Đang tải... (xem toàn văn)
- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.. 2b)..[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN a) LÍ THUYẾT
1a Phép chia hết phép chia có dư
1a.1) Hai số nguyên a b ( b>0) Khi chia a cho b ta có a chia hết cho b a không chia hết cho b
+ a chía hết cho b , kí hiêu a ⋮ b ta củng nói b chia hết a hay b ước a , a bội b
+ Định nghĩa : a⋮b⇔ có số nguyên q cho a = bq
+ a không chia hết cho b chia a cho b ta thương q số dư r ( < r < b) viết : a = bq + r với < r < b
Tổng quát :
+ Với hai số nguyên a b ( b > ) ln có hai số ngun q r ( ≤ r < b) cho a = bq + r Nếu r = a chia hết cho b Nếu r ≠ a khơng chia hết cho b
+ Khi chia số nguyên a cho số nguyên b ( b >0) số dư r b số từ đến b – 1a.2) Ước chung lớn bội chung nhỏ
+ Định nghĩa :
- Số nguyên d ước chung a b d ước a d ước b
- Số nguyên dương lớn tập hợp ước chuung a b gọi ước chung lướn a b Ước chung lớn a b kí hiêu ƯCLN(a ,b) hay (a,b)
- Số nguyên m bội chung a b m ⋮ a m ⋮ b
- Số nguyên dương nhỏ tập hợp bội chung a, b gọi la bội chung nhỏ a b Bội chung nhỏ a b kí hiêu BCNN(a, b) hay [a , b]
1a.3) Các tính chất chia hết
+ Nếu (a, b) = gọi a, b hai số nguyên tố + Số nguyên tố số lớn có hai ước
Định lí : Mội số nguyên lớn phân tích thừa số nguyên tố cách ( không kể thứ tự thừa số)
Định lí : vơi a, b, c số nguyên dương a) ( ac , bc) = c(a,b)
b) (a c ,
b c)=
(a , b)
c với c ƯC(a, b) Định lí : ac⋮b (a,b) = ⇒ c ⋮ b Định lí : c⋮a , c⋮b (a,b) = ⇒ c ⋮
Định lí 4: Nếu (a, b) =d tồn hai số nguyên x0 , y0 cho
ax0 + by0 = d , x0 , y0 xác định thuật toán Ơ-clit
Thuật toán Ơ-clit :
a = bq + r với ≤ r ≤ b – (a,b) = (b, r) 2a Đa thức :
+ Định nghĩa đơn thức : sgk lớp + Định nghĩa đa thức : sgk lớp +Các đẳng thức đáng nhớ :
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 a2 – b2 = (a + b )( a – b )
( a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 a3 ± b3 = ( a ± b)( a2 ∓ ab + b2)
+ Phân tích đa thức thành nhân tử
(2)+ Các phép tốn + Tính chất 4a Phân thức
+ Định nghĩa : sgk lớp
5a Các phép biến đổi phương trình
+ Định nghĩa phương trình nhiều biến : sgk lớp + Định nghĩa nghiệm phương trình : sgk lớp + Định nghĩa hai phương trình tương đương sgk lớp + Các phép đổi phương trình : sgk lớp
Phép chuyễn vế hạn tử Phép nhân cố khác
+ Phương trình bậc hai cách giải : sgk lớp 6a Căn thức bậc hai : sgk lớp
+ Định nghĩa
+ Các phép biến đổi
b) CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGHUYÊN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1b Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c (*) a,b nguyên khác Cách giải 1:
+ Nếu (a,b) = d ≠ c khơng chia hết cho d phương trình (*) vô nghiệm
+ Nếu (a, b, c) = d ≠ Thì ta chia hai vế phương trình (*)cho d để phương trình đơn gian Ví dụ :
6x + 4y = 14 ⇔ 3x + 2y = 12x + 6y = 15 ⇔ 4x + 2y =
+ Nếu (a ,b) = phương trình (*) có nghiệm ngun nghiệm xác định : ¿
