Bài toán 6.1. Hãy tô màu các ô vuông trong hình dưới đây với số màu ít nhất có thể sao cho hai ô vuông có chung cạnh luôn được tô bởi hai màu khác nhau.
Trả lời: Chúng ta cần ít nhất 2 màu để thỏa mãn đề bài (ta có thể liên tưởng thức tế đến bàn cờ vua).
Bài toán 6.2. Hãy tô màu các miền trong hình dưới đây với số màu ít nhất có thể sao cho hai miền có chung biên giới luôn được tô bởi hai màu khác nhau.
Trả lời: Chúng ta cần ít nhất 3 màu để thỏa mãn đề bài (vì giả sử 1, 5 cùng tô màu đỏ, 2, 4 cùng tô màu vàng, 3 là được tô bởi màu tím).
Bài toán 6.3. Với yêu cầu tương tự câu hỏi trên, thì hình dưới đây cần ít nhất bao nhiêu màu khác nhau?
25
Trả lời: Chúng ta cần ít nhất 4 màu để thỏa mãn đề bài (vì giả sử 1, 9 cùng tô màu đỏ, từ số 2 đến số 7, đoạn nào số chẵn thì ta tô màu vàng, số lẻ tô màu tím, còn số 8 thì ta tô màu trắng).
Bài toán 6.4. Tương tự các câu hỏi bên trên, ta cần ít nhất bao nhiêu màu để tô màu bản đồ một số quốc gia châu Âu sau
Trả lời: Chúng ta cần ít nhất 4 màu để thỏa mãn đề bài (ta có thể hình dung đơn giản như sau: so với hình ở câu 3 thì Áo tương ứng với phần hình số 9, Ba Lan khi này sẽ ứng với phần hình số 1, các nước khác tương ứng với phần hình từ 2 đến 8).
26
Hỏi: Cần ít nhất bao nhiêu màu để tô một bản đồ bất kì sao cho các đất nước kề nhau không cùng một màu?
Nếu ta nhìn vào bản đồ gốc để tô màu sẽ dẫn đến vấn đề như ta không quan sát được tốt nhất các màu đã tô vì có đất nước nhỏ, đất nước to, khi tô màu trực tiếp dễ gây nhầm lẫn và thiếu tính khái quát. Do đó, ta thực hiện mô hình hóa bài toán như sau:
- Mỗi đất nước tương ứng một đỉnh của đồ thị.
- Hai đỉnh có cạnh nối nếu chúng là hai đất nước có chung đường biên giới. Đồ thị nhận được gọi là đồ thị đối ngẫu của bản đồ.
- Đồ thị đối ngẫu của bản đồ là đồ thị phẳng.
Lúc này ta có bài toán tương đương: Tô màu các đỉnh đồ thị sao cho hai đỉnh kề nhau thì được tô bởi hai màu khác nhau và số lượng màu sử dụng là ít nhất.
Định nghĩa6.5. Số màu của một đồ thị G (kí hiệu: γ G ) là số màu tối thiểu cần để tô màu đồ thị G.
27
Ví dụ với bản đồ ở bài toán 6.4, ta có thể chuyển thành bài toán tô màu đồ thị như sau:
Ta thấy các đỉnh ở đồ thị trên được tô tối đa là 4 màu (kết quả trùng với bài toán tô màu bản đồ ở trên).
Định lý 6.6. (Định lý 4 màu) số màu của một đồ thị phẳng bất kỳ là một số không lớn hơn 4.
Nhận xét:
- Số màu của đồ thị lưỡng phân là 2 màu. - Số màu của đồ thị đầy đủ Kn là n màu.
Bài toán 6.7. Bài toán sắp xếp lịch thi: Hãy lập lịch thi trong trường đại học sao cho không có sinh viên nào phải thi đồng thời hai môn cùng một lúc.
Ta mô hình hóa bài toán như sau: - Mỗi đỉnh là một môn thi.
28 - Thời gian mỗi môn thi ứng với một màu.
Khi đó bài toán trở thành tô màu đồ thị trên sao hai đỉnh kề nhau có màu khác nhau. Ví dụ: Giả sử có 7 môn cần xếp lịch thi, được đánh số từ 1 đến 7, G là đồ thị biểu diễn việc xếp lịch thi cho các sinh viên, khi đó ta có:
Nhận xét: Số màu đồ thị là 4 nên sử dụng 4 thời gian khác nhau để xếp lịch. Ta có:
Thứ tự thời gian Môn thi
I 1, 6
II 2
III 3,5
29
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Lê Anh Vinh (2017), Tập san học toán cùng Jenny – Tập 4.
2. Mary Radcliffe, Math 228: Kuratowski’s Theorem
3. Yifan Xu, Kuratowski’s Theorem
4. Sourav Chakraborty, Manish Kumar (2018), Discrete Mathematics, Lecture 22: Proof of Kuratowski’s theorem.