Bản trình bày PowerPoint Chương III Bài toán đếm §1 Cơ sở của phép đếm Mục tiêu Nhắc lại và bổ sung thêm một số kiến thức về các quy tắc đếm Giới thiệu nguyên lý bù trừ Nhắc lại và bổ sung thêm một số kiến thức về tìm số hạng tổng quát của một dãy số I Những nguyên lý cơ bản Quy tắc cộng Quy tắc nhân 1) Quy tắc cộng Giả sử một công việc có k phương án P1, P2, , Pk Nếu các phương án là rời nhau (không có cách làm nào nằm trong cả 2 phương án) và có thể làm tương ứng bằng n1, n2, , nk cách Khi.
Chương III: Bài tốn đếm §1: Cơ sở phép đếm Mục tiêu: • Nhắc lại bổ sung thêm số kiến thức quy tắc đếm • Giới thiệu nguyên lý bù trừ • Nhắc lại bổ sung thêm số kiến thức tìm số hạng tổng quát dãy số I Những nguyên lý • Quy tắc cộng • Quy tắc nhân 1) Quy tắc cộng: Giả sử công việc có k phương án P1, P2, , Pk Nếu phương án rời (khơng có cách làm nằm phương án) làm tương ứng n1, n2, , nk cách Khi đó, số cách làm cơng việc là: n1+n2+ + nk Ví dụ 1: a) Một sinh viên chọn thực hành máy tính từ ba danh sách tương ứng có 25, 24, 19 Có cách chọn thực hành? Đáp số: 25+24+19=68 cách b) Một trường THPT có 500 học sinh lớp 10, 450 học sinh lớp 11 400 học sinh 12 Cần chọn học sinh đại diện cho trường tham gia vào Ban chấp hành hội học sinh, sinh viên Thành phố Hỏi có cách? Đáp số: 500+450+400=1350 cách c) Mỗi người sử dụng máy tính có mật dài từ đến kí tự, kí tự chữ tiếng Anh in hoa số Mỗi mật phải chứa chữ số Hỏi có mật khẩu? Đáp số: 684 483 063 360 d) Giá trị biến m sau đoạn chương trình sau thực hiện? m := for i1 := to n1 m := m+1 for i2 :=1 to n2 m := m+1 for ik := to nk m := m+1 Đáp số: m = n1+n2+ + nk Phát biểu Quy tắc cộng thể dạng ngôn ngữ tập hợp: • Nếu A1, A2, , Ak tập hợp đơi rời nhau, số phần tử hợp tập hợp tổng số phần tử tập thành phần • Việc chọn phần tử tập hợp A1, A2, , Ak chia làm k phương án (Pi : chọn phần tử tập Ai) Khi có | A1|+|A2|+ +|Ak| cách chọn Do ta có: |A1 A2 Ak| = |A1| + |A2| + + |Ak| 2) Quy tắc nhân: Giả sử cơng việc tách thành k giai đoạn (bước) có thứ tự G1, G2, , Gk Nếu giai đoạn Gi làm ni cách sau giai đoạn G1, G2, Gi-1 làm, số cách thi hành cơng việc cho là: n1.n2 nk Ví dụ 2:a) Một người dự định đánh số nhiều ghế giảng đường cách ghi chữ Tiếng Anh số nguyên dương có hai chữ số Hỏi đánh ghế? Đáp số:2340 ghế đánh số b) Hỏi có biển đăng kí xe máy Hà Nội biển gồm nhóm kí tự thỏa mãn u cầu sau: • Nhóm thứ nhất: gồm hai chữ số cố định (chẳng hạn biển 29) • Nhóm thứ hai: gồm chữ Tiếng Anh chữ số • Nhóm thứ ba: gồm năm chữ số Đáp số: 26.000.000 biển số Nguyên lý nhân phát biểu ngơn ngữ tập hợp: • Nếu A1, A2, , Ak tập hữu hạn, số phần tử tích Descartes tập tích số phần tử tập thành phần • Việc chọn phần tử tích Descartes A1 x A2 x x Ak tiến hành cách chọn phần tử A1, phần tử A2, , phần tử Ak Theo quy tắc nhân ta có: |×| = |A |.|A | |A | • Để tính số cách thực công việc ta cộng số cách làm PA trừ số cách làm đồng chung PA Ta gọi nguyên lý bù trừ |A1∪A2| = |A1| + |A2| - |A1∩A2| Ví dụ 3: a) Có xâu nhị phân độ dài bit bắt đầu bit kết thúc bit 00 Giải: Xâu nhị phân có độ dài bit bắt đầu bit là: 27=128 Xâu nhị phân có độ dài bit kết thúc bit 00 là: 6=64 Xâu nhị phân có độ dài bit bắt đầu bit kết thúc bit 00 là: 25 Đáp số: 27 + 26 - 25 = 128 + 64 – 32 = 160 b) Có xâu gồm số thập phân thoả đk sau? 1) Không chứa chữ số ba lần 2) Bắt đầu chữ số lẻ 3) Có hai chữ số 4? Giải: 1) Ta có: Số xâu khơng chứa chữ số ba lần số xâu chứa ba chữ số trừ số xâu chứa chữ số ba lần Vậy, số xâu thỏa mãn đề là: 10.10.10 - 10 = 990 