Họ và tên : .Lớp 11A1 - Trờng THPT Kim Bôi Luyện tập phơng trình lợng giácBài 1 : Giải các phơng trình sau : 1.) Sin(3x+20 0 ) + sin4x = 0 2.) 2sin2x + 5cosx = 0 3.) (tan2x - 1)cos2x = 0 4.) 2cos 2 x + cos2x + sinx = 0 5.) = 0 6.) = 0 7.) sinx + cosx = cos2x 8.) sinx + sin2x + sin3x = 0 9.) tan4xtanx = -1 10.) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 11.) sin 4 x + cos 4 x - cos2x + sin 2 2x - 2 = 0 12.) 3( tanx + cotx ) = 2( 2 + sin2x) 13.) sin 2 3x - cos 2 4x = sin 2 5x - cos 2 6x 14.) = 2( 1 + sinx) 15.) tg2x tg3x tg5x = tg2xtg3xtg5x 16.) 2tan 2 x + + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 17.) = cot2x - 18.) tan 4 x + 1 = 19.) tanx + cosx - cos 2 x = sinx (1+ tanx tan) 20.) cotx - 1 = + sin 2 x - sin2x 21.) 3 - tanx( tanx + 2sinx ) + 6cosx = 0 22.) cos2x + cosx( 2tan 2 x - 1 ) = 2 23.) cotx - tanx + 4sin2x = 24.) cos4x - 8cos 6 x + 2cos 2 x + 3 = 0 25.) = 1 26.) sin 2 ( - 4 )tan 2 x = cos 2 27.) = cosx 28.) (sinx + cosx) 3 - ( sin2x + 1) + sinx + cosx - = 0 29.) 2cos2x - 8cosx + 7 = 30.) 2sin 3 x + cos2x - cosx = 0 31.) = tan2x 32.) sin( - x) = sin( + 3x) 33.) cos( - x) = - sin( x + ) 34.) tan(2x + ) - cot(2x + ) = 2 35.) cos(2x + ) + 4cos( - x) = 36.) sin 3 (x + ) = sinx 37.) sin(3x - ) = sin2x.sin(x + ) 38.) sin 4 x + cos 4 x = cot(x + )cot( - x) 39.) 8cos 3 ( x + ) = cos3x 40.) sin 2 (x - 4 ) + tan 2 2x = 0 41.) cosxcos2xcos4xcos8x = 16 1 42.) sinx + sin2x +sin3x +sin4x = cot 43.) cosxcos2xcos3x sinxsin2xsin3x = 2 1 44.) sin 3 xsin3x + cos 3 xcos3x = 4 2 45.) + cosx = 0 46.) 2sin( x + ) = + 47.) 0sin2)1(cos2cossin 322 =++ xxtgxxx 48.) 8cos 6 x + 2sin 3 x sin3x - 6cos 4 x - 1 = 0 49.) cos2x + 5 = 2( 2 - cosx )(sinx - cosx ) 50.) = 1 51.) sin 2 x + sin 2 3x = cos 2 2x + cos 2 4x 52.) 3tan 3 x- tanx + -8cos 2 ( - )= 0 53.) 2sin 3 x - sinx = 2cos 3 x - cosx + cos2x 54.) tg2x + sin2x = cotgx 55.) = 56.) sinxcosx + cosx = - 2sin 2 x - sinx + 1 57.) cos = cos 2 58.) sin2x + cos2x + tanx = 2 59.) sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x = 2 60.) 6sinx - 2cos 3 x = 5sin2xcosx Bài 2 : Tìm nghiệm thuộc khoảng )2,0( của phơng trình : 32cos) 2sin21 3cos3sin (sin5 += + + + x x xx x Bài 3 : Xác định m để phơng trình sau có nghiệm : 4 4 2( ) 4 2sin2 0sin x cos x cos x x m+ + + - = 1 Hä vµ tªn : .Líp 11A1 - Trêng THPT Kim B«i Bµi 4 : Cho ph¬ng tr×nh : sin 3 x + cos 3 x = msinxcosx a.) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b.)T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. Bµi 5 : Cho ph¬ng tr×nh : 2 2 2 2 . . ( )cos x sin x cosx sinx cos x m sinx cosx+ + = + a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2 b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x ∈ [0 ; ] Bµi 6 : T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh : cos2x + (2m - 1)cosx + 1 - m = 0 cã nghiÖm x ∈ ( ; π) -------------------HÕt--------------------- 2 onthioline.net Bài : Giải phươngtrình sau cos2x + 3sin x = ;2 4sin4 x + 12cos2 x = 7; 25sin2 x + 100cos x = 89 sin 2x + cos 2x = sin2xcos2x 4 sin6 x + cos6 x = tan2x ;5 cos x − sin2 x = ,7,2sin2x – cos2x - 4sinx + = 0;8,9cos2x - 5sin2x - 5cosx + = cos x π π 9) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3;10)cos2(3x + ) – cos23x – 3cos( - 3x) + = 2 11;cos2x + sin x + 2cosx + = 0;12; 3cos2x + 2(1 + + sinx)sinx – (3 + ) = 13, tg2x + ( - 1)tgx – = 0;14) = cot gx + sin x 2 sin x + sin x − − cos x cos x(cos x + sin x ) + sin x(sin x + ) 15; = ;16; =1 cos x sin x − Bai 2Chuyên Đề PT bậc Sin cos 1) cos 3x + sin 3x = ;2, cos x cos x − sin x = − sin x sin x 2π 6π 3;Tìm nghiệm x ∈ ( ; ) PT: cos x − sin x = − 4) 2 (sin x + cos x) cos x = + cos x ; Bai 3:Chuyên Đề : PT đcấp bậc sin cos 1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - = ;2) sin2x – 3sinxcosx + = 3) sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + 5/2 5π π 3π + x) cos( + x) − sin ( + x ) = 4) sin (3π − x) + sin( 2 1 5)[ĐHAN_98]a sin x + cos x = ;b sin x + cos x = cos x cos x 2 6) cos x – 3sinxcosx – 2sin x – = 7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = Bai 4:Chuyên Đề 8: PTLG Đxứng sin2n cos2n 1)[ĐHBKHN_96] sin4x + cos4x = cos2x;2)[ĐH Huế_99] sin6x + cos6x = 7/16 3) sin6x + cos6x = sin x ;4) sin6x + cos6x = cos4x 5)[HVCTQG TPHCM_00]:16(sin6x + cos6x – 1) + 3sin6x = 13 x x 6)[ĐHQG_98] cos6x – sin6x = cos22x;7)[ĐHCĐ_01] sin ( ) + cos ( ) = − sin x 2 Bai 5: Chuyên Đề 9: sử dụng ct hạ bậc sin x + sin x = cos 2 x + cos x sin x + sin 2 x − sin x = 17 sin x + sin 2 x + sin x = 4; sin x + cos8 x = cos 2 x 16 5) cos2x + cos22x + cos23x = 3/2;6)cos2x + cos22x + cos23x = 7)[ĐH Huế] sin2x + sin22x + sin23x = 3/2 ;8)[ĐHY_98] sin23x – sin22x – sin2x = 9)[ĐHQG_98] sin2x = cos22x + cos23x 10)[ĐH_B02]sin23x – cos24x = sin25x – cos26x ;11)cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 12) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2 tan2 x + C – Phươngtrình biến đổi tích onthioline.net Bài : Giải phươngtrình cos x + cos x + cos x + cos x = ;2 cos x + cos x + cos x = 3) sinx + sin2x + sin3x = + cosx + cos2x ;4) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x 