Phiếu học tập tuần toán 7 1 CÁC BÀI TOÁN THEO CHỦ ĐỀ TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2019 LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, website sachhoc com giới thiệu đến thầy cô và các em các bài toán theo chủ đề trong đề lớp 10 chuyên năm 2019 Chúng tôi đã kham khảo qua đề thi để làm chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới thường được ra trong các kì thi lớp 10 gần đây Chuyên đề gồm 9.
CÁC BÀI TOÁN THEO CHỦ ĐỀ TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2019 LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website sachhoc.com giới thiệu đến thầy cô em toán theo chủ đề đề lớp 10 chuyên năm 2019 Chúng kham khảo qua đề thi để làm chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán thường kì thi lớp 10 gần Chuyên đề gồm chủ đề: • Rút gọn biểu thức chứa tài tốn liên quan • Chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị • Phương trình • Hệ Phương trình • Hàm số • Các tốn lập phương trình, hệ phương trình, tốn thực tế • Chứng minh đẳng thức tính giá trị biểu thức • Các tốn số học • Các tốn tổ hợp logic • Các tốn hình học Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề toán phân theo chủ đề giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Mục Lục Trang Lời nói đầu Phần Các toán vào 10 chuyên năm 2019 theo chủ đề Rút gọn biểu thức toán liên quan Bất đẳng thức Min-Max Phương trình 16 Hệ phương trình 26 Hàm số 32 Các toán lập phương trình, hệ phương trình, tốn thực tế 37 Biểu thức 40 Các toán số học 42 Tổ hợp Logic 47 10 Các tốn hình học 50 Phần Hướng dẫn giải 61 Rút gọn biểu thức toán liên quan 61 Bất đẳng thức Min-Max 83 Phương trình 104 Hệ phương trình 143 Hàm số 169 Các tốn lập phương trình, hệ phương trình, tốn thực tế 184 Biểu thức 190 Các toán số học 197 Tổ hợp Logic 218 10 Các tốn hình học 227 Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Chuyên đề Căn bậc hai toán liên quan Câu (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) x x +1 − x với x ≥ 0, x ≠ 25 − − x − 25 x +5 5− x Cho biểu thức: P = a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị x để P < Câu (Trường chuyên tỉnh Bình Định vịng năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: A 3 2 3 3 2 3 Câu (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) ( )( ) Rút gọn biểu thức: B = 13 − +7 3− 20 + 43 + 24 Câu (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho x, y số thực dương P = +x Chứng minh 3 + x2 x 2+y +y y+2 y 2+x +x +y x + y + = P2 Câu (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vịng năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức: A x 2x 3x 38x x 4x x = + Câu (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng năm 2019-2020) 1− 1+ − 1− + Tính giá trị biểu thức: A = Câu (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng năm 2019-2020) x x − : 1 − với x ≥ 0, x ≠ x + x − x x + x − x − Cho biểu thức P = a) Rút gọn biểu thức P Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC b) Tìm tất giá trị x để P ≥ Câu (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức A = x − ( x − 1) + x + ( x − 1) 1 − x > 1, x ≠ x −1 x − ( x − 1) a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức A số nguyên Câu (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng năm 2019-2020) ( a + 1)2 a +5 + − 1 Cho biểu thức: P = a −1 a a − a − a +1 a Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P Câu 10 (Trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: P = 3x + 16x − x +2 x −3 x +1 − x +3 x −3 − ( x ≥ 0, x ≠ ) x −1 Câu 11 (Trường chuyên tỉnh Gia Lai không chuyên năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức P = a−4 a−4 a +4 : , với a ≥ 0, a ≠ a +2 a −4 Câu 12 (Trường chuyên tỉnh Gia lai vòng năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: A = 4+ 3+ 6− 5+ 5+ Câu 13 (Trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng năm 2019-2020) ( x − 1) ( x − y ) x 3x Cho biểu thức: M = − + : x + xy + y x x − y y x − y x + xy + y a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm số nguyên x cho biểu thức M có giá trị nguyên Câu 14 (Trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020) x 3 x 24 x 2 x Cho biểu thức:: A : , x x x x x x (với x 0, x 4, x ) Rút gọn biểu thức A Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ Câu 15 (Trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Rút gọn biểu thức sau: A 27 12 a 1 B a 1 : , (với a 0, a ) a a a 2a Câu 16 (Trường chun tỉnh Hịa Bình Chun Tin năm 2019-2020) 1) Tìm điều kiện xác định: A = 2) Rút gọn: B = 12 3) Rút gọn: C = x −1 − x−2 27 − a −1 a −1 − Câu 17 (Trường chuyên tỉnh Hịa Bình Chun Tốn năm 2019-2020) Cho biểu thức: A = 3a + 9a − a+ a −2 a −2 − a −1 + a +2 − 1)Rút gọn biểu thức A 2)Tìm giá trị a để A = Câu 18 (Trường chuyên tỉnh Hịa Bình dành cho tất thí sinh năm 2019-2020) Rút gọn: A = ( 3)( − 3) + 6+ Câu 19 (Trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng năm 2019-2020) a +1 +3 a −1 a) Cho a số thực khác −1 Rút gọn biểu thức P = a −1 +3 a +1 b) Cho số thực x, y, a thoản mãn Chứng minh rằng: a + 2a ÷ − a3 − a − x2 + x4 y + y + y x2 = a x2 + y = a2 Câu 20 (Trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) 2x + x −1 2x x − x + x x − x +Cho P = − với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 1− x x 1− x x −1 a) Rút gọn P Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC b)Tìm giá trị x cho P = Câu 21 (Trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng năm 2019-2020) x x x 3 : Cho biểu thức: P (với x ) x 1 x x x x x x 1 Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị x để P Câu 22 (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức A 2x 15 2x a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Tìm x để A Câu 23 (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho x Tính giá trị biểu thức A x 4x x x 2x 2019 Câu 24 (Trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất thí sinh năm 2019-2020) a) Tìm điều kiện x để biểu thức x 1 có nghĩa x3 a a a a b) Chứng minh đẳng thức 1 1 a a 0, a 1 a 1 a 1 Câu 25 (Trường chuyên tỉnh Kon Tum vịng năm 2019-2020) 1) Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức P 2) Rút gọn tính giá trị biểu thức Q 2x x x 2 3 10 x 2020 2019 Câu 26 (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức sau: a) b) + (6 − 5) +3 Câu 27 (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng năm 2019-2020) Cho biểu thức: H = x2 + x x2 −1 Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 + x +1 − (với x ≥ 0; x ≠ ) x −1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC a) Rút gọn biểu thức H b)Tìm tất giá trị x để x−H 0, a ≠ a − a + a + 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị số nguyên Câu 31 (Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Cho x = + + + − + Tính giá trị biểu thức P = x ( x ) − Câu 32 (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) 2019 − Tìm điều kiện xác định biểu thức: P = x −3 x −9 Câu 33 (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) a +1 a −1 Cho biểu thức: P = với a > 0, a ≠ − +4 a a a a a − + 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị P a = +2 Câu 34 (Trường chun tỉnh Ninh Bình chun tốn năm 2019-2020) Với x > , xét hai biểu thức: A = Tìm tất giá trị x để 2+ x x −3 B = x x x +9 + x+3 x A > B Câu 35 (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình chuyên toán năm 2019-2020) Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Rút gọn biểu thức : C = − 33 + 128 − 3− Câu 36 (Trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng năm 2019-2020) x +3 x +2 x +2 x−2 + + − 1 : x − 3− x x −5 x + 6 x − x − Cho biểu thức: A = a)Rút gọn biểu thức A b)Tìm x để P = A −đạt giá trị lớn x Câu 37 (Trường chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG ) năm 2019-2020) ( Tìm a , biết: ) ( a − 1) − ( a ( a − 1) a +1 − 2a + + a + a ( )( 2a + − a + ) a +1 ) = Câu 38 (Trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng năm 2019-2020) x +2 x + x2 − x x + x − − Cho biểu thức A = với x ≥ ⋅ x +3 x − x +1 x x +1 Rút gọn biểu thức A tìm x để A = Câu 39 (Trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức: P = x + x x − x2 + x với x > 0, x ≠ + − x x− x x x +x Rút gọn tìm giá trị nhỏ biểu thức P Câu 40 (Trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng năm 2019-2020) Cho biểu thức : A = −4 x − x + x+3 x +2 x −1 x −1 + − (với x ≥ ) x +1 x +2 a) Rút gọn biểu thức A ; b) Tìm giá trị lớn A Câu 41 (Trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng năm 2019-2020) a) Rút gọn biểu thức: A = 1 − x x +3 x +2 x +2 − + (với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ ) : x +1 x − x −3 x−5 x +6 Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC b) Cho x = ( − 1) 10 + 21 + + tính B = ( x +4 x −2) 2019 Câu 42 (Trường chuyên tỉnh Thái Bình vịng năm 