Toán 8 2223

THẦY VÕ HỒNG NGHĨA - CƠ NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN TOÁN TOÁN PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP A N G E A+B A B = + C C C (với C = 0) I F B O H K C D M π π π π π π π π π π π π TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ π π 2021-2022 π π π NĂM HỌC π π MỤC LỤC I ĐẠI SỐ CHƯƠNG PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC §1 – §2 – §3 – §4 – NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC − NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC A Tóm tắt lí thuyết B Bài tập áp dụng Dạng Nhân đơn thức với đa thức Dạng Nhân đa thức với đa thức Dạng Chứng minh biểu thức Dạng Tìm x NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A Tóm tắt lí thuyết B Bài tập áp dụng PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A Tóm tắt lí thuyết B Bài tập áp dụng Dạng Phương pháp đặt nhân tử chung Dạng Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Dạng Phương pháp dùng đẳng thức Dạng Một số phương pháp khác Dạng Tổng hợp 10 PHÉP CHIA ĐƠN THỨC - PHÉP CHIA ĐA THỨC 11 A Tóm tắt lí thuyết 11 B Bài tập áp dụng 11 Dạng Chia đơn thức cho đơn thức Chia đa thức cho đơn thức 11 Dạng Chia đa thức cho đa thức 12 Dạng Tìm đa thức phương pháp hệ số bất định 13 §5 – ƠN TẬP CHƯƠNG I 14 §6 – MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN NÂNG CAO 16 Đề số 16 Đáp án đề 17 Đề số 17 i/99 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 ii MỤC LỤC Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp Đáp án đề 18 CHƯƠNG PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 19 §1 – 19 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Tóm tắt lí thuyết 19 B Bài tập áp dụng 19 Dạng Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa 19 Dạng Tìm điều kiện để phân thức 19 §2 – TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ RÚT GỌN PHÂN THỨC20 A Tóm tắt lí thuyết 20 B Bài tập áp dụng 20 Dạng Phân thức 20 Dạng Rút gọn phân thức 21 §3 – CÁC PHÉP TỐN VỀ PHÂN THỨC A 23 Tóm tắt lí thuyết 23 Dạng Qui đồng mẫu thức nhiều phân thức 23 Dạng Cộng, trừ phân thức 24 Dạng Nhân, chia phân phức 25 §4 – BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ GIÁ TRỊ CỦA MỘT PHÂN THỨC A §5 – 26 Biểu thức hữu tỉ 27 ÔN TẬP CHƯƠNG II 28 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 32 §1 – 32 MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH A Tóm tắt lí thuyết 32 B Bài tập áp dụng 32 Dạng Chứng minh số nghiệm phương trình 32 Dạng Số nghiệm phương trình 33 Dạng Chứng minh hai phương trình tương đương 33 §2 – §3 – PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A Tóm tắt lí thuyết 35 B Bài tập áp dụng 35 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH A §4 – 38 Tóm tắt lí thuyết 38 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU A ii/99 35 40 Tóm tắt lí thuyết 40 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 iii MỤC LỤC Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp B §5 – §6 – Bài tập áp dụng 40 GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 41 A Tóm tắt lí thuyết 41 B Bài tập áp dụng 41 Dạng Loại so sánh 41 Dạng Loại tìm số gồm hai, ba chữ số 42 Dạng Loại làm chung − làm riêng việc 43 Dạng Loại chuyển động 43 Dạng Loại có nội dung hình học 44 ÔN TẬP CHƯƠNG III 45 CHƯƠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 47 §1 – 47 BẤT ĐẲNG THỨC A Tóm tắt lí thuyết 47 B Bài tập tự luận 48 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất 48 Dạng Phương pháp làm trội 49 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô − si 50 §2 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A §3 – §4 – Tóm tắt lí thuyết 52 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A 52 54 Tóm tắt lí thuyết 54 ÔN TẬP CHƯƠNG IV 56 HÌNH HỌC 57 CHƯƠNG TỨ GIÁC 58 §1 – 58 II §2 – TỨ GIÁC A Tóm tắt lí thuyết 58 B Bài tập áp dụng 58 Dạng Tính góc 58 Dạng Sử dụng tính chất góc tứ giác để tính góc 58 Dạng Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải toán liên hệ đến cạnh tứ giác 59 HÌNH THANG 60 A Tóm tắt lí thuyết 60 B Bài tập áp dụng 60 Dạng Tính chất góc hình thang 60 iii/99 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 iv MỤC