bai tap ve phuong trinh nghiem nguyen 15756

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆm NGUYÊN Trong chương trình toán THCS và THPT thì phương trình nghiệm nguyên vẫn luôn là một đề tài hay và khó đối với học sinh . Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các kì thi lớn , nhỏ , trong và ngoài nước . Trong bài viết này tôi chỉ muốn đề cập đến các vấn đề cơ bản của nghiệm nguyên ( các dạng ; các phương pháp giải ) chứ không đi sâu ( vì vốn hiểu biết có hạn ). Tôi cũng sẽ không nói về phương trình Pell ( vì nó có nhiều trong các sách ) và phương trình Pythagore ; Fermat ( cũng có nhiều trong sách ; khái niệm rất đơn giản ) Chú ý : các bạn có thể tìm đọc thêm cuốn “ phương trình và bài toán nghiệm nguyên “ của thầy Vũ Hữu Bình . Phương Pháp 1 Áp Dụng Tính Chia Hết Dạng 1 :phương trình dạng Ví dụ 1:: giải phương trình nghiệm nguyên sau :Giải:Có thể dễ dàng thấy chẵn . Đặt .Phương trình trở thành :Từ đó ta có nghiệm phương trình này : Chú ý : Ta còn có cách thứ để tìm nghiệm của phương trình trên . Đó là phương pháp tìm nghiệm riêng để giải phương trình bậc nhất ẩn Ta dựa vào định lí sau : Nếu phương trình với có tập nghiệm là thì mọi nghiệm của phương trình nhận từ công thức : Định lí này chứng minh không khó ( bằng cách thế trực tiếp vào phương trình ) Dựa vào định lý này ; ta chỉ cần tìm nghiệm riêng của phương trình . Đối với các phương trình có hệ số nhỏ thì việc tìm nghiệm khá đơn giản nhưng với các phương trình có lớn thì không dễ dàng chút nào . Do đó ta phải dùng đến thuật toán ơ cơ lit ( các bạn có thể tìm đọc các sách ; tôi sẽ không nói nhiều về thuật toán này ) . Ngoài ra còn có thêm phương pháp hàm Euler .Dạng 2 : Đưa về phương trình ước số :Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải :Lập bảng dễ dàng tìm được nghiệm phương trình trên . Ví dụ 3:Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải :là số chưa biết ; sẽ đc xác định sau .Xét phương trình : Chọn Từ đó ta có phương trình ước số : Dạng 3:Phương pháp tách các giá trị nguyênVí dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải : Phương Pháp 2 : Phương Pháp Lựa Chọn Modulo ( hay còn gọi là xét số dư từng vế ) Trước tiên ta có các tính chất cơ bản sau :số chính phương chia dư ; chia dư ; chia dư Ví Dụ 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải:Còn Do đó phương trình trên vô nghiệm. Có thể mở rộng thêm cho nhiều modulo như và mở rộng cho số lập phương ; tứ phương ; ngũ phương . Ta đến với Ví Dụ sau : Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :Giải:Dễ thấy Mặt khác : chẵn thì ; lẻ thì Còn ( vô lí)Do đó phương trình trên vô nghiệm. Chú ý : Nhiều bài toán nghiệm nguyên trong đề thi vô địch toán các nước đôi khi phải xét đến Onthionline.net Bài tập phương trình nghiệm nguyên Bài Giải phương trình sau 2x+13y=156 3xy+x y=1 2x2 +3xy -2y2 =7 , x3 - y3 =91 x2 -xy=6x-5y-8 Bài , Giải phương trình sau a.3 x − y = 13 