2019-2020) xy Cho biểu thức: P = 1 xy ( x + y ) − xy (với x > 0; y > ) + + ⋅ x y x x+y y Rút gọn biểu thức P Biết xy = 16 Tìm giá trị nhỏ P Câu 43 (Trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020) Cho: x = 70 + 4901 + 70 − 4901 Không sử dụng máy tính cầm tay, chứng minh x số nguyên tố Câu 44 (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: A = + 10 + + − 10 + Câu 45 (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng năm 2019-2020) Cho x = + + − −1 Tính giá trị biểu thức P = x (x x+ )+ Câu 46 (Trường chuyên tỉnh Tun Quang chun tốn năm 2019-2020) Tính tổng: S = 1 + 5+ 3 +1 + 7+ + 2019 + 20192 − + Câu 47 (Trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: T = ( ) 2a − 2 ( a − 1) a− a −2 với a > 0, a ≠ Câu 48 (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng năm 2019-2020) a) Cho biểu thức: P= x −1 + : x− x ( x +1 ) x −1 Tìm điều kiện xác định P giá trị x để P = b) Rút gọn biểu thức A = 46 61 − 69+ 28 −5 Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 262 b) Do tứ giác OMEC nội tiếp (câu a) = OMC (hai góc nội tiếp chắn cung OC) ⇒ OEC = OCE (do tam giác OCE cân O) Mà OEC = IME (chứng minh trên) Và OCE = OMC ⇒ IME + EMA = 900 OMC + CMA = 900 (do AB ⊥ IO) Mà IME = ⇒ AMC AME c) ∆CMO ∆ICO có = ICO (= OEC ) CMO chung IOC ⇒ ∆CMO ∽ ∆ICO (g.g) CM IC = MO CO ⇒ CM CO = MO.IC ⇒ ⇒ CM CO = CM MO.IC ⇒ CM CM = (1) MO.IC CO = MOC (= IOC = OMC (câu b) ) theo câu a EMI Lại có ∆IEM ∽ ∆COM (g.g) (do IEM ⇒ IM CM = (2) IE CO Từ (1) (2) ta có IM CM IM MO IE = ⇒ = IE MO.IC MC IC Mà MA2 = MI.MO (hệ thức lượng tam giác vuông IAO) MA2 IE mà MA = MB = MC IC MB IE IE MB ⇒ = hay MC IC IC MC ⇒ = Câu 26 Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 263 A T E O S F B C H M D a) 1,0 điểm) Ta có OM // AH (tính chất đường trung bình) mà AH ⊥ BC ⇒ OM ⊥ BC ⇒ OM đường trung trực đoạn thẳng BC (đpcm) b) (1,0 điểm) ∆FTB '' ∆FCS (g.g) FT FB = ⇒ FC FS FB.FC = FT FS (1) FH tiếp tuyến đường trịn tâm A bán kính AH ⇒ FT FS = FH (2) Từ (1) (2) suy FB.FC = FH Gọi E’ giao điểm FA với (O) ⇒ FE '.FA = FH o = 90⇒ ⇒ FE ' H = FHA HE⊥' AF Mà DE ' ⊥ AF FE ⇒ '∆H '' FHA∆(c.g c) ⇒ E '; H ; D ba điểm thẳng hàng ⇒ E ≡ F (đpcm) c) (1,0 điểm) Gọi I điểm đối xứng với H qua E Ta có AF đường trung trực đoạn thẳng HI nên FH = FI AH = AI , nghĩa I thuộc đường trịn tâm A bán kính AH ∆AFI ∆ = AFH (c.⇒ c.c) AIF = = AHF 90o ⇒ FI tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AH I (3) Có ∆HBE '' ∽ ∆HDC ( g.g) ⇒ HB HE = ⇒ HB.HC = HD.HE = HM HI = HM HI HD HC = HMC ⇒ Tứ giác IBMC nội tiếp ∆HBI '' ∽ ∆HMC (c.g c) ⇒ HBI Lại có: FI = FB.FC (cùng FH ) ⇒ FI tiếp xúc với đường tròn ( IBMC ) I Kết hợp với (3) suy đpcm Câu 27 Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 264 A F J G H K I O' B C M E X L O D a) Gọi E, F, G theo thứ tự chân đường cao AE, BF, CG tam giác ABC AK AH ∆AHK ∽∆AME (g.g ) ⇒ = ⇒ AK AM = AH AE AE AM AH AF ∆AHF ∽∆ACE (g.g ) ⇒ = ⇒ AC AF = AH AE AC AE