LỤC Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp Dạng Chứng minh tứ giác hình thang, hình thang vng 61 §3 – HÌNH THANG CÂN 62 A Tóm tắt lí thuyết 62 B Bài tập áp dụng 62 Dạng Sử dụng tính chất hình thang cân để tính tốn chứng minh 62 Dạng Chứng minh tứ giác hình thang cân 63 §4 – §5 – §6 – ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG 64 A Tóm tắt lí thuyết 64 B Bài tập áp dụng 64 ĐỐI XỨNG TRỤC 66 A Tóm tắt lí thuyết 66 B Bài tập áp dụng 66 HÌNH BÌNH HÀNH 68 A Tóm tắt lí thuyết 68 B Bài tập áp dụng 68 Dạng Vận dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học 68 Dạng Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình bình hành 69 §7 – §8 – ĐỐI XỨNG TÂM 71 A Tóm tắt lí thuyết 71 B Bài tập áp dụng 71 HÌNH CHỮ NHẬT 73 A Tóm tắt lí thuyết 73 B Bài tập áp dụng 73 Dạng Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình chữ nhữ nhật73 Dạng Vận dụng kiến thức hình chữ nhật để giải tốn 74 §9 – HÌNH THOI 76 A Tóm tắt lí thuyết 76 B Bài tập áp dụng 76 Dạng Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình thoi 76 Dạng Vận dụng kiến thức hình thoi để giải toán 77 §10 – HÌNH VNG 78 A Tóm tắt lí thuyết 78 B Bài tập áp dụng 78 Dạng Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình vuông 78 Dạng Vận dụng kiến thức hình vng để giải toán 79 iv/99 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 v MỤC LỤC Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp §11 – ƠN TẬP CHƯƠNG I 80 CHƯƠNG ĐA GIÁC - DIỆN TÍCH ĐA GIÁC 83 §1 – 83 §2 – ĐA GIÁC A Tóm tắt lí thuyết 83 B Bài tập tự luận 83 ÔN TẬP CHƯƠNG II 86 CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG §1 – §2 – §3 – v/99 88 ĐỊNH LÍ TALET TRONG TAM GIÁC - TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 88 A Tóm tắt lí thuyết 88 B BÀI TẬP TỰ LUẬN 89 Dạng Tính độ dài đoạn thẳng 89 Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song 90 Dạng Tính chất đường phân giác tam giác 91 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 93 A Tóm tắt lí thuyết 93 B BÀI TẬP TỰ LUẬN 94 Dạng Sử dụng tam giác đồng dạng để tính toán 94 Dạng Chứng minh hai tam giác đồng dạng 95 ÔN TẬP CHƯƠNG III 97 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 vi MỤC LỤC vi/99 Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 PHẦN I ĐẠI SỐ 20 39 2743 26 46 29 49 1216 47 33 35 36 45 21 19 48 22 32 4431 24 11 30 25 34 15 10 40 79 17 238 50 42 18 14 37 23 28 13 41 C h ươ ng PHÉP NHÂN NHÂN VÀ VÀ PHÉP PHÉP CHIA CHIA CÁC CÁC PHÉP PHÉP NHÂNĐA VÀTHỨC PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC ĐA THỨC BÀI NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC − NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC A – TĨM TẮT LÍ THUYẾT Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với A (B + C) = AB + AC Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với (A + B) (C + D) = A (C + D) + B (C + D) B – BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng Nhân đơn thức với đa thức Bài Thực phép tính sau: Å ã a x 5x − x − Å ã c (4x − 5xy + 2x) − xy e xy (x2 y − 5x + 10y) b (3xy − x2 + y) x2 y d −2x3 y (2x2 − 3y + 5yz) f 2 x y (3xy − x2 + y) Bài Thực phép tính, rút gọn tính giá trị biểu thức: a x (x − y) + y (x + y) x = −6; y = b x (x2 − y) − x2 (x + y) + y (x2 − x) x = ; y = −100 Bài Rút gọn biểu thức sau b xn−1 (x + y) − y (xn−1 + y n−1 ) a x (x − y) + y (x − y) Dạng Nhân đa thức với đa thức Bài Thực phép tính sau: 2/99 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp CHƯƠNG PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC a (x2 − 2x + 1) (x − 1) b (2x − 1)(3x + 2)(3 − x) Å ã 2 d x y − xy + 2y (x − 2y) c (x3 − 2x2 + x − 1) (5 − x) e (2x3 − 3x − 1) (5x + 2) f (x2 − 2x + 3) (x − 4) Å ãÅ ã 1 h x+y x+y 2 g (x2 − 2xy + y ) (x − y) Bài Thực phép tính sau: a (x2 − 1) (x2 + 2x) b (x − 2y) (x2 y − xy + 2y) c (x + 3) (x2 + 3x − 5) d (x + 1) (x2 − x + 1) ã Å f xy − · (x3 − 2x − 6) e (x − y) (x2 + xy + y ) Bài Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: a A = (x − 2) (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16) với x = b B = (x + 1) (x7 − x6 + x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1) với x = c C = (x + 1) (x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x + 1) với x = d D = 2x (10x2 − 5x − 2) − 5x (4x2 − 2x − 1) với x = −5 Bài Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: a A = (x3 − x2 y + xy − y ) (x + y) với x = 2, y = − b B = (a − b) (a4 + a3 b + a2 b2 + ab3 + b4 ) với a = 3, b = −2 1 c C = (x2 − 2xy + 2y ) (x2 + y ) + 2x3 y − 3x2 y + 2xy với x = − , y = − 2 Dạng Chứng minh biểu thức Bài Chứng minh đẳng thức sau: a (x − y) (x4 + x3 y + x2 y + xy + y ) = x5 − y b (x + y) (x4 − x3 y + x2 y − xy + y ) = x5 + y c (a + b) (a3 − a2 b + ab2 − b3 ) = a4 − b4 d (a + b) (a2 − ab + b2 ) = a3 + b3 Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a A = (3x + 7)(2x + 3) − (3x − 5)(2x + 11) b B = (x2 − 2) (x2 + x − 1) − x (x3 + x2 − 3x − 2) c C = x (x3 + x2 − 3x − 2) − (x2 − 2) (x2 + x − 1) d D = x(2x + 1) − x2 (x + 2) + x3 − x + e E = (x + 1) (x2 − x + 1) − (x − 1) (x2 + x + 1) 3/99 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 85 CHƯƠNG ĐA GIÁC - DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp b Chứng minh: SABC = 2SAF B Bài 17 Cho tam giác ABC, đường cao AH điểm M thuộc miền tam giác Gọi P , Q, R chân đường vng góc kẻ từ M đến BC, AC, AB Chứng minh: M P + M Q + M R = AH Bài 18 Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Từ N kẻ đường thẳng song song với BM cắt đường thẳng BC D Biết diện tích tam giác ABC a (cm2 ) a Tính diện tích hình thang CM N D theo a b Cho a = 128 cm2 BC = 32 cm Tính chiều cao hình thang CM N D Bài 19 Cho tứ giác ABCD Kéo dài AB đoạn BM = AB, kéo dài BC đoạn CN = BC, kéo dài CD đoạn DP = CD kéo dài DA đoạn AQ = DA Chứng minh SM N P Q = 5.SABCD Bài 20 Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ba đường cao ứng với ba cạnh có độ dài , hb , hc Gọi r khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác tam giác đến 1 1 + + = cạnh tam giác Chứng minh hb hc r Bài 21 Cho tam giác ABC Gọi M, N, P điểm nằm cạnh BC, CA, AB tam AP BM CN giác cho đường thẳng AM, BN, CP đồng qui điểm O Chứng minh · · = P B MC NA Bài 22 Cho tứ giác ABCD Gọi M, P, N, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, AD; O giao điểm M N P Q Chứng minh: a SAOQ + SBOP = SM P Q b SAOD + SBOC = SABCD Bài 23 Cho tứ giác ABCD Qua điểm B vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC Đường thẳng cắt cạnh DC E Chứng minh: SADE = SABCD Bài 24 Cho tứ giác ABCD có AC = 10 cm, BD = 12 cm Hai đường chéo AC BD cắt ’ = 30◦ Tính diện tích tứ giác ABCD O Biết AOB Bài 25 Cho hình thang cân ABCD (AB ∥ CD) Gọi I, J, K, L trung điểm AB, BC, CD, DA a Tứ giác IJKL hình gì? b Cho biết diện tích hình thang ABCD 20 cm2 Tính diện tích tứ giác IJKL Bài 26 Cho hình bình hành ABCD Vẽ phân giác AM góc A(M ∈ CD), phân giác CN góc C(N ∈ AB) Các phân giác AM , CN cắt BD E F Chứng minh diện tích hai tứ giác AEF N CF EM 85/99 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 86 ÔN TẬP CHƯƠNG II Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG II Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, AD = 6, cm Gọi H, I, E, K trung điểm tương ứng BC, HC, DC, EC a Tính diện tích tam giác DBE b Tính diện tích tứ giác EHIK Bài Cho hình vng ABCD có tâm đối xứng O, cạnh a Một góc vng xOy có tia Ox cắt cạnh AB E, tia Oy cắt cạnh BC F Tính diện tích tứ giác OEBF Bài Tính diện tích hình thang vng, biết hai đáy có độ dài cm cm, góc tạo cạnh bên đáy lớn có số đo 45◦ Bài Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy AB = cm, CD = 15 cm, độ dài hai đường chéo AC = 16 cm, BD = 12 cm Từ A vẽ đường thẳng song song với BD, cắt CD E a Chứng minh tam giác ACE tam giác vuông b Tính diện tích hình thang ABCD Bài Gọi O điểm nằm hình bình hành ABCD Chứng minh: SABO + SCDO = SBCO + SDAO Bài Cho hình chữ nhật ABCD, O điểm nằm hình chữ nhật, AB = a, AD = b Tính tổng diện tích tam giác OAB OCD theo a b Bài Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh AB Trên cạnh AC, lấy điểm B cho AN = 2N C Gọi I giao điểm BN CM Chứng minh: Bài Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh AB Trên cạnh AC, lấy điểm B cho AN = 2N C Gọi I giao điểm BN CM Chứng minh: a SBIC = SAIC b BI = 3IN Bài Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm AC, BC Chứng minh SABN M = SABC Bài 10 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F