Chương IV Đại Số 10 Bất đẳng thức – Bất phương trình Chương IV Đại Số 10 Bất đẳng thức – Bất phương trình 1 Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 2 Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được 3 Dấu của nhị thức bậc nhất VẤN ĐỀ 1 Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 Bài 1 Giải các bất phương trình sau a) b) c) d) Bài 2 Giải và biện luận các bất phương trình sa[.]
Chương IV Đại Số 10 Bất đẳng thức – Bất phương trình II.BẤT BẤTPHƯƠNG PHƯƠNGTRÌNH TRÌNHVÀ VÀHỆ HỆBẤT BẤTPHƯƠNG PHƯƠNGTRÌNH TRÌNHBẬC BẬCNHẤT NHẤTMỘT MỘTẨN ẨN II Giải biện luận bất phương trình dạng ax + b < Điều kiện Kết tập nghiệm b a>0 S = ; a b a (1) (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.) Cách giải: Lập bảng xét dấu P(x).Q(x) Từ suy tập nghiệm (1) Bất phương trình chứa ẩn mẫu P (x) (2) Dạng: (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.) Q(x) P (x) Cách giải: Lập bảng xét dấu Từ suy tập nghiệm (2) Q(x) Chú ý: Không nên qui đồng khử mẫu Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ Tương tự giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ g(x) f (x) g(x) Dạng 1: g(x) f (x) g(x) g(x) f (x) cónghóa f (x) g(x) g(x) Dạng 2: f (x) g(x) f (x) g(x) Chú ý: Với B > ta có: A B B A B ; A B A B A B Bài Giải bất phương trình sau: a) (x 1)(x 1)(3x 6) b) (2x 7)(4 5x) d) 3x(2x 7)(9 3x) e) x3 8x2 17x 10 Bài Giải bất phương trình sau: (2x 5)(x 2) x x a) b) 0 4x x x Trang c) x2 x 20 2(x 11) f) x3 6x2 11x c) x 1 2x x x Chương IV Đại Số 10 3x e) 1 x 4 g) h) 3x x Bài Giải bất phương trình sau: a) 3x b) d) Bất đẳng thức – Bất phương trình 2x 1 2 x 2x2 x 1 x 1 2x 5x 12 x d) 3x 15 e) x g) 2x x h) 2x x Bài Giải biện luận bất phương trình sau: 2x m mx m a) b) 0 0 x x1 HD: Giải biện luận BPT dạng tích thương: a x b1x (a1x b1)(a2x b2) , 0 a2x b2x – Đặt x1 x 2x 2x 3x i) 3x 2x f) c) 2x x f) x i) x x c) x 1(x m 2) (hoặc < 0, 0) b1 b ; x2 Tính x1 x2 a1 a2 – Lập bảng xét dấu chung a1.a2, x1 x2 – Từ bảng xét dấu, ta chia toán thành nhiều trường hợp Trong trường hợp ta a x b1x xét dấu (a1x b1)(a2x b2) (hoặc ) nhờ qui tắc đan dấu a2x b2x 3 m ; m 3: S (; 1) a) 3 m m 3: S ; (1; ) m 3: S R \{ 1} m 3: S (1; ) c) m 3: S (m 2; ) Trang m ; m 0: S (;1) m b) m m 0: S ;1 m m 0: S (;1) Chương IV Đại Số 10 Bất đẳng thức – Bất phương trình III.BẤT BẤTPHƯƠNG PHƯƠNGTRÌNH TRÌNHBẬC BẬCHAI HAI III Dấu tam thức bậc hai 0 f(x) = ax2 bx c (a 0) a.f(x) > 0, x R b a.f(x) > 0, x R \ 2a a.f(x) > 0, x (–∞; x1) (x2; +∞) a.f(x) < 0, x (x1; x2) a a 2 Nhận xét: ax bx c 0,x R ax bx c 0,x R Bất phương trình bậc hai ẩn ax2 bx c (hoặc 0; < 0; 0) Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn Bài Xét dấu biểu thức sau: a) 3x2 2x b) x2 4x c) 4x2 12x d) 3x2 2x e) x2 2x f) 2x2 7x g) (3x2 10x 3)(4x 5) h) (3x2 4x)(2x2 x 1) i) Bài Giải bất phương trình sau: a) 2x2 5x d) 2x2 3x 3x2 x 4x2 3x g) 4 x2 2x x2 h) 1 h) 0 4x2 x c) 16x2 40x 25 f) x2 x 5x2 3x 0 x2 5x x2 3x x2 7x Bài Giải biện luận bất phương trình sau: a) x2 mx m b) (1 m)x2 2mx 2m c) mx2 2x HD: Giải biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành sau: – Lập bảng xét dấu chung cho a – Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm BPT Bài Giải hệ bất phương trình sau: 2x2 9x 2x2 x 2x2 5x a) b) c) x x 3x 10x x 3x 10 x2 4x x2 4x x2 x d) 2x x 10 e) f) x 2x 1 x 6x 1 2x2 5x g) 0 b) 5x2 4x 12 e) 3x2 4x (3x2 x)(3 x2) x2 2x 1 13 x2 5x i) i) 1 10x2 3x VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai Trang x2 3x 1 Chương IV Đại Số 10 Bất đẳng thức – Bất phương trình Bài Tìm m để phương trình sau: i) có nghiệm ii) vơ nghiệm a) (m 5)x 4mx m b) (m 2)x 2(2m 3)x 5m c) (3 m)x2 2(m 3)x m d) (1 m)x2 2mx 2m e) (m 2)x2 4mx 2m f) (m2 2m 3)x2 2(2 3m)x Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x: a) 3x2 2(m 1)x m b) x2 (m 1)x 2m c) 2x2 (m 2)x m d) mx2 (m 1)x m 1 e) (m 1)x2 2(m 1)x 3(m 2) f) 3(m 6)x2 3(m 3)x 2m Bài Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm: a) (m 2)x2 2(m 1)x b) (m 3)x2 (m 2)x c) (m2 2m 3)x2 2(m 1)x 1 d) mx2 2(m 1)x e) (3 m)x2 2(2m 5)x 2m f) mx2 4(m 1)x m VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui bậc hai Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ f (x) C1 g(x) C2 f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) Dạng 1: f (x) g(x) f (x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) Dạng 2: f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) g(x) f (x) cónghóa f (x) g(x) g(x) Dạng 4: f (x) g(x) f (x) g(x) Chú ý: A A A 0; A A A Dạng 3: Với B > ta có: A B A B A B A B A B AB A B B A B ; A B A B AB 0; Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu ta thường dùng phép nâng luỹ thừa đặt ẩn phụ để khử dấu g(x) f (x) g(x) Dạng 1: f (x) g(x) f (x) (hoaë c g(x) 0) f (x) g(x) Dạng 2: f (x) g(x) Trang Chương IV Đại Số 10 Bất đẳng thức – Bất phương trình t f (x), t a f (x) b f (x) c at bt c u f (x) ; u, v đưa hệ u, v Dạng 4: f (x) g(x) h(x) Đặt v g(x) f (x) g(x) f ( x ) g ( x ) Dạng 5: f (x) g(x) g(x) f (x) f (x) g(x) g(x) Dạng 6: f (x) g(x) Bài Giải phương trình sau: a) x2 5x x2 6x b) x2 x2 2x c) 2 3x2 x2 Dạng 3: d) x x e) x 1 x x2 1 x 2 f) x (x 2) Bài Giải bất phương trình sau: a) 2x2 5x b) x x2 3x c) x2 2x d) x2 4x x2 4x e) x x f) x2 3x