Đang tải... (xem toàn văn)
Phiếu học tập tuần toán 7 Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 1 ĐỀ 1 PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN MÔN TOÁN (Thời gian 120 phút, không tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất cả các học sinh vào lớp 10 chuyên) Câu 1 (3 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n4 + 2015n2 chia hết cho 12 2) Giải hệ phương trình sau 2 2 2 2 2x 3xy y 12 x xy 3y 11 Câu 2 (2 điểm) 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 2y2 + 2xy + x +.
ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) Câu (3 điểm) 1) Chứng minh với số tự nhiên n n4 + 2015n2 chia hết cho 12 2x 3xy y 12 2) Giải hệ phương trình sau : 2 x xy 3y 11 Câu (2 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 2y2 + 2xy + x + 3y – 13 = 2) Giải phương trình: x2 3x 1 Câu (1 điểm) Cho x, y số thực khơng âm Tìm giá trị lớn biểu thức : P (x y )(1 x y ) (1 x2 )2 (1 y )2 Câu (3 điểm) Cho hai đường tròn (O) v| (O’) cắt A B Kẻ tiếp tuyến chung CD (C, D tiếp điểm, C (O), D (O’)) Đường thẳng qua A song song với CD cắt (O) E, (O’) F Gọi M, N theo thứ tự l| giao điểm BD BC với EF Gọi I l| giao điểm EC với FD Chứng minh rằng: a) Chứng minh tứ giác BCID nội tiếp b) CD trung trực đoạn thẳng AI b) IA phân giác góc MIN Câu (1điểm) Cho 1010 số tự nhiên phân biệt khơng vượt qu{ 2015 khơng có số gấp lần số khác Chứng minh số chọn ln tìm số cho tổng số số lại - Hết -(Giám thị khơng giải thích thêm) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC Họ tên thí sinh: .Số báo danh: ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) Câu (1,5 điểm) Cho phương trình x4 16x2 32 ( với x R ) Chứng minh rằng: x nghiệm phương trình cho Câu (2,5 điểm) 2x(x 1)(y 1) xy 6 Giải hệ phương trình ( với x R, y R ) 2y(y 1)(x 1) yx Câu 3.(1,5 điểm) Cho tam gi{c MNP có cạnh cm Lấy n điểm thuộc cạnh phía tam gi{c MNP cho khoảng cách giửa hai điểm tuỳ ý lớn cm ( với n số nguyên dương) Tìm n lớn thoả mãn điều kiện cho Câu (1 điểm) Chứng minh 10 số nguyên dương liên tiếp khơng tồn hai số có ước chung lớn Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC không tam giác cân, biết tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D,E,F tiếp điểm BC, CA, AB với đường tròn (I) Gọi M giao điểm đường thẳng EF v| đường thẳng BC, biết AD cắt đường tròn (I) điểm N (N không trùng với D), giọi K l| giao điểm AI EF 1) Chứng minh c{c điểm I, D, N, K thuộc đường tròn 2) Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn (I) - Hết -Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC (Giám thị khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: .Số báo danh: ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) Câu (3,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: P b) Cho x 65 65 Tính Q x3 12x 2009 Câu (3,5 điểm) Cho phương trình a(a + 3)x2 - 2x - (a + 1)(a + 2) = (a tham số, nguyên) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm hữu tỷ b) X{c định a để phương trình có c{c nghiệm ngun Câu (5,0 điểm) Giải phương trình v| hệ phương trình sau: x2 y b) x y a) 13x 3x+2 x 42 ; Câu (2,5 điểm) a) Chứng minh với x, y > : x 2y xy y b) Cho số dương a,b,c với abc = Tìm giá trị lớn biểu thức: M 1 2 a 2b b 2c c 2a Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn AB.AC = BC(AB+AC), có G trọng tâm BD, CE c{c đường phân giác Chứng minh điểm D, E, G thẳng hàng Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O Một điểm D di động cung nhỏ AC Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DC Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng BE D di chuyển cung nhỏ AC Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC Hết -(Giám thị không giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) Câu (1,5 điểm) a) Chứng minh số nguyên n lớn thoả mãn n2 n2 16 số x2 2y(x y) 2(x 1) nguyên tố n chia hết cho Tìmđiểm) nghiệm nguyên phương trình: Câub)2 (2,0 a) Rút gọn biểu thức: A 2(3 5) 2 3 2(3 5) 2 3 b) Tìm m để phương trình: (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) m có nghiệm phân biệt Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 x x 1(1 x) x xy 10y b) Giải hệ phương trình: 2 x 6y 10 Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây cung BC R cố định Điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Gọi E l| điểm đối ứng với B qua AC F v| điểm đối ứng với C qua AB C{c đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE ACF cắt K (K không trùng A) Gọi H l| giao điểm BE CF a) Chứng minh KA phân giác góc BKC tứ giác BHCK nội tiếp b) X{c định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn tứ gi{c theo R c) Chứng minh AK qua điểm cố định Câu (1,0 điểm) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: P 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: z y x y2 z2 x2 y2 z2 x2 x(y z ) y(z x ) z(x y ) HẾT -Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) Câu Cho a 5 P a a a a a a 1 (a 0,a 1) a a) Rút gọn P b) Đặt Q (a a 1)P Chứng minh Q > Câu Cho phương trình x2 2(m 1)x m2 (1) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn (x1 m)2 x2 m Câu Giải phương trình (x 1) 2(x2 4) x2 x x x xy 2y (1) Giải hệ phương trình x y x y x 3x 3(2) Câu Giải phương trình tập số nguyên x2015 y(y 1)(y 2)(y 3) (1) Câu Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi M l| trung điểm BC a) Chứng minh AH = 2OM Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC b) Dựng hình bình hành AHIO Gọi J l| t}m đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh OI OJ = R2 c) Gọi N l| giao điểm AH với đường tròn (O) (N khác A) Gọi D l| điểm cung nhỏ NC đường trịn tâm (O) (D khác N C) Gọi E l| điểm đối xứng với D qua AC, K l| giao điểm AC HE Chứng minh ACH = ADK Câu Cho a, b số thực dương Chứng minh (1 a)(1 b) ab Cho a, b số thực dương thỏa mãn a + b = ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 a 2a b 2b 1 a 1 b 2 HẾT -Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) Câu (2,0 điểm) 1) Cho a b 29 12 Tính giá trị biểu thức: A a (a 1) b2 (b 1) 11ab 2015 2) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy (1 x2 )(1 y2 ) Chứng minh x y2 y x2 Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình 2x 4x2 9x x 4x Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 2 2x y xy 5x y y 2x 3x 2) Giải hệ phương trình x y 4x y x 2y Câu (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x4 x2 y2 y 20 2) Tìm số nguyên k để k4 8k3 23k2 26k 10 số phương Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định không qua t}m Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I l| trung điểm BC 1) Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc MIN 2) Gọi K l| giao điểm MN BC Chứng minh 1 AK AB AC 3) Đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P X{c định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành Câu (1,0 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện (a b)3 4ab 12 Chứng minh bất đẳng thức 1 2015ab 2016 1 a 1 b HẾT -Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) Bài (3,0 điểm) Cho biểu thức: P 2x x x x 1 x x x2 x x x x (x 0; x 1) a) Rút gọn biểu thức P Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC b) Tính giá trị thức P x 2 c) Chứng minh rằng: với giá trị x để biểu thức P có nghĩa biểu thức P nhận giá trị nguyên Bài (2,0 điểm) Cho phương trình x2 – 2mx+ (m – 1)3= (m tham số) a) Giải phương trình m = –1 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt có nghiệm bình phương nghiệm lại Bài (1,0 điểm) Giải phương trình: 2x 1 x 2x Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Đường trịn đường kính AH, tâm O, cắt cạnh AB AC E F Gọi M l| trung điểm cạnh HC a) Chứng minh AE.AB = AF.AC b) Chứng minh MF tiếp tuyến đường trịn đường kính AH c) Chứng minh HAM HBO d) X{c định điểm trực tâm tam giác ABM Bài (0,5 điểm) Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: 1 a 1 b 1 c 1 2 HẾT -Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN MƠN TỐN (Thời gian: 120 phút, khơng tính thời gian giao đề) (Dùng cho tất học sinh vào lớp 10 chuyên) Câu 1: (1,5 điểm) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC Giải phương trình: 2015 2015x 2014 2016x 2015 2016 Câu 2: (1,5 điểm) Cho phương trình (x 2)(x2 x) (4m 1)x 8m (x ẩn số) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1;x2;x3 thỏa mãn điều kiện x12 x2 x3 11 Câu 3: (2,0 điểm) x y x y (x 1)(y 1) a) Giải hệ phương trình: 2 x y 1 y x b) Cho số dương x, y, z thỏa mãn c{c điều kiện x + y + z = x2 + y2 + z2 = Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z: (1 y )(1 z ) (1 x )(1 y ) (1 z )(1 x ) Px y z x2 y2 z2 Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O;R) , Giả sử B , C cố định A di động đường tròn cho AB < AC v| AC < BC Đường trung thực đoạn thẳng AB cắt AC BC P v| Q Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt AB BC M N a) Chứng minh OM.ON=R2 b) Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q nằm đường tròn c) Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN CPQ cắt S T , gọi H hình chiếu vng góc B lên đường thẳng ST Chứng minh H chạy đường tròn cố định A di động Câu 5: (2,0 điểm) a) Cho a,b hai số thay đổi thoã mãn c{c điều kiện a > 0, a + b ≥ Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức A 8a b b2 4a b) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x4 2x3 6x2 4y2 32x 4y 39 HẾT -Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐỀ PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN PAGE TÀI LIỆU TỐN HỌC 239 1 Do SCMN CH MN R.2.R( 1) R ( 1) 2 Dấu xảy ⇔ C l| điểm nửa đường trịn Vậy giá trị nhỏ MN 2R( 1) giá trị nhỏ diện tích tam giác CMN R ( 1) xảy C l| điểm nửa đường trịn đường kính AB Câu V c) Gọi số tự nhiên cho l| a, b, c, d, e Do chúng đơi phân biệt nên giả sử a < b < c < d < e Theo giả thiết ta có a + b + c > d + e ⇒ a + b + c ≥ d + e + Suy a ≥ d + e + – b – c Vì b, c, d, e số tự nhiên nên từ d > c ⇒ d ≥ c + 1; c > b ⇒ c ≥ b + Suy d ≥ b + ⇒ d – b ≥ e>d⇒e≥d+1⇒e≥c+2⇒e–c≥2 Do a ≥ (d – b) + (e – c) + ≥ Suy b, c, d, e > Vậy tất số không nhỏ d) Nếu a ≥ ⇒ b ≥ a + ≥ Tương tự c ≥ 8, d ≥ 9, e ≥ 10 ⇒ a + b + c + d + e ≥ 40 (m}u thuẫn) Suy a < Mà theo câu a ta có a ≥ ⇒ a = Ta có + b + c ≥ d + e + ⇒ b + c ≥ d + e – Mà d – ≥ b, e – ≥ c ⇒ d + e – ≥ b + c Do b d =>a+b+c+d+e=5+2b+2c+4 y = +) x = => y = Vậy m= (P) (d) cắt điểm A(-2;4) B(3;9) Tìm m để (d) cắt (P) điểm nằm hai phía trục tung Ho|nh độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình: x (m 1) x m x (m 1) x m 0(*) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 245 (d) cắt (P) hai điểm nằm hai phía trục tung phương trình ( )có nghiệm trái dấu 1 (- m – 4) < m>-4 Câu x y 3m 1) Cho hệ phương trình: ( tham số m) 3x y 11 m x y 3m x y 6m 5 x 5m 15 x m 3x y 11 m 3x y 11 m x y 3m y 2m x y (m 3)2 (2m 1)2 3m2 10m 49 3(m )2 3 5 Do (m ) với m; dấu ‚=‛ xảy m 3 x y 49 ,dấu ‚=‛ xảy m 3 Hay x2-y2 lớn 49 ,dấu ‚=‛ xảy m 3 Gọi vận tốc dự định ô tô x (km/h) (x > 6) Khi thời gian tơ dự định hết quãng đường AB Thời gian thực tế ô tô nửa quãng đường đầu 80 (h) x 40 (h) x6 Thời gian thực tế ô tơ nửa qng đường cịn lại 40 (h) x 12 Theo b|i ta có phương trình: 80 40 40 x 60 x 12 x 40 x( x 12) 40 x( x 6) 80( x 6)( x 12) x( x 6)( x 12) x( x 6)( x 12) x( x 6)( x 12) 40 x 480 x 40 x 240 x 80 x 480 x 5760 240 x 5760 x 24 Vậy vận tốc dự định ô tô 24 (km/h) Câu Từ giả thiết ta có: APH=90o; ANH 90o =>Tứ giác APHN nội tiếp đường trịn đường kính AH Ta có: BD//CH (BDCH hình bình hành) CH AB Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 246 BD AB => ABD=90o Tương tự ta có: ACD=90o Tứ giác ABDC nội tiếp đường trịn (đường kính AD) Xét tam giác ABE ACH có: ABE=ACH (cùng phụ với góc BAC) (1) Góc BAE phụ với góc BDA; BDA=BCA (góc nội tiếp chắn cung AB) Góc CAH phụ với góc BCA =>BAE=CAH(2) Từ (1) v| (2) suy tam gi{c ABE, ACH đồng dạng AB AC AB AH AC AE AE AH Gọi I l| trung điểm BC => I cố định ( B, C cố định) Gọi O l| trung điểm AD => O cố định (do góc BAC khơng đổi, B, C cố định, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Độ d|i OI không đổi Tứ gi{c ABDC l| hình bình h|nh => I l| trung điểm HD OI AH (OI l| đường trung bình tam giác ADH) Độ d|i AH khơng đổi Vì AH l| đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ gi{c APHN, độ d|i AH khơng đổi => độ d|i b{n kính đường trịn ngoại tiếp tứ gi{c APHN khơng đổi => đường trịn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích khơng đổi Câu Ta có: S ( x y ) (x y) x2 y xy 1 xy x2 y 2 x2 y xy 3 ( xy x2 y x2 y ) x2 y 2 xy xy Do x, y số dương nên ta có: xy x2 y 2 xy x y 2 x2 y 2 xy x y 2 xy Dấu ‚=‛ xảy khi: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 247 xy x2 y ( x y )2 x y ( x y )2 2 x y xy x y x y ( x; y 0) x y xy x2 y x y xy Cộng bất đẳng thức ta S S = x = y Vậy Min S = x = y ĐỀ 50 Câu 1) Điều kiện: x 1 Ta có: x x x x x x x x x x ( x 1)( x 3) x( x 1) x 1( x 1) ( x 1)( x x) x 1(1) x x(2) Ta có (1) x 2 (loại) x x x (2) 17 x 1 4x 4 x x x x 17 (TM ) Vậy phương trình cho có nghiệm x 17 2) Điều kiện: x 1;y 1 x2 y2 ( y 1) ( x 1) Hệ phương trình cho tương đương với x y 1 y x 2 u v x y Đặt u , hệ cho trở thành ;v y 1 x 1 uv 2 u v 2uv (u v) 2 u v 2uv (u v) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 248 