AK AF Từ suy ra: AK.AM = AF.AC suy ra: AKF = ACM ⇒ ∆AFK ∽∆AMC ⇒ = AC AM ∆FBC vng F có FM đường trung tuyến ⇒ FM = MC = BC ⇒ ∆MFC cân M ⇒ MFC = MCF = ACB Xét tứ giác BHKC có: + + HKC HBC = HKM MKC + HBC + HBC = 900 + MFC = 900 + ACB + HBC = 900 + 900 = 1800 Suy ra: tứ giác BHKC nội tiếp + GHF = 1800 Ta có: AGHF nội tiếp ⇒ BAC = Mà GHF BHC (đối đỉnh) Lại có: BHKC nội tiếp ⇒ BHC = BKC = BLC (K, L đối xứng qua BC) Mà BKC + BLC = 1800 Suy ra: tứ giác ABLC nội tiếp Từ đó: BAC = LCB (ABLC nội tiếp, chắn cung BL) b) Ta có: LAB = KCM (K đối xứng L qua BC) Mà LCB = KCM ⇒ LAB (1) chung vµ MKC = ACB ∆AMC vµ ∆CMK cã KMC Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 265 = MAC ⇒ ∆AMC ∽∆CMK (g.g ) ⇒ KCM = MAC Từ (1) (2) suy ra: LAB (2) c) Ta có: ABDC hình bình hành MA = MD, MB = MC BDC = BAC Suy ra: = 1800 ⇒ BHC + BAC BHC + BDC = 1800 ⇒ BHCD nội tiếp Mà ⇒ B, H, K, C, D thuộc đường tròn AB // CD mà CH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ CD ⇒ HD đường kính đường trịn ngoại tiếp ∆BHC Gọi O trung điểm HD O tâm đường trịn ngoại tiếp ∆BHC Ta có: AI.AX = AH.AE AH AE = AK.AM suy ra: AI.AX = AK.AM AI AK ⇒ ∆AKI ∽∆AXM ⇒ AKI = AXM ⇒ IXMK nội tiếp ⇒ = AM AX Suy ra: K thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆IXM Suy ra: đường tròn ngoại tiếp ∆BHC đường tròn ngoại tiếp ∆IXM có điểm chung K = ODK OD = OK (bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆BHC ) ⇒ ∆OKD cân ⇒ OKD Gọi J trung điểm AH, IM đường trung bình tam giác AHD, JM cắt OK O’ (đồng vị) O ⇒ ∆O ' KM cân O’ ' MK = ODK ' MK = OKD ⇒ JM // HD ⇒ O Suy ra: O’ thuộc đường trung trực KM (*) Mặt khác: AHIK nội tiếp đường trịn tâm J, đường kính AH = HAI (cùng chắn cung HI) JK = JI ⇒ HKI = ILK ⇒ HKI = ILK AH // KL (cùng vng góc với BC) ⇒ HAI ⇒ HK tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆KIL Mà HK ⊥ AM suy tâm đường tròn thuộc AM Lại có BC đường trung trực KL M thuộc BC Suy ra: M tâm đường tròn ngoại tiếp ∆KIL Suy ra: MK = MI Mà JI = JK suy ra: JM trung trực IK (**) Từ (*) (**) suy ra: O’ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆IXM Mà ta có: OO’ = OK – O’K Suy ra: đường trịn ngoại tiếp ∆BHC đường tròn ngoại tiếp ∆IXM tiếp xúc với K Câu 28 1) Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 266 Chứng minh DO đường cao tam giác DAB D,P,O thẳng hàng Chứng minh ABKC hình thang Chứng minh ABKC hình thang Suy diện tích chúng đặt S X Hai tam giác KCP KPD có đường ao nên dt ( ∆KCP ) S1 = dt ( ∆KPB ) S X CP = ( với S1 diện PB tích ∆CPK ) Hai tam giác ACP APB có đường cao nên dt ( ∆ACP ) S X = dt ( ∆APB ) S CP = ( với S diện tích ∆APB PB S S ⇒ = X ⇒ S X = S1.S S X S2 r4 r2 = ⇒ SX = 12 Vậy diện tích tứ giác ABKC r 3 r r 3r dt ( ABKC ) = S1 + S + S X = + + = 12 3 2) Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 267 Vẽ tia tiếp tuyến Bx hình vẽ, gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE, ta có = CAB ( chắn cung CB ) CBx = CAB ( tứ giác ACED