b.19 x + 28 y = 2001 c x = y − z + d x − x + x = 24(5 y + 1) e,3 x − x + x − 18 x = 2001 Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình sau a, x + xy + y = x + y b, x + xy + y = x + y c, x − xy + y = y d , x − xy + +5 y = y + Bài Tìm nghiệm nguyên pt sau ( ) a,7 x + xy + y = 39( x + y ) b,3( x − xy + y ) = 7( x + y ) 2 c,5( x + xy + y ) = 7( x + y ) d ,8 y − 25 = xy + x Bài Tìm nghiệm nguyên pt 1, x(x+1)(x+2)(x+3)=y2 2, x3 -y3 =xy+8 3, (x2 +y)(x+y2 )=(x+y)3 4, x + y = 3xy + 5, x − y = xy + 25 6, x + y = y Bài CMR phương trình sau nghiệm nguyên a, x + y = 2004 b, x − x y + y = c, ( x + y ) + x + y = 3996 d, x2 − y3 = e, x + y + z = 1999 f , x + y + z = 2003 Bài Tìm tất cặp x,y z nguyên dương thoả mãn a) x2 − có giá trị nguyên xy + b)2(y+z)=x(yz -1) Họ và tên : .Lớp 11A1 - Trờng THPT Kim Bôi Luyện tập phơng trình lợng giác Bài 1 : Giải các phơng trình sau : 1.) Sin(3x+20 0 ) + sin4x = 0 2.) 2sin2x + 5cosx = 0 3.) (tan2x - 1)cos2x = 0 4.) 2cos 2 x + cos2x + sinx = 0 5.) = 0 6.) = 0 7.) sinx + cosx = cos2x 8.) sinx + sin2x + sin3x = 0 9.) tan4xtanx = -1 10.) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 11.) sin 4 x + cos 4 x - cos2x + sin 2 2x - 2 = 0 12.) 3( tanx + cotx ) = 2( 2 + sin2x) 13.) sin 2 3x - cos 2 4x = sin 2 5x - cos 2 6x 14.) = 2( 1 + sinx) 15.) tg2x tg3x tg5x = tg2xtg3xtg5x 16.) 2tan 2 x + + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 17.) = cot2x - 18.) tan 4 x + 1 = 19.) tanx + cosx - cos 2 x = sinx (1+ tanx tan) 20.) cotx - 1 = + sin 2 x - sin2x 21.) 3 - tanx( tanx + 2sinx ) + 6cosx = 0 22.) cos2x + cosx( 2tan 2 x - 1 ) = 2 23.) cotx - tanx + 4sin2x = 24.) cos4x - 8cos 6 x + 2cos 2 x + 3 = 0 25.) = 1 26.) sin 2 ( - 4 )tan 2 x = cos 2 27.) = cosx 28.) (sinx + cosx) 3 - ( sin2x + 1) + sinx + cosx - = 0 29.) 2cos2x - 8cosx + 7 = 30.) 2sin 3 x + cos2x - cosx = 0 31.) = tan2x 32.) sin( - x) = sin( + 3x) 33.) cos( - x) = - sin( x + ) 34.) tan(2x + ) - cot(2x + ) = 2 35.) cos(2x + ) + 4cos( - x) = 36.) sin 3 (x + ) = sinx 37.) sin(3x - ) = sin2x.sin(x + ) 38.) sin 4 x + cos 4 x = cot(x + )cot( - x) 39.) 8cos 3 ( x + ) = cos3x 40.) sin 2 (x - 4 ) + tan 2 2x = 0 41.) cosxcos2xcos4xcos8x = 16 1 42.) sinx + sin2x +sin3x +sin4x = cot 43.) cosxcos2xcos3x sinxsin2xsin3x = 2 1 44.) sin 3 xsin3x + cos 3 xcos3x = 4 2 45.) + cosx = 0 46.) 2sin( x + ) = + 47.) 0sin2)1(cos2cossin 322 =++ xxtgxxx 48.) 8cos 6 x + 2sin 3 x sin3x - 6cos 4 x - 1 = 0 49.) cos2x + 5 = 2( 2 - cosx )(sinx - cosx ) 50.) = 1 51.) sin 2 x + sin 2 3x = cos 2 2x + cos 2 4x 52.) 3tan 3 x- tanx + -8cos 2 ( - )= 0 53.) 2sin 3 x - sinx = 2cos 3 x - cosx + cos2x 54.) tg2x + sin2x = cotgx 55.) = 56.) sinxcosx + cosx = - 2sin 2 x - sinx + 1 57.) cos = cos 2 58.) sin2x + cos2x + tanx = 2 59.) sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x = 2 60.) 