x=x0+bt y= y0−at
¿{ ¿
Trong t Z (x0 ; y0) nghiệm riêng phương trình (*)
Xác định nghiệm riêng theo định lí Chứng minh :
Ta có (a, b) = ⇒ có hai số nguyên p , q : ap + bq = ⇒ apc +bqc = c Mà ax + by = c nên : a(x – pc ) = b( qc – y) (1) , (a, b) =
⇒ ( x – pc ) ⋮b ⇒ có số nguyên t cho : x = pc +bt hay x = x0 + bt (2)
Với x0 = pc
Thay (2) vào (1) : abt = b(qc – y) ⇒ y = qc – at hay y = y0 – at với y0 = qc
Ví dụ : Giải phương trình 40x + 31y = Giải :
Ta có (40,31) = nên phương trình có nghiệm ngun Tìm nghiệm riêng :
40 = 31.1 + 31 = 9.3 + = 4.2 +
⇒ 40.7 + 31.( -9) = ⇒ x0 = , y0 = -
(3)Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình: 11x + 18y = 120
Giải:
Ta thấy 11 6x nên x6 Đặt x = 6k (k nguyên) Thay vào (1) rút gọn ta được: 11k + 3y = 20
Biểu thị ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được:
20 11
k y
Tách riêng giá trị nguyên biểu thức này:
1
3 k y k
Lại đặt k
= t với t nguyên suy k = 3t + Do đó:
7 4(3 1) 11
6 6(3 1) 18
y t t t
x k t t
Thay biểu thức x y vào (1), phương trình nghiệm Vậy nghiệm nguyên (10 biểu thị công thức:
18 11
x t
y t
với t số nguyên tùy ý Cách giải:
- Rút gọn phương trình, ý đến tính chia hết ẩn
- Biểu thị ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn - Tách riêng giá trị nguyên biểu thức x
- Đặt điều kiện để phân bố biểu thức x số nguyên t1, ta phương trình bậc hai ẩn y t1
- Cứ tiếp tục ần biểu thị dạng đa thức với hệ số nguyên
2b) Phương trình bậc ba ẩn
Cơng nhận tính chất : Người ta chứng minh : Một phương trình bậc n ẩn ( sau chia hai vế phương trình cho UCLN hệ số nó) có nghiệm nguyên hệ số ẩn nguyên tố
Ví dụ 1: Giải phương trình 2x – 5y – 6z = Giải :
Phương trình có nghiệm ngun (2,5,6) = Ta có ( 2, 5) = nên đưa phương trình dạng 2x – 5y = + 6z
Lấy z= u với u tùy ý Z , đặc c = + 6u Khi ta có phương trình 2x – 5y = c
Phương trình có nghiệm riêng x0 = 3c , y0 = c nghiệm tổng quát
x = 3c – 5t , y = c – 2t với t Z
(4)
¿
x=12− 18 u− t y=4+6u − 2t
z=u ¿{ {
¿
Trong u ,t Z
Ví dụ : Phương trình có hệ số 1ẩn Giải phương trình 6x + y +3z = 15
Nhận xét : x , z lấy giá trị nghuyên ta củng có giá trị y ngun tương ứng Vậy phương trình có nghiệm tổng quát :
¿ x=u y=15 −6 u − 3t
z=t ¿{ { ¿ Trong u ,t Z
3b) Phương trình bậc hai hai ẩn
Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: 5x – 3y = 2xy – 11
Giải: Biểu thị y theo x:
(2x + 3)y = 5x + 11
Dễ thấy 2x + ( x nguyên ) đó:
5 11
2
2 3
x x
y
x x
Để y phải có x5 2 x3 2(x5) 2 x3 2x 3 2 x3 2 x3
Ta có:
Thử lại cặp giá trị (x , y) thỏa mãn phương trình cho Ví dụ 2:Tìm nghiệm nguyên phương trình:
x2 2x 11y2 Giải:
Cách 1: Đưa phương trình ước số: x2 2x 1 12y2
2 (x 1) y 12
(x y x)( y) 12
Ta có nhận xét:
a) Vì (1) chùa y có số mũ chẵn nên giả thiết y 0 Thế x 1y x 1 y
2x + -1 -7
X -1 -2 -5
(5)b) (x 1y) ( x 1 y) 2 y nên x 1yvà x1 y tính chẵn lẻ Tích chúng 12 nên chúng chẵn
Với nhận xét ta có hai trường hợp:
x – + y -2
