ĐỊNH LÝ KURATOWSKI VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN

ĐỊNH LÝ KURATOWSKI VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN Đồ thị khái niệm Đồ thị phẳng khái niệm 2.1 Đặt vấn đề 2.2 Các khái niệm 2.3 Luyện tập xác định đồ thị phẳng 2.4 Một số ứng dụng đồ thị phẳng Các định lý mối liên hệ số đỉnh, số cạnh số miền Một số đồ thị không phẳng 12 4.1 K3,3 đồ thị không phẳng 12 4.2 K5 đồ thị không phẳng 13 Định lý Kuratowski 13 Bài tốn tơ màu đồ thị 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tiểu luận cuối kì này, nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn bảo tận tình thầy Nguyễn Hải Vinh suốt thời gian học tập vừa qua Nhờ bảo mà chúng em có thêm hiểu biết sâu rộng môn học Tổ hợp vốn tưởng quen thuộc với chương trình phổ thông, đồng thời người chúng em nhận thấy phải rèn luyện nhiều nghiệp vụ kiến thức chuyên ngành để cải thiện thân, trở thành người giáo viên hoàn thiện đức tài Mặc dù cố gắng để thực nhiệm vụ học tập khơng thể tránh khỏi thiếu sót mà chúng em chưa nhận thấy Vì chúng em mong nhận góp ý thầy để chúng em rút kinh nghiệm hồn thiện Nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn! LỜI NÓI ĐẦU Bài viết giới thiệu khái niệm định lý lý thuyết đồ thị, tập trung vào đồ thị phẳng Trên sở hình thành vấn đề bản, chúng em mong muốn trình bày chứng minh chặt chẽ định lý Kuratowski, điều kiện cần đủ cho đồ thị phẳng, bên cạnh chúng em đề cập đến số ứng dụng liên quan tới đồ thị phẳng định lý Kuratowski ĐỊNH LÝ KURATOWSKI VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN Đồ thị khái niệm Định nghĩa 1.1 Đồ thị G cặp có thứ tự (V(G),E(G)), bao gồm tập khác rỗng V(G) tập hợp đỉnh tập E(G) tập hợp cạnh, cạnh xem hình thành liên kết hai đỉnh V Ký hiệu số đỉnh tập đỉnh V (G )  E (G )  Lưu ý (i) E(G) tập rỗng (ii) Một cạnh liên kết đỉnh với Định nghĩa 1.2 Một cạnh nối đỉnh với gọi khun Một đồ thị khơng có khun hai đỉnh có nhiều cạnh nối gọi đơn đồ thị Ngược lại, đồ thị có khuyên hay có nhiều nhiều cạnh nối hai đỉnh gọi chung đa đồ thị Định nghĩa 1.3 Một đỉnh gọi liên thuộc cạnh đỉnh nút cạnh Hai đỉnh gọi kề chúng nối cạnh Bậc đỉnh v, ký hiệu deg(v), số cạnh liên thuộc với v Một khuyên tính hai cạnh Đặt  : vV (deg v)  : max vV (deg v) Định nghĩa 1.4 Đường W tập hợp đỉnh cạnh xen kẽ, ký hiệu W  v0e1v1e2 ek vk ei (i  [1, k ], i  ) liên kết vi-1 với vi Đường có tất đỉnh phân biệt gọi đường đơn Đồ thị G liên thông tồn đường đơn cặp đỉnh G Một đường gọi khép kín có độ dài dương có đỉnh đầu trùng đỉnh cuối Một đường khép kín, khơng có cạnh lặp với đỉnh phân biệt gọi chu trình Hai đường