hai điểm hai cạnh AB DC cho AE = CF ; I điểm cạnh AD; IB IC cắt EF M N Chứng minh: SIM N = SM EB + SN F C Bài 11 Cho tam giác ABC điểm D cạnh BC Hãy chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích đường thẳng qua D Bài 12 Cho tam giác ABC có BC = a, đường cao AH = h Từ điểm I đường cao AH, vẽ đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh AB, AC M N Vẽ M Q, N P vuông góc với BC Đặt AI = x a Tính diện tích tứ giác M N P Q theo a, h, x b Xác định vị trí điểm I AH để diện tích tứ giác M N P Q lớn Bài 13 Cho tam giác ABC ba đường trung tuyến AM , BN , CP Chứng minh sáu tam giác tạo thành tam giác ABC có diện tích Bài 14 Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) Gọi M, N trung điểm AB, CD Một đường thẳng song song với hai đáy cắt AD E, M N I, BC F Chứng minh IE = IF 86/99 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 87 CHƯƠNG ĐA GIÁC - DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp Bài 15 Cho tứ giác ABCD Qua trung điểm K đường chéo BD, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt AD E Chứng minh CE chia tứ giác thành hai phần có diện tích Bài 16 Cho tam giác ABC Trên cạnh AC lấy điểm M, N cho AM = M N = N C Đường thẳng qua M , song song với AB, cắt đường thẳng qua N song song với BC O Chứng minh OA, OB, OC chia tam giác ABC thành ba phần có diện tích Bài 17 Cho ngũ giác ABCDE Hãy vẽ tam giác có diện tích diện tích ngũ giác ABCDE 87/99 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 C h ươ ng TAM GIÁC GIÁC ĐỒNG DẠNG DẠNG TAM GIÁC TAM ĐỒNG DẠNGĐỒNG BÀI ĐỊNH LÍ TALET TRONG TAM GIÁC - TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC A – TĨM TẮT LÍ THUYẾT Tỉ số hai đoạn thẳng • Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo • Tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB CD đgl tỉ lệ với hai đoạn thẳng A B C D có tỉ lệ thức: AB AB CD AB = hay = CD CD AB CD Định lí Ta − lét tam giác Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tưong ứng tỉ lệ B C ∥ BC ⇒ AB AC AB AC AB AC = ; = ; = AB AC B B CC BB CC Định lí Ta − lét đảo Nếu đương thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác AC AB = ⇒ B C ∥ BC BB CC Hệ Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho B C ∥ BC ⇒ AB AC BC = = AB AC BC Chú ý: Hệ cho trường hợp đường thẳng song song với cạnh cắt phần kéo dài hai cạnh cịn lại 88/99 Võ Hồng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 89 CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp Tính chất đường phân giác tam giác Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ’ ⇒ DB = AB = EB AD, AE phân giác ngồi góc BAC DC AC EC Nhắc lại số tính chất tỉ lệ thức  ad = bc      a b   =   c d c a = ⇒ a±b c±d  b d =    b d    a c a +c a−c   = = = b d b+d b−d B – BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng Tính độ dài đoạn thẳng Bài Cho tam giác ABC, G trọng tâm Qua G vẽ đường thẳng song song với cạnh AC, cắt cạnh AB, BC D E Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết AD + EC = 16 cm chu vi tam giác ABC 75 cm Bài Cho hình thang ABCD(AB ∥ CD) Đường thẳng song song hai đáy cắt cạnh AD M , cắt cạnh BC N cho M D = 3M A a Tính tỉ số NB NC b Cho AB = cm, CD = 20 cm Tính M N Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm B , C cho Qua B vẽ đường thẳng a song song với BC, cắt cạnh AC C AB AC = AB AC a So sánh độ dài đoạn thẳng AC AC b Chứng minh B C ∥ BC Bài Cho tam giác ABC, đường cao AH Đường thẳng a song song với BC cắt cạnh AB, AC đường cao AH B , C , H a Chứng minh BC AH = AH BC b Cho AH = AH diện tích tam giác ABC 67, cm2 Tính diện tích tam giác AB C Bài Cho tam giác ABC Gọi D điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có độ dài AD = 13, cm, DB = 4, cm Tính tỉ số khoảng cách từ điểm D B đến cạnh AC Bài Cho tam giác ABC có BC = 15 cm Trên đường cao AH lấy điểm I, K cho AK = KI = IH Qua I K vẽ đường thẳng EF ∥ BC, M N ∥ BC(E, M ∈ AB; F, N ∈ AC) 89/99 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 90 ĐỊNH LÍ TALET TRONG TAM GIÁC - TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp a Tính độ dài đoạn thẳng M N EF b Tính diện tích tứ giác MNFE, biết diện tích tam giác ABC 270 cm2 Bài Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo Qua điểm I thuộc đoạn OB, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh AB, BC tia DA, DC theo thứ tự điểm M, N, P, Q a Chứng minh: IB IM IB OD IM = = · OA OB IP ID OB b Chứng minh: IN IM = IP IQ Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm cạnh AB, F trung điểm cạnh CD Chứng minh hai đoạn thẳng DE BF chia đường chéo AC thành ba đoạn HD : Gọi M, N lần lươt giao điểm DE BF với AC Chứng minh: AM = M N = N C Bài Cho hình thang ABCD(AB ∥ CD) Vẽ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD CN m mAB + nCD DM = = Chứng minh rằng: M N = M , cắt cạnh BC N Biết MA NB n m+n Bài 10 Cho tứ giác ABCD có góc B D góc vng Từ điểm M đường chéo AC, MN MP vẽ M N ⊥ BC, M P ⊥ AD Chứng minh: + =1 AB CD Bài 11 Cho hình bình hành ABCD Một cát tuyến qua D, cắt đường chéo AC I cắt cạnh BC N , cắt đường thẳng AB M a Chứng minh tích AM CN khơng phụ thuộc vào vị trí cát tuyến qua D b Chứng minh hệ thức: ID2 = IM.IN Bài 12 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm B , C Chứng minh: SABC AB AC = · SAB C AB AC Bài 13 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CD lấy điểm D, E, F cho 1 AD = AB, BE = BC, CF = CA Tính diện tích tam giác DEF, biết diện tích tam giác 4 ABC a2 ( cm2 ) AK Bài 14 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm K cho = Trên cạnh BC lấy điểm L BK 2 CL = Gọi Q giao điểm đường thẳng AL CK Tính diện tích tam giác ABC, cho BL biết diện tích tam giác BQC a2 ( cm2 ) Bài 15 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm D, E, F cho: AD BE CF = = = AB BC CA Tính diện tích tam giác tạo thành đường thẳng AE, BF , CD, biết diện tích tam giác ABC S Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song Bài 16 Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H AE AH CF CG cho = = = AB AD CB CD 90/99 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 91 CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp a Chứng minh tứ giác EF GH hình bình hành b Chứng minh hình bình hành EF GH có chu vi khơng đổi Bài 17 Cho hình thang ABCD(AB ∥ CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm BM AC a Chứng minh IK ∥ AB b Đường thẳng IK cắt AD, BC E F Chứng minh EI = IK = KF Bài 18 Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D, vẽ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt AC M AB K Từ C, vẽ đường thẳng song song với cạnh bên AD, cắt cạnh đáy AB F Qua F , vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh bên BC P Chứng minh rằng: a M P song song với AB b Ba đường thẳng M P, CF, DB đồng qui Bài 19 Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Đường thẳng song song với BC qua O, cắt AB E đường thẳng song song với CD qua O, cắt AD F a Chứng minh đường thẳng EF song song với đường chéo BD b Từ O vẽ đường thẳng song song với AB AD, cắt BC DC G H Chứng minh hệ thức: CG.DH = BG.CH Dạng Tính chất đường phân giác tam giác Bài 20 Cho tam giác ABC cân A, BC = cm, phân giác góc B cắt đường cao AH K, AK = AH a Tính độ dài AB b Đường thẳng vng góc với BK cắt AH E Tính EH Bài 21 Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = m, AC = n; AD đường phân giác góc A Tính tỉ số diện tích tam giác ABD tam giác ACD Bài 22 Cho tam giác ABC cân A, phân giác BD, BC = 10 cm, AB = 15 cm a Tính AD, DC b Đường phân giác ngồi góc B tam giác ABC cắt đường thẳng AC D Tính D C Bài 23 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM đường phân giác AD a Tính diện tích tam giác ADM , biết AB = m, AC = n(n > m) diện tích ∆ABC S b Cho n = cm, m = cm Diện tích tam giác ADM chiếm phần trăm diện tích tam giác ABC? Bài 24 Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, BC = cm Gọi G trọng tâm tam giác ABC, O giao điểm hai đường phân giác BD, AE a Tính độ dài đoạn thẳng AD b Chứng minh OG ∥ AC 91/99 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 92 ĐỊNH LÍ TALET TRONG TAM GIÁC - TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp ÷ Bài 25 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM , đường phân giác góc AM B cắt AB D, đường ÷ phân giác góc AM C cắt cạnh AC E Chứng minh DE ∥ BC Bài 26 Cho tam giác ABC(AB < AC), AD phân giác góc A Qua trung điểm E cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh AC F , cắt đường thẳng AB G Chứng minh CF = BG Bài 27 Cho tam giác ABC ba đường phân giác AM , BN , CP cắt O Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4, 7, a Tính M C, biết BC = 18 cm b Tính AC, biết N C − N A = cm c Tính tỉ số OP OC d Chứng minh: MB NC P A · · = MC NA P B e Chứng minh: 1 1 1 + + > + + AM BN CP BC CA AB Bài 28 Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC Đường phân giác góc AIB cắt cạnh AB M Đường phân giác góc AIC cắt cạnh AC N a Chứng minh M M ∥ BC b Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có M N = AI? c Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có M N ⊥ AI? “ = 60◦ Đường phân giác góc D cắt Bài 29 Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn DC, góc D cắt đáy AB M Tính cạnh đáy đường chéo AC I, chia AC thành hai đoạn theo tỉ số 11 AB, DC, biết M A − M B = cm Bài 30 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng cắt AB E, AD F cắt đường chéo AC AB AD AC G Chứng minh hệ thức: + = AE AF AG Bài 31 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh CD lấy điểm N cho DN = BM Chứng minh ba đường thẳng M N , DB, AC đồng qui 92/99 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 93 CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp BÀI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG A – TĨM TẮT LÍ THUYẾT Khái niệm hai tam giác đồng dạng Định nghĩa Tam giác A B C gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: “ = A, B = B, “ C = C; A B = B C = C A A AB BC CA S Khi viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng, ta phải viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng: ∆A B C ∆ABC Định lí Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với hai cạnh cịn lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho Định lí trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh tam giác song song với cạnh lại Các trường hợp đồng dạng hai tam giác • Trường hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dang với ∆ABC S AB BC CA = = ⇒ ∆A B C AB BC CA • Trường hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng với ∆ABC S AB AC “ = , A = A ⇒ ∆A B C AB AC • Trường hợp 3: Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với ∆ABC S “ = A, B = B “ ⇒ ∆A B C A Các trường họp đồng dạng tam giác vng • Trường hợp 1: Nếu tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với • Trường hợp 2: Nếu tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với • Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với 93/99 Tính chất hai tam giác đồng dạng Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 94 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp Nếu hai tam giác đồng dạng với thì: • Tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ số đồng dạng • Tỉ số hai đường phân giác tương ứng tỉ số đồng dạng • Tỉ số hai đương trung tuyến tương ứng tỉ số đồng dạng • Tỉ số chu vi tỉ số đồng dạng • Tỉ số diện tích bình phuơng tỉ số đồng dạng B – BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng Sử dụng tam giác đồng dạng để tính toán Bài Cho tam giác A B C đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k a Tính tỉ số chu vi hai tam giác b Cho k = hiệu chu vi hai tam giác 40 dm Tính chu vi tam giác Bài Cho tam giác A B C đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k = Tính chu vi tam giác ABC, biết chu vi tam giác A B C 27 cm Bài Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = cm, AC = cm, BC = cm Tam giác A B C đồng dạng với tam giác ABC có chu vi 75 cm Tính độ dài cạnh ∆A B C Bài Cho tam giác ABC đường cao BH, CK S a Chứng minh ∆ABH ∆ACK ’ = 40◦ Tính AKH ’ b Cho ACB Bài Cho hình vng ABCD Trên hai cạnh AB, BC lấy hai điểm P Q cho BP = BQ Gọi H hình chiếu B đường thẳng CP S a Chứng minh ∆BHP ∆CHB b Chứng minh: BH CH = BQ CD S ’ = 90◦ c Chứng minh ∆CHD ∆BHQ Từ suy DHQ “ B “ = E, “ AB = cm, BC = 10 cm, DE = cm Bài Hai tam giác ABC DEF có A = D, a Tính độ dài cạnh AC, DF , EF , biết cạnh AC dài cạnh DF cm b Cho diện tích tam giác ABC 39, 69 cm2 Tính diện tích tam giác DEF Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, BH = cm, CH = cm Gọi I, K hình chiếu H lên AB, AC S a Chứng minh ∆AKI ∆ABC b Tính