x – - y -6
Do đó:
x - -4
y 2
x -3
Đáp số: (5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; 2), (-3 ; -2) Cách 2:
Viết thành phương trình bậc hai x: x2 2x (11y2) 0
2
' 11 y 12y
Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên: '
số phương 12y2 k k2( )
2 12 ( )( ) 12
k y k y k y
Giả sử y 0 k + y k – y k + y 0
(k + y) – (k – y) = 2y nên k + y k – y tính chẵn lẻ phải chẵn Từ nhận xét ta có:
6
k y k y
Do đó: y =
Thay vào (2): x2 2x 15 0 x15,x2 3
Ta có bốn nghiệm: (5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; -2), (-3 ; 2) Ví dụ 4: Tìm nghiệm ngun phương trình: x22y23xy x y 3 (1) Giải:
Viết thành phương trình bậc hai x:
x2(3y 1)x(2y2 y3) 0 (2)
2 2
(3y 1) 4(2y y 3) y 2y 11
Điều kiện cần đủ để (2) có nghiệm nguyên số phương
2 2 11 2( )
y y k k
(3) Giải (3) với nghiệm nguyên ta y15,y2 3
Với y = thay vào (2) x214x48 0 Ta có: x1 8,x2 6 Với y = -3 thay vào (2) x210x24 0 Ta có x3 6,x4 4 Đáp số: (-8 ; 5), (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3)
4b) Phương trình chứa thức
(6)y x2 x1 x x Giải:
Điều kiện: x 1
( 1) ( 1)
y x x x x
| x1 1| | x1 1| x1 | x 1| Xét hai trương hợp:
a) Với x = y =2
b) Với x 2 y x 1 x 1 2 x1
Do đó:y2 4(x 1) Do x 2nên đặt x – = t2 với t nguyên dương
Ta có:
2 x t y t
Kếtt luận: nghiệm phương trình là: (1 ; 2), ( t 2 ; 2t) với t số nguyên dương tùy ý Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình:
x x x x y Giải:
Ta có: x0,y0
Bình phương hai vế chuyển vế:
2 ( )
x x x y x k k Bình phương hai vế chuyển vế:
2 ( )
x x k x m m Bình phương hai vế:
2 x x m
Ta biết với x nguyên x số nguyên số vô tỉ Do x x m2 (m )nên x khơng số vơ tỉ Do x số nguyên số tự nhiên
Ta có: x( x1)m2
Hai số tự nhiên liên tiếp x x 1 có tích số phương nên số nhỏ 0: x =
Suy ra: x = 0; y = thỏa mãn phương trình cho Nghiệm phương trình (0 ; 0)
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y 1980 (1)
Giải:
x 1980 y (2) Với điều kiện 0x y, 1980:
(7) x1980y 12 55y
Do x, y nguyên nên 12 55y nguyên Ta biết với y nguyên 55y số nguyên số vơ tỉ Do 55y số nguyên, tức 55y số phương:
11.5.y = k2 Do đó: y = 11.5.a2 55a2 với a Tương tự: x = 55b2 với b
Thay vào (1):
55 55 55
6
a b
a b
Giả sử yx a b Ta có:
A b x 55a2
y55b2
0
6
0 55 220 495
1980 1375 880 495
Có đáp số: (0 ; 1980), (1980 ; 0), (55 ; 1375), (1375 ; 55), (220 ; 880), (880 ; 220), (495 ; 495)
c) Bài tập
Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình : a) 5x +3y = ; b) 32x – 40y = 38 c) 38x + 117y = 15 ; d) 21x – 17y = -3 e) 2x + 3y + 5z = 15 ; f) 23x – 53y + 80z = 101
Bài Tìm số tự nhiên chia hết cho chia cho , , 4, , cho số dư 1
Bài Tìm năm sinh nhà thơ Nguyễn Du , biết ông sống không 86 năm năm 1786
tuổi ông tổng chữ số năm ông sinh
Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xy2 + 2xy – 243y + x = 0
Hướng dẫn:
Ta có xy2 + 2xy – 243y + x = x(y + 1)2 = 243y (1)
Từ (1) với ý (y + 1; y) = ta suy (y + 1)2 ước 243.