5)[ĐH Nông Lâm TPHCM_01]:1 + cosx + cos2x + cos3x = 6)[HVQHQT_99] cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 7)[ĐHSP Vinh_97] sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 8)[ĐH Đà Nẵng_B97] sin3x – sinx + sin2x = 7) cos10x – cos8x – cos6x + = ;8)[HVQHQT_00] cosx + cos3x + 2cos5x = 9)[ĐHNTHN_97] 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 10)[ĐHNT TPHCM_00]1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 12) (2sinx – 1)(2sin2x + 1) = – 4cos2x 13)[ĐHYHN_96] (cosx – sinx)cosxsinx = cosxcos2x 14)[ĐHHH_00] (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx – 4) + 4cos2-x = 15)[ĐH Đà Nẵng_99] cos3x – sin3x = sinx – cosx 16)[ĐH Thuỷ Sản Nha Trang_96] cos3x + sin3x = sinx – cosx 17)[ĐHCSND_00] cos3x + sin3x = sin2x + sinx +cosx 18)[HVQY_00] cos2x + sin3x + cosx = 19)[HVNH_99] cos3x + cos2x + 2sinx – = 20)[HVNH TPHCM_00] sinx + sin2x + cos3x = 21)[HVBCVT TPHCM_97] cos2x – 4sinxcosx = Chuyên Đề 13: sd CT biến đổi tích thành tổng 1) cos11x.cos3x = cos17x.cos9x 2) sin18x.cos13x = sin9x.cos4x 3) sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x + sin4xsin16x = 4) (sinx + cosx)sin3x = PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
I. PHƯƠNGTRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
A. NHẬN DẠNG :
* Là phươngtrình có dạng : a.sinx+b.cosx=c
B. CÁCH GIẢI
1. Chia hai vếphươngtrình cho :
2 2
0a b+ >
2. Phươngtrình có dạng :
2 2 2 2 2 2
sinx+ osx=
a b c
c
a b a b a b+ + +
3. Đặt :
2 2 2
2 2 2 2 2 2
sin ; os = ; os = ;d/k:c
a b c
c c a b
a b a b a b
ϕ ϕ α
= ≤ +
+ + +
.
4. Khi đó phươngtrình trở thành :
( )
sinx.sin +cosx.cos =cos cos x- osc
ϕ ϕ α ϕ α
⇔ =
5. Giải :
( )
2 2
2 2
x k x k
k Z
x k x k
ϕ α π ϕ α π
ϕ α π ϕ α π
− = + = + +
⇔ ⇔ ∈
− = − + = − +
C. MỘTSỐBÀITẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải các phươngtrình sau :
a.
2
sin os 3 osx=2
2 2
x x
c c
+ +
÷
b.
( )
( ) ( )
1 2sin osx
3
1 2sin 1 sinx
x c
x
−
=
+ −
c.
( )
3
sinx+cosxsin2x+ 3 os3x=2 cos4x+sinc x
d.
3 os5x-2sin3xcos2x-sinx=0c
Bài 2. Giải các phươngtrình sau :
a.
( )
4 4
4 sin os 3 sin 4 2x c x x+ + =
b.
( )
2 2 sinx+cosx osx=3+cos2xc
c.
( )
cos2 3 sin 2 2 sinx+cosxx x= +
d.
4 4
sin os 2 3sinxcosx+1x c x− =
Bài 3. Giải các phươngtrình sau :
a.
2 4
4sin sin sin 4 3 osx.cos os 2
3 3 3 3
x x x c x c x
π π π π
+ − + + + =
÷ ÷ ÷ ÷
b.
3
2sin 4 16sin . osx 3cos2 5x x c x+ + =
c.
6 6
3
1 sin 4 os sin
8
x c x x+ = +
Bài 4. Giải các phươngtrình sau :
a.
( )
sin8 os6x= 3 sin 6 os8xx c x c− +
b.
( )
os7x-sin5x= 3 os5x-sin7xc c
c.