2) Chữ số xâu số lẻ nên có cách chọn (1, 3, 5, 7, 9) Hai chữ số cịn lại nên có 10 cách chọn 10 chữa số 0, 1, …, Vậy ta có: 5.10.10 = 500 xâu 3) Ta xếp chữ số vào vị trí trước có cách xếp Một vị trí cịn lại xếp chữ số Vậy, có 9.3 = 27 xâu thỏa mãn đề Biểu thức tổng quát nguyên lý bù trừ: III Cơng thức truy hồi Ta quan tâm đến tốn đếm mà kết đếm phụ thuộc vào tham số đầu vào Ví dụ 4: a) Trên mặt phẳng, kẻ n đường thẳng cho khơng có đường thằng song song khơng có đường thẳng đồng quy Hỏi mặt phẳng chia thành phần? Giải: Gọi số phần mặt phẳng chia n đường thằng Sn Giả sử kẻ n-1 đường thẳng, kẻ thêm đường thẳng thứ n số phần thêm số giao điểm thêm cộng Số giao điểm thêm số giao điểm mà đường thẳng thứ n giao với n -1 đường thẳng cũ Sn = Sn-1 + n n≥1 với S0 = 1, S1 = S0 + S2 = S1 + S3 = S2 + …………… Sk = Sk-1 + k Sn = S0 + + + … + n = + = b) (Tháp Hà Nội) Có cọc a, b, c Trên cọc a có chồng gồm n đĩa đường kính giảm dần từ lên Cần phải chuyển chồng đĩa từ cọc a sang cọc c, tuân thủ quy tắc: lần chuyển đĩa xếp đĩa có đường kính nhỏ lên đĩa có đường kính lớn Trong q trình chuyển phép dùng cọc b trung gian Tìm số lần di chuyển để thực xong nhiệm vụ đặt Giải: Gọi hn số lần di chuyển cần thực để giải xong tốn Ta xây dựng cơng thức đệ quy để tính h Ta có h1 = Gỉa sử n≥2 Việc di chuyển gồm bước: 1.Chuyển n-1 đĩa từ cọc a đến cọc b sử dụng cọc c làm trung gian (giả thiết quy nạp) 2.Chuyển đĩa (đường kính lớn nhất) từ a sang c 3.Chuyển n-1 đĩa từ cọc b sang cọc c (sử dụng cọc a làm trung gian) Bước thực nhờ giả thiết quy nạp (Bước ) đòi hỏi giải toán với n -1 đĩa Số lần di chuyển đĩa cần thực hiện: hn = 2hn-1 + hn = 2n -1 n≥1 Công thức truy hồi tuyến tính hệ số Xét cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng, bậc k số khác Tìm cơng thức an dãy {an} thỏa mãn (1) • Dãy số {an} xác định thỏa mãn điều kiện ban đầu: a0 = c0, a1 = c1, … , ak-1 = ck-1 • Chú ý an = rn nghiệm hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 + + ckan-k rk c1rk-1 c2rk-2 ck-1r – ck = Phương trình gọi phương trình đặc trưng hệ thức truy hồi, nghiệm gọi nghiệm đặc trưng hệ thức truy hồi Mệnh đề: Cho c1, c2, , ck số thực Giả sử phương trình đặc trưng rk c1rk-1 c2rk-2 ck-1r – ck = có k nghiệm phân biệt r1, r2, , rk Khi dãy {an} nghiệm hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 + + ckan-k an = 1r1n + 2r2n + + krkn, với n = 1, 2, 1, 2, , k số Ví dụ 5: Dãy Fibonaci Fn = Fn-1 + Fn-2, n≥2, F0 = F1 = Tìm cơng thức cho Fn Giải: Chú ý: Trường hợp k=2 phương trình đặc trưng r2 – c1r – c2 = có nghiệm kép r0 Khi đó, an = α1 + α2 n α1, α2 số Ví dụ 6: Tìm nghiệm cho cơng thức truy hồi an = 6an-1 – 9an-2 với điều kiện: a0 = a1 = Giải: phương trình đặc trưng: r2 – 6r + = Phương trình có nghiệm kép r = nghiệm hệ thức có dạng: an = α1 3n + α2 n 3n sử dụng điều kiện => α1 = 1, α2 = => an = 3n + n 3n Các thuật ngữ • Quy tắc cộng • Quy tắc nhân • Ngun lý bù trừ • Cơng thức truy hồi tuyến tính với hệ số ... thỏa mãn đề Biểu thức tổng quát nguyên lý bù trừ: III Công thức truy hồi Ta quan tâm đến toán đếm mà kết đếm phụ thuộc vào tham số đầu vào Ví dụ 4: a) Trên mặt phẳng, kẻ n đường thẳng cho khơng có...Mục tiêu: • Nhắc lại bổ sung thêm số kiến thức quy tắc đếm • Giới thiệu nguyên lý bù trừ • Nhắc lại bổ sung thêm số kiến thức tìm số hạng tổng quát dãy... quy tắc: lần chuyển đĩa xếp đĩa có đường kính nhỏ lên đĩa có đường kính lớn Trong trình chuyển phép dùng cọc b trung gian Tìm số lần di chuyển để thực xong nhiệm vụ đặt Giải: Gọi hn số lần di