diện tích tam giác ABC 94/99 Võ Hồng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 95 CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp c Tính diện tích tứ giác AKHI “ đường cao CH Chứng minh: Bài Cho tam giác ABC, có A = 900 + B, ’ = ACH ’ a CBA b CH = BH.AH Bài Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM CN cắt G Tính diện tích tam giác GM N , biết diện tích tam giác ABC S Bài 10 Cho hình vng ABCD, cạnh a Gọi E điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD I Trên EB lấy điểm M cho DM = DA S a Chứng minh ∆EM C ∆ECB b Chứng minh EB.M C = 2a2 c Tính diện tích tam giác EM C theo a Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AB, lấy điểm M cho 2AM = 3M B Một đường thẳng qua M , song song với BC, cắt AC N Một đường thẳng qua N , song song với AB, cắt BC D S a Chứng minh ∆AM N ∆N DC b Cho AN = cm, BM = cm Tính diện tích tam giác AM N , ABC N DC Dạng Chứng minh hai tam giác đồng dạng Bài 12 Cho tam giác ABC Gọi A , B , C trung điểm cạnh AB, BC, CA ∆CAB S a Chứng minh ∆A B C b Tính chu vi ∆A B C , biết chu vi ∆ABC 54 cm Bài 13 Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giác Gọi E, F, H trung điểm AG, BG, CG Chứng minh tam giác EF H ABC đồng dạng với G trọng tâm tam giác EF H Bài 14 Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm M, N, P cho AM , BN , CP đồng qui O Qua A C vẽ đường thẳng song song với BO cắt CO, OA E F b Chứng minh: S S a Chứng minh: ∆F CM ∆OM B ∆P AE ∆P BO MB NC P A · · = MC NA P B Bài 15 Cho tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho AD = cm, AE = cm S a Chứng minh ∆AED ∆ABC b Tính chu vi tam giác ADE, biết BC = 25 cm c Tính góc ADE, biết C = 200 Bài 16 Cho góc xOy (xOy = 1800 ) Trên cạnh Ox, lấy điểm A, B cho OA = cm, OB = 16 cm Trên cạnh Oy, lấy điểm C, D cho OC = cm, OD = 10 cm 95/99 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 96 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp S a Chứng minh: ∆OCB ∆OAD ‘ = DCI ’ b Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh BAI Bài 17 Cho tam giác ABC có cạnh AB = 24 cm, AC = 28 cm Đường phân giác góc A cắt cạnh BC D Gọi M, N hình chiếu điểm B, C đường thẳng AD BM a Tính tỉ số CN AM DM b Chứng minh = AN DN Bài 18 Cho hình bình hành ABCD Vẽ CE ⊥ AB CF ⊥ AD, BH ⊥ AC S a Chứng minh ∆ABH ∆ACE b Chứng minh: AB · AE + AD · AF = AC Bài 19 Cho hình thang ABCD(AB ∥ CD) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD a Chứng minh OA.OD = OB.OC OH AB = OK CD Bài 20 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi O giao điêm ba đường cao AH, BK, CI b Đường thẳng qua O, vng góc với AB, CD theo thứ tự H, K Chứng minh a Chứng minh OK OB = OI OC S b Chứng minh ∆OKI ∆OCB S c Chứng minh ∆BOH ∆BCK d Chứng minh BO.BK + CO.CI = BC Bài 21 Cho tam giác ABC vuông A, AB = 5, cm, AC = 7, cm a Tính BC S b Từ trung điểm M BC, vẽ đường thẳng vng góc với BC, cắt đường thẳng AC H cắt đường thẳng AB E Chứng minh ∆EM B ∆CAB c Tính EB EM d Chứng minh BH vng góc với EC e Chứng minh HA.HC = HM.HE Bài 22 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a Hãy nêu cặp tam giác đồng dạng b Cho AB = 12, 45 cm, AC = 20, 50 cm Tính độ dài đoạn thẳng BC, AH, BH, CH 20 cm Bài 23 Cho tam giác ABC đường cao AH, AB = cm, BH = cm, AC = a Tính độ dài AH S ’ b Chứng minh ∆ABH ∆CAH Từ tính BAC √ ’ = 90◦ , AD = 20 cm, AB = cm, DB = cm, DC = cm Bài 24 Cho tứ giác ABCD, có DBC ’ a Tính góc BAD S b Chứng minh ∆BAD ∆DBC c Chứng minh DC ∥ AB 96/99 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 97 CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG III Bài Cho tam giác ABC vuông A, AB = 15 cm, AC = 20 cm Tia phân giác góc A, cắt cạnh BC D a Tính DB DC S b Đường thẳng qua D, song song với AB, cắt AC E Chứng minh ∆EDC ∆ABC c Tính DE diện tích tam giác EDC Bài Cho tam giác cân ABC, AB = AC = b, BC = a Vẽ đường cao BH, CK a Chứng minh BK = CH b Chứng minh KH ∥ BC c Tính độ dài HC HK Bài Cho tam giác cân ABC(AB = AC), I trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lấy điểm K, H cho BK.CH = BI Chứng minh: S a ∆KBI ∆ICH S b ∆KIH ∆KBI ÷ c KI phân giác góc BKH d IH.KB + HC.IK > HK.BI Bài Cho tam giác ABC(AB < AC) Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM a Chứng minh HD + DM = HM b Vẽ đường cao BF , CE So sánh hai đoạn thẳng BF CE S c Chứng minh ∆AF E ∆ABC d Gọi O trực tâm ∆ABC Chứng minh BO.BF + CO.CE = BC Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho Đường trung tuyến AI(I ∈ BC) cắt đoạn thẳng DE H Chứng minh DH = HE AE AD = AB AC Bài Cho tam giác ABC vuông A, C = 30◦ đường phân giác BD(D ∈ AC) a Tính tỉ số DA CD b Cho AB = 12, cm Tính chu vi diện tích tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC cạnh a, M trung điểm BC Trên cạnh AB lấy điểm D, ÷ cạnh AC lấy điểm E cho DM E = 60◦ a Chứng minh BD.CE = a2 97/99 S S b Chứng minh ∆M BD ∆EM D ∆ECM ∆EM D Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 98 ÔN TẬP CHƯƠNG III Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp c Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng DE Bài Cho tam giác ABC cân A, A = 20◦ , AB = AC = b, BC = a Trên cạnh AC lấy điểm D ’ = 20◦ cho DBC S a Chứng minh ∆BDC ∆ABC b Vẽ AE vuông góc với BD E Tính độ dài đoạn thẳng AD, DE, AE c Chứng minh a3 + b3 = 3ab2 Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM , K điểm AM cho AM = 3AK, BK cắt AC N, P trung điểm N C a Tính tỉ số diện tích tam giác AN K AM P b Cho biết diện tích ∆ABC S tính diện tích tam giác AN K c Một đường thẳng qua K cắt cạnh AB, AC I J Chứng minh AB AC + = AI AJ Bài 10 Cho tam giác ABC Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC, AC O giao điểm đường trung trực, H trực tâm, G trọng tâm tam giác ABC S a Chứng minh ∆OM N ∆HAB b So sánh độ dài AH OM S c Chứng minh ∆HAG ∆OM G d Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng GH = 2GO Bài 11 Cho tam giác ABC, đường cao AK BD cắt G Vẽ đường trung trực HE, HF AC BC Chứng minh: a BG = 2HE b AG = 2HF Ä ä “ = 900 Đường chéo BD vng góc với Bài 12 Cho hình thang vng ABCD AB ∥ DC, A = D cạnh bên BC Chứng minh BD2 = AB.DC Bài 13 Cho tam giác cân ABC(AB = AC), O trung điêm cạnh đáy BC Một điêm D di độn OB Chứng minh: cạnh AB Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE = BD a Hai tam giác DBO, OCE đồng dạng b Tam giác DOE đồng dạng với hai tam giác ’ EO phân giác góc CED ’ c DO phân giác góc BDE, d Khoảng cách từ điểm O đến đoạn ED không đổi D di động AB “ C góc nhọn Các đường cao AA , BB , CC cắt nha Bài 14 Cho tam giác ABC, B, H a Chứng minh: A A.A H = A B.A C b Gọi G trọng tâm tam giác ABC Giả sử đường thẳng GH song song với cạnh đáy BC Chứng minh: A A2 = 3A B.A C 98/99 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 99 CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp Bài 15 Cho hình thang KLM N (KN ∥ LM ) gọi E giao điểm hai đường chéo Qua E, vẽ 1 = + đường thẳng song song với LM , cắt M N F Chứng minh: EF KN LM Bài 16 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC BC D E; đường thẳng song song với AC, cắt AB BC F K; đường AF BE CN thẳng song song với BC, cắt AB AC M N Chứng minh: + + = AB BC CA Bài 17 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, OA OB OC CA, AB A , B , C Chứng minh: + + = AA BB CC Bài 18 Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R Chứng minh P B QC RA đường thẳng AP , BQ, CR đồng qui O · · = (định lí Ceva) P C QA RB Bài 19 Trên đường thẳng qua cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R (không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng hàng P B QC RA · · = (định lí Menelaus) P C QA RB 99/99 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0986453782 ... 1970 1972 1974 1976 19 78 1 980 x − 1970 x − 1972 x − 1974 x − 1976 x − 19 78 x − 1 980 = + + + + + 29 27 25 23 21 19 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0 986 453 782 38 Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp... + 8) + 3x (x2 + 4x + 8) + 2x2 c (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15 9/99 b (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) − 12 d (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) − 24 Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0 986 453 782 ... Hồng Loan – 0 986 453 782 vi MỤC LỤC vi/99 Ƅ Tài Liệu Học Tập Lớp Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan – 0 986 453 782 PHẦN I ĐẠI SỐ 20 39 2743 26 46 29 49 1216 47 33 35 36 45 21 19 48 22 32 4431 24