6sinx - 2cos 3 x = 5sin2xcosx Bài 2 : Tìm nghiệm thuộc khoảng )2,0( của phơng trình : 32cos) 2sin21 3cos3sin (sin5 += + + + x x xx x Bài 3 : Xác định m để phơng trình sau có nghiệm : 4 4 2( ) 4 2sin2 0sin x cos x cos x x m+ + + - = 1 Hä vµ tªn : .Líp 11A1 - Trêng THPT Kim B«i Bµi 4 : Cho ph¬ng tr×nh : sin 3 x + cos 3 x = msinxcosx a.) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b.)T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. Bµi 5 : Cho ph¬ng tr×nh : 2 2 2 2 . . ( )cos x sin x cosx sinx cos x m sinx cosx+ + = + a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2 b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x ∈ [0 ; ] Bµi 6 : T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh : cos2x + (2m - 1)cosx + 1 - m = 0 cã nghiÖm x ∈ ( ; π) -------------------HÕt--------------------- 2 bài tập Ph ơng trình , hệ PT mũ và lôgarit A- Ph ơng trình Bài 1: Giải các phơng trình sau (PP Đa về cùng cơ số) 1.) 2(1 ) 16 8 x x = 2.) 2 8 log ( 6 9) 2log 1 2 3 x x x x + = 3.) ( ) 2 1 1 3 2 2 2 4 x x x + = 4.) 1 1 3 5 5 2 2 x x x x+ + + = + 5.) 1 2 log log 0 a a a x x a = , (0 < a 1) 6.) log 2 x + log 4 x + log 8 x = 11 7.) log 2 x + log 3 x + log 4 x = log 20 x 8.) log 2 x + log 3 x + log 4 x = log 2 xlog 3 x log 4 x 9.) 2 3 4 8 2 log ( 1) 2 log 4 log (4 )x x x+ + = + + 10.) 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 log ( 1) log ( 1) log ( 1) log ( 1)x x x x x x x x+ + + + = + + + + Bài 2: Giải các phơng trình sau (Phơng pháp đặt ẩn phụ ) 1.) 2 2 3 3 log (log ) log (log ) 2x x+ = 2.) 3 3 2 2 4 log log 3 x x + = 3.) 4 2 2 4 log (log ) log (log ) 2x x + = 4.) 4 2 2 3 log ( 1) log ( 1) 25x x + = 5.) ( ) 27 log 27 27 10 1 log log 3 x x x + = 6.) ( ) 2 log 2 2 2 x x + = 7.) ( ) ( ) 3 3 2 2 log 25 1 2 log 5 1 x x+ + = + + 8.) 1 1 1 49 35 25 x x x = 9.) ( ) ( ) 2 3 3 5 3 5 2 x x x+ + + = 10.) 2 1 1 5.3 7.3 9 2.3 1 0 x x x x + + = 11.) ( ) ( ) 3 5 21 7 5 21 2 x x x+ + + = 12.) ( ) ( ) cos cos 7 4 3 7 4 3 4 x x + + = 13.) 2 2 sin cos 4 4 5 x x + = 14.) 1 1 1 8 2 18 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x + = + + + + 15.) 3 3( 1) 1 12 2 6.2 1 2 2 x x x x + = 16.) 1 cot 2 tan 2 2 tan 2 x x x+ = 17.) ( ) 2 2 2 1 1 4 2 2 1 x x x x + + + = + 18.) 6 log (6 ) 5 7 36. 0 x x x = 19.) 4 2 2 3 log ( 1) log ( 1) 25x x + = ( ) ( ) 2 2 9 3 log 3 4 2 1 log 3 4 2x x x x+ + + = + + Bài 3 : Giải các phơng trình sau ( PP logarit hóa) 1.) 2 x 2x x 3 2 .3 2 = . 2.) 2 2 2 1 2 9 x x x+ + = . 3.) 2x 1 x x 1 5 .2 50 + = 4.) x x x 2 3 .8 6 + = 5.) x x 7 5 5 7= . 6.) 1 2 1 4.9 3. 2 x x + = 7.) [ ] 2 log 4( 2) 3 ( 2) 4( 2) x x x = 20.) Bài 4 : Giải các phơng trình sau (Phơng pháp đánh giá, dùng hàm số ) 1.) 1 2 3 x x + = 2.) 3 4 5 12 x x x x + + = 3.) ( ) 2 6 2 log logx x x+ = 4.) ( ) 3 7 log 2 logx x+ = 5.) 3 4 0 x x+ = 6.) 1 2 4 1 x x x + = 7.) ( ) 3 3 8 2.2 1 log 1 log x x x x + = + 8.) 2 2 3 2 3 log 3 2 2 4 5 x x x x x x + + = + + + + 9.) 