Chuyên đề tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải

www.thuvienhoclieu.com CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN Chuyên đề phát triển từ câu 41 đề tham khảo mơn Tốn 2021 Bộ Giáo Dục KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Các tính chất tích phân: b c b   f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx với a  c  b a a c b b a a a  k  f ( x ) dx =  kf ( x ) dx ( k  ) b   f ( x ) dx = −  f ( x ) dx a b b   f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) b a b b b   ( f ( x ) + g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx a b a a b b a a   f ( x ) dx =  f ( t ) dt =  f ( z ) dz a b   f  ( x ) dx = f ( x ) a = f ( b ) − f ( a ) b a Công thức đổi biến số: b  f ( u ( x ) ) u ( x ) dx = a  f ( u ( x ) ) u ( x ) dx =  f (u ) du, u = u ( x ) u (b )  f (u ) du, u = u ( x ) u( a) Phương pháp đổi biến số thường sử dụng theo hai cách sau đây: b  Giả sử cần tính  g ( x ) dx Nếu ta viết g ( x ) dạng f ( u ( x ) ) u ( x ) a b u(b) u(b) a u( a) u( a)  g ( x ) dx =  f (u ) du Vậy tốn quy tính  f ( u ) du , nhiều trường hợp tích phân đơn giản  Giả sử cần tính   f ( x ) dx Đặt x = x ( t ) thỏa mãn  = x ( a ) ,  = x ( b )     b b a a f ( x ) dx =  f ( x ( t ) ) x ( t ) dt =  g ( t ) dt , g ( t ) = f ( x ( t ) ) x ( t ) BÀI TẬP MẪU  x2 −1 (ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Cho hàm số f ( x) =  x − 2x + x  Tích phân x    f (2sin x + 1) cos x dx bằng: A 23 B 23 C 17 www.thuvienhoclieu.com D 17 Trang www.thuvienhoclieu.com Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm giá trị tích phân hàm số HƯỚNG GIẢI: B1: Dựa vào biểu thức bên dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý tốn b B2: Sử dụng tính chất  a c b a c f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx, c  ( a; b ) B3: Lựa chọn hàm f ( x ) thích hợp để tính giá trị tích phân Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B  Xét I =  f (2sin x + 1) cos x dx Đặt t = 2sin x +  dt = cos xdx x =  t =1 Đổi cận:  x= t =3 3  23 1 1 I =  f (t )dt =  f ( x)dx =   ( x − x + 3) dx +  ( x − 1) dx  = 21 21 1  Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ e x x  a e2 a Câu Cho hàm số f ( x) =  Biết tích phân  f ( x) dx = + ( phân số tối b c b  x + x + x  −1 giản) Giá trị a + b + c A B C D 10 Lời giải Chọn C 1 e2 Ta có: I =  f ( x)dx =  ( x + x + ) dx +  e2 x dx = + −1 −1 Vậy a + b + c =  x (1 + x ) x  e4 f (ln x)  dx bằng: Câu Cho hàm số f ( x) =  Tích phân  x x   e2 x−4 40 95 189 189 − ln + ln + ln − ln A B C D 4 Lời giải Chọn D e4 f (ln x) dx Xét I =  x e Đặt t = ln x  dt = dx x x=e t =2 Đổi cận: x = e4  t = 4 4 189 I =  f (t )dt =  f ( x)dx =  dx +  x (1 + x ) dx = − ln x − 4 2 