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN – CƠ – TIN Thành viên nhóm: Nguyễn Thị Tuyết Lan Đặng Hải Anh Nguyễn Việt Hà Đỗ Trung Tùng ĐỊNH LÝ KURATOWSKI VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN Ngành Phương Pháp Toán Sơ Cấp (Chương trình đào tạo Thạc Sĩ) Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Vinh Hà Nội - 2021 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN – CƠ – TIN Thành viên nhóm: Nguyễn Thị Tuyết Lan Đặng Hải Anh Nguyễn Việt Hà Đỗ Trung Tùng ĐỊNH LÝ KURATOWSKI VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN Ngành Phương Pháp Toán Sơ Cấp (Chương trình đào tạo Thạc Sĩ) Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Vinh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU ĐỊNH LÝ KURATOWSKI VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN Đồ thị khái niệm Đồ thị phẳng khái niệm 2.1 Đặt vấn đề 2.2 Các khái niệm 2.3 Luyện tập xác định đồ thị phẳng 2.4 Một số ứng dụng đồ thị phẳng Các định lý mối liên hệ số đỉnh, số cạnh số miền Một số đồ thị không phẳng 12 4.1 K3,3 đồ thị không phẳng 12 4.2 K5 đồ thị không phẳng 13 Định lý Kuratowski 13 Bài tốn tơ màu đồ thị 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tiểu luận cuối kì này, nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn bảo tận tình thầy Nguyễn Hải Vinh suốt thời gian học tập vừa qua Nhờ bảo mà chúng em có thêm hiểu biết sâu rộng môn học Tổ hợp vốn tưởng quen thuộc với chương trình phổ thông, đồng thời người chúng em nhận thấy phải rèn luyện nhiều nghiệp vụ kiến thức chuyên ngành để cải thiện thân, trở thành người giáo viên hoàn thiện đức tài Mặc dù cố gắng để thực nhiệm vụ học tập khơng thể tránh khỏi thiếu sót mà chúng em chưa nhận thấy Vì chúng em mong nhận góp ý thầy để chúng em rút kinh nghiệm hồn thiện Nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn! LỜI NÓI ĐẦU Bài viết giới thiệu khái niệm định lý lý thuyết đồ thị, tập trung vào đồ thị phẳng Trên sở hình thành vấn đề bản, chúng em mong muốn trình bày chứng minh chặt chẽ định lý Kuratowski, điều kiện cần đủ cho đồ thị phẳng, bên cạnh chúng em đề cập đến số ứng dụng liên quan tới đồ thị phẳng định lý Kuratowski ĐỊNH LÝ KURATOWSKI VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN Đồ thị khái niệm Định nghĩa 1.1 Đồ thị G cặp có thứ tự (V(G),E(G)), bao gồm tập khác rỗng V(G) tập hợp đỉnh tập E(G) tập hợp cạnh, cạnh xem hình thành liên kết hai đỉnh V Ký hiệu số đỉnh tập đỉnh V (G )  E (G )  Lưu ý (i) E(G) tập rỗng (ii) Một cạnh liên kết đỉnh với Định nghĩa 1.2 Một cạnh nối đỉnh với gọi khun Một đồ thị khơng có khun hai đỉnh có nhiều cạnh nối gọi đơn đồ thị Ngược lại, đồ thị có khuyên hay có nhiều nhiều cạnh nối hai đỉnh gọi chung đa đồ thị Định nghĩa 1.3 Một đỉnh gọi liên thuộc cạnh đỉnh nút cạnh Hai đỉnh gọi kề chúng nối cạnh Bậc đỉnh v, ký hiệu deg(v), số cạnh liên thuộc với v Một khuyên tính hai cạnh Đặt  : vV (deg v)  : max vV (deg v) Định nghĩa 1.4 Đường W tập hợp đỉnh cạnh xen kẽ, ký hiệu W  v0e1v1e2 ek vk ei (i  [1, k ], i  ) liên kết vi-1 với vi Đường có tất đỉnh phân biệt gọi đường đơn Đồ thị G liên thông tồn đường đơn cặp đỉnh G Một đường gọi khép kín có độ dài dương có đỉnh đầu trùng đỉnh cuối Một đường khép