Tìm m để bất phương trình vô nghiệm – Tất tần tật về BPT - Giáo viên Việt Nam

Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được.. 3..[r]

(1)

1 Giải biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0

2 Hệ bất phương trình bậc ẩn

Muốn giải hệ bất phương trình bậc ẩn ta giải bất phương trình hệ rồi lấy giao tập nghiệm thu được.

3 Dấu nhị thức bậc nhất

VẤN ĐỀ 1: Giải biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 Bài Giải bất phương trình sau:

a)

 x  x 3 2

2

5



  

b)

x x

2

3

5



  

c)

x x

5( 1) 1 2( 1)

6

 

 

d)

x x

3( 1)

2

8

 

  

Bài Giải biện luận bất phương trình sau:

a) m x m(  ) x b) mx 6 2x3m c) (m1)x m 3m4 d) mx 1 m2x

e)

m x( 2) x m x

6

  

 

f) 3 mx2(x m ) ( m1)2 Bài Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm:

a) m x2 4m 3 x m2 b) m x2   1 m (3m 2)x

c) mx m mx d) 3 mx2(x m ) ( m1)2.

VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc ẩn

Bài Giải hệ bất phương trình sau:

a)

x x

15

8

2 2(2 3)

4

 

 

 

   

 b)

x x

4 3

7

3 8 5

4

 

  

 

  

 c)

x x

x x

4 12

3

4

2



  

 

 

 



II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Điều kiện Kết tập nghiệm

a > 0

S =

b a

;

 

  

 

 

a < 0

S = b a;

 

 

 

 

a = 0 b  0 S = 

b < 0 S = R

f(x) = ax + b (a  0)

x 

b a

;

 

  

 

  a.f(x) < 0

x  b a;

 

 

 

(2)

d)

x x

x x

4

2

2 19

3         

 e)  

x x

11 2 5

2

8

2

2          

 f)  

x x

1

15 2

3 14            g) x x x x

2 3

4 5          

 h)

x x x

3 3( 2) 1

4

4 1

3

18 12

                 

 i)

x x

3

4 19

   



  



Bài Tìm nghiệm nguyên hệ bất phương trình sau:

a)

x x

5

6

7

8 3 25

2            b) x x x x

15 2

3 14 2( 4)           

Bài Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

a) {3 m−2 − x >0x+m−1>0 b) {mx −3>0x −1>0 c)

x m mx

x x

2

4

3 2

         d) x x x m

7 19

2

   



  

 e)

mx

m 0x m

(3 2)

  



  



VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui bất phương trình bậc ẩn

1 Bất phương trình tích

 Dạng: P(x).Q(x) > (1)(trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.)

 Cách giải: Lập bảng xét dấu P(x).Q(x) Từ suy tập nghiệm (1). 2 Bất phương trình chứa ẩn mẫu

 Dạng:

P x

Q x( ) 0( )  (2)

(trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.)

 Cách giải: Lập bảng xét dấu P x Q x

( )

( ) Từ suy tập nghiệm (2).

Chú ý: Không nên qui đồng khử mẫu. 3 Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ

 Tương tự giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

 Dạng 1:

g x f x g x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )         

 Dạng 2:

g x

f x có nghóa f x g x g x

f x g x f x g x

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )                    

Chú ý: Với B > ta có: A B  B A B  ;

A B A B  A B 



 .

(3)

a) (x1)(x1)(3x 6) 0 b) (2x 7)(4 ) 0 x  c) x2 x 20 2( x 11) d) (2x x7)(9 ) 0 x  e) x38x217x10 0 f) x36x211x 6

Bài Giải bất phương trình sau:

a)

x x

x

(2 5)( 2) 0

4

 



  b)

x x

3

1

 



  c)

x x

3

5

 



 

d) x x

3 4 1

2 



 e)

x x

2 1

2 



 f) x x

2

1 2

 

g) x x

4

3

 

  h)

x x x

x

2 1

1 

 

 i)

x x

2

3 2

 



 

a) 3x 7 b) 5x12 3 c) 2x 7 

d) 3x15 3 e)

x

x 1

2 

 

f)

x x 2

2

 

g) 2x  x h) 2x 1 x i) x  x

a)

x m x

2 1 0

1

 



 b)

mx m x 1

 



 c) x1(x m 2) 0

HD: Giải biện luận BPT dạng tích thương:

a x b a x b1 1 2 2 (  )(  ) 0

,

a x b x a x b x21 12

  

(hoặc <  0,  0)

– Đặt

b b

x x

a1 a2

1

;

 

Tính x1 x2. – Lập bảng xét dấu chung a a x1 , 1 x2.