nội tiếp) BED = BED ⇒ Bx // DE Suy CBx Mà BO ⊥ Bx IQ ⊥ DE ( đường nối tâm) ⇒ BO // IQ Tương tự vẽ tiếp tuyến By (I) ta suy BI // OQ suy BOQI hình bình hành Suy OB = IQ IB = OQ mà OB = OM IB = IM ⇒ OM = IQ IM = OQ ⇒ Tứ giác OIQM hình thang nên OI // MQ Mà OI ⊥ BM ⇒ QM ⊥ BM Câu 29 1) a) Ta có: AE, AF hai tiếp tuyến đường tròn ( I ) , suy ra: AE = AF, AI phân giác góc EAF ∆AEF cân A, AI đường phân giác AI đường cao tam giác AE ∆EAI vuông E, EK đường cao suy AE = AK AI chung Xét ∆AEN ∆ADE có EAN Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 268 AEN = ADE ( Hệ góc tạo tiếp tuyến dây cung) Do đó: ∆AEN ∆ADE (g.g) ⇒ AE AN = ⇒ AE = AN AD AD AE Ta có: AK.AI = AN.AD ( AE ) Xét ∆ANK ∆AID có: chung KAN AN AK = ( Do AK.AI = AN.AD) AI AD Do đó: ∆ANK ∆AID (c.g.c) AKN = ADI ⇒ Do đó: DNKI nội tiếp Vậy bốn điểm I,D,N,K thuộc đường tròn b) Do MD tiếp tuyến ( I ) nên MD ⊥ ID + MDI = 900 + 900 = 1800 Tứ giác MKID có MKI Do đó: MIKD nội tiếp, suy M,N,K,I,D thuộc đường tròn = MKI Suy ra: MNI ( 900 = Ta có: MN ⊥ IN N ∈ ( I ) ) Vậy MN tiếp tuyến đường tròn ( I ) 2) a) Ta có: AKB = AEB ( chắn AB đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB Mà ABE = AEB ( tính chất đối xứng ) suy AKB = ABE (1) Ta có: AKC = AFC ( Cùng chắn cung AC đường tròn ngoại tiếp ∆AFC ) Mà ACF = AFC ( tính chất đối xứng) suy AKC = ACF (2) ) (3) Mặt khác ABE = ACF ( Cùng phụ BAC AKB = AKC hay KA phân giác tron BKC Từ (1), (2) (3) suy Gọi P, Q giao điểm BE với AC CF với AB Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 269 = BOC = 1200 nên BC = R , BAC Ta có: BOC Trong tam giác vng ABP có: APB = 900 , BAC ABE = ACF 600 = ABP = 300 Hay 600 , suy=ra 300 = Tứ giác APHQ có: AQH + APH = 1800 = 1200 ( đối đỉnh) + PHQ = 1800 ⇒ PHQ = 1200 ⇒ BHC Suy PAQ AKC = ABE Ta có: 300 ,= AKB = ACF ABE= 300 = = AKC + AKB = AFC + AEB = ACF + ABE = 600 Mà BKC + BKC = 1800 Suy ra: BHC Do tứ giác BHKC nội tiếp b) Gọi ( O ' ) đường tròn qua bốn điểm B,H,C,K Ta có dây BC = R = 600 BKC BAC = nên bán kính đường trịn ( O ') bán kính R đường trịn ( O ) Gọi M giao điển AH BC suy MH ⊥ BC; Kể KN vng góc BC ( N ∈ BC ) , gọi I giao điểm HK BC Ta có: S BHCK = S BHC + S BCK = 1 BC.HM + BC.KN = BC ( HM + KN ) 2 1 S BHCK ≤ BC ( HI + KI ) = BC.KH ( Do HM ≤ HI , KN ≤ KI ) 2 Ta có: KH dây cung đường tròn ( O '; R ) Suy KH ≤ R (không đổi), nên S BHCK lớn KH = 2R HM + KN = HK = 2R Gía trị lớn S BHCK = R 32 R 3R = Khi HK đường kính đường trịn ( O ' ) M,N,I trùng nhau; suy I trung điểm BC nên ∆ABC cân A; Khi A điểm cung lớn BC Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 270 Câu 30 a) � = 180˚ − 𝐵𝐷𝐸 � (hai góc kề bù) Có 𝐸𝐷𝐹 � − 𝐷𝐶𝐸 � =𝐴𝑁𝐶 � − 𝐷𝐶𝐸 � = 𝐴𝑁𝐶 � − 𝐸𝑁𝐶 � = 𝐴𝑁𝐸 � (Do cung DE = EC ) � =180°-𝐷𝐸𝐶 ⇒ 𝐸𝐷𝐹 Suy ∆DEF đồng dạng với ∆NEA b) Ta có EB = EC EM= E điểm cung BC theo giả thiết � suy AE trung trực đoạn thẳng EM = EC Mặt khác AE tia phân giác 𝐵𝐴𝑀 BM hay vng góc với tia NM � , suy NE đường Chứng minh tương tự