = a – q = 9k + 4k = k ( 9k + ) (1,0) Do p nguyên tố nên k = p = 13, q = b − a = + TH 2:  , suy b = a + q = 2a + b + a = q Lại có p = a −  q = a − 2a – = ( a + 1) ( a – 3) Do p nguyên tố nên a = p = 5, q = 11 b − a = q + TH 3:  b > a ≥ b + a = Suy b = a = q = số nguyên tố Kết luận: (p;q) = (5;11), (13;3) Trình bày cách khác: Trang 1/5 1,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Điểm 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25  p + q = a2  Theo đề ta có  p + 4q = b  *  a; b ∈ N (0,25) Suy b − a = 3q ⇔ ( b − a ) ( b + a ) = 3q Vì p, q số nguyên tố nên a ≥ 2, b ≥ Do ta có trường hợp sau: b − a = + TH 1:  Khi b = a + 2a + = 3q Suy q lẻ b + a = 3q Ta viết q = 2k + ( k ∈ N * ) Khi 2a = 3q − = 6k + hay a = 3k + p = a – q = 9k + 4k = k ( 9k + ) Do p nguyên tố nên k = Suy p = 13, q = b − a = + TH 2:  Khi b = a + q = 2a + b + a = q Lại có p = a −  q = a − 2a – = ( a + 1) ( a – 3) Do p nguyên tố nên a = Suy p = 5, q = 11 Vậy p = 13, q = p = 5, q = 11 Câu Nội dung ( (0,25) (0,25) a) Giải phương trình x − x + = ( x − 1) − x Điều kiện: x ≤ (0,25) ) x − x + = ( x − 1) − x ⇔ ( x − 1) x − − − x = x = ⇔ x − − − x =  x ≥ x−2− 4− x = ⇔  ⇔ x = (thỏa điều kiện ≤ x ≤ 4) 4 − x = ( x − 2) Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = 1, x =  x − x − y + y = Câu b) Giải hệ phương trình  2 (2,0)  x − y + x + y − = x − x − y + y = ⇔ ( x − y )( x + y − 1) = ⇔ x = y x + y − = + Với x = y thay vào pt thứ hai ta được: x + x − = ⇔ x = x = −3 Suy được: ( x ; y ) = (1;1) ( x ; y ) = (−3; −3) + Với x + y − = ⇔ y = − x thay vào pt thứ hai ta được: x + x − = ⇔ x = x = −3 Suy được: ( x ; y ) = (1;0) ( x ; y ) = (−3; 4) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (1;1), (−3; −3), (1;0), ( −3; 4) * Lưu ý: Học sinh giải trường hợp: với x = y , với x + y − = cho 0,5đ Trang 2/5 Điểm 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,5 0,25 Câu Nội dung Cho đường thẳng ( d ) : y = x + m ( m tham số) parabol ( P) : y Điểm = x Tìm m để (d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 cho x12 + x22 = 10 Phương trình hồnh độ giao điểm (d ) ( P ) : x − x − m = (1) + ∆ ' =1 + m Câu + (d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt ∆ ' > hay m > − (1,0) + x1, x2 hai hoành độ hai giao điểm (d ) ( P ) nên x1, x2 nghiệm pt (1)  x1 + x2 = Theo định lý Viet:  (thí sinh không viết định lý mà thể dòng  x1.x2 = −m được) x12 + x22 = 10 ⇔ ( x1 + x2 )2 − x1x2 = 10 ⇔ + 2m = 10 ⇔ m = (thỏa m > −1 ) Vậy m = giá trị cần tìm Lưu ý : Nếu thí sinh khơng lập ∆’ riêng mà ghi chung phần lập luận nghiệm phân biệt 0,5đ Trang 3/5 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) , D điểm cung nhỏ BC đường tròn (O) , H chân đường cao vẽ từ A tam giác ABC Hai điểm K, L hình chiếu vng góc H lên AB AC A O L N E 0,5 K M B / H C D Hình vẽ phục