kín, khơng có cạnh lặp với đỉnh phân biệt gọi chu trình Hai đường gọi rời chúng khơng có đỉnh chung Hai đường rời Hai đường có đỉnh chung Cây đồ thị mà hai đỉnh nối với đường Nói cách khác, đồ thị liên thơng khơng có chu trình Định nghĩa 1.5 H đồ thị V ( H )  V (G ), E ( H )  E (G ) , điểm nút tất cạnh E(H) có V(H) Ngồi ra, đồ thị có tính liên thơng tối đa (tức H liên thông nhận thêm đỉnh mà trì tính chất này) thành phần liên thơng G Số lượng thành phần liên thông G ký hiệu  (G ) Cạnh e cạnh cắt  (G  e)   (G ) Đồ thị có thành phần liên thông Định nghĩa 1.6 Một đồ thị đầy đủ đồ thị mà cặp đỉnh nối với cạnh Đồ thị đầy đủ n đỉnh kí hiệu Kn Đồ thị G hai phía tập đỉnh V chia thành hai tập khác rỗng X Y cho cạnh G nối đỉnh X với đỉnh khác Y Đồ thị G hai phía đầy đủ với x  X , y  Y , x nối với y cạnh Khi X chứa m đỉnh Y chứa n đỉnh, G ký hiệu Km,n Đồ thị K5 Đồ thị K3,3 Đồ thị phẳng khái niệm 2.1 Đặt vấn đề Bài toán cổ “Ba nhà, ba giếng”: Có ba nhà gần ba giếng cho: - Khơng có đường nối trực tiếp nhà với - Khơng có đường nối trực tiếp giếng với - Mỗi nhà có đường đến giếng Hỏi: Có cách làm đường mà đôi không giao hay khơng (ngồi điểm nhà hay giếng)? Biểu diễn toán cổ đồ thị - Coi nhà tương ứng với đỉnh - Coi giếng tương ứng với đỉnh - Mỗi đường nhà giếng tương ứng với cạnh Khi đó, ta đồ thị sau: Ta thấy hình ảnh đồ thị K3,3, câu hỏi toán cổ lúc chuyển thành: Tồn hay không cách vẽ đồ thị hai phía đầy đủ K3,3 mặt phẳng cho khơng có hai cạnh cắt nhau? 2.2 Các khái niệm Định nghĩa 2.1 Một đồ thị gọi đồ thị phẳng ta vẽ mặt phẳng cho khơng có hai cạnh cắt điểm đỉnh đồ thị Việc vẽ đồ thị mặt phẳng gọi biểu diễn phẳng đồ thị Một biểu diễn phẳng đồ thị G Định nghĩa 2.2 Cho G đồ thị phẳng Các cạnh đồ thị chia mặt phẳng thành miền, số miền kí hiệu  Bậc miền, kí hiệu deg( f ) , số cạnh liên thuộc miền f , cạnh cắt tính hai cạnh Đồ thị phẳng G có miền Định nghĩa 2.3 Đồ thị đối ngẫu đồ thị mặt phẳng G đồ thị G* có đỉnh v* tương ứng cho miền f đồ thị G, có cạnh e* tương ứng với cạnh e G Hai đỉnh v* w* G* liên kết cạnh e* miền tương ứng f g G phân chia e G’ đồ thị đối ngẫu G 2.3 Luyện tập xác định đồ thị phẳng Bài toán 2.4 Hãy xác định đồ thị phẳng đồ thị sau biểu diễn phẳng tương ứng Đồ thị 2-liên thông Định nghĩa 5.5 Cho đồ thị G, H đồ thị thực G V ( H )  V (G ) E ( H )  E (G ) Đồ thị không phẳng cực tiểu đồ thị không phẳng mà khơng có đồ thị thực khơng phẳng Để chứng minh điều kiện đủ, ta chứng minh hai điều sau: (1) Nếu tồn đồ thị không phẳng cực tiểu không chứa đồ thị đồng phôi K5, K3,3 đồ thị 3-liên thơng đơn đồ thị (2) Mọi đồ thị 3-liên thơng khơng có đồ thị đồng phơi K5, K3,3 đồ thị phẳng Để chứng minh (1), ta cần thêm số bổ đề Bổ đề 5.6 Đồ thị không phẳng cực tiểu 2-liên thông Chứng minh Trước hết, ta đồ thị không phẳng cực tiểu 1-liên thơng (hay cịn gọi liên thông) Giả sử G không liên thông không phẳng thành phần liên thơng phẳng Khơng tính