Vậy (x, y) = (54, 2) ; (24, 8)
Bài Tìm x, y thỏa mãn : 2x2 – 2xy = 5x – y – 19
Tìm tất cặp nghiệm nguyên (x, y) thỏa mãn : y(x – 1) = x2 + 2.
Hướng dẫn:
Ta có y(x – 1) = x2 +
2 2 3
1
1
x
y x
x x
(8)a) 15x2 – 7y2 = 9
b) 29x2 – 28y2 = 2000
c) 1999x2 – 2000y2 = 2001
Hướng dẫn:
a) Từ phương trình cho ta suy y chia hết cho Đặt y = 3y1 Ta có
5x2 – 21y
12 = (1)
Từ (1) suy x chia hết cho Đặt x = 3x1 Ta có
15x12 – 7y12 = (2)
Từ (2) suy y12 ≡ -1 (mod 3), vơ nghiệm
b) Từ phương trình cho ta suy x2 ≡ (mod 7) Vậy phương trình cho vơ nghiệm
c) Từ phương trình cho ta suy x2 ≡ -1 (mod 4) Vậy phương trình cho vơ nghiệm
Bài Tìm x, y nguyên thỏa mãn : x2y2 – x2 – 8y2 =2xy Hướng dẫn:
Viết lại phương trình cho dạng: y2(x2 – 7) = (x + y)2 (1)
Phương trình cho có nghiệm x = y = Xét x, y ≠ Từ (1) suy x2 – số phương Đặt x2 – = a2, ta có
(x – a)(x + a) = Từ tìm x
Đáp số: (0, 0) ; (4, -1) ; (4, 2) ; (-4, 1) ; (-4, -2) Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x2 y z
Hướng dẫn:
Vì vai trị x, y, z nên giả sử y z Từ phương trình cho ta suy
2
x y z yz Suy
(x y z )24 3(x y z ) 4 yz12 (1) Vì số vô tỉ nên từ (1) ta suy :
x – y – z = 4yz – 12 = yz = y = 3, z = x = y + z =4 Đáp số : phương trình có nghiệm (4; 3; 1) (4; 1; 3)
Bài 9. Tìm số ngun khơng âm x, y cho :
x2 y2 y1 Hướng dẫn:
Nếu y = x =
Nếu y từ phương trình cho ta suy y < x < y + 1, vơ lí
Bài 10 Tìm nghiệm x , y nguyên dương phương trình : y2 = x2 + 12x + 1995 (1)
Ta có (1) ⇔ y2 = (x + 6)2 + 1959 1959 y 45
Ta có -1959 = (x + 6)2 - y2 = (x + y + 6)(x - y + 6) với x + y + 52 1959 = 653
Bài 11 Tìm số tự nhiên có chữ số biết chia cho 131 cịn dư 112 chia cho 132 dư
98 ( HSG Bến tre )
(9)Bài 13 Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m – = ( m tham số ) (*)
a) Cm phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với m
b) Tìm số nguyên m cho hai nghiệm x1, x2 (*)củng số nguyên
( HSG Gia Lai )
Bài 14 Cho phương trình x2 – 2ax – (a + 3) = ( a tham số ) ( 1)
a) giải (1) với a =
b) Tìm a nguyên cho ( 1) có nghiệm nguyên
( HSG Hải Phòng )
Bài 15 Tìm nghiệm nguyên phương trình 5( x2 + xy + y2 ) = ( x + 2y)