Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được.. 3..[r]
(1)1 Giải biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0
2 Hệ bất phương trình bậc ẩn
Muốn giải hệ bất phương trình bậc ẩn ta giải bất phương trình hệ rồi lấy giao tập nghiệm thu được.
3 Dấu nhị thức bậc nhất
VẤN ĐỀ 1: Giải biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 Bài Giải bất phương trình sau:
a)
x x 3 2
2
5
b)
x x
2
3
5
c)
x x
5( 1) 1 2( 1)
6
d)
x x
3( 1)
2
8
Bài Giải biện luận bất phương trình sau:
a) m x m( ) x b) mx 6 2x3m c) (m1)x m 3m4 d) mx 1 m2x
e)
m x( 2) x m x
6
f) 3 mx2(x m ) ( m1)2 Bài Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm:
a) m x2 4m 3 x m2 b) m x2 1 m (3m 2)x
c) mx m mx d) 3 mx2(x m ) ( m1)2.
VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc ẩn
Bài Giải hệ bất phương trình sau:
a)
x x
x x
15
8
2 2(2 3)
4
b)
x x
x x
4 3
7
3 8 5
4
c)
x x
x x
4 12
3
4
2
II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Điều kiện Kết tập nghiệm
a > 0
S =
b a
;
a < 0
S = b a;
a = 0 b 0 S =
b < 0 S = R
f(x) = ax + b (a 0)
x
b a
;
a.f(x) < 0
x b a;
(2)d)
x x
x x
4
2
2 19
3
e)
x x
x x
11 2 5
2
8
2
2
f)
x x
x x
1
15 2
3 14 g) x x x x
2 3
4 5
h)
x x x
x x x
3 3( 2) 1
4
4 1
3
18 12
i)
x x
x x
3
4 19
Bài Tìm nghiệm nguyên hệ bất phương trình sau:
a)
x x
x x
5
6
7
8 3 25
2 b) x x x x
15 2
3 14 2( 4)
Bài Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a) {3 m−2 − x >0x+m−1>0 b) {mx −3>0x −1>0 c)
x m mx
x x
2
4
3 2
d) x x x m
7 19
2
e)
mx
m 0x m
(3 2)
VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui bất phương trình bậc ẩn
1 Bất phương trình tích
Dạng: P(x).Q(x) > (1)(trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.)
Cách giải: Lập bảng xét dấu P(x).Q(x) Từ suy tập nghiệm (1). 2 Bất phương trình chứa ẩn mẫu
Dạng:
P x
Q x( ) 0( ) (2)
(trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.)
Cách giải: Lập bảng xét dấu P x Q x
( )
( ) Từ suy tập nghiệm (2).
Chú ý: Không nên qui đồng khử mẫu. 3 Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ
Tương tự giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Dạng 1:
g x f x g x
g x f x g x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Dạng 2:
g x
f x có nghóa f x g x g x
f x g x f x g x
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Chú ý: Với B > ta có: A B B A B ;
A B A B A B
.
(3)a) (x1)(x1)(3x 6) 0 b) (2x 7)(4 ) 0 x c) x2 x 20 2( x 11) d) (2x x7)(9 ) 0 x e) x38x217x10 0 f) x36x211x 6
Bài Giải bất phương trình sau:
a)
x x
x
(2 5)( 2) 0
4
b)
x x
x x
3
1
c)
x x
x x
3
5
d) x x
3 4 1
2
e)
x x
2 1
2
f) x x
2
1 2
g) x x
4
3
h)
x x x
x
2 1
1
i)
x x
x x
2
3 2
Bài Giải bất phương trình sau:
a) 3x 7 b) 5x12 3 c) 2x 7
d) 3x15 3 e)
x
x 1
2
f)
x x 2
2
g) 2x x h) 2x 1 x i) x x
Bài Giải biện luận bất phương trình sau:
a)
x m x
2 1 0
1
b)
mx m x 1
c) x1(x m 2) 0
HD: Giải biện luận BPT dạng tích thương:
a x b a x b1 1 2 2 ( )( ) 0
,
a x b x a x b x21 12
(hoặc < 0, 0)
– Đặt
b b
x x
a1 a2
1
1
;
Tính x1 x2. – Lập bảng xét dấu chung a a x1 , 1 x2.