2 2 log log 2 (2 2) (2 2) 1 x x x x + + = + 10.) ( ) ( ) 1 1 log log 1 1 2 x x x x x x + + + = 11.) ( ) ( ) 2 2 2 1 4 3 1 log 8 2 6 1 0 5 x x x x x x + + + + = Bài 5 : Giải các PT sau ( Tổng hợp ) 1.) 2 x + 5 x = 29 2 x 2.) 4 x = 9 2 x + 7 3.) x + x 3log 2 = x 5log 2 4.) x + x 3log 2 = x 7log 2 - 2 5.) xxx 13125 =+ 6.) xxxx 10532 =++ 7.) xxxx 1412)33(5 =++ 8.) (x + 2)4 x 2 + 4(x + 1)2 x 2 16 = 0 9.) 9 x + 2(x - 2)3 x + 2x 5 = 0 10.) (2 + 3 ) x + (2 - 3 ) x = 4 x 11.) 2 2x - 1 + 3 2x + 5 2x + 1 = 2 x + 3 x + 1 + 5 x + 2 12.) log 2 (1 + 3 x ) = log 2 x 13.) log 3 (x + 1) + log 5 (2x + 1) = 2 14.) ( ) 3 7 log 2 logx x+ = 15.) ln(x 2 - 2x 3) +2x = ln(x 2 - 4x + 3) + 6 16.) 2x 2 - 6x + 2 = log 5 2 )1( 12 + x x 17.) ( ) 2 3 1 log 3 2 1 2 x x x + + = 18.) x 2 x 2 2 2 log (9 7) 2 log (3 1) + = + + . 19.) x 1 x 3 log (9 4.3 2) 3x 1 + = + . 20.) 2 3 ln(sin x) 1 sin x 0 + = . 21.) tan x tan x (5 2 6) (5 2 6) 2+ + = . 22.) 3 2 2log cot x log cosx= . . 23.) 2 2 2 9 9 3 1 x 1 log (x 5x 6) log log (x 3) 2 2 + = + ữ . 24.) 2x 1 x 2 x 2(x 1) 3 3 1 6.3 3 + + + = + + . 25.) x x 1 3 3 log (3 1).log (3 3) 6 + = . 26.) x x x x 4 4 2 2 10 + + + = . 27.) 3 5 5x 5 (log x) log 1 x + = . 28.) 2 2 2 2 4x 2x 1 3 log 4x 4x log 2x 2 + + = + + ữ . 29.) 2 1 2 x x log (cos2x cos ) log (sin x cos ) 0 2 2 + + + = . 30.) 2 3 2 8 2 log (x 1) 2 log 4 x log (x 4)+ + = + + . Bài 5 : Tìm m để phơng trình 2 2 1 2 4(log ) log 0x x m- + = có Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên bậc cao , các bài toán mũ bậc cao và cách ứng dụng bổ đề Hensel để giải nó . Các bạn và mọi người ở đây có thể thấy số học là một nghành quan trọng trong toán học , cùng với sự phát triển của các nghành giải tích , đại số , topo , giải tích phức thì số học vẫn giữ nguyên vai trò của nó . Rất nhiều nghành khác đã được sinh ra để phục vụ cho số học , ngày nay ta gọi là lý thuyết số . Một trong những dạng toán mà học sinh rất khó để xử lý là các phương trình nghiệm nguyên ở dạng mũ , bậc cao khiến người giải khó có cách để hạ bậc hoặc đưa về các phương trình đơn giản hơn ( định lý lớn Fermat là một ví dụ ) , bởi vậy tôi viết bài viết này để phục vụ cho mục đích đó . Dạng toán này khá khó , và mong bạn đọc đừng bỏ xót chi tiết nào , cũng xin nhắc thêm sẽ có một số bài toán chỉ nêu ý tưởng cho người đọc có thể tự giải chứ không phải tất cả các bài toán đều có lời giải sẵn ( nếu ở đây không nói là số thực ta hiểu tất cả các số ở đây là số nguyên ) , các phương pháp ở đây cũng chỉ là kinh nghiệm cá nhân tôi muốn chia sẻ , nó sẽ không phải là hay nhất , hy vọng bạn đã đọc hãy cố gắng tìm tòi nhiều lời giải mới đẹp đẽ và ngắn gọn hơn , làm đẹp thêm bài toán .