tổng qt, giả sử G có hai thành phần liên thơng G1 G2 Vì G1 G2 phẳng, ta đặt biểu diễn phẳng G1 vào miền biểu diễn phẳng G2 (ví dụ miền vơ hạn) Khi đó, ta biểu diễn phẳng G, mâu thuẫn với giả thiết G không phẳng Ta chứng minh G 2-liên thông Giả sử G không phẳng G 1-liên thông Theo định nghĩa tính liên thơng, tồn đỉnh v cho G \ {v} khơng liên thơng Khơng tính tổng quát, giả sử G \ {v} có hai thành phần liên thơng H1 H2 Do tính cực tiểu G nên H1  v H  v đồ thị phẳng Khi đó, ta biểu diễn phẳng đồ thị với v nằm biên miền vô hạn Kết hợp H1  v H  v cách hợp 15 v, ta biểu diễn phẳng G, mâu thuẫn với giả thiết G không phẳng Vậy G đồ thị không phẳng cực tiểu, G 2-liên thông Bổ đề 5.7 Nếu G đồ thị có cạnh tất đồ thị liên thông không phẳng không chứa đồng phôi K 3,3 K5 G – liên thông Chứng minh Giả thiết cho thấy G đồ thị không phẳng cực tiểu Theo bổ đề 2.6, G – liên thơng Khi đó, tồn cặp đỉnh u, v cho G \ u , v không liên thông Gọi thành phần liên thông G \ u , v H1, H2 , , Hk Xây dựng M1, M2 , , Mk , với M i Hi  u, v với việc bổ sung thêm cạnh u v Cần chứng minh Mi , 1 i  k, tồn M i khơng phẳng: Giả sử tất M i phẳng với  i  k Khi đó, tồn biểu diễn phẳng cho M i Vì u, v cạnh uv phần chung M i , ta hợp biểu diễn phẳng M i từ có biểu diễn phẳng G uv (G {uv}) , tức G  uv phẳng Theo định lý 5.1, G phẳng, mâu thuẫn Do đố tồn M i 1  i  k  không phẳng 16 Rõ ràng  ( M j )   (G ) , theo giả thiết, G đồ thị liên thông không phẳng cực tiểu không chứa đồng phôi K 3,3 K5 nên M j phải có đồng phơi K5 K 3,3 Hơn nữa, G khơng chứa đồng phơi M j không đồ thị G, điều nghĩa G khơng có cạnh uv Ta kết hợp M j uv với M p uv  p  j ,1  p  k  cách hợp đỉnh u, v lại nhận đồ thị G Bởi M p uv liên thông nên tồn đường u v Khi kết hợp đường với M j  uv, ta có đồng phơi K5 K 3,3 Điều nghĩa G bao gồm đồng phơi, mâu thuẫn Vì vậy, G – liên thông Ta chứng minh (1) Để chứng minh (2), ta cần thêm số bổ đề Bổ đề 5.8 (Định lý Whitney) Cho G đồ thị với υ  Khi đó, G – liên thông với u, v  V G, có hai đường rời chúng Chứng minh  Nếu đỉnh G liên kết đường rời khơng tồn đỉnh cắt (vì cho dù đỉnh bị loại bỏ ln tồn đường chúng) Do đó, G – liên thơng  Giả sử G – liên thông Ta chứng minh quy nạp Lấy đỉnh u, v  V G  , kí hiệu số cạnh đường ngắn chúng d u, v 17 Xét d u, v  Vì G – liên thông nên tồn đường liên kết u v mà không chứa cạnh uv Giả sử tồn đường rời cặp u, v với d u, v  k Với x, y mà d  x, y  k 1, cần tìm đường P0 có độ dài d  x, y  x, y đỉnh z gần y ( d ( y , z )  ) P0 Khi đó, d ( x , z )  d ( x , y )  Theo giả thiết quy nạp, tồn hai đường rời P1 P2 x, z Bởi G – liên thông, tồn đường Q liên kết x, y không chứa z Gọi w đỉnh Q   P1  P2  cho gần với y Q Khơng tính tổng qt, ta giả sử w nằm P1 Khi đó, ta tìm hai đường rời x, y: đường thứ phần từ x đến w P1 kết hợp với với phần từ w đến y Q; đường thứ hai P2 kết hợp với cạnh zy Bổ đề 5.9 Nếu G đơn đồ thị – liên thông với uv cạnh G