Lý thuyết - Giải tập – Luyện tập – Đề thi miễn phí Tìm m để phương trình có nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện điều kiện I Kiến thức cần nhớ hệ thức Vi-ét ứng dụng Định lý Vi-ét thuận Cho phương trình bậc ẩn: ax + bc + c = ( a ) * có hai nghiệm x1 , x2 Khi hai nghiệm thỏa mãn hệ thức: −b S = x1 + x2 = a P = x x = c a Hệ quả: Dựa vào hệ thức Vi-ét phương trình bậc ẩn có nghiệm, ta nhẩm trực tiếp nghiệm phương trình số trường hợp đặc biệt sau: + Nếu a + b + c = phương trình * có nghiệm x1 = x2 = c a + Nếu a – b + c = phương trình * có nghiệm x1 = −1 x2 = − c a Định lý Vi-ét đảo Giả sử hai số thực x1 , x2 thỏa mãn hệ thức: x1 + x2 = S ( S 4P ) x1 x2 = P x1 , x2 hai nghiệm phương trình bậc hai x − Sx + P = Cách làm tốn tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước + Tìm điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a ) + Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm cho Trang chủ: https://giaitoan.com/ | Hotline: 024 2242 6188 Lý thuyết - Giải tập – Luyện tập – Đề thi miễn phí + Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm II Bài tập ví dụ tốn tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: Cho phương trình bậc hai x − ( m − 1) x + 2m − = (x ẩn số, m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt x1, x2 với m, b) Tìm m để hai nghiệm x1, x2 phương trình có tổng hai nghiệm Lời giải: a, Ta có: ' = b '2 − ac = ( m − 1) − ( 2m − ) = m2 − 4m + = ( m − ) + 0m 2 Vậy với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b, Với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: −b x + x = = ( m − 1) a x x = c = 2m − a Ta có tổng hai nghiệm x1 + x2 = ( m − 1) = m = Vậy với m = phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn tổng hai nghiệm Bài 2: Cho phương trình x − ( 2m + 3) x + m = (x ẩn số, m tham số) a, Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt x1; x2 phương trình thỏa mãn x12 + x22 có giá trị nhỏ Lời giải: Trang chủ: https://giaitoan.com/ | Hotline: 024 2242 6188 Lý thuyết - Giải tập – Luyện tập – Đề thi miễn phí a, Ta có = b − 4ac = ( 2m + 3) − 4m = 4m + 8m + = ( m + 1) + 0m 2 Vậy với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b, Với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: −b x + x = = 2m + a x x = c = m a Ta có x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 4m + 12m + − 2m = 4m + 10m + 11 11 = 2m + + 2 4 Dấu “=” xảy m = Vậy với m = −5 −5 phương trình có hai nghiệm phân biệt x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài 3: Tìm m để phương trình x + ( m + 1) x − = có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 + x2 = Lời giải: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ' Ta có ' = ( m + 1) − ( −2 ) = ( m + 1) + 0m 2 Với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: Trang chủ: https://giaitoan.com/ | Hotline: 024 2242 6188 Lý thuyết - Giải tập – Luyện tập – Đề thi miễn phí b x1 + x2 = − a = −2 ( m + 1) x1 = −2 ( m + 1) − x2 x x = c = −2 2 a Ta có 3x1 + x2 = −2 ( m + 1) − x2 + x2 = −6 ( m + 1) − 3x2 + x2 = x2 = −6 ( m + 1) − = −10 − 6m x1 = −2 ( m + 1) + ( m + 1) + = 4m + Có x1 x2 = −2 − ( 6m + 10 )( 4m + ) = −2 ( 6m + 10 )( 4m + ) = 24m + 48m + 40m + 80 = 24m + 88m + 78 = −3 m = m = −13 −13 m = phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = Vậy với m = − Bài 4: Cho phương trình x − x + m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 − x2 = Để phương trình có hai nghiệm phân biệt Ta có 25 − 4m m 25 Trang chủ: https://giaitoan.com/ | Hotline: 024 2242 6188 Lý thuyết - Giải tập – Luyện tập – Đề thi miễn phí 25 phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức −b x + x = =5 a Vi-ét x x = c = m a Vậy với m Có A = x1 − x2 = A2 = ( x1 − x2 ) = x12 + x22 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 25 − 4m = 4m = 16 m = Vậy với m = phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 − x2 = III Bài tập tự luyện tốn tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 = x2 : a) x + x + m = b) x + mx + = c) mx − x + = Bài 2: Tìm phương trình x + x + m = (x ẩn số, m tham số) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện trường hợp sau: a) x1 + x2 = b) x12 − x22 = 12 c) x12 + x22 = ( ) Bài 3: Cho phương trình x − mx − m + = Tìm giá trị m để hai nghiệm phân biệt phương trình thỏa mãn: a) x12 + x22 = 52 b) x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Trang chủ: https://giaitoan.com/ | Hotline: 024 2242 6188 Lý thuyết - Giải tập – Luyện tập – Đề thi miễn phí ( ) Bài 4: Cho phương trình x − mx + m + = Tìm giá trị m để nghiệm phân biệt phương trình thỏa mãn x12 + x22 đạt giá trị lớn Trang chủ: https://giaitoan.com/ | Hotline: 024 2242 6188 ... − x2 x x = c = ? ?2 2 a Ta có 3x1 + x2 = ? ?2 ( m + 1) − x2 + x2 = −6 ( m + 1) − 3x2 + x2 = x2 = −6 ( m + 1) − = −10 − 6m x1 = ? ?2 ( m + 1) + ( m + 1) + = 4m + Có x1 x2 = ? ?2 ... x1, x2 b, Với m phương trình ln có hai nghi? ?m phân biệt x1, x2 thỏa m? ?n hệ thức Vi-ét: −b x + x = = 2m + a x x = c = m a Ta có x 12 + x 22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 4m + 1 2m + − 2m = 4m +... ( 6m + 10 )( 4m + ) = ? ?2 ( 6m + 10 )( 4m + ) = 2 4m + 4 8m + 4 0m + 80 = 2 4m + 8 8m + 78 = −3 m = m = −13 −13 m = phương trình có hai nghi? ?m phân biệt x1, x2 thỏa m? ?n x1 + x2 =