Đặc biệt với 1 số trường hợp cần xét theo module nào đó để thấy tính chia hết của các số mũ , tôi sẽ chỉ ghi cần xét module nào và phần còn lại sẽ giành cho người đọc .Các bài toán sẽ đề tên địa chỉ lấy ( các web) và tác giả bài toán đó đăng lên hoặc người cung cấp nó cho tài liệu này . Cách ký hiệu , theo thứ tự A , B , C trong đó A là địa chỉ lấy bài toán , B là người đăng nó lên và C là nó được trích từ đề thi nào ( trong phạm vi hiểu biết ) Để có thể giải được các bài toán này ( không nhất thiết là phương trình nghiệm nguyên ) ta cần biết một bổ đề quan trọng sau , được gọi là bổ đề Hensel hoặc nói cách khác là định lý LTE , nó được phát biểu như sau : Cho p là một số nguyên tố , ký hiệu v_p_(x) là số mũ cao nhất trong phân tích của x đối với p Khi đó nếu với hai số nguyên khác nhau a,b , số nguyên dương n và thỏa mãn v_p_(a-b) > 0 thì ta luôn có đẳng thức , hầu hết ta chỉ xét cho p lẻ Là v_p_(a-b) + v_p_(n)=v_p_(a^n-b^n) Trong trường hợp n là số lẻ , ta có thể thay a-b bởi a+b , và lưu ý là cả a,b đều không chia hết cho p Trong trường hợp p = 2 và n là số nguyên dương chẵn , và 2 | x –y ta có V_2_(x^n-y^n)=v_2_(x+y)+v_2_(x-y)+v_2_(n)-2 Chứng minh không nêu ở đây , bài viết chỉ mang tính áp dụng , nếu không bạn có thể xem ở đây : http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/67575-%E1%BB %A9ng-d%E1%BB%A5ng-s%E1%BB%91-mu-l%E1%BB%9Bn-nh %E1%BA%A5t-c%E1%BB%A7a-th%E1%BB%ABa-s%E1%BB%91- nguyen-t%E1%BB%91-trong-cac-bai-toan-s%E1%BB%91-h%E1%BB %8Dc/ * Bài toán 1 ( VMF , bangbang1412 ) Cho x,y là các số nguyên dương , p là một số nguyên tố , tìm tất cả x,y,p thỏa mãn đẳng thức X^3 + y^3 =p^4 Trước hết ta xét cho p là số nguyên tố lẻ .Ta có thể thấy do p là số nguyên tố , nên bắt buộc phải có p|x+y , vì lũy thừa của x,y là lẻ nên ta có thể áp dụng định lý LTE ( lưu ý rằng ở đây ta chỉ xét cho gcd(x,p)=gcd(y,p)=1 ) Ta có ngay v_p_(3)+v_p_(x+y)=v_p_(x^3+y^3)=4 Có thể thấy với p=3 phương trình không có nghiệm nguyên dương do đó v_p_(3)=0 , vì vậy ta có v_p_(x+y)=v_p_(x^3+y^3)=4 vì vậy phải có x+y>= x^3+y^3 , điều này là vô lý . Vậy bắt buộc ta phải có p chẵn , tức là p=2 . Khi đó kiểm tra thấy có duy nhất bộ (x,y,p)=(2,2,2) là thỏa mãn bài toán . * Bài toán 2 ( Trần Quốc Luật ) Giải phương trình nghiệm tự nhiên 33^x + 31 = 2^y Trước hết ta có thể thấy y>=5 do 33^x+31>=32=2^5 Nếu y=5 ta có ngay x=0 Đưa phương trình về I.ĐỀ TÀI: Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 10 tránh những sai lầm khi giải các bài tập về phương trình và bất phương trình. II.ĐẶT VẤN ĐỀ Trong dạy học Toán việc vận dụng lý thuyết đã học để giải bài toán của học sinh còn gặp một số khó khăn và sai lầm.Chính vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp nào để giúp học sinh giải bài toán mà không mắc phải sai lầm là cần thiết và phù hợp . Mặt khác khi đứng trước một bài toán về phương trình hay bất phương trình thì học sinh thường giải theo thói quen mà không biết mình bị sai do không nắm vững lý thuyết vừa học.Việc giải hay sai nhất là học sinh lớp 10 khi giải một phương trình hoặc bất phương trình thì rút gọn hoặc bỏ mẫu mà không ghi thêm điều kiện nào.Những sai sót đó là do trước đây ở THCS học sinh giải phương trình hoặc bất phương trình mà mẫu thường là hằng số nên học sinh