G  uv 2liên thơng Chứng minh Cần chứng minh với a, b  V G  uv, tồn hai đường rời chúng Nói cách khác, ta cần chứng minh với hai đỉnh G  uv , tồn chu trình mà hai đỉnh nằm Ta chứng minh với trường hợp Trường hợp 1: a, b  u, v Rõ ràng v G  Chọn hai đỉnh c d G  uv Khơng tính tổng quát, giả sử u  a Xét u c Vì G – liên thơng nên G không chứa đỉnh cắt nào, nghĩa loại bỏ v d, u c liên kết với Nói cách khác, tồn đường P1 u c mà không chứa v d Tương tự, tồn đường P2 c v không chứa u d, đường P3 nằm v d không chứa u c, cuối đường P4 nằm d u không chứa c v Như vậy, u v nằm chu kì u  P1 c  P2 v  P3 d  P4 u 18 Trường hợp 2: Trong a, b có u v Khơng tính tổng qt, giả sử a  u b  v Ta tìm c  b không u v Thực tương tự trường hợp 1, ta tìm đường P1 u b khơng chứa c, đường P2 c b không chứa u v, đường P3 c u khơng chứa v Ta có u, b nằm chu kì u  P1 b  P2 c  P3 u Trường hợp 3: Cả u v không thuộc a, b Thực tương tự, ta tìm đường P1 a, b không chứa u, v, đường P2 v, b không chứa u, a đường P3 a, v khơng chứa u, b Khi a, b nằm chu kì a  P1 b  P2 v  P3 a Từ trường hợp, ta thấy ln tìm chu trình khơng chứa cạnh uv mà hai đỉnh a, b nằm đó, tức G  uv 2-liên thơng Định nghĩa 5.10 Cho H đồ thị đồ thị G Một quan hệ tương đương ~ E(G)\E(H) định nghĩa sau: a  b tồn đường W cho a b cạnh cạnh cuối W khơng có đỉnh W nằm V(H) Một cầu H G đồ thị G – E(H) tạo lớp tương đương  (một cầu chứa e đồ thị chứa cạnh e’, e '  e , e e’ cạnh G) Đối với cầu B H, ta định nghĩa đỉnh liên kết B tới H đỉnh tập hợp V ( B )  V ( H ) 19 Cho C chu trình Khi đó, hai cầu B1 B2 C chéo hai đỉnh liên kết thuộc B1, giả sử u1 v1 hai đỉnh liên kết thuộc B2, giả sử u2 v2, xuất theo thứ tự u1 , u2 , v1 , v2 chu trình C Định nghĩa 5.11 Giả sử C chu trình biểu diễn phẳng đồ thị phẳng G Khi đó, với số cầu B C, B nằm hoàn toàn Int(C) (miền C) Ext(C) (miền C) Cầu nằm Int(C) gọi cầu trong, cầu nằm Ext(C) gọi cầu Trong biểu diễn phẳng đồ thị, cầu (hoặc ngoài) tách rời nhau, tức với cầu (hoặc ngoài) B1, B2, cung uv C chứa đỉnh liên kết B1 cung khơng chứa điểm liên kết B2 trừ u v Định nghĩa 5.12 Trong biểu diễn phẳng G1 đồ thị phẳng G, cầu B chu trình C chuyển đổi đươc tồn biểu diễn phẳng G2 G cho ngoại trừ B lúc cầu ngồi, thứ cịn lại giống G1 Định lý 5.13 Cho G đồ thị phẳng C chu trình G Cầu B C chuyển hóa B tách rời cầu ngồi C Chứng minh Tìm cầu B tách rời cầu ngồi, từ ta tìm miền nằm Ext(C) cho biên chứa tất đỉnh liên kết B Vẽ B miền mới, ta biểu diễn phẳng khác, tức B chuyển hóa 20 Định lý 5.14 (Định lý Kuratowski) Một đồ thị đồ thị phẳng khơng chứa đồ thị đồng phôi K5 K3,3 Chứng minh  Giả sử đồ thị G phẳng chứa đồ thị H đồng phôi K5 K3,3 K5 K3,3 không phẳng nên theo bổ đề 5.3, H không phẳng Mặt khác, theo bổ đề 5.1, G phẳng nên đồ thị H G đồ thị phẳng, mâu thuẫn Vậy đồ thị H không đồng phôi K5 K3,3  Giả sử tồn đồ thị không phẳng không chứa đồng phôi K K 3,3 Khơng tính tổng qt, gọi G đồ thị khơng