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Câu 1 x   Cho hàm số f ( x) =  x Tích phân  x + x  m − 2n bằng: A B C Lời giải Chọn A  f( − x )dx = −2 m m ( phân số tối giản), n n D Xét I =  f( − x )dx −7 Đặt t = − x  −3t 2dt = dx x = −7  t = Đổi cận: x =1 t = 0 2 1  25 I = −3 t f (t )dt = 3 x f ( x)dx =   x ( x + 1) dx +  xdx  = 0  12 Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục  f ( x ) dx = , A I = B I =  f ( x ) dx = Tính I = −1 C I = Lời giải  f ( x + ) dx D I = Chọn B Đặt u = x +  d x = d u Khi x = −1 u = −1 Khi x = u = 3  1 Nên I =  f ( u ) d u =   f ( u ) d u +  f ( u ) d u   −1 −1   1 =   f ( −u ) d u +  f ( u ) d u   −1  Xét  f ( x ) d x = Đặt x = −u  d x = − d u Khi x = u = Khi x = u = −1 −1 0 Nên =  f ( x ) d x = −  f ( −u ) d u = Ta có  f ( −u ) d u −1  f ( x ) d x =   f (u ) d u = 0  1 Nên I =   f ( −u ) d u +  f ( u ) d u  = ( + ) =  −1  Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = + x − − x tập Câu F (1) = Tính tổng F ( ) + F ( ) + F ( −3) A B 12 C 14 Lời giải: Chọn C Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: www.thuvienhoclieu.com thỏa mãn D 10 Trang www.thuvienhoclieu.com Ta có:  f ( x ) dx = F ( 2) − F (1) = F ( 2) − mà  f ( x ) dx =  2dx = nên F ( ) = 1 ➢ ➢ 1  f ( x ) dx = F (1) − F ( 0) = − F ( 0) mà  f ( x ) dx =  xdx = x 0 ➢  f ( x ) dx = F ( ) − F ( −1) = − F ( −1) mà = nên F ( ) = 0  f ( x ) dx =  xdx = x −1 −1 −1 −1 −1 −1 −3 −3 −3 −1 = −1 nên F ( −1) =  f ( x ) dx = F ( −1) − F ( −3) = − F ( −3) mà  f ( x ) dx =  −2dx = −4 nên F ( −3) = Vậy F ( ) + F ( ) + F ( −3) = + + = 14 x − +1 dx = + a ln + b ln với a, b  Tính S = a + b x A S = B S = 11 C S = −3 D S = Lời giải: Chọn D  x − x  Ta có x − =  2 − x x  Câu Biết I =  x − +1 x − +1 dx +  dx x x 2 Do I =  5 2(2 − x) +1 ( x − 2) + 3 5   dx +  dx =   −  dx +   −  dx x x x x  1 2 = ( 5ln x − x ) + ( x − 3ln x ) = + 8ln − 3ln a =   S = a + b = b = −3 = Câu ( Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ) thỏa mãn f x3 + 3x + = 3x + , với x  Tích phân  xf  ( x ) dx 31 A − B 17 C 33 D 49 Lời giải Chọn C Từ giả thiết ta có f x3 + 3x + = 3x + nên suy f (1) = , f ( 5) = ( ) 5 1 Suy I =  xf  ( x ) dx = xf ( x ) −  f ( x ) dx = 23 −  f ( x ) dx ( ) Đặt x = t + 3t +  dx = 3t + dt Với x =  t = 0; x =  t = www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Do  Câu 1 0 f ( x ) dx = f ( t + 3t + 1)( 3t + 3) dt = ( 3t + ) ( 3t + 3) dt = 59 33 = Vậy I = 23 − 4 Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục phân 59 thoả f ( x5 + x + 3) = x + 1, x  Tích  f ( x )dx −2 B 10 A C 32 D 72 Lời giải Chọn B Đặt x = t + 4t +  dx = ( 5t + ) dt  x = −2  t = −1 Đổi cận:  x =  t = Khi  f ( x ) dx =  f ( t −2 Câu + 4t + 3)( 5t + ) dt = −1  ( 2t + 1) (5t + ) dt = 10 −1 Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục thỏa mãn  f ( x)  + f ( x) + = x với 10 x  Tính I =  f ( x)dx A I = B I = C I = Lời giải D I = Chọn B Đặt t = f ( x)  2t + 3t + = x  dx = (6t + 3)dt x =  2t + 3t + =  t = x = 10  2t + 3t + = 10  t = 10 Vậy I =  f ( x)dx = t (6t + 3)dt = Câu Cho hàm số f ( x ) xác định 1  , f ( ) = f (1) = Giá trị \   , thỏa f  ( x ) = 2x −1 2 biểu thức f ( −1) + f ( 3) A ln15 B + ln15 C + ln15 Lời giải D + ln15 Chọn C Ta có f  ( x ) = 2x −1  ln (1 − x ) + C1    f ( x) =  dx = ln x − + C =  2x −1 ln ( x − 1) + C   f ( ) =  C1 = f (1) =  C2 = www.thuvienhoclieu.com ;x  ;x  Trang www.thuvienhoclieu.com  ln (1 − x ) + ; x   f ( −1) = ln + Do f ( x ) =   ln ( x − 1) + ; x   f ( 3) = ln +   f ( −1) + f ( 3) = + ln15 3x + x Câu 10 Cho hàm số f ( x) =  5 − x A 15  x  Khi I = x  B 15  cos xf ( sin x )dx − C D 17 Lời giải: Chọn A    x = −  t = −1 Đặt t = sin x  dt = cos xdx Đổi cận  x =   t =  I =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx −1 −1 3x + x Do f ( x) =  5 − x −1 x  x   I =  ( − x ) dx +  ( 3x + x ) dx =  x2 − 2x + Câu 11 Cho hàm số f ( x) =  x +1 41 A B 21 15 x  Khi I =  f ( − x )dx x  41 41 C D 12 21 Lời giải Chọn C x =  t = Đặt t = − x  dt = −2dx  dx = − dt Đổi cận  x =  t = 3 1  I =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx 21 21  x − x + x  Do f ( x) =  x  x +1  41 1  I =   ( x + 1) dx +  ( x − x + 3) dx  = 21  12   2  x + x x  f ( x ) = I = Câu 12 Cho hàm số Khi  0 sin xf ( cos x + 1)dx x − x   35 19 10 A B C D 12 Lời giải: www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Chọn A x =  t =  Đặt t = cos x +  dt = − sin xdx Đổi cận   x =  t =  2 1  I =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx   x + x Do f ( x) =  x −  3 x  x   I =  ( x − ) dx +  ( x + x ) dx =   x2 − x Câu 13 Cho hàm số f ( x) =  x A − 35 12 x  Khi I = x   cos xf ( sin x )dx − C − B −1 D − Lời giải: Chọn A    x = −  t = −1 Đặt t = sin x  dt = cos xdx Đổi cận  x =   t =  I =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx −1 −1 x − x Do f ( x) =  x x  x   I =  xdx +  ( x − x ) dx = − −1  x + x + x  Câu 14 Cho hàm số f ( x) =  Khi I =  xf x + dx x  2 x − 73 74 A 24 B C D 25 3 Lời giải: Chọn B x =  t = Đặt t = x +  dt = xdx  xdx = dt Đổi cận  x =  t = ( I = ) 1 f ( t ) dt =  f ( x ) dx  21 21  x2 + x + Do f ( x) =  2 x − x  x  www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com  73 1  I =   ( x − 1) dx +  ( x + x + 1) dx  = 21    3x + x  Câu 15 Cho hàm số f ( x) =  Tính tích phân  f ( sin x ) cos xdx  x + x   17 13 21 A B C D Lời giải: Chọn B  Xét I =  f ( sin x ) cos xdx Đặt sin x = t  cos xdx = dt Với x =  t =  x =  t =1 1 0 1  I =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx =  ( 3x + 3) dx +  ( x + ) dx = 2 17   x  2 x + Câu 16 Cho hàm số f ( x) =  Tính tích phân x − x + x    33 15 A B C 12 23 Lời giải: Chọn D  f ( 3cos x − 2) sin xdx D 19 24  Xét I =  f ( 3cos x − ) sin xdx Đặt 3cos x − = t  −3sin xdx = dt  sin xdx = − dt x = t = Với   x= t =− 1 1 1  I =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx 3 30 − =  ( 2x − 2 − − x + 1) dx + − 2 1 19 x + 1) dx = (  30 24  1 − x x  Câu 17 Cho hàm số f ( x) =  Tính tích phân 2 x − x  A 11 10 B 43 31 C  f ( 5sin x − 1) cos xdx − 31 30 D 31 10 Lời giải: www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Chọn C Xét I =   f ( 5sin x − 1) cos xdx − Đặt 5sin x −1 = t  10 cos xdx = dt  cos xdx = Với x = − x=    t = −1 t =4 I = 4 1 1 f ( t ) dt =  f ( x ) dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx  10 −1 10 −1 10 −1 10 1 = dt 10 1 31 − x ) dx +  ( x − ) dx = (  10 −1 10 30 2 x3 − x − x  f ( x ) = Câu 18 Cho hàm số Tính tích phân  x  11 − x A 69 B 12 C e  f ( + ln x ) x dx e 25 D 30 Lời giải: Chọn A e Xét I =  f ( + ln x ) dx x 1 Đặt + ln x = t  dx = dt x Với x =  t = e x=e t =3 3 1 2  I =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  (11 − x ) dx +  ( x − x − 5) dx = 69 1 − x x  Câu 19 Cho hàm số f ( x) =  Tính tích phân  f ( 3e x − 1)e x dx 7 − x x  13 102 94 25 A B − C − D 15 33 9 Lời giải: Chọn C ln Xét I =  f ( 3e x ln − 1) e x dx x x x Đặt 3e − = t  3e dx = dt  e dx = dt Với x =  t = x = ln  t = 5 5 1 1 94  I =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  (1 − x ) dx +  (7 − x)dx = − 32 32 33 32 33 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com  Mức độ  Câu Giá trị tích phân  max sin x, cos x dx A B C D Lời giải Chọn C   Ta có phương trình sin x − cos x = có nghiệm đoạn 0;  x =  2 Bảng xét dấu Suy     max sin x, cos x dx =  cos xdx +  sin xdx = ( sin x )   − ( cos x ) 2 = 4 Câu   Tính tích phân I =  max x3 , x dx A B 17 19 Lời giải: C D 11 Chọn B Đặt f ( x ) = x3 − x ta có bảng xét dấu sau: Dựa vào bảng xét dấu ta có x   0;1 , f ( x )   x3 − x   x3  x  max  x3 , x = x     x  1; 2 , f ( x )   x3 − x   x3  x  max x , x = x     Ta có: I =  max x3 , x dx =  max x3 , x dx +  max x3 , x dx 0   1 2 1 17 Nên I =  max x , x dx =  xdx +  x dx = x + x = 4 0 Câu 3 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục Tính a + b2 25 A B  f (1) = −2 ln  \ 0; − 1 thỏa mãn  f ( ) = a + b ln 3; a, b    x ( x + 1) f  ( x ) + f ( x ) = x + x C D 13 Lời giải www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com Chọn B Ta có x ( x + 1) f  ( x ) + f ( x ) = x + x (1) Chia vế biểu thức (1) cho ( x + 1) ta x x f ( x) + f ( x) = x +1 x +1 ( x + 1) x x x  x  f ( x) =  dx , với x  \ 0; − 1   f ( x ) = x +1 x +1  x +1  x +1 x x +1 f ( x ) = x − ln x + + C  f ( x ) =  ( x − ln x + + C ) x +1 x Mặt khác, f (1) = −2 ln  (1 − ln + C ) = −2 ln  C = −1 x +1 ( x − ln x + − 1) x 3 3 Với x = f ( x ) = (1 − ln 3) = − ln Suy a = b = − 2 2 Vậy a + b =  f ( ) = f  ( ) = Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm thỏa mãn  ,  f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 3xy ( x + y ) − Do f ( x ) = Câu với x, y  Tính  f ( x − 1)dx A B − C D Lời giải Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f  ( x + y ) = f  ( y ) + x + xy , x  Cho y =  f  ( x ) = f  ( ) + x  f  ( x ) = + 3x  f ( x ) =  f  ( x )dx = x + x + C mà f ( ) =  C = Do f ( x ) = x + x + Vậy  f ( x − 1)dx =  f ( x ) dx =  ( x −1 Câu + x + 1) dx = −1 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f (1) = ,   f  ( x ) dx = 1 x f x d x = Tích phân  f ( x ) dx ( ) 0 7 A B C Lời giải Chọn A 1  x3  x Ta có  x f ( x ) dx =  f ( x )  −  f  ( x ) dx Suy 3 0 D x3 0 f  ( x ) dx = − x6 Hơn ta dễ dàng tính  dx = 63 www.thuvienhoclieu.com Trang 11 www.thuvienhoclieu.com 1 1 x3 x6 f  ( x ) dx + 212  dx =    f  ( x ) + x3  dx = 0 0 7 Suy f  ( x ) = −7 x , f ( x ) = − x + C Vì f (1) = nên C = 4 1 7 Vậy  f ( x ) dx = −  x − dx = 40 Do   f  ( x )  dx + 2.21 ( Câu ) Xét hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn điều kiện f (1) = f ( ) =  f ( x) + f ( x) +1  − Tính J =    dx x x2  1 A J = + ln B J = − ln C J = ln − D J = + ln Lời giải Chọn D 2 2  f ( x) + f ( x) +1  f ( x) f ( x) 2  − d x Ta có J =   = d x − d x +   −  dx 2    x x x x x x   1 1 1 1   u = du = − dx x x  Đặt  dv = f  ( x ) dx v = f ( x )   2 2  f ( x) + f ( x) +1  f ( x) f ( x) 2  J =  −  dx = f ( x ) +  dx −  dx +   −  dx x x x x x x x   1 1 1 2 = Câu 1  f ( ) − f (1) +  2ln x +  = + ln x 1  Cho hàm số f ( x) xác định \ −2;1 thỏa mãn 1 f ( x) = , f ( −3) − f ( 3) = 0, f ( ) = Giá trị biểu thức f ( −4 ) + f (1) − f ( ) x + x−2 1 1 A ln 20 + B ln + C ln80 + D ln + 3 3 Lời giải Chọn B 1 1  Ta có: f  ( x ) = =  −  x + x −  x −1 x +  1  ln (1 − x ) − ln ( − x − )  + C1; x  ( −; −2 )   1  x −1 1 f ( x) =   − + C =  ln (1 − x ) − ln ( x + )  + C2 ; x  ( −2;1)  dx = ln  x −1 x +  x+2 3 1  ln ( x − 1) − ln ( x + )  + C3 ; x  (1; + )  1 1 Với f ( ) =  ln (1 − ) − ln ( + )  + C2 =  C2 = ln + 3 3 1 Với f ( −3) − f ( 3) =  C1 − C3 = ln 10 1 1 Nên f ( −4 ) + f (1) − f ( ) = ln + ln − ln + C2 + C1 − C3 = ln + 3 3 www.thuvienhoclieu.com Trang 12 www.thuvienhoclieu.com Câu Cho hàm số f ( x) xác định liên tục đồng thời thỏa mãn   f ( x )  0, x   x  f  ( x ) = −e f ( x ) , x    f ( 0) =  Tính giá trị f ( ln ) A f ( ln ) = B f ( ln ) = C f ( ln ) = ln + 1 D f ( ln ) = ln 2 + 2 Lời giải Chọn B Ta có f  ( x ) = −e x f ( x )  f ( x) = −e x ( f ( x )  ) f ( x) f ( x) 1 = −e x + C  f ( x ) = x dx =  −e x dx  − f ( x) e −C f ( x) 1 Mà f ( ) =  =  C = −1 e −C 1  f ( x) = x  f ( ln ) = ln = e +1 e +1  f (1) + g (1) =  Cho hai hàm f ( x ) g ( x ) có đạo hàm 1; 4 , thỏa mãn  g ( x ) = − xf  ( x ) với  f ( x ) = − xg  ( x )   Câu x  1; 4 Tính tích phân I =   f ( x ) + g ( x )  dx A 3ln B 4ln C 6ln D 8ln Lời giải Chọn D Từ giả thiết ta có f ( x ) + g ( x ) = − x f  ( x ) − x.g  ( x )   f ( x ) + x f  ( x )  +  g ( x ) + x.g  ( x )  =   x f ( x )  +  x.g ( x )  = C  x f ( x ) + x.g ( x ) = C  f ( x ) + g ( x ) = x 4 Mà f (1) + g (1) =  C =  I =   f ( x ) + g ( x )  dx =  dx = 8ln x 1 Câu 10 Cho hai hàm f ( x) g ( x) có đạo hàm 1; 2 thỏa mãn f (1) = g (1) =  x  ( x + 1) g ( x) + 2017 x = ( x + 1) f ( x) , x  1; 2   x g ( x) + f ( x) = 2018 x  x + x +1  x  g ( x) − f ( x) dx Tính tích phân I =   x +1 x   A I = B I = C I = 2 Lời giải www.thuvienhoclieu.com D I = Trang 13 www.thuvienhoclieu.com Chọn A x +1  g ( x ) − f ( x) = −2017  ( x + 1) x , x  1; 2 Từ giả thiết ta có:   x g ( x) + f ( x) = 2018 x2  x + Suy ra:    x +1 x   x   x +    g ( x ) + g ( x ) − f ( x ) − f ( x ) =  g ( x ) − f ( x )  ( x + 1)   x   x +   x  = x +1 x2    x x +1  g ( x) − f ( x ) = x + C x +1 x 2 x +1  x  Mà f (1) = g (1) =  C = −1  I =   g ( x) − f ( x) dx =  ( x − 1)dx = x +1 x     x + x + x  Câu 11 Cho hàm số f ( x) =  Tính tích phân x  x + 21 13 20 A B C Lời giải: Chọn A  f (3sin 2 x − 1) sin xdx D  ( ) Xét I =  f 3sin x − sin xdx Đặt 3sin x − = t  3sin xdx = dt  sin xdx = dt Với x =  t = −1  x= t =2 2 2 1 1  I =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx −1 −1 −1 31 1 21 =  ( x3 + x + ) dx +  ( x + 3) dx = −1 31 13 2 x − x  Câu 12 Cho hàm số f ( x) =  Tính tích phân  f x  x 231 97 16 A − B C Lời giải: Chọn B 13 Xét I =  f ( ( ) x + − dx D 113 ) x + − dx Đặt x + − = t  x + = t +  x + = (t + 2)2  dx = 2(t + 2)dt Với x =  t = x = 13  t = 2 2 0  I = 2 (t + 2) f ( t ) dt = 2 ( x + 2) f ( x ) dx =  ( x + 2) f ( x ) dx +  ( x + 2) f ( x ) dx www.thuvienhoclieu.com Trang 14 www.thuvienhoclieu.com = 2 ( x + 2) x 2dx + 2 (2 x − 1)( x + 2)dx = 97  2 x − x  Câu 13 Cho hàm số f ( x) =  Tính tích phân 4 − x x  2 A B  f ( − cos x ) sin xdx 2 − 21 C D 12 Lời giải: Chọn A   f ( − cos x ) sin xdx Xét I = − Đặt − cos x = t  sin xdx = dt Với x = − x=    t =1 t =3 3 1 1  I =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx 41 41 41 42 1 =  ( − x ) dx +  ( x − ) dx = 31 32  x + x − x  Câu 14 Cho hàm số f ( x) =  Tính tích phân x  3 − x 16 11 A B 17 C Lời giải: Chọn C e4 Xét I =  f − ln x dx x 1 Đặt − ln x = t  − ln x = t  dx = −2tdt x Với x =  t = x = e4  t = ( e4 f( − ln x ) 