x2 2x x2 4x g) 1 x2 x Bài Giải phương trình sau: a) 2x x h) 2x 1 x i) x x2 5x 3 b) 5x 10 8 x c) x 2x d) x2 2x 2 x e) 3x2 9x x f) g) 3x x h) x2 x2 i) 3x2 9x x 21 x 21 x 21 x 21 x 21 x Bài Giải phương trình sau: (nâng luỹ thừa) a) x x 2x 11 b) x 3x x c) 1 x 1 x x 1 x x Bài Giải phương trình sau: (biến đổi biểu thức căn) d) a) x 2x x 2x b) x 5 x x x c) 2x 2x 2x 3 2x 2x 8 2x Bài Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ) a) x2 6x x2 6x b) (x 4)(x 1) x2 5x c) (x 3)2 3x 22 x2 3x d) (x 1)(x 2) x2 3x Bài Giải phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ) a) 3x2 5x 3x2 5x b) 5x 5x 13 c) 9 x 7 x d) 24 x 5 x Trang Chương IV Đại Số 10 e) Bất đẳng thức – Bất phương trình 47 2x 35 2x f) x2 4356 x x x2 4356 x2 x Bài Giải bất phương trình sau: a) x2 x 12 8 x b) x2 x 12 7 x c) x2 4x 21 x d) x2 3x 10 x e) 3x2 13x x f) 2x 6x2 x g) h) x 7 x 2x Bài Giải bất phương trình sau: a) (x 3)(8 x) 26 x2 11x 2 x 7 x 3 2x i) b) (x 5)(x 2) x(x 3) c) (x 1)(x 4) x2 5x 28 Bài 10 Giải bất phương trình sau: a) x2 4x 2 3 x c) (x 3) x2 x2 d) 3x2 5x 3x2 5x b) 2x2 15x 17 0 x d) x2 x x2 x 2x x Bài 11 Giải bất phương trình sau: a) x x2 b) 2x x 3 2x2 3x2 c) x x BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a3 b3 c3 a b c , với a, b, c > xyz = a b c a b c a b c b) , với a, b, c > a b c 1 1 1 2 , với a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi c) p a p b p c a b c d) a b b a ab , với a 1, b HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a3 b3 c3 33 a3b3c3 2(a3 b3 c3) (1) a3 1 1 a3 a3 3a (2) Tương tự: b3 3b (3), c3 3c (4) Cộng BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta đpcm b a b c c a b) BĐT Dễ dàng chứng minh a b c b a c 1 1 4 c) Áp dụng BĐT: , ta được: x y x y p a p b p a p b c 1 1 ; Cộng BĐT đpcm Tương tự: p b p c a p c p a b a ab a ab d) Áp dụng BĐT Cô–si: a b a ab a 2 ab Tương tự: b a Cộng BĐT ta đpcm Dấu "=" xảy a = b = 2 Bài Tìm GTNN biểu thức sau: a) A x , với x > x1 Trang Chương IV Đại Số 10 Bất đẳng thức – Bất phương trình , với x, y > x y x 4y 1 c) C a b , với a, b > a b a b 3 d) D a b c3 , với a, b, c > ab bc ca b) B 1 2 1 x1 Dấu "=" xảy x = Vậy minA = HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = (x 1) b) B = 4 4x 4y 5 4x 4y x 4y x 4y Vậy minB = 1 4 3 c) Ta có B a b 2 a b a b a b a b a b a b a b Dấu "=" xảy a = b = Vậy minC = d) Áp dụng BĐT Cô–si: a b3 1 3ab, b3 c3 1 3bc , c3 a3 1 3ca Dấu "=" xảy x 1; y 2(a3 b3 c3) 3(ab bc ca) a3 b3 c3 Dấu "=" xảy a = b = c = Vậy minD = Bài Tìm GTLN biểu thức sau: a) A a b , với a, b –1 a b b) B x2(1 2x) , với < x < c) C (x 1)(1 2x) , với 1 x HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,1, a 1, b ta được: A a 1 b (1 1)(a 1 b 1) Dấu "=" xảy a = b = maxA = b) Áp dụng BĐT Cô–si: B = x.x(1 2x) x x 1 2x 27 1 Vậy maxB = 27 c) Áp dụng BĐT Cô–si: C = (2x 2)(1 2x) 2x 1 2x 2 Dấu "=" xảy x = Vậy maxC = Bài Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: x 4m2 2mx x2 3x a) b) 3x 2x (m 1)x 2x 1 x 7x 4x 19 c) d) 2x 3m m x Bài Tìm m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm: Trang Chương IV Đại Số 10 Bất đẳng thức – Bất phương trình mx 3x m2 a) 4x 1 x Bài Giải bất phương trình sau: 2x a) x 6x x x2 10x 16 b) mx 3m b) x2 5x x x x2 5x 2x 1 c) d) 0 x x1 x x x x x3 Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) (m 1)x2 2(m 3)x m b) (m 1)x2 2(m 3)x m Bài Tìm m để biểu thức sau ln khơng âm: a) (3m 1)x2 (3m 1)x m b) (m 1)x2 2(m 1)x 3m Bài Tìm m để biểu thức sau ln âm: a) (m 4)x2 (m 1)x 2m b) (m2 4m 5)x2 2(m 1)x Bài 10 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x: x2 8x 20 3x2 5x 0 0 a) b) mx2 2(m 1)x 9m (m 4)x2 (1 m)x 2m x2 mx 2x2 mx d) 4 1 6 2x2 2x x2 x Bài 11 Tìm m để phương trình sau có: i) Một nghiệm ii) Hai nghiệm phân biệt iii) Bốn nghiệm phân biệt a) (m 2)x4 2(m 1)x2 2m 1 b) (m 3)x4 (2m 1)x2 Bài 12 Giải phương trình sau: 21 x2 4x a) (x 1) 16x 17 (x 1)(8x 23) b) x 4x 10 2x 13x x 6 c) d) x 1 2x2 5x 2x2 x x 1 Bài 13 Giải phương trình sau: c) a) x2 8x 12 x2 8x 12 b) x 3 x x x c) 2 x d) x 14x 49 x 14x 49 14 e) x 1 x2 2(2x2 1) Bài 14 Giải bất phương trình sau: a) x2 4x 4x 17 b) x x d) x2 5x x 4 1 g) x2 2x 2x Bài 15 Giải phương trình sau: a) x 2x e) 2x x 3x c) x 3x x f) x x2 5x h) x x 3x b) 2x x 3x (2x 3)(x 1) 16 c) x 1 x 1 2x d) x x (x 1)(4 x) e) 4x 1 4x2 f) 3x x 4x 9 3x2 5x g) (x 5)(2 x) x2 3x h) x(x 4) x2 4x (x 2)2 i) x2 x2 11 31 k) x 9 x x2 9x Trang Chương IV Đại Số 10 Bất đẳng thức – Bất phương trình Bài 16 Giải bất phương trình sau a) d) x2 8x 12 x 3(4x2 9) 3x 2x b) 5x2 61x 4x e) (x 3) x2 x2 Trang 10 x 4x 2 x 9x2 3x f) 5x2 c) ... m? ?? b) (m? ?? 2)x 2( 2m? ?? 3)x 5m? ?? c) (3 m) x2 2 (m? ?? 3)x m? ?? d) (1 m) x2 2mx 2m? ?? e) (m? ?? 2)x2 4mx 2m? ?? f) (? ?m2 2m? ?? 3)x2 2(2 3m) x Bài T? ?m m để bất phương trình sau nghi? ?m. .. T? ?m m để biểu thức sau không ? ?m: a) ( 3m? ?? 1)x2 ( 3m? ?? 1)x m? ?? b) (m? ?? 1)x2 2 (m? ?? 1)x 3m? ?? Bài T? ?m m để biểu thức sau ? ?m: a) (m? ?? 4)x2 (m? ?? 1)x 2m? ?? b) (m2 4m? ?? 5)x2 2 (m? ?? 1)x Bài 10 T? ?m. .. 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai Trang x2 3x 1 Chương IV Đại Số 10 Bất đẳng thức – Bất phương trình Bài T? ?m m để phương trình sau: i) có nghi? ?m ii) vô nghi? ?m a) (m? ?? 5)x 4mx