phẳng khơng chứa đồng phơi K , K 3,3 có cạnh Khi đó, G đồ thị khơng phẳng cực tiểu Theo bổ đề 5.7, G 3liên thông đơn đồ thị Lấy hai đỉnh kề u, v  V G  Xét đồ thị G  uv Do tính cực tiểu G nên G  uv phẳng Theo bổ đề 5.9, G  uv – liên thông Theo bổ đề 5.8, có hai đường rời u v Nói cách khác, u v nằm chu trình Giữa tất chu trình chứa u, v biểu diễn phẳng G  uv , ta tìm C0 cho có nhiều cạnh Int C0  (miền C0 ) Xét cầu C0 G  uv (Nnu G  uv khơng chứa cầu C0 rõ ràng thêm cạnh uv, đồ thị phẳng, tức G phẳng, mâu thuẫn) Giả sử tồn cầu với đỉnh liên kết v1 Khi đó, v1 đỉnh cắt G  uv , điều mâu thuẫn với điều kiện G  uv – liên thơng Do đó, cầu C0 G  uv có hai đỉnh liên kết Hơn nữa, cầu ngồi C0 có nhiều đỉnh liên kết, ta ln tìm chu trình chứa phần cầu ngồi có nhiều cạnh miền Vì vậy, cầu ngồi C0 có xác đỉnh liên kết Tương tự, cầu ngồi khơng chứa cung uv có chu trình khác với nhiều cạnh miền Như vậy, 21 cầu phủ cung uv, nghĩa với cầu ngồi, khơng phải tất đỉnh liên kết nằm cung uv Ngoài ra, kích thước cầu ngồi lớn một, tồn đỉnh khơng nằm C0 cầu Khi đó, hai đỉnh liên kết tạo thành hai đỉnh cắt G  uv G, điều mâu thuẫn với điều kiện G – liên thông Do đó, ta kết luận tất cầu ngồi C0 có đỉnh liên kết, có kích thước phủ cung uv Ta tìm cầu B1 cầu B2 phủ Sau giải thích cho việc tìm B1, B2 Nếu tất cầu C0 cầu (hoặc ngoài), ta vẽ cạnh uv miền (miền trong) C0 biểu diễn phẳng G, điều mâu thuẫn với giả thiết Do đó, C0 có cầu cầu ngồi Nếu khơng tồn cặp phủ nhau, cầu C0 tách rời cầu nối ngoài, theo định lý 5.14, tất cầu C0 chuyển đổi Vì vậy, ta tìm biểu diễn phẳng G  uv với C0 có cầu ngồi, điều mâu thuẫn với giả thiết Lấy đỉnh liên kết B1 x1 , x2 với B2 y1 , y2 , y3 , Ta biết B2 phủ cung uv chéo với B1 Ta xét trường hợp vị trí tương đối B1 , B2 Khơng tính tổng qt, ta giả sử u , x2 , v, x1 nằm chu trình theo chiều kim đồng hồ Trường hợp 1: Trong đỉnh liên kết B2 , tồn y1 , y2 cho y1 nằm x1 v, y2 nằm x2 u Khi đó, G chứa đồng phôi K 3,3 , mẫu thuẫn với điều giả sử 22 Trường hợp với màu sắc khác minh họa đồ thị hai phía Trường hợp 2: Tồn y1 , y2 cho y1 nằm x2 v , y2 nằm x1 u Khi đó, G chứa đồng phơi K 3,3 , mâu thuẫn Trường hợp 3: Tồn  y1 , y2 , y3 , y4    x1 , x2 , u , v cho đường P1 liên kết u, v đường P2 liên kết x1 , x2 có đỉnh z chung ( P1 P2 phải có số đỉnh chung tính phẳng đồ thị G  uv ) Khi đó, G chứa đồng phơi K , mâu thuẫn Trường hợp Trường hợp 4: Tồn  y1 , y2 , y3 , y4    x1 , x2 , u , v cho P1 P2 có nhiều đỉnh chung Khi đó, G chứa đồng phôi K 3,3 , mâu thuẫn 23 Ta xét tất trường hợp xảy mâu thuẫn trường hợp Do đó, định lý chứng minh Bài tốn tơ màu đồ thị Bài tốn 6.1 Hãy tơ màu vng hình với số màu cho hai vng có chung cạnh tô hai màu khác Trả lời: Chúng ta cần màu để thỏa mãn đề (ta liên tưởng thức tế đến bàn cờ vua) Bài tốn 6.2 Hãy tơ màu miền hình với số màu cho hai miền có chung biên giới tô hai màu khác Trả lời: Chúng ta cần màu để thỏa mãn đề (vì giả