– Từ bảng xét dấu, ta chia toán thành nhiều trường hợp Trong trường hợp ta

xét dấu (a x b a x b1  1)(  2)(hoặc

a x b x a x b x21 12



 ) nhờ qui tắc đan dấu.

a)

m

m S

m

m S

m S R

3

3 : ( ; 1) ;

2

3 : ; ( 1; )

2 : \ { 1}

   

      



 



  

       

 

  

   

 b)

m

m S

m m

m S

m

m S

1

0 : ( ;1) ;

1

0 : ;1

0 : ( ;1)

   

     



 



  

  



  

    



c)

m S

m :3 :S (1;(m 2;) )

   

    

(4)

1 Dấu tam thức bậc hai

Nhận xét: 

a ax2 bx c 0, x R 00

  

      



 

a ax2 bx c 0, x R 00

  

      

 

2 Bất phương trình bậc hai ẩn ax2bx c 0 (hoặc  0; < 0;  0)

Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai

VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn Bài Xét dấu biểu thức sau:

a) 3x2 2x1 b) x24x5 c) 4x212x

d) 3x2 2x e)  x22x1 f) 2x2 7x5

g) (3x210x3)(4x 5) h) (3x2 )(2x x2 x1) i)

x x x

x x

2

(3 )(3 )

4

 

 

a) 2x2 5x 2 b) 5x24x12 0 c) 16x240x25 0

d) 2x23x 0 e) 3x2 4x 4 f) x2 x 0

g)

x x

2

3 4 0

3

  



  h)

x x

2

4 1 0

5

 



  i)

x x

2

5 8 0

7

 



 

a) x2 mx m  3 b) (1m x) 2 2mx2m0 c) mx2 2x 4

HD: Giải biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành sau: – Lập bảng xét dấu chung cho a .

– Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm BPT. Bài Giải hệ bất phương trình sau:

a)

x x

x x 2

2

6 

   



  



 b)

x x

2

3 10



   



  



 c)

x x

2

3 10



   



   

 

III BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

f(x) = ax2bx c (a  0)

 < 0 a.f(x) > 0, x  R

 = 0

a.f(x) > 0, x 

b R

a

\

 



 

 

 > 0 a.f(x) > 0, x  (–∞; xa.f(x) < 0, x  (x1)  (x2; +∞)

(5)

d)

x x

2 2

4

2 10

2

   



   



  

 e)

x x

2

2 24 1 07



   



  



 f)

x x

2

2 6 01 0



   



  

 

g)

x x

x

2

4

1

 

  

 h)

x x

2

1 2 1

13 5 7

 

 

  i)

x x

2

10

1

3

 

  

  

VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai

Bài Tìm m để phương trình sau: i) có nghiệm ii) vơ nghiệm a) (m 5)x2 4mx m  0 b) (m 2)x22(2m 3)x5m 0

c) (3 m x) 2 2(m3)x m  2 d) (1m x) 2 2mx2m0

e) (m 2)x2 4mx2m 0 f) (m22m 3)x22(2 ) m x 0 Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x:

a) 3x22(m1)x m  4 b) x2(m1)x2m 7 c) 2x2(m 2)x m  4 d) mx2(m1)x m  0

e) (m1)x2 2(m1)x3(m 2) 0 f) 3(m6)x2 3(m3)x2m 3 Bài Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm:

a) (m2)x2 2(m1)x 4 b) (m 3)x2(m2)x 0 c) (m22m 3)x22(m1)x 1 d) mx22(m 1)x 4

e) (3 m x) 2 2(2m 5)x 2m 5 f) mx2 4(m1)x m  0

VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui bậc hai

1 Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

 Dạng 1:

C g x C f xf x g x

f x g x f x g x f x f x g x

f x g x

1

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

  

  



 

    

 

 

  

  

 

 Dạng 2:

f x g x f x( ) g x( )  f x( )( ) ( )g x( )

 

 Dạng 3:

g x

f x( ) g x( )  ( ) 0g x( ) f x( ) g x( )

  

(6)

 Dạng 4:

g x

f x có nghóa f x g x g x

f x g x f x g x

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

  

 

 

    

       

Chú ý:  A A  A 0 ; A  A A 0

 Với B > ta có:

A B  B A B  ;

A B A B  A B 



 .

 A B A B  AB 0 ; A B A B  AB 0

2 Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu căn

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu ta thường dùng phép nâng luỹ thừa đặt ẩn phụ để khử dấu căn.