1x dx D 11 ) 2 0  I = 2 t f ( t ) dt = 2 x f ( x ) dx =  x f ( x)dx +  x f ( x)dx = 2 x ( x + x − 1) dx + 2 x ( − x ) dx = 11 2 x − x    x  Tính tích phân Câu 15 Cho hàm số f ( x) =  x − 5 − x x   A 201 77 B 34 103 C 155 www.thuvienhoclieu.com   f ( − tan x ) cos − x dx D 109 21 Trang 15 www.thuvienhoclieu.com Lời giải: Chọn D   f ( − tan x ) cos Xét I = − Với x = −  dx Đặt − tan x = t  x= x  t =9 1 dx = − dt cos x  t = −5 9 1 1  I =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx =  f ( x )dx +  f ( x)dx +  f ( x)dx −5 −5 −5 70 72 = 1 109 x − 1) dx +  ( x − 1) dx +  ( − x ) dx = (  −5 70 72 21  2  x − x x  Câu 16 Cho hàm số f ( x) =  Khi I =  cos xf ( sin x )dx + 2 f ( − x )dx x  x 0 10 A B C D 3 Lời giải: Chọn D  2 0 Ta có: I =  cos xf ( sin x )dx + 2 f ( − x )dx = I1 + I x =  t =  Đặt t = sin x  dt = cos xdx Đổi cận   x =  t =  1 −1 −1  I1 = 2 f ( t ) dt =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx x − x Do f ( x) =  x x  x  2  I1 =  xdx +  ( x − x ) dx = − −1 x =  t = Đặt t = − x  dt = −2dx  dx = − dt Đổi cận   x =  t = −1  I2 =  f ( t ) dt = −1  f ( x ) dx −1  x − x x  Do f ( x) =  x  x 0   I =   xdx +  ( x − x ) dx  =  −1  www.thuvienhoclieu.com Trang 16 www.thuvienhoclieu.com Vậy I = I1 + I = 10 x  Tính tích phân x  4 x Câu 17 Cho hàm số f ( x) =  −2 x + 12 I=  x f ( x2 + x +1 )dx + ln e 2x f (1 + e x ) dx ln A 84 B 83 D −84 C 48 Lời giải: Chọn A Ta có: I =  x f ( x2 + x +1 )dx + ln e 2x f (1 + e2 x ) dx = I1 + I ln  x =  t = Đặt t = x +  t = x +  2tdt = xdx  xdx = tdt Đổi cận   x =  t = 2 2 1  I1 =  f ( t ) dt =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx x  x  4 x Do f ( x) =  −2 x + 12  I1 =  ( −2 x + 12 ) dx = Đặt t = + e2 x  dt = 2e2 x dx  e x dx = 10 dt Đổi cận  x = ln  t =   x = ln  t = 10 10 1  I =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx 25 25 x  x  4 x Do f ( x) =  −2 x + 12 10  I =  x = 75 25 Vậy I = I1 + I = 84 2 x3 − x f ( x ) = Câu 18 Cho hàm số  −3x +  f ( tan x ) x  I = Biết  dx + x   cos x e −1  ( x f ln ( x + 1) x +1 )dx = a b a phân số tối giản Giá trị tổng a + b b A 69 B 68 C 67 Lời giải: Chọn A với  I =  f ( tan x ) dx + cos x e −1  ( x f ln ( x + 1) x +1 )dx = I + I D 66 www.thuvienhoclieu.com Trang 17 www.thuvienhoclieu.com   x =  t =1   Đặt t = tan x  dt = dx Đổi cận  cos x x =   t =  3  I1 =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx 1 2x x dx  dx = dt Đổi cận Đặt t = ln ( x + 1)  dt = x +1 x +1 2 x =  t =   x = e −  t =  12 12  I =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx 20 20 2 x3 − x Do f ( x) =  −3x + x  x   I = I1 + I =  ( 2x − x ) dx + 1 53 ( −3x + ) dx =  a = 53, b = 16  20 16 Vậy a + b = 69 1  x+2 Câu 19 Cho hàm số f ( x) =  − x +  x