– Từ bảng xét dấu, ta chia toán thành nhiều trường hợp Trong trường hợp ta
xét dấu (a x b a x b1 1)( 2)(hoặc
a x b x a x b x21 12
) nhờ qui tắc đan dấu.
a)
m
m S
m
m S
m S R
3
3 : ( ; 1) ;
2
3 : ; ( 1; )
2 : \ { 1}
b)
m
m S
m m
m S
m
m S
1
0 : ( ;1) ;
1
0 : ;1
0 : ( ;1)
c)
m S
m :3 :S (1;(m 2;) )
(4)1 Dấu tam thức bậc hai
Nhận xét:
a ax2 bx c 0, x R 00
a ax2 bx c 0, x R 00
2 Bất phương trình bậc hai ẩn ax2bx c 0 (hoặc 0; < 0; 0)
Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai
VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn Bài Xét dấu biểu thức sau:
a) 3x2 2x1 b) x24x5 c) 4x212x
d) 3x2 2x e) x22x1 f) 2x2 7x5
g) (3x210x3)(4x 5) h) (3x2 )(2x x2 x1) i)
x x x
x x
2
2
(3 )(3 )
4
Bài Giải bất phương trình sau:
a) 2x2 5x 2 b) 5x24x12 0 c) 16x240x25 0
d) 2x23x 0 e) 3x2 4x 4 f) x2 x 0
g)
x x
x x
2
2
3 4 0
3
h)
x x
x x
2
2
4 1 0
5
i)
x x
x x
2
2
5 8 0
7
Bài Giải biện luận bất phương trình sau:
a) x2 mx m 3 b) (1m x) 2 2mx2m0 c) mx2 2x 4
HD: Giải biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành sau: – Lập bảng xét dấu chung cho a .
– Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm BPT. Bài Giải hệ bất phương trình sau:
a)
x x
x x 2
2
6
b)
x x
x x
2
2
3 10
c)
x x
x x
2
2
3 10
III BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
f(x) = ax2bx c (a 0)
< 0 a.f(x) > 0, x R
= 0
a.f(x) > 0, x
b R
a
\
> 0 a.f(x) > 0, x (–∞; xa.f(x) < 0, x (x1) (x2; +∞)
(5)d)
x x
x x
x x
2 2
4
2 10
2
e)
x x
x x
2
2 24 1 07
f)
x x
x x
2
2 6 01 0
g)
x x
x
2
2
4
1
h)
x x
x x
2
2
1 2 1
13 5 7
i)
x x
x x
2
2
10
1
3
VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai
Bài Tìm m để phương trình sau: i) có nghiệm ii) vơ nghiệm a) (m 5)x2 4mx m 0 b) (m 2)x22(2m 3)x5m 0
c) (3 m x) 2 2(m3)x m 2 d) (1m x) 2 2mx2m0
e) (m 2)x2 4mx2m 0 f) (m22m 3)x22(2 ) m x 0 Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x:
a) 3x22(m1)x m 4 b) x2(m1)x2m 7 c) 2x2(m 2)x m 4 d) mx2(m1)x m 0
e) (m1)x2 2(m1)x3(m 2) 0 f) 3(m6)x2 3(m3)x2m 3 Bài Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm:
a) (m2)x2 2(m1)x 4 b) (m 3)x2(m2)x 0 c) (m22m 3)x22(m1)x 1 d) mx22(m 1)x 4
e) (3 m x) 2 2(2m 5)x 2m 5 f) mx2 4(m1)x m 0
VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui bậc hai
1 Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Dạng 1:
C g x C f xf x g x
f x g x f x g x f x f x g x
f x g x
1
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
Dạng 2:
f x g x f x( ) g x( ) f x( )( ) ( )g x( )
Dạng 3:
g x
f x( ) g x( ) ( ) 0g x( ) f x( ) g x( )
(6) Dạng 4:
g x
f x có nghóa f x g x g x
f x g x f x g x
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Chú ý: A A A 0 ; A A A 0
Với B > ta có:
A B B A B ;
A B A B A B
.
A B A B AB 0 ; A B A B AB 0
2 Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu căn
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu ta thường dùng phép nâng luỹ thừa đặt ẩn phụ để khử dấu căn.