sử 1, tô màu đỏ, 2, tô màu vàng, tơ màu tím) Bài tốn 6.3 Với yêu cầu tương tự câu hỏi trên, hình cần màu khác nhau? 24 Trả lời: Chúng ta cần màu để thỏa mãn đề (vì giả sử 1, tô màu đỏ, từ số đến số 7, đoạn số chẵn ta tơ màu vàng, số lẻ tơ màu tím, cịn số ta tơ màu trắng) Bài toán 6.4 Tương tự câu hỏi bên trên, ta cần màu để tơ màu đồ số quốc gia châu Âu sau Trả lời: Chúng ta cần màu để thỏa mãn đề (ta hình dung đơn giản sau: so với hình câu Áo tương ứng với phần hình số 9, Ba Lan ứng với phần hình số 1, nước khác tương ứng với phần hình từ đến 8) 25 Hỏi: Cần màu để tơ đồ cho đất nước kề khơng màu? Nếu ta nhìn vào đồ gốc để tô màu dẫn đến vấn đề ta không quan sát tốt màu tơ có đất nước nhỏ, đất nước to, tô màu trực tiếp dễ gây nhầm lẫn thiếu tính khái qt Do đó, ta thực mơ hình hóa tốn sau: - Mỗi đất nước tương ứng đỉnh đồ thị - Hai đỉnh có cạnh nối chúng hai đất nước có chung đường biên giới Đồ thị nhận gọi đồ thị đối ngẫu đồ - Đồ thị đối ngẫu đồ đồ thị phẳng Lúc ta có tốn tương đương: Tơ màu đỉnh đồ thị cho hai đỉnh kề tơ hai màu khác số lượng màu sử dụng Định nghĩa 6.5 Số màu đồ thị G (kí hiệu: γ G  ) số màu tối thiểu cần để tơ màu đồ thị G 26 Ví dụ với đồ tốn 6.4, ta chuyển thành tốn tơ màu đồ thị sau: Ta thấy đỉnh đồ thị tô tối đa màu (kết trùng với toán tô màu đồ trên) Định lý 6.6 (Định lý màu) số màu đồ thị phẳng số không lớn Nhận xét: - Số màu đồ thị lưỡng phân màu - Số màu đồ thị đầy đủ K n n màu Bài toán 6.7 Bài toán xếp lịch thi: Hãy lập lịch thi trường đại học cho khơng có sinh viên phải thi đồng thời hai môn lúc Ta mô hình hóa tốn sau: - Mỗi đỉnh mơn thi - Hai đỉnh có cạnh nối tiếp hai mơn mà sinh viên phải thi 27 - Thời gian môn thi ứng với màu Khi tốn trở thành tơ màu đồ thị hai đỉnh kề có màu khác Ví dụ: Giả sử có mơn cần xếp lịch thi, đánh số từ đến 7, G đồ thị biểu diễn việc xếp lịch thi cho sinh viên, ta có: Nhận xét: Số màu đồ thị nên sử dụng thời gian khác để xếp lịch Ta có: 28 Thứ tự thời gian Môn thi I 1, II III 3,5 IV 4, TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Anh Vinh (2017), Tập san học toán Jenny – Tập Mary Radcliffe, Math 228: Kuratowski’s Theorem Yifan Xu, Kuratowski’s Theorem Sourav Chakraborty, Manish Kumar (2018), Discrete Mathematics, Lecture 22: Proof of Kuratowski’s theorem 29 ... đồ thị phẳng, bên cạnh chúng em đề cập đến số ứng dụng liên quan tới đồ thị phẳng định lý Kuratowski ĐỊNH LÝ KURATOWSKI VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN Đồ thị khái niệm Định nghĩa 1.1 Đồ thị G cặp có... LỜI NÓI ĐẦU ĐỊNH LÝ KURATOWSKI VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN Đồ thị khái niệm Đồ thị phẳng khái niệm 2.1 Đặt vấn đề 2.2 Các khái... Thành viên nhóm: Nguyễn Thị Tuyết Lan Đặng Hải Anh Nguyễn Việt Hà Đỗ Trung Tùng ĐỊNH LÝ KURATOWSKI VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN Ngành Phương Pháp Toán Sơ Cấp (Chương trình đào tạo Thạc Sĩ) Giảng viên