NE tia phân giác 𝐵𝑁𝐶 trung trực đoạn thẳng MC hay NE vng góc với AM Từ hai điều ta có M trực tâm ∆AEN c) Gọi giao điểm AM với EN X , BN với AE Y Gọi giao điểm IM với đường tròn ( O ) T Dễ thấy ATNM hình bình hành nên TN vng góc với EN suy ET đường kính đường trịn ( O ) � = 90° hay 𝑀𝐾𝐸 � = 90° hay K thuộc đường trịn đường kính EM , suy năm ⇒ 𝐸𝐾𝑇 điểm X , Y , M , K , E thuộc đường tròn � = 𝐾𝑀𝑋 � = 𝑋𝐸𝐾 � = 𝑁𝐸𝐾 � = 𝑁𝐵𝐾 � (do tứ giác MEKX nội tiếp) Ta có 𝐾𝑀𝐶 Suy CM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 271 Câu 31 a) Xét ∆ABC ∆ADB có: BAD chung; ABC = ADB sñBC = ⇒ ∆ABC ∆ADB (góc-góc) AB AD ⇒ = ⇒ AC.AD = AB2 (3) AC AB Do đường tròn (O), A cố định ⇒ AB không đổi ⇒ AC.AD không đổi b) ∆ABO vuông B, đường cao BH ⇒ AB = AH.AO (4) AC AO chung Từ (3) (4) ⇒ AC.AD = AH.AO ⇒ = , mà OAD AH AD ⇒ ∆AHC ∆ADO (cạnh-góc-cạnh) = ADO (5) ⇒ Tứ giác CHOD nội tiếp ⇒ AHC c) Tứ giác CHOD nội tiếp ⇒ OHD = OCD (6) = ODC hay OCD = ADO (7) ∆COD cân O ⇒ OCD Từ (5); (6) (7) ⇒ AHC = OHD Mà AHC + BHC = OHD + BHD = 90 ⇒ BHC = BHD , BH cố định ⇒ ĐPCM ⇒ BH phân giác CHD Câu 32 = DMC 1/ Do tứ giác M E C D, M B F D nội tiếp nên DEC = DCA Tứ giác ABDC nội tiếp nên DCE = DBF = (1) DFB ( 2) Từ (1) (2) suy ∆BDF − ∆CDE ( g − g ) đpcm Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 272 A A x E O E O B B C M Q F D N F M P C D = CDE (do ∆BDF ~ ∆CDE ), suy BMF = EMC , EMC = EDC BDF 2/ Ta có BMF = BDF Vậy E, M, F thẳng hàng Từ hai tứ giác MECD, MBFD nội tiếp suy AB, AF = AM ⋅ AD = AE⋅ AC ,suy tứ giác BECF nội tiếp Do AFE = ACB Vẽ tiếp tuyến Ax (O) ,suy Ax // EF Vậy OA ⊥ EF ACB = BAx PN EN QN FN NE AE = , = = suy PC EC QB FB NF AF EN FB AE FB AB FB == ⋅ = , ( 3) FN EC AF EC AC EC 3/ theo tính chất phân giác ta có PN QN EN FN : = : PC QB EC FB Ta có = MB MC S DAB = S DAC Từ (3) (4) suy AB BF CE AB.BF S DAB S BDF SCDE ⋅ ⋅ = = = S BDF SCDE S DAC BF CE AC CE ⋅ AC ( 4) PN QN = , hay PQ // BC PC QB Câu 33 A P E T K B F H Q C I Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 D TÀI LIỆU TOÁN HỌC 273 a) Tia CT cắt cạnh AB P = TCB (cùng phụ với ABC ), TCB = DCB (T D đối xứng qua BC) Ta có DAB = DCB ĐỀ Do DAB ABDC ⇒ tứ giác nội tiếp = DBH DAC = IHD = IBD ACD Suy DIH = ĐỀ Do hai tam giác ACD IHD đồng dạng = BDI b) Tứ giác IBHD nội tiếp nên BHI Tứ giác DHKC có hai đỉnh H K nhìn đoạn DC góc vng nên nội tiếp = KDC Suy KHC = BDC (cùng bù với BAC ) Các tứ giác ABDC AIDK nội tiếp nên IDK = KDC Do BHI = KHC Vì I K nằm khác phía đường thẳng BC Suy BDI nên ba điểm I, H, K thẳng hàng Hai tam giác ACD IHD đồng dạng với có DE DF đường trung tuyến nên DC DE = DH DF = FDH Suy HDC = FDE Hai tam giác DCE DHF đồng dạng nên EDC = DHC Do hai tam giác HDC FDE đồng dạng suy DFE 90o = Vậy tam giác DEF vuông F = BCD nên hai tam = BDA Lại có BAD c) Trên cạnh BC lấy điểm Q cho QDC AB AD = CQ CD AD DI Hai tam giác AID CHD đồng dạng nên = CD DH AB CQ AB DI Suy hay (1) = = DI DH CQ DH = BDA nên HDC = BDQ Vì QDC