3
3sin 3 3 os9x=1+4sin 3x c x−
d.
3 os5x+sin5x-2cos2x=0c
II. PHƯƠNGTRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI
ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐLƯỢNG GIÁC
I. ĐỊNH NGHĨA :
*Là phươngtrình có dạng :
2
2
2
2
.sin sin 0
. os sin 0
.tan tan 0
.cot .cot 0
a u b u c
a c u b u c
a u b u c
a u b u c
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
. (1). Với u=u(x)
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 1
PHƯƠNG TRÌNHLƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
II. CÁCH GIẢI :
- Đặt :
( )
2
sin 1
osu=t t 1
0 2
tan
cot
u t t
c
at bt c
u t t R
u t t R
= → ≤
→ ≤
⇒ + + =
= → ∈
= → ∈
- Giải phươngtrình (2) để tìm t
- Kiểm tra điều kiện đối với t , để chọn t phù hợp .
- Sau đó giải phươngtrình : u=u(x)=t .
III. MỘTSỐBÀITẬP ÁP DỤNG .
Bài 1. Giải các phươngtrình sau :
a.
cos3x+sin3x
5 sinx+ 3 os2x
1 2sin 2
c
x
= +
÷
+
b.
2 2
cos 3 . os2x-cos 0x c x =
b.
4 4
3
cos sin os x- .sin 3 0
4 4 2
x x c x
π π
+ + − − =
÷ ÷
d.
2
4.sinxcosx+3sin 6sinx x=
Bài 2. Giải các phươngtrình sau
a.
2 2 2 2
sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x− = −
b.
2 2 2
sin tan os 0
2 4 2
x x
x c
π
− − =
÷
c.
tan 2 tan 2 2
2 2
x x
π π
+ + =
÷ ÷
d.
( )
2
5.sinx-2=3 1-sinx .tan x
Bài 3. Giải các phươngtrình sau :
a.
1 1
2sin3 2cos3
sinx osx
x x
c
− = +
b.
( )
2
osx 2sinx+3 2 2cos 1
1
1 sin 2
c x
x
− −
=
+
c.
x 3x x 3 1
cos . os . os sinx.sin .sin
2 2 2 2 2
x
x c c − =
d.
3
4cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ =
Bài 4. Giải các phươngtrình sau :
a.
( )
cos 2 os 2x- 4sin 2 2 1 sinx
4 4
x c x
π π
+ + + = + −
÷ ÷
b.
( )
2 2
3cot 2 2 sin 2 3 2 osxx x c+ = +
c.
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos 2
0
osx
x x x
c
+ − −
=
c. Cho :
1 2
( ) sinx+ sin 3 sin5
3 5
f x x x= +
. Hãy giải phươngtrình : f'(x)=0.
Bài 5. Giải các phươngtrình sau :
a.
2
5
sin 5cos .sin
2 2
x x
x=
b.
( )
2
sin 2 cot tan 2 4cosx x x x+ =
c.
2
6
2cos 1 3cos
5 5
x x
+ =
d.
3
tan t anx-1
4
x
π
− =
÷
Bài 6. Giải các phươngtrình sau :
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 2
PHƯƠNG TRÌNHLƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
a.
4 4
4
sin 2 os 2
os 4
tan tan
4 4
x c x
c x
x x
π π
+
=
− +
÷ ÷
b.