Dạng 1:
g x f x g x
f x g x
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Dạng 2:
f x hoặc g x f x g x
f x( ) (g x ( ) 0)
( ) ( )
( ) ( )
Dạng 3:
t f x t a f x b f x c
at2 bt c
( ),
( ) ( )
0
Dạng 4: f x( ) g x( )h x( ) Đặt
u f x u v v g x( )( ) ; ,
đưa hệ u, v.
Dạng 5:
f x f x g x g x
f x g x
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Dạng 6:
g x f x f x g x g x
f x g x
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
Bài Giải phương trình sau:
a) x2 5x4 x26x5 b) x21 x2 2x8 c) 3 x2 6 x2 0
d) x x 3 e) x21 1 x f)
x x
x x 1
1 ( 2)
Bài Giải bất phương trình sau:
a) 2x2 5x 0 b) x 8 x23x c) x21 2 x0
d) x24x3 x2 4x e) x x 1 f) x2 3x2x2 2x
g)
x x
x x
2
4 1
2
h)
x x
2 5 0
3
i)
x x2 x
2 3
5
(7)a) 2x 3 x b) 5x10 8 x c) x 2x 4
d) x22x4 2 x e) 3x2 9x 1 x f)
x2 x x
3 1
g) 3x 7 x 1 h) x2 9 x2 2 i)
x x
x
x x
21 21 21
21 21
Bài Giải phương trình sau: (nâng luỹ thừa)
a) 3x 5 3x6 32x11 b) 3 x 1 33x 1 3x1 c) 31 x 31 x 2 d) 3x 1 x 2 3x 3
Bài Giải phương trình sau: (biến đổi biểu thức căn)
a) x 2 2x x 2 2x 2
b) x 5 x 1 x 2 x 1
c) 2x 2x 2 x 3 2x1 2 x 8 2x1 4 Bài Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ)
a) x2 6x 9 x2 6x6 b) (x4)(x1) 3 x25x2 6
c) (x 3)23x 22 x2 3x7 d) (x1)(x2)x23x Bài Giải phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)
a) 3x25x 8 3x25x 1 b) 35x 7 35x13 1
c) 39 x 1 37 x 1 d) 324 x 35 x 1
e) 447 2 x435 2 x 4 f)
x x x x x
x
2
4356 4356 5
Bài Giải bất phương trình sau:
a) x2 x 12 8 x b) x2 x12 7 x c) x2 4x21 x
d) x2 3x10 x e) 3x213x4 x f) 2x 6x2 1 x
g) x 3 7 x 2x h) 2 x 7 x 3 2x i) 2x 3 x2 1 Bài Giải bất phương trình sau:
a) (x 3)(8 x) 26 x211x b) (x5)(x 2) ( x x3) 0
c) (x1)(x4) 5 x25x28 d) 3x25x 7 3x25x2 1
Bài 10.Giải bất phương trình sau:
a)
x x
x 4
2
b)
x x
x
2 15 17 0
3
c) (x3) x2 4x2 d)
x x x x
x x
2 6 6
2
Bài 11.Giải bất phương trình sau:
a) x 2 2x 8 b) 32x2 1 33x21 c) 3x 1 x 3.
(8)Bài Chứng minh bất đẳng thức sau:
a) a3b3c3 a b c, với a, b, c > xyz = 1.
b)
a b c a b c a b c
a b c
, với a, b, c > 0.
c) p a p b p c a b c
1 1 21 1
, với a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi.
d) a b1b a1ab, với a 1, b 1.
HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a3b3c333a b c3 3 3 2(a3b3c3) 6 (1)
a3 1 33a3 a3 2 3a (2) Tương tự: b3 2 3b (3), c3 2 3c
(4)
Cộng BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta đpcm.
b) BĐT
b a b c c a
a b c b a c
Dễ dàng chứng minh.
c) Áp dụng BĐT: x y x y
1
, ta được: p a p b p a p b c
1 4
.
Tương tự: p b p c a p c p a b
1 4; 1
Cộng BĐT đpcm.
d) Áp dụng BĐT Cô–si:
a ab a ab a b a ab a
2
.
Tương tự:
ab b a 1
2
Cộng BĐT ta đpcm Dấu "=" xảy a = b = 2. Bài Tìm GTNN biểu thức sau:
a) A x x
1
, với x > 1.
b) B
x y
4
4
, với x, y > x y 5 4
c) C a b a b
1
, với a, b > a b 1 .
d) D a 3b3c3, với a, b, c > ab bc ca 3 .
HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = x x
1
( 1)
1
Dấu "=" xảy x = Vậy minA = 3.
b) B =
x y
x y
4 4 4 5
4
x y
x y
4
2 4 5
4
Dấu "=" xảy x1; y 14 Vậy minB = 5.
c) Ta có a b a b
1
B a b a b a b a b a b
4
a b
3
2 5
.
Dấu "=" xảy a = b =
1
2 Vậy minC = 5.
(9) 2(a3b3c3) 3( ab bc ca ) 9 a3b3c33.
Dấu "=" xảy a = b = c = Vậy minD = 3. Bài Tìm GTLN biểu thức sau:
a) A a 1 b1, với a, b –1 a b 1 .
b) B x 2(1 ) x , với < x <
1 .
c) C(x1)(1 ) x , với 1 x 1
HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,1, a1, b1 ta được:
A1 a 1 b 1 (1 1)( a 1 b 1) 6 Dấu "=" xảy a = b =
1 2.
maxA = 6.
b) Áp dụng BĐT Cô–si: B =
x x x
x x x
3
1
(1 )
3 27
.
1
3 Vậy maxB = 27.
c) Áp dụng BĐT Cô–si: C =
x x
x x
2
1(2 2)(1 ) 2
2 2
.
Dấu "=" xảy x =
1
Vậy maxC =
9 8.
Bài Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a)
x m mx
x x
2
4
3 2
b)
x x
m x 3 4 0
( 1)
c)
x x
x m
7 19
2
d)
x x
m x2 12
Bài Tìm m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm:
a)
mx x m
x x
2
9
4
b)
x x
mx m
2 10 16 0
3
Bài Giải bất phương trình sau:
a) x
x x2 x
2
3
6
b)
x x x
x
x x
2
2
5
5
c)
x x
x2 x x3
2
1
1
d) x x x
2 1 0
1
Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
a) (m1)x2 2(m3)x m 2 b) (m1)x22(m 3)x m 3 Bài Tìm m để biểu thức sau không âm:
a) (3m1)x2 (3m1)x m 4 b) (m1)x2 2(m1)x3m Bài Tìm m để biểu thức sau âm:
(10)a)
x x
mx m x m
2
2
8 20 0
2( 1)
b)
x x
m x m x m
2
2
3 0
( 4) (1 )
c)
x mx
x x
2
2 1
2
d)
x mx x x
2
2
4
1
Bài 11.Tìm m để phương trình sau có:
i) Một nghiệm ii) Hai nghiệm phân biệt iii) Bốn nghiệm phân biệt a) (m 2)x4 2(m1)x22m1 0 b) (m3)x4 (2m1)x2 0
Bài 12.Giải phương trình sau:
a) (x1) 16x17 ( x1)(8x 23) b) x x x x 2
21 4 6 0
4 10
c)
x x
x2 x x2 x
2 13 6
2 3 2 3 d)
x x
x
2 1
1
Bài 13.Giải phương trình sau:
a) x2 8x12 x2 8x12 b) x 3 x1 x 8 x1 1
c) 2x 1 3 d) x 14x 49 x 14x 49 14
e) x 1 x2 2(2x21) Bài 14.Giải bất phương trình sau:
a) x2 4x 4 x17 b) x1 x2 3 c) 2 x 3 x 1 x
d)
x x
x
2
5 4 1
4
e)
x x2 x
2 1
2
3
f) x x2 5x9
g) x2 2x 2 x1 h) 2 x 1 x 3 x1
Bài 15.Giải phương trình sau:
a) x 2x 3 b) 2x 3 x 1 3x2 (2x3)(x1) 16
c) x 4 1 x 2 x d) x 1 4 x (x1)(4 x) 5
e) 4x 1 4x21 1 f) 3x 2 x1 4 x 3 x2 5x2
g) (x5)(2 x) 3 x23x h) x x( 4) x24x (x 2)2 2
i) x2 x211 31 k) x 9 x x29x9 Bài 16.Giải bất phương trình sau
a) x2 8x12 x4 b) 5x261x 4x2 c)
x x x
2 4 3 2
d)
x x
x
2
3(4 9) 3
3
e) (x 3) x24 x2 f)
x x
x
2
9 3 2
5