u v u v 1 Nếu u v y 1 2x x y 1(TM) x 1 y y 2 x 1 Nếu u v x y (TM) x 2 y Vậy hệ phương trình có nghiệm: x y , x y 1 Câu a) Phương trình cho tương đương với x ( y 1)( y 2)(1) Nếu y 1 y ( y 1) 3 (y 1)(y 2) Mà 9x x Z nên ta có mâu thuẫn Suy ray 1 3, đó: y 1 = 3k( k Z )=>y=3k+1( k Z ) Thay vào (1) ta có: x 3k (3k 3) x k (k 1) x k (k 1) Vậy phương trình có nghiệm: (k Z ) y 3k b) Từ giả thiết suy ab (a b) a b (1) Vì ab a+b N * nên a + b số phương Mặt khác a b 18 a b 1; 4;9;16 Nếu a+ b1, a +b 4, a+ b16 thay vào (1) không thỏa mãn Nếu a +b thay v|o (1) ta ab 27 Vậy a=2;b=7 Câu Đặt a x; b y; c z a x3 ; b2 y ;c2 z , a x3 ; b y ;c z ; x, y, z Bất đẳng thức cho trở thành: x3 y3 z 3xyz 2( x3 y y z z x3 )(1) Vì vai trị x; y ;z bình đẳng nên giả sử x y z Khi x( x y )2 z ( y x) ( z x y )(x y )( y z ) x y z 3xyz xy (z y) yz(y z) zx(z x)(2) Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có xy( x y) xy xy x3 y (3) Tương tự ta có: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 249 yz (y z ) y z (4) zx(z x) z x3 (5) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (3), (4), (5) ta xy(x y) yz (y z ) zx(z x) 2( x3 y y z z x3 )(6) Từ (2) (6) ta có x3 y3 z 3xyz 2( x3 y y z z x3 ) Đẳng thức xảy x=y=z hay a= b =c Câu a) Vì AEC= AFC =90o nên tứ giác ACEF nội tiếp Suy BFE =ACB (cùng bù với góc AFE ) (1) Kẻ tia tiếp tuyến Bx đường tròn (O) B Ta có ACB= ABx (cùng chắn cung AB ) (2) Từ (1) (2) suy BFE =ABx Do Bx// EF Mà OBBx nên OB EF Xét BEF BAC có ABC chung BFE= ACB ( theo (1)) nên BEF BAC đồng dạng Mặt khác BEF BAC nội tiếp đường tròn bán kính kính OB nên BH v| đường trịn bán EF BH AC 2.OB Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 250 Từ ta có BH EF BO AC b) Gọi M1và N1lần lượt l| c{c điểm đối xứng với P qua AB AC Ta có: AM1B=APB (do tính chất đối xứng) (3) APB=ACB (cùng chắn cung AB) (4) Tứ giác BEHF nội tiếp nên BFE= BHE (5) Mặt khác theo câu a) BFE =ACB (6) Từ (3), (4), (5), (6) suy AM1B= BHE AM1B+ AHB = 1800, tứ giác AHBM1nội tiếp AHM1= ABM1 mà ABM1= ABP nên AHM1 =ABP Chứng minh tương tự ta có AHN1= ACP AHM1+ AHN1= ABP+ ACP=180OM1, N1, H thẳng hàng Mặt khác MN l| đường trung bình tam giác PM1N1, MN qua trung điểm PH Câu Gọi (O) l| đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi (O) l| đường tròn ngoại tiếp tam giác BC, CA, AB Do tam giác ABC nhọn nên O nằm tam giác ABC O O Vì BAC 60 MOC 60 OA OB OC MC 2 sin 60o Vì O nằm tam giác ABC OM BC, ON AC ,OP AB Suy tam giác ABC chia thành tứ giác ANOP, BMOP, CMON nội tiếp c{c đường trịn có đường kính (đường kính OA, OB, OC) Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tứ giác chứa điểm 13 điểm cho, giả sử l| tứ giác ANOP Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 251 Gọi E, F, G, H l| trung điểm NA, AP, PO, ON I l| trung điểm OA, suy IA=IP=IO=IN=1 Khi tứ giác ANOP chia thành tứ giác AEIF, FIGP, IGOH, IHNE nội tiếp đường trịn có đường kính Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tứ giác chứa điểm điểm cho, giả sử l| tứ giác AEIF chứa điểm X, Y số 13 điểm cho Vì X, Y nằm tứ giác AEIF nên X, Y nằm đường tròn ngoại tiếp tứ giác này, XY khơng lớn đường kính đường trịn n|y, nghĩa l| khoảng cách X, Y khơng vượt q Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC 252 MỤC LỤC Phần Đề luyện thi Phần Đ{p {n Đề 1: Trang