( )
4 2
1 2
48 1 cot 2 .cot 0
os sin
x x
c x GSTT GROUP Mộtsốbàitập giải phươngtrìnhlượng giác- gstt group Bài 1: x x x x 3 2 2cos2 sin2 cos 4sin 0 44 . Pt x x x x x(sin cos ) 4(cos sin ) sin2 4 0 xk 4 ; x k x k 3 2 ; 2 2 Bài 2: 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x x x x x 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 x x xcos (cos7 cos11 ) 0 k x k x 2 9 Bài 3. Tìm nghiệm trên khoảng 0; 2 của phương trình: x xx 22 3 4sin 3sin 2 1 2cos 2 2 4 pt xxsin 2 sin 32 x k k Z a x l l Z b 52 ( ) ( ) 18 3 5 2 ( ) ( ) 6 Vì 0 2 x ; nên x= 5 18 . Bài 4. x x x xx 11 sin2 sin 2cot2 2sin sin2 pt 2 2 2 2 2 20 x x x x x cos cos cos cos sin cos2x = 0 xk 42 Bài 5. cos2 5 2(2 cos )(sin cos ) x x x x 1) (1) x x x x 2 (cos –sin ) 4(cos – sin ) – 5 0 x k x k22 2 Bài 6. x x xx 3sin2 2sin 2 sin2 .cos 2(1 cos )sin (2cos 1) 0 sin 0, cos 0 x x x xx 2cosx – 1 = 0 2 3 xk Bài 7, Tìm các nghiệm thực của phươngtrình sau thoả mãn 1 3 1 log 0x sin .tan2 3(sin 3tan2 ) 3 3 x x x x ) (2) (sin 3)(tan2 3) 0 xx ; 62 x k k Z GSTT GROUP Kết hợp với điều kiện ta được k = 1; 2 nên 5 ; 36 xx Bài 8, 33 2 3 2 cos3 cos sin3 sin 8 x x x x pt cos4x = 2 2 16 2 xk Bài 9, (sin2 sin 4)cos 2 0 2sin 3 x x x x PT (2cos 1)(sin cos 2) 0 2sin 3 0 x x x x 2 3 xk Bài 10, Tìm nghiệm của phương trình: 23 cos sin 2 x cos x x thoả mãn : 13x PT (cos 1)(cos sin sin .cos 2) 0 x x x x x 2 xk . Vì 1 3 2 4 xx nên nghiệm là: x = 0 Bài 11, Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 PT (1– sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 1– sinx = 0 2 2 xk Bài 12, sin cos 4sin2 1 x x x Đặt sin cos , 0 t x x t . PT 2 4 3 0tt xk 2 . Bài 13, cos 2 3x.cos2x – cos 2 x = 0. Dùng công thức hạ bậc. ĐS: () 2 x k k Z Bài 14, 3sin2 2sin 2 sin2 .cos x x xx PT 2 1 2 0 00 x x x xx ( cos )(sin sin ) sin , cos 2 3 xk Bài 15 GSTT GROUP 22 1 sin sin cos sin 2cos 2 2 4 2 x x x xx PT 2 sin sin 1 2sin 2sin 1 0 2 2 2 x x x x 4 xk xk xk Bài 16 2 cos . cos 1 2 1 sin sin cos xx x xx PT (1 sin )(1 sin )(cos 1) 2(1 sin )(sin cos ) x x x x x x 1 sin 0 1 sin 0 2 2 1 sin cos 1 0 sin cos sin cos 1 0 2 x x xk xx x x x x xk Chúc các em yêu quý sớm trở thành tân sinh viên nhé! GSTT GROUP luôn bên cạnh các em! HỆ PHƯƠNGTRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 23. log x log y log log 27 ( x y ) log x log y 24. ĐS:( 2 ; ) x y 16 ĐS:(3;6) & (6;3) 25. 