 Dạng 1:  

g x f x g x

f x g x

( ) ( ) ( )

( ) ( )

 



  

 



 Dạng 2:

f x hoặc g x f x g x

f x( ) (g x ( ) 0)

( ) ( )

  

  

 

 Dạng 3:

t f x t a f x b f x c

at2 bt c

( ),

( ) ( )

0 

  

    

  

 

 Dạng 4: f x( ) g x( )h x( ) Đặt

u f x u v v g x( )( ) ; ,  



 

  

đưa hệ u, v.

 Dạng 5:  

f x f x g x g x

f x g x

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

 



   

 



 Dạng 6:  

g x f x f x g x g x

f x g x

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

  



 

 

  

  



 

  

Bài Giải phương trình sau:

a) x2 5x4 x26x5 b) x21 x2 2x8 c) 3 x2  6 x2 0

d) x  x 3 e) x21 1  x f)

x x

x x 1

1 ( 2)

  

 

a) 2x2 5x 0 b) x 8 x23x c) x21 2 x0

d) x24x3  x2 4x e) x  x 1 f) x2 3x2x2 2x

g)

x x

2

4 1

2 



  h)

x x

2 5 0

3 

 

 i)

x x2 x

2 3

5





 

(7)

a) 2x 3 x b) 5x10 8  x c) x 2x 4

d) x22x4  2 x e) 3x2 9x  1 x f)

x2 x x

3    1

g) 3x 7 x 1 h) x2 9 x2 2 i)

x x

x

x x

21 21 21

21 21

  



  

Bài Giải phương trình sau: (nâng luỹ thừa)

a) 3x 5 3x6 32x11 b) 3 x 1 33x 1 3x1 c) 31 x 31 x 2 d) 3x 1 x 2 3x 3

Bài Giải phương trình sau: (biến đổi biểu thức căn)

a) x 2 2x  x 2 2x 2

b) x 5 x 1 x 2 x 1

c) 2x 2x 2 x 3 2x1 2 x 8 2x1 4 Bài Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ)

a) x2 6x 9 x2 6x6 b) (x4)(x1) 3 x25x2 6

c) (x 3)23x 22 x2 3x7 d) (x1)(x2)x23x Bài Giải phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)

a) 3x25x 8 3x25x 1 b) 35x 7 35x13 1

c) 39 x 1 37 x 1 d) 324 x  35 x 1

e) 447 2 x435 2 x 4 f)

x x x x x

x

2

4356 4356 5

 

   

a) x2 x 12 8  x b) x2 x12 7  x c) x2 4x21 x

d) x2 3x10 x e) 3x213x4 x f) 2x 6x2  1 x

g) x 3 7 x  2x h) 2 x  7 x  3 2x i) 2x 3 x2 1 Bài Giải bất phương trình sau:

a) (x 3)(8 x) 26  x211x b) (x5)(x 2) ( x x3) 0

c) (x1)(x4) 5 x25x28 d) 3x25x 7 3x25x2 1

Bài 10.Giải bất phương trình sau:

a)

x x

x 4

2

 

 b)

x x

x

2 15 17 0

3

  

 

c) (x3) x2 4x2 d)

x x x x

x x

2 6 6

2

     



 

Bài 11.Giải bất phương trình sau:

a) x 2 2x 8 b) 32x2 1 33x21 c) 3x 1 x 3.

(8)

Bài Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) a3b3c3  a b c, với a, b, c > xyz = 1.

b)

a b c a b c a b c

a b c

     

  

, với a, b, c > 0.

c) p a p b p c a b c

1 1 21 1

      

    , với a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi.

d) a b1b a1ab, với a  1, b  1.

HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a3b3c333a b c3 3 3  2(a3b3c3) 6 (1)

a3  1 33a3  a3 2 3a (2) Tương tự: b3 2 3b (3), c3 2 3c

(4)

Cộng BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta đpcm.

b) BĐT 

b a b c c a

a b c b a c

     

     

     

      Dễ dàng chứng minh.

c) Áp dụng BĐT: x y x y

1

 

 , ta được: p a p b p a p b c

1 4

  

     .

Tương tự: p b p c a p c p a b

1 4; 1

   

    Cộng BĐT  đpcm.

d) Áp dụng BĐT Cô–si:

a ab a ab a b a ab a

2

 

    

.