câu a: 0,25 đ Hình vẽ phục hai câu b, c: 0,25 đ a) Chứng minh AL.CB = AB.KL - Xét hai tam giác AKL ACB, có: µ chung ; +A AK AL = + AK.AB = AH = AL.AC ⇒ AC AB Câu Suy hai tam giác AKL ACB đồng dạng (3,5) AL KL = ⇒ AL.CB = AB.KL Suy AB CB Lưu ý: HS chứng minh ∆AKL ~ ∆ACB theo cách khác 0,75đ b) Lấy điểm E đoạn thẳng AD cho DB = DE Chứng minh E tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC µ tam giác ABC (*) + AE đường phân giác góc A · · + Tam giác DBE cân D nên: BED (1) = EBD · · · · · · · · · (2); EBD BED = BAD + ABE = BCD + ABE = DBC + ABE = DBC + · · Từ (1), (2) (3) suy ABE hay BE phân giác góc = EBC · (3) EBC µ tam giác B ABC (**) Từ (*) (**) suy E tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC c) Đường thẳng KL cắt đường tròn (O) hai điểm M, N (K nằm M, L) Chứng minh AM = AN = AH + Hai tam giác AKL ACB đồng dạng 1 » · · ¼ + sd NC » = ABC ⇒ sdAM = sdAC Suy ALK 2 ¼ + sd ¼NC = sdAN » + sd NC » ¼ = sdAN » ⇒ AM = AN ⇒ sdAM (4) ⇒ sdAM 2 + Chứng minh hai tam giác ALN ANC đồng dạng ( ( ) ( ) ) AL AN = ⇒ AN = AL.AC Mà AL.AC = AH ⇒ AN = AH AN AC Từ (5) (6) suy AM = AN = AH Suy Trang 4/5 (5) 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,5 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Câu (1,0) Nội dung Điểm Cho hai số thực dương a b thỏa mãn a + b ≤ ab Tìm giá trị nhỏ biểu 1,0 ab thức A = a + b + a+b  a, b >  a, b >  ⇔ 1 Ta có:   a + b ≤ ab  a + b ≤1 0,25  1 1  x, y > = x, = y ; ta có  Đặt A = + + x y x + y2 a b x + y ≤ A= x2 + y 2 + 2 x y x +y ⇒ A≥ + = xy xy xy = 3( x + y ) 2 4x y + x2 + y 2 4x y + x +y 2 ≥ 3.2 xy 2 4x y +2 x2 + y 2 4x y x + y2 0,25  x+ y  x+ y 1 x + y ≥ xy ⇒  ÷ ≥ xy ⇒ xy ≤  ÷ ≤ 2 ÷ =     2 x = y ⇔ x = y = hay a = b = Suy A ≥ 10 Dấu xảy  x + y = Vậy giá trị nhỏ A 10 a = b = 0,5 Cách khác: Câu Nội dung Điểm a Cho hai số thực dương b thỏa mãn a + b ≤ ab Tìm giá trị nhỏ biểu 1,0 ab thức A = a + b + a+b Ta có: a b ≤ a + b ≤ ab ⇒ ab ≥  a = b ⇔ a = b = Dấu đẳng thức xảy ⇔  ab =   Câu (1,0) 3( a + b) a + b ab ab ab ab A = a+b+ = + + ≥ + ab = ≥ 10 a+b 4 a+b 2 Suy ra: A ≥ 10 a = b =  Đẳng thức xảy  a + b ab ⇔ a = b = =  a+b Vậy giá trị nhỏ A 10 a = b = (0,25) (0,5) (0,25) - HẾT * Lưu ý: Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định Trang 5/5 ... Viet:  (thí sinh khơng viết định lý mà thể dịng  x1.x2 = −m được) x12 + x22 = 10 ⇔ ( x1 + x2 )2 − x1x2 = 10 ⇔ + 2m = 10 ⇔ m = (thỏa m > −1 ) Vậy m = giá trị cần tìm Lưu ý : Nếu thí sinh khơng... ab = ≥ 10 a+b 4 a+b 2 Suy ra: A ≥ 10 a = b =  Đẳng thức xảy  a + b ab ⇔ a = b = =  a+b Vậy giá trị nhỏ A 10 a = b = (0,25) (0,5) (0,25) - HẾT * Lưu ý: Nếu thí sinh làm... ≥ xy ⇒ xy ≤  ÷ ≤ 2 ÷ =     2 x = y ⇔ x = y = hay a = b = Suy A ≥ 10 Dấu xảy  x + y = Vậy giá trị nhỏ A 10 a = b = 0,5 Cách khác: Câu Nội dung Điểm a Cho hai số thực dương b thỏa