5 log x log y log log y log x 26. log ( x y ) log ( x y ) xy 27. xy a 2 lg x lg y (lg a ) ĐS:(a3; ) & ( ,a3) 28. lg ( x y ) lg y lg x lg ĐS:(-10;20) & ( log (3x y ) 29. x log (3 y x) ĐS:(3;1) & ( a ) 3 ; ) a 10 20 ; ) 3 ĐS:(5;5) y 30. x log3 y y log3 x 27 log y log x 31. 3x x log log y y log 2 x log 12 log x y log y 3 x log8 y y log8 x log x log y 32. 2(log y x log x y ) 33. xy 34. 32 ĐS:(2 ; 1 ĐS:(3;9) & ( ; ) ĐS:(1;2) 1 ĐS:(8;2) & ( ; ) ĐS:(4;2) & (2;4) log ( x y ) log x log ( x y ) x log ( xy 1) log (4 y y x 4) log y Hồng Ngọc Phú ĐS:(2;1) với (a;a) với a R* Page 35. x y e e (log y log x)( xy 1) 2 x y log x log y 2 x y log x ( x y ) log x log x y log x ( x 1) lg 1,7 38. ĐS:(5;2) ĐS:( log (3 x x ) 0,5 y lg x 39. 29 ; ) 2 ĐS:( 10 ;4) y lg x log y ĐS:(2;4) 41. x log x 1 ( y 23) 46. 2 ; ) 2 ĐS:(1;1) vµ (4;2) 36. 37. ĐS:( 2 xy log ( x y ) log ( xy) 2 2 x y xy x y xy 3 81 2 xy x x 2 x y y y 2 x y xy x y xy ln(1 x) ln(1 y) x y 47. 2 x 12 xy 20 y 0. Xét PT thứ ln(1+x)-x=ln(1+y)y Đặt f(t)=ln(1+t)t (t>1) f (t ) t 1 t 1 t 1 Nếu 10 f’(t)0 x=10y hay x=2y cho x>0, y>0 Nếu 10 nên nhận nghiệm t=1 x y 1 x y x y x y Vậy hệ cho tương đương với: log x log y 1 x y x y log x 2log x log x 1 log x Với t=1 Hồng Ngọc Phú Page 2 x x x y 2 y1 log x 2 y x y x 24 x 16 log x y y 16 1 4 Kết luận: Tập nghiệm hệ phươngtrình S ; , 16;16 3 .2 972 log x y x y 105. x y 3x.2 y 972 x y 3 .2 972 Hệ phương trình: y 3 y x y 3 .2 972 log x y x y x y Kết luận: Hệ pt có nghiệm x; y 5;2 y 6 36 log ( x y ) log ( xy) 113. x2 xy y2 81 3 23 x y y 114. x x 1 y x 2 ĐS : (0;1), (2;4) log ( y x) log y 115. x y 25 x 1 y 116. 3log9 (9 x ) log y x y 1 117. 3x 18 y x.2 y 972 118. log 3 x y log y x log x y x y 12 119. x y y x 32 120. log x y log x y Hồng Ngọc Phú ĐS : (2;2), (-2;-2) ĐS : (3;4) ĐS : (1;1), (2;2) ĐS : ( ;log 4) ĐS : (5;2) ĐS : (3;3) ĐS : (2;1) Page y log x ĐS : (16;3), (1/64;-2) y x 4096 121. x4 y 3 122. log x log y 0 ĐS : (1;1), (9;3) 3 x.2 y 1152 123. ĐS : (-2;7) log ( x y ) 2 log1 x (1 y y ) log1 y (1 x x ) 124. log1 x (1 y) log1 y (1 x) 4log3 ( xy ) ( xy )log3 125. ĐS : (1;3), (3;1) 2 x y 3x y 22 x2 y y x 126. 2 x y 2 5 ĐS : ( ; ) ĐS : (-1;-1), (1;0) x 1 x y ln(1 x) ln(1 y ) x y ĐS : (0;0) 127. 2 x 12 xy 20 y y 1 x x 2x 1 128. x 1 y y y 1 ĐS : (1;1) x y 11 log x log y log 15 149. x y 11 log x log y log 15 Điều kiện: x > y > : x y 11 log xy log 30 x y 11 . xy 30 X x, y nghiệm phương trình: X2 –11X + 30 = . ĐS : (5 ; 6), (6 ; 5) X lg x y lg 150. Điều kiện: x + y > x –y > lg x y lg x y lg lg x y lg lg x y lg 10 lg lg x