Tương tự:

ab b a 1

2

 

Cộng BĐT ta đpcm Dấu "=" xảy  a = b = 2. Bài Tìm GTNN biểu thức sau:

a) A x x

1  

 , với x > 1.

b) B

x y

4

4  

, với x, y > x y 5 4

c) C a b a b

1

   

, với a, b > a b 1  .

d) D a 3b3c3, với a, b, c > ab bc ca 3   .

HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = x x

1

( 1)

1

     



Dấu "=" xảy  x = Vậy minA = 3.

b) B =

x y

4 4 4 5

4

   



x y

4

2 4 5

4

  

Dấu "=" xảy  x1; y 14 Vậy minB = 5.

c) Ta có a b a b

1

 

  B a b a b a b a b a b

4

      

    a b

3

2 5

 .

Dấu "=" xảy  a = b =

1

2 Vậy minC = 5.

(9)

 2(a3b3c3) 3(  ab bc ca  ) 9  a3b3c33.

Dấu "=" xảy  a = b = c = Vậy minD = 3. Bài Tìm GTLN biểu thức sau:

a) A a 1 b1, với a, b  –1 a b 1  .

b) B x 2(1 ) x , với < x <

1 .

c) C(x1)(1 ) x , với  1 x 1

HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,1, a1, b1 ta được:

A1 a 1 b 1 (1 1)( a  1 b 1) 6 Dấu "=" xảy  a = b =

1 2.

 maxA = 6.

b) Áp dụng BĐT Cô–si: B =

x x x

3

1

(1 )

3 27

    

   

  .

1

3 Vậy maxB = 27.

c) Áp dụng BĐT Cô–si: C =

x x

2

1(2 2)(1 ) 2

2 2

    

     

  .

Dấu "=" xảy  x =

1 

Vậy maxC =

9 8.

Bài Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

a)

x m mx

x x

2

4

3 2

   



  

 b)

x x

m x 3 4 0

( 1)

   



  



c)

x x

x m

7 19

2

   



  

 d)

x x

m x2 12

   



 



Bài Tìm m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm:

a)

mx x m

x x

2

9

4

   



   

 b)

x x

mx m

2 10 16 0

3

   



 



a) x

x x2 x

2

3

6

 



  b)

x x x

x

x x

2

5

  



 

c)

x x

x2 x x3

2

1



 



   d) x x x

2 1 0

1

  

 

Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

a) (m1)x2 2(m3)x m  2 b) (m1)x22(m 3)x m  3 Bài Tìm m để biểu thức sau không âm:

a) (3m1)x2 (3m1)x m 4 b) (m1)x2 2(m1)x3m Bài Tìm m để biểu thức sau âm:

(10)

a)

x x

mx m x m

2

8 20 0

2( 1)

 



    b)

x x

m x m x m

2

3 0

( 4) (1 )

 



    

c)

x mx

x x

2

2 1

2

 



  d)

x mx x x

2

4

1

 

  

  

Bài 11.Tìm m để phương trình sau có:

i) Một nghiệm ii) Hai nghiệm phân biệt iii) Bốn nghiệm phân biệt a) (m 2)x4 2(m1)x22m1 0 b) (m3)x4 (2m1)x2 0

Bài 12.Giải phương trình sau:

a) (x1) 16x17 ( x1)(8x 23) b) x x x x 2

21 4 6 0

4 10   

 

c)

x x

x2 x x2 x

2 13 6

2  3 2  3 d)

x x

x

2 1

1

 

  



 

a) x2 8x12 x2 8x12 b) x 3 x1 x 8 x1 1

c) 2x 1 3  d) x 14x 49  x 14x 49  14

e) x 1 x2  2(2x21) Bài 14.Giải bất phương trình sau:

a) x2 4x 4 x17 b) x1 x2 3 c) 2 x 3 x  1 x

d)

x x

x

2

5 4 1

4

 



 e)

x x2 x

2 1

2

3

 

  f) x  x2 5x9

g) x2 2x 2  x1 h) 2 x 1 x 3 x1

a) x 2x 3 b) 2x 3 x 1 3x2 (2x3)(x1) 16

c) x 4 1 x  2 x d) x 1 4 x  (x1)(4 x) 5

e) 4x 1 4x21 1 f) 3x 2 x1 4 x 3 x2 5x2

g) (x5)(2 x) 3 x23x h) x x(  4) x24x (x 2)2 2

i) x2 x211 31 k) x 9 x  x29x9 Bài 16.Giải bất phương trình sau

a) x2 8x12 x4 b) 5x261x 4x2 c)

x x x

2 4  3 2 

d)

x x

x

2

3(4 9) 3

3



 

 e) (x 3) x24 x2 f)

x x

x

2

9 3 2

5



 