giác DBA DQC đồng dạng Suy BQ DB (2) = AC DA = BCD HKD = Mặt khác ABD = 180o = 180o IBD, − KHD Ta có BAD = IHD nên ABD = KHD IBD Suy hai tam giác BDQ ADC đồng dạng Suy hai tam giác ABD KHD đồng dạng Do Từ (2) (3) suy − Vì IHD DB DH (3) = DA DK BQ DH AC BQ hay (4) = = AC DK DK DH Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 274 Từ (1) (4) suy AB AC CQ BQ BC + = + = DI DK DH DH DH Câu 34 A E O M K P C B N Q D F Có BFD = DM C DEC;FBD = = ACD DCE = BDF ∽⇒ CDE ∆ ∆ Tứ giác BMDF nội tiếp ⇒ BDF = BM F (cùng chắn cung FB) Tứ giác CEMD nội tiếp ⇒ CDE = CM E (cùng chắn cung EC) Do ∆BDF ∽ ∆CDE (cmt) ⇒ BDF = CDE (hai góc tương ứng) ⇒ BM F = CM E Mà điểm B; M; C thẳng hàng ⇒ Các điểm E;M;F thẳng hàng (đpcm) *) Kẻ AO cắt EF K; OAC = K AE OCA = 1800 − AOC 1800 − 2ABC = = = 900 2 ABC − ⇒ K AE = 900 − ADC = 900 − AEK ⇒ AEK + K AE = 900 ⇒ AK ⊥ K E ⇒ AO ⊥ EF Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 275 ∆ABM ∽ ∆ADF ⇒ AE AM AF AM = = ∆ACM ∽ ∆ADE ⇒ , mà BM = CM (gt) ED CM DF BM ⇒ AF AE FN DF FN AF = = ⇒ = (do ) NE AE DF ED NE DE ⇒ FN BF FN NE QN NP = (do ∆BDF ∽ ∆CDE ) ⇒ = ⇒ = ⇒ PQ / /BC (sử dụng tính NE CE FB CE QB PC chất tia phân giác kết hợp với ta lét đảo) Câu 35 Hình vẽ: a) ( 1,0 điểm) nên chúng vng góc, suy + Có AD, AE phân giác ngồi góc BAC ED đường kính ( O ) + Lại có D điểm cung nhỏ BC ( O ) nên có OD vng góc với BC trung điểm M Vậy D,M,O,E thẳng hàng DE ⊥ BC = EMC + Xét tứ giác EGMC có EGC 900 nên = EGMC tứ giác nội tiếp = ECG , lại có ECG = EDA nên EMG = EDA , suy GM // AD + Suy EMG b) (1,0 điểm) + AE ⊥ AD MG // AD nên MG ⊥ FE Lại có EG ⊥ AC MF // AC nên EG ⊥ MF Từ suy G trực tâm tam giác MFE, FG ⊥ ME hay FG ⊥ DE + Có FG // MC ( vng góc với DE), FM // GC nên FMCG hình bình hành, suy FG = MC Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 276 HG ⊥ AE suy đường thẳng AE đường trung trực + Từ AE phân giác HAG đoạn HG Suy FH = FG Vậy FH = MC c) ( 1,0 điểm) = EGM ( cộng với ECB 1800 ), ( ECA + Từ EAB ABE = GME ), suy ∆EAB ∆EGM (g.g) = ENA , + Có N K trung điểm hai cạnh tương ứng AB GM nên EKG suy tứ giác EKNH tứ giác nội tiếp AHE = AGE + Lại có Có NE = EK 2 = 900 900 (=Do H,G đối xứng qua AE) nên dẫn đến NKE KN +2 Từ ( KE + KN ) ≥ ( KE + KN ) có 2NE ≥ ( KE + KN ) hay 2 KE + KN ≤ NE , có đpcm Sưu tầm tổng hợp zalo web: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ...1 CÁC BÀI TOÁN THEO CHỦ ĐỀ TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2019 LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website sachhoc.com giới thi? ??u đến... cô em toán theo chủ đề đề lớp 10 chuyên năm 2019 Chúng kham khảo qua đề thi để làm chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng tốn thường kì thi lớp 10 gần Chuyên đề gồm chủ đề: •... Câu 10 (Đề vào 10 Chuyên Bắc Ninh năm 2019 - 2020) Cho 2020 kẹo vào 101 0 hộp cho hộp chứa nhiều 101 0 kẹo hộp chứa kẹo Chứng minh tìm thấy số hộp mà tổng số kẹo hộp 101 0 Câu 11 (Đề vào 10 Chuyên