Thông tin tài liệu
www.thuvienhoclieu.com CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN Chuyên đề phát triển từ câu 41 đề tham khảo mơn Tốn 2021 Bộ Giáo Dục KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Các tính chất tích phân: b c b f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx với a c b a a c b b a a a k f ( x ) dx = kf ( x ) dx ( k ) b f ( x ) dx = − f ( x ) dx a b b f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) b a b b b ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx a b a a b b a a f ( x ) dx = f ( t ) dt = f ( z ) dz a b f ( x ) dx = f ( x ) a = f ( b ) − f ( a ) b a Công thức đổi biến số: b f ( u ( x ) ) u ( x ) dx = a f ( u ( x ) ) u ( x ) dx = f (u ) du, u = u ( x ) u (b ) f (u ) du, u = u ( x ) u( a) Phương pháp đổi biến số thường sử dụng theo hai cách sau đây: b Giả sử cần tính g ( x ) dx Nếu ta viết g ( x ) dạng f ( u ( x ) ) u ( x ) a b u(b) u(b) a u( a) u( a) g ( x ) dx = f (u ) du Vậy tốn quy tính f ( u ) du , nhiều trường hợp tích phân đơn giản Giả sử cần tính f ( x ) dx Đặt x = x ( t ) thỏa mãn = x ( a ) , = x ( b ) b b a a f ( x ) dx = f ( x ( t ) ) x ( t ) dt = g ( t ) dt , g ( t ) = f ( x ( t ) ) x ( t ) BÀI TẬP MẪU x2 −1 (ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Cho hàm số f ( x) = x − 2x + x Tích phân x f (2sin x + 1) cos x dx bằng: A 23 B 23 C 17 www.thuvienhoclieu.com D 17 Trang www.thuvienhoclieu.com Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm giá trị tích phân hàm số HƯỚNG GIẢI: B1: Dựa vào biểu thức bên dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý tốn b B2: Sử dụng tính chất a c b a c f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx, c ( a; b ) B3: Lựa chọn hàm f ( x ) thích hợp để tính giá trị tích phân Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B Xét I = f (2sin x + 1) cos x dx Đặt t = 2sin x + dt = cos xdx x = t =1 Đổi cận: x= t =3 3 23 1 1 I = f (t )dt = f ( x)dx = ( x − x + 3) dx + ( x − 1) dx = 21 21 1 Bài tập tương tự phát triển: Mức độ e x x a e2 a Câu Cho hàm số f ( x) = Biết tích phân f ( x) dx = + ( phân số tối b c b x + x + x −1 giản) Giá trị a + b + c A B C D 10 Lời giải Chọn C 1 e2 Ta có: I = f ( x)dx = ( x + x + ) dx + e2 x dx = + −1 −1 Vậy a + b + c = x (1 + x ) x e4 f (ln x) dx bằng: Câu Cho hàm số f ( x) = Tích phân x x e2 x−4 40 95 189 189 − ln + ln + ln − ln A B C D 4 Lời giải Chọn D e4 f (ln x) dx Xét I = x e Đặt t = ln x dt = dx x x=e t =2 Đổi cận: x = e4 t = 4 4 189 I = f (t )dt = f ( x)dx = dx + x (1 + x ) dx = − ln x − 4 2 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Câu 1 x Cho hàm số f ( x) = x Tích phân x + x m − 2n bằng: A B C Lời giải Chọn A f( − x )dx = −2 m m ( phân số tối giản), n n D Xét I = f( − x )dx −7 Đặt t = − x −3t 2dt = dx x = −7 t = Đổi cận: x =1 t = 0 2 1 25 I = −3 t f (t )dt = 3 x f ( x)dx = x ( x + 1) dx + xdx = 0 12 Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục f ( x ) dx = , A I = B I = f ( x ) dx = Tính I = −1 C I = Lời giải f ( x + ) dx D I = Chọn B Đặt u = x + d x = d u Khi x = −1 u = −1 Khi x = u = 3 1 Nên I = f ( u ) d u = f ( u ) d u + f ( u ) d u −1 −1 1 = f ( −u ) d u + f ( u ) d u −1 Xét f ( x ) d x = Đặt x = −u d x = − d u Khi x = u = Khi x = u = −1 −1 0 Nên = f ( x ) d x = − f ( −u ) d u = Ta có f ( −u ) d u −1 f ( x ) d x = f (u ) d u = 0 1 Nên I = f ( −u ) d u + f ( u ) d u = ( + ) = −1 Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = + x − − x tập Câu F (1) = Tính tổng F ( ) + F ( ) + F ( −3) A B 12 C 14 Lời giải: Chọn C Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: www.thuvienhoclieu.com thỏa mãn D 10 Trang www.thuvienhoclieu.com Ta có: f ( x ) dx = F ( 2) − F (1) = F ( 2) − mà f ( x ) dx = 2dx = nên F ( ) = 1 ➢ ➢ 1 f ( x ) dx = F (1) − F ( 0) = − F ( 0) mà f ( x ) dx = xdx = x 0 ➢ f ( x ) dx = F ( ) − F ( −1) = − F ( −1) mà = nên F ( ) = 0 f ( x ) dx = xdx = x −1 −1 −1 −1 −1 −1 −3 −3 −3 −1 = −1 nên F ( −1) = f ( x ) dx = F ( −1) − F ( −3) = − F ( −3) mà f ( x ) dx = −2dx = −4 nên F ( −3) = Vậy F ( ) + F ( ) + F ( −3) = + + = 14 x − +1 dx = + a ln + b ln với a, b Tính S = a + b x A S = B S = 11 C S = −3 D S = Lời giải: Chọn D x − x Ta có x − = 2 − x x Câu Biết I = x − +1 x − +1 dx + dx x x 2 Do I = 5 2(2 − x) +1 ( x − 2) + 3 5 dx + dx = − dx + − dx x x x x 1 2 = ( 5ln x − x ) + ( x − 3ln x ) = + 8ln − 3ln a = S = a + b = b = −3 = Câu ( Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ) thỏa mãn f x3 + 3x + = 3x + , với x Tích phân xf ( x ) dx 31 A − B 17 C 33 D 49 Lời giải Chọn C Từ giả thiết ta có f x3 + 3x + = 3x + nên suy f (1) = , f ( 5) = ( ) 5 1 Suy I = xf ( x ) dx = xf ( x ) − f ( x ) dx = 23 − f ( x ) dx ( ) Đặt x = t + 3t + dx = 3t + dt Với x = t = 0; x = t = www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Do Câu 1 0 f ( x ) dx = f ( t + 3t + 1)( 3t + 3) dt = ( 3t + ) ( 3t + 3) dt = 59 33 = Vậy I = 23 − 4 Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục phân 59 thoả f ( x5 + x + 3) = x + 1, x Tích f ( x )dx −2 B 10 A C 32 D 72 Lời giải Chọn B Đặt x = t + 4t + dx = ( 5t + ) dt x = −2 t = −1 Đổi cận: x = t = Khi f ( x ) dx = f ( t −2 Câu + 4t + 3)( 5t + ) dt = −1 ( 2t + 1) (5t + ) dt = 10 −1 Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục thỏa mãn f ( x) + f ( x) + = x với 10 x Tính I = f ( x)dx A I = B I = C I = Lời giải D I = Chọn B Đặt t = f ( x) 2t + 3t + = x dx = (6t + 3)dt x = 2t + 3t + = t = x = 10 2t + 3t + = 10 t = 10 Vậy I = f ( x)dx = t (6t + 3)dt = Câu Cho hàm số f ( x ) xác định 1 , f ( ) = f (1) = Giá trị \ , thỏa f ( x ) = 2x −1 2 biểu thức f ( −1) + f ( 3) A ln15 B + ln15 C + ln15 Lời giải D + ln15 Chọn C Ta có f ( x ) = 2x −1 ln (1 − x ) + C1 f ( x) = dx = ln x − + C = 2x −1 ln ( x − 1) + C f ( ) = C1 = f (1) = C2 = www.thuvienhoclieu.com ;x ;x Trang www.thuvienhoclieu.com ln (1 − x ) + ; x f ( −1) = ln + Do f ( x ) = ln ( x − 1) + ; x f ( 3) = ln + f ( −1) + f ( 3) = + ln15 3x + x Câu 10 Cho hàm số f ( x) = 5 − x A 15 x Khi I = x B 15 cos xf ( sin x )dx − C D 17 Lời giải: Chọn A x = − t = −1 Đặt t = sin x dt = cos xdx Đổi cận x = t = I = f ( t ) dt = f ( x ) dx −1 −1 3x + x Do f ( x) = 5 − x −1 x x I = ( − x ) dx + ( 3x + x ) dx = x2 − 2x + Câu 11 Cho hàm số f ( x) = x +1 41 A B 21 15 x Khi I = f ( − x )dx x 41 41 C D 12 21 Lời giải Chọn C x = t = Đặt t = − x dt = −2dx dx = − dt Đổi cận x = t = 3 1 I = f ( t ) dt = f ( x ) dx 21 21 x − x + x Do f ( x) = x x +1 41 1 I = ( x + 1) dx + ( x − x + 3) dx = 21 12 2 x + x x f ( x ) = I = Câu 12 Cho hàm số Khi 0 sin xf ( cos x + 1)dx x − x 35 19 10 A B C D 12 Lời giải: www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Chọn A x = t = Đặt t = cos x + dt = − sin xdx Đổi cận x = t = 2 1 I = f ( t ) dt = f ( x ) dx x + x Do f ( x) = x − 3 x x I = ( x − ) dx + ( x + x ) dx = x2 − x Câu 13 Cho hàm số f ( x) = x A − 35 12 x Khi I = x cos xf ( sin x )dx − C − B −1 D − Lời giải: Chọn A x = − t = −1 Đặt t = sin x dt = cos xdx Đổi cận x = t = I = f ( t ) dt = f ( x ) dx −1 −1 x − x Do f ( x) = x x x I = xdx + ( x − x ) dx = − −1 x + x + x Câu 14 Cho hàm số f ( x) = Khi I = xf x + dx x 2 x − 73 74 A 24 B C D 25 3 Lời giải: Chọn B x = t = Đặt t = x + dt = xdx xdx = dt Đổi cận x = t = ( I = ) 1 f ( t ) dt = f ( x ) dx 21 21 x2 + x + Do f ( x) = 2 x − x x www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 73 1 I = ( x − 1) dx + ( x + x + 1) dx = 21 3x + x Câu 15 Cho hàm số f ( x) = Tính tích phân f ( sin x ) cos xdx x + x 17 13 21 A B C D Lời giải: Chọn B Xét I = f ( sin x ) cos xdx Đặt sin x = t cos xdx = dt Với x = t = x = t =1 1 0 1 I = f ( t ) dt = f ( x ) dx = f ( x)dx + f ( x)dx = ( 3x + 3) dx + ( x + ) dx = 2 17 x 2 x + Câu 16 Cho hàm số f ( x) = Tính tích phân x − x + x 33 15 A B C 12 23 Lời giải: Chọn D f ( 3cos x − 2) sin xdx D 19 24 Xét I = f ( 3cos x − ) sin xdx Đặt 3cos x − = t −3sin xdx = dt sin xdx = − dt x = t = Với x= t =− 1 1 1 I = f ( t ) dt = f ( x ) dx = f ( x)dx + f ( x)dx 3 30 − = ( 2x − 2 − − x + 1) dx + − 2 1 19 x + 1) dx = ( 30 24 1 − x x Câu 17 Cho hàm số f ( x) = Tính tích phân 2 x − x A 11 10 B 43 31 C f ( 5sin x − 1) cos xdx − 31 30 D 31 10 Lời giải: www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Chọn C Xét I = f ( 5sin x − 1) cos xdx − Đặt 5sin x −1 = t 10 cos xdx = dt cos xdx = Với x = − x= t = −1 t =4 I = 4 1 1 f ( t ) dt = f ( x ) dx = f ( x)dx + f ( x)dx 10 −1 10 −1 10 −1 10 1 = dt 10 1 31 − x ) dx + ( x − ) dx = ( 10 −1 10 30 2 x3 − x − x f ( x ) = Câu 18 Cho hàm số Tính tích phân x 11 − x A 69 B 12 C e f ( + ln x ) x dx e 25 D 30 Lời giải: Chọn A e Xét I = f ( + ln x ) dx x 1 Đặt + ln x = t dx = dt x Với x = t = e x=e t =3 3 1 2 I = f ( t ) dt = f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx = (11 − x ) dx + ( x − x − 5) dx = 69 1 − x x Câu 19 Cho hàm số f ( x) = Tính tích phân f ( 3e x − 1)e x dx 7 − x x 13 102 94 25 A B − C − D 15 33 9 Lời giải: Chọn C ln Xét I = f ( 3e x ln − 1) e x dx x x x Đặt 3e − = t 3e dx = dt e dx = dt Với x = t = x = ln t = 5 5 1 1 94 I = f ( t ) dt = f ( x ) dx + f ( x ) dx = (1 − x ) dx + (7 − x)dx = − 32 32 33 32 33 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Mức độ Câu Giá trị tích phân max sin x, cos x dx A B C D Lời giải Chọn C Ta có phương trình sin x − cos x = có nghiệm đoạn 0; x = 2 Bảng xét dấu Suy max sin x, cos x dx = cos xdx + sin xdx = ( sin x ) − ( cos x ) 2 = 4 Câu Tính tích phân I = max x3 , x dx A B 17 19 Lời giải: C D 11 Chọn B Đặt f ( x ) = x3 − x ta có bảng xét dấu sau: Dựa vào bảng xét dấu ta có x 0;1 , f ( x ) x3 − x x3 x max x3 , x = x x 1; 2 , f ( x ) x3 − x x3 x max x , x = x Ta có: I = max x3 , x dx = max x3 , x dx + max x3 , x dx 0 1 2 1 17 Nên I = max x , x dx = xdx + x dx = x + x = 4 0 Câu 3 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục Tính a + b2 25 A B f (1) = −2 ln \ 0; − 1 thỏa mãn f ( ) = a + b ln 3; a, b x ( x + 1) f ( x ) + f ( x ) = x + x C D 13 Lời giải www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com Chọn B Ta có x ( x + 1) f ( x ) + f ( x ) = x + x (1) Chia vế biểu thức (1) cho ( x + 1) ta x x f ( x) + f ( x) = x +1 x +1 ( x + 1) x x x x f ( x) = dx , với x \ 0; − 1 f ( x ) = x +1 x +1 x +1 x +1 x x +1 f ( x ) = x − ln x + + C f ( x ) = ( x − ln x + + C ) x +1 x Mặt khác, f (1) = −2 ln (1 − ln + C ) = −2 ln C = −1 x +1 ( x − ln x + − 1) x 3 3 Với x = f ( x ) = (1 − ln 3) = − ln Suy a = b = − 2 2 Vậy a + b = f ( ) = f ( ) = Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm thỏa mãn , f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 3xy ( x + y ) − Do f ( x ) = Câu với x, y Tính f ( x − 1)dx A B − C D Lời giải Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f ( x + y ) = f ( y ) + x + xy , x Cho y = f ( x ) = f ( ) + x f ( x ) = + 3x f ( x ) = f ( x )dx = x + x + C mà f ( ) = C = Do f ( x ) = x + x + Vậy f ( x − 1)dx = f ( x ) dx = ( x −1 Câu + x + 1) dx = −1 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn f (1) = , f ( x ) dx = 1 x f x d x = Tích phân f ( x ) dx ( ) 0 7 A B C Lời giải Chọn A 1 x3 x Ta có x f ( x ) dx = f ( x ) − f ( x ) dx Suy 3 0 D x3 0 f ( x ) dx = − x6 Hơn ta dễ dàng tính dx = 63 www.thuvienhoclieu.com Trang 11 www.thuvienhoclieu.com 1 1 x3 x6 f ( x ) dx + 212 dx = f ( x ) + x3 dx = 0 0 7 Suy f ( x ) = −7 x , f ( x ) = − x + C Vì f (1) = nên C = 4 1 7 Vậy f ( x ) dx = − x − dx = 40 Do f ( x ) dx + 2.21 ( Câu ) Xét hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn điều kiện f (1) = f ( ) = f ( x) + f ( x) +1 − Tính J = dx x x2 1 A J = + ln B J = − ln C J = ln − D J = + ln Lời giải Chọn D 2 2 f ( x) + f ( x) +1 f ( x) f ( x) 2 − d x Ta có J = = d x − d x + − dx 2 x x x x x x 1 1 1 1 u = du = − dx x x Đặt dv = f ( x ) dx v = f ( x ) 2 2 f ( x) + f ( x) +1 f ( x) f ( x) 2 J = − dx = f ( x ) + dx − dx + − dx x x x x x x x 1 1 1 2 = Câu 1 f ( ) − f (1) + 2ln x + = + ln x 1 Cho hàm số f ( x) xác định \ −2;1 thỏa mãn 1 f ( x) = , f ( −3) − f ( 3) = 0, f ( ) = Giá trị biểu thức f ( −4 ) + f (1) − f ( ) x + x−2 1 1 A ln 20 + B ln + C ln80 + D ln + 3 3 Lời giải Chọn B 1 1 Ta có: f ( x ) = = − x + x − x −1 x + 1 ln (1 − x ) − ln ( − x − ) + C1; x ( −; −2 ) 1 x −1 1 f ( x) = − + C = ln (1 − x ) − ln ( x + ) + C2 ; x ( −2;1) dx = ln x −1 x + x+2 3 1 ln ( x − 1) − ln ( x + ) + C3 ; x (1; + ) 1 1 Với f ( ) = ln (1 − ) − ln ( + ) + C2 = C2 = ln + 3 3 1 Với f ( −3) − f ( 3) = C1 − C3 = ln 10 1 1 Nên f ( −4 ) + f (1) − f ( ) = ln + ln − ln + C2 + C1 − C3 = ln + 3 3 www.thuvienhoclieu.com Trang 12 www.thuvienhoclieu.com Câu Cho hàm số f ( x) xác định liên tục đồng thời thỏa mãn f ( x ) 0, x x f ( x ) = −e f ( x ) , x f ( 0) = Tính giá trị f ( ln ) A f ( ln ) = B f ( ln ) = C