rút gọn hoặc bỏ mẫu được Vì lí do trên tôi chọn đề tài : Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 10 tránh những sai lầm khi giải các bài tập về phương trình và bất phương trình. III. CƠ SỞ LÝ LUẬN Ở trường phổ thông,dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau, có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra … Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra), những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học. GV: Trần văn Trứ-Trường THPT Lê Quý Đôn –Tam Kỳ 1 1. Yêu cầu đối với lời giải bài toán + Lời giải không có sai lầm; + Lập luận phải có căn cứ chính xác; + Lời giải phải đầy đủ. Ngoài ba yêu cầu nói trên,trong dạy học bài tập,cần yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn giản nhất, cách trình bày rõ ràng hợp lí. Tìm được một lời giải hay của một bài toán tức là đã khai thác được những đặc điểm riêng của bài toán,điều đó làm cho học sinh “có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” (G. Polya – 1975) 2. Phương pháp tìm tòi lời giải bài toán - Tìm hiểu nội dung bài toán: + Giả thiết là gì ? Kết luận là gì ? Sử dụng kí hiệu như thế nào ? + Dạng toán nào ? (toán chứng minh hay toán tìm tòi ) + Kiến thức cơ bản cần có là gì ? (các khái niệm, các định lí, các điều kiện tương đương, các phương pháp chứng minh, …) - Xây dựng chương trình giải (tức là chỉ rõ các bước tiến hành): Bước 1 là gì ? Bước 2 giải quyết vấn đề gì ? … - Thực hiện chương trình giải: Trình bày bài làm theo các bước đã chỉ ra. Chú ý sai lầm thường gặp trong tính toán, trong biến đổi, … - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: xét xem có sai lầm không ? Có biện luận kết quả tìm được không ? Nếu bài toán có nội dung thực tiễn thì kết quả tìm được có phù hợp với thực tiễn không ? Một điều quan trọng là cần luyện tập cho học sinh thói quen đọc lại yêu cầu của bài toán sau khi đã giải xong bài toán đó, để học sinh một lần nữa hiểu rõ hơn chương trình giải đề xuất, hiểu sâu sắc hơn kiến thức cơ bản đã ngầm cho trong giả thiết. 3. Trình tự dạy học bài tập toán. Trình tự dạy học bài tập toán thường bao gồm các bước sau: Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài toán Hoạt động 2: Xây dựng chương trình giải Hoạt động 3: Thực hiện chương trình giải GV: Trần văn Trứ-Trường THPT Lê Quý Đôn –Tam Kỳ 2 Hoạt động 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải 4. Quan niệm về tiến trình giải toán Giải toán là việc thực hiện một hệ thống hành động phức tạp, vì bài toán là sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan hệ toán học, cần có sự chọn lọc sáng tạo các phương pháp giải quyết vấn đề. Như vậy giải bài toán là tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt được mục đích của bài tập. Đó là một quá trình tìm tòi sáng tạo, huy động kiến thức, kỹ năng, thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết vấn đề đã cho. Theo Howard Gardner, G. Polya, …