f ( ln ) = ln + 1 D f ( ln ) = ln 2 + 2 Lời giải Chọn B Ta có f ( x ) = −e x f ( x ) f ( x) = −e x ( f ( x ) ) f ( x) f ( x) 1 = −e x + C f ( x ) = x dx = −e x dx − f ( x) e −C f ( x) 1 Mà f ( ) = = C = −1 e −C 1 f ( x) = x f ( ln ) = ln = e +1 e +1 f (1) + g (1) = Cho hai hàm f ( x ) g ( x ) có đạo hàm 1; 4 , thỏa mãn g ( x ) = − xf ( x ) với f ( x ) = − xg ( x ) Câu x 1; 4 Tính tích phân I = f ( x ) + g ( x ) dx A 3ln B 4ln C 6ln D 8ln Lời giải Chọn D Từ giả thiết ta có f ( x ) + g ( x ) = − x f ( x ) − x.g ( x ) f ( x ) + x f ( x ) + g ( x ) + x.g ( x ) = x f ( x ) + x.g ( x ) = C x f ( x ) + x.g ( x ) = C f ( x ) + g ( x ) = x 4 Mà f (1) + g (1) = C = I = f ( x ) + g ( x ) dx = dx = 8ln x 1 Câu 10 Cho hai hàm f ( x) g ( x) có đạo hàm 1; 2 thỏa mãn f (1) = g (1) = x ( x + 1) g ( x) + 2017 x = ( x + 1) f ( x) , x 1; 2 x g ( x) + f ( x) = 2018 x x + x +1 x g ( x) − f ( x) dx Tính tích phân I = x +1 x A I = B I = C I = 2 Lời giải www.thuvienhoclieu.com D I = Trang 13 www.thuvienhoclieu.com Chọn A x +1 g ( x ) − f ( x) = −2017 ( x + 1) x , x 1; 2 Từ giả thiết ta có: x g ( x) + f ( x) = 2018 x2 x + Suy ra: x +1 x x x + g ( x ) + g ( x ) − f ( x ) − f ( x ) = g ( x ) − f ( x ) ( x + 1) x x + x = x +1 x2 x x +1 g ( x) − f ( x ) = x + C x +1 x 2 x +1 x Mà f (1) = g (1) = C = −1 I = g ( x) − f ( x) dx = ( x − 1)dx = x +1 x x + x + x Câu 11 Cho hàm số f ( x) = Tính tích phân x x + 21 13 20 A B C Lời giải: Chọn A f (3sin 2 x − 1) sin xdx D ( ) Xét I = f 3sin x − sin xdx Đặt 3sin x − = t 3sin xdx = dt sin xdx = dt Với x = t = −1 x= t =2 2 2 1 1 I = f ( t ) dt = f ( x ) dx = f ( x)dx + f ( x)dx −1 −1 −1 31 1 21 = ( x3 + x + ) dx + ( x + 3) dx = −1 31 13 2 x − x Câu 12 Cho hàm số f ( x) = Tính tích phân f x x 231 97 16 A − B C Lời giải: Chọn B 13 Xét I = f ( ( ) x + − dx D 113 ) x + − dx Đặt x + − = t x + = t + x + = (t + 2)2 dx = 2(t + 2)dt Với x = t = x = 13 t = 2 2 0 I = 2 (t + 2) f ( t ) dt = 2 ( x + 2) f ( x ) dx = ( x + 2) f ( x ) dx + ( x + 2) f ( x ) dx www.thuvienhoclieu.com Trang 14 www.thuvienhoclieu.com = 2 ( x + 2) x 2dx + 2 (2 x − 1)( x + 2)dx = 97 2 x − x Câu 13 Cho hàm số f ( x) = Tính tích phân 4 − x x 2 A B f ( − cos x ) sin xdx 2 − 21 C D 12 Lời giải: Chọn A f ( − cos x ) sin xdx Xét I = − Đặt − cos x = t sin xdx = dt Với x = − x= t =1 t =3 3 1 1 I = f ( t ) dt = f ( x ) dx = f ( x)dx + f ( x)dx 41 41 41 42 1 = ( − x ) dx + ( x − ) dx = 31 32 x + x − x Câu 14 Cho hàm số f ( x) = Tính tích phân x 3 − x 16 11 A B 17 C Lời giải: Chọn C e4 Xét I = f − ln x dx x 1 Đặt − ln x = t − ln x = t dx = −2tdt x Với x = t = x = e4 t = ( e4 f( − ln x ) 1x dx D 11 ) 2 0 I = 2 t f ( t ) dt = 2 x f ( x ) dx = x f ( x)dx + x f ( x)dx = 2 x ( x + x − 1) dx + 2 x ( − x ) dx = 11 2 x − x x Tính tích phân Câu 15 Cho hàm số f ( x) = x − 5 − x x A 201 77 B 34 103 C 155 www.thuvienhoclieu.com f ( − tan x ) cos − x dx D 109 21 Trang 15 www.thuvienhoclieu.com Lời giải: Chọn D f ( − tan x ) cos Xét I = − Với x = − dx Đặt − tan x = t x= x t =9 1 dx = − dt cos x t = −5 9 1 1 I = f ( t ) dt = f ( x ) dx = f ( x )dx + f ( x)dx + f ( x)dx −5 −5 −5 70 72 = 1 109 x − 1) dx + ( x − 1) dx + ( − x ) dx = ( −5 70 72 21 2 x − x x Câu 16 Cho hàm số f ( x) = Khi I = cos xf ( sin x )dx + 2 f ( − x )dx x x 0 10 A B C D 3 Lời giải: Chọn D 2 0 Ta có: I = cos xf ( sin x )dx + 2 f ( − x )dx = I1 + I x = t = Đặt t = sin x dt = cos xdx Đổi cận x = t = 1 −1 −1 I1 = 2 f ( t ) dt = f ( t ) dt = f ( x ) dx x − x Do f ( x) = x x x 2 I1 = xdx + ( x − x ) dx = − −1 x = t = Đặt t = − x dt = −2dx dx = − dt Đổi cận x = t = −1 I2 = f ( t ) dt = −1 f ( x ) dx −1 x − x x Do f ( x) = x x 0 I = xdx + ( x − x ) dx = −1 www.thuvienhoclieu.com Trang 16 www.thuvienhoclieu.com Vậy I = I1 + I = 10 x Tính tích phân x 4 x Câu 17 Cho hàm số f ( x) = −2 x + 12 I= x f ( x2 + x +1 )dx + ln e 2x f (1 + e x ) dx ln A 84 B 83 D −84 C 48 Lời giải: Chọn A Ta có: I = x f ( x2 + x +1 )dx + ln e 2x f (1 + e2 x ) dx = I1 + I ln x = t = Đặt t = x + t = x + 2tdt = xdx xdx = tdt Đổi cận x = t = 2 2 1 I1 = f ( t ) dt = f ( t ) dt = f ( x ) dx x x 4 x Do f ( x) = −2 x + 12 I1 = ( −2 x + 12 ) dx = Đặt t = + e2 x dt = 2e2 x dx e x dx = 10 dt Đổi cận x = ln t = x = ln t = 10 10 1 I = f ( t ) dt = f ( x ) dx 25 25 x x 4 x Do f ( x) = −2 x + 12 10 I = x = 75 25 Vậy I = I1 + I = 84 2 x3 − x f ( x ) = Câu 18 Cho hàm số −3x + f ( tan x ) x I = Biết dx + x cos x e −1 ( x f ln ( x + 1) x +1 )dx = a b a phân số tối giản Giá trị tổng a + b b A 69 B 68 C 67 Lời giải: Chọn A với I = f ( tan x ) dx + cos x e −1 ( x f ln ( x + 1) x +1 )dx = I + I D 66 www.thuvienhoclieu.com Trang 17 www.thuvienhoclieu.com x = t =1 Đặt t = tan x dt = dx Đổi cận cos x x = t = 3 I1 = f ( t ) dt = f ( x ) dx 1 2x x dx dx = dt Đổi cận Đặt t = ln ( x + 1) dt = x +1 x +1 2 x = t = x = e − t = 12 12 I = f ( t ) dt = f ( x ) dx 20 20 2 x3 − x Do f ( x) = −3x + x x I = I1 + I = ( 2x − x ) dx + 1 53 ( −3x + ) dx = a = 53, b = 16 20 16 Vậy a + b = 69 1 x+2 Câu 19 Cho hàm số f ( x) = − x + x
Ngày đăng: 15/06/2022, 20:58
Xem thêm:
