Đang tải... (xem toàn văn)
HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Trong chương trình môn Toán THCS, học sinh đã nắm được các khái niệm hàm số, hàm số bậc nhất, hàm số , hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Chủ để này ôn tập và bổ sung các khái niệm cơ bản về hàm số, tập xác định, đồ thị của hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ, xét chiều biến thiên của hàm số và áp dụng vào việc khảo sát các hàm số bậc nhất, bậc hai §1 Đại cương về hàm số A Lý thuyết 1 Định nghĩa hàm sốSTUDY TIP + Bi[.]
Giaovienvietnam.com HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Trong chương trình mơn Tốn THCS, học sinh nắm khái niệm hàm số, hàm số bậc nhất, hàm số y = ax , hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Chủ để ôn tập bổ sung khái niệm hàm số, tập xác định, đồ thị hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ, xét chiều biến thiên hàm số áp dụng vào việc khảo sát hàm số bậc nhất, bậc hai §1 Đại cương hàm số A Lý thuyết Định nghĩa hàm số Cho tập hợp khác rỗng D⊂¡ Hàm số f xác định D quy tắc đặt tương ứng số x thuộc D với số, kí hiệu A( x) B ( x) xác định A( x) , B ( x) xác định B ( x) ≠ + A( x) Biểu thức xác định A( x) ≥ + Biểu A x f ( x) gọi giá trị hàm số f x Tập D gọi tập xác định (hay miền xác định), x gọi biến số hay đối số hàm số f, tập giá trị hàm số gọi tập giá trị STUDY TIP + Biểu thức f ( x) ; số thức hàm số Ta viết y = f ( x) Tập xác định hàm số Tập xác định hàm số biểu thức y = f ( x) f ( x) y = f ( x) tập hợp tất số thực x cho giá trị xác định, hay nói đơn giản ta tính Các bước tìm tập xác định hàm số y = f ( x) : B ( x) Giaovienvietnam.com + Bước 1: Tìm điều kiện x để biểu thức xác định; f ( x) + Bước 2: Viết kết tìm bước dạng tập hợp A( x) xác định Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số sau: a) B ( x) > + Biểu y= x −1 c) thức y= A( x) ± B ( x) ; − 2x b) ; d) A( x) ≥ Lời giải a) Biểu thức x −1 b) Biểu thức STUDY TIP Cho a số dương x2 ≥ a ⇔ x ≥ a x ≥ a ⇔ x ≤ − a + ; x2 ≤ a ⇔ x ≤ a ⇔− a ≤ x≤ a y = x+2 − x−2 x −1 B ( x) ≥ + ; xác định y = − 2x 5 D = −∞; 2 c) Biểu xác định − 2x x −1 ≠ ⇔ x ≠ xác định thức − 2x xác x > x2 −1 > ⇔ x2 > ⇔ x > ⇔ x < −1 D = ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) Chú ý: Lời giải sai: d) Biểu thức D = ¡ \ { 1} 5 − 2x ≥ ⇔ x ≤ Vậy định x2 −1 Vậy Vậy x − > ⇔ x > ⇔ x > ±1 x+2 − x−2 xác định khi Giaovienvietnam.com x + ≥ x ≥ −2 ⇔ ⇔ x≥2 x − ≥ x ≥ Vậy D = [ 2; +∞ ) Đồ thị hàm số Cho hàm số ( G) y = f ( x) xác định tập D Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm có tọa độ cách khác, ( x; f ( x ) ) với M ( x0 ; y0 ) ∈ ( G ) ⇔ x0 ∈ D Ví dụ 2: Đồ thị hàm số x∈D , gọi đồ thị hàm số y0 = f ( x0 ) f Nói 2 x + x ≤ y = f ( x) = −3 x > qua điểm sau đây? A B ( 0; −3) C ( 3;7 ) ( 2; −3) D ( 0;1) Lời giải Với x=0 đối số) x2 − x1 y = f ( x) ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2∀x1 , x2 ∈ K , x1 ≠ x2 nghịch biến K Đi xuống từ trái sang phải (theo chiều tăng f ( x2 ) − f ( x1 ) ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) ⇒ < đối số) x2 − x1 Xét chiều biến thiên hàm số tìm khoảng đồng biến khoảng nghịch biến hàm số Kết xét chiều biến thiên hàm số tổng kết bảng gọi bảng biến thiên Các bước lập bảng biến thiên hàm số y = f ( x) : + Bước 1: Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho); + Bước 2: Lập rút gọn tỉ số f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1 ; + Bước 3: Xét dấu tỉ số thu bước 2, từ suy khoảng biến thiên hàm số; + Bước 4: Ghi kết thu vào bảng biến thiên Ví dụ 8: Lập bảng biến thiên hàm số f ( x ) = x2 Lời giải Tập xác định: D=¡ Giaovienvietnam.com Ta có + Nếu + Nếu ∀x1 , x2 ∈ ¡ x1 ≠ x2 , x1 < 0, x2 < x1 > 0, x2 > thì f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1 x2 + x1 < ⇒ x2 + x1 > ⇒ = x −x = x2 + x1 x2 − x1 2 Do đó: Hàm số nghịch biến khoảng Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) ( 0; +∞ ) Từ ta có bảng biến thiên: Lưu ý: Hàm số f ( x) = c với c số gọi hàm số (hay hàm số không đổi) Đồ thị hàm số f ( x) = c đường thẳng qua điểm A ( 0; c ) song song trùng với trục Ox Ta suy chiều biến thiên hàm số dựa vào đồ thị Chẳng hạn, cho hàm số y = f ( x) xác định ¡ có đồ thị cho hình đây: Khi hàm số có bảng biến thiên sau: Vậy a − b − c = −1 Vì nên đồ thị hàm số parabol quay bề lõm lên có điểm thấp đỉnh Câu 11: Đáp án A Phương trình hồnh độ giao điểm ( d) a>0 ( P) : −b −∆ I ; ÷ 2a 4a Từ ta xét trường hợp sau: * Trường hợp 1: x − 3mx + m + = mx + m ⇔ x − 4mx + = − ( 2m + 1) −b ∈ ( 0;1) ⇔ < ∆ ' > ⇔ S > ⇔ 4m > ⇔m> P > 1 > Theo Vi-et ta có x1 + x2 = 4m x1 x2 = x1 − x2 = ⇔ ( x1 − x2 ) (2) =1 (thỏa mãn (2)) b − ( 2m + 1) = ; ∆ = 4m + 2a − ( 4m + ) =1 (không thỏa mãn (1)) * Trường hợp 2: − ( 2m + 1) −b −1 ≤0⇔ ≤0⇔m≥ 2a 2 Câu 12: Đáp án C − (1) −∆ − ( 4m + ) f ( x ) = = [ 0;1] 4a −9 ⇔m= Vậy khơng có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu tốn Ta có Khi Vậy ta phải có ⇔ x1 + x2 − x1 x2 = ⇔ 4m − = ⇔m= −3 −1 ⇔ [ 0;1] Ta phải có m = −2 Chỉ có m + 2m + = ⇔ m = m = f ( x ) = f ( 1) x∈[ −1;1] M = max f ( x ) = f ( −1) m = −2 thỏa mãn { m ∈ −2; − } ( 3) Vậy M − m = ⇔ f ( 1) − f ( −1) = 1 ⇔ 4 m + ÷ = ⇔ m + = m m Câu 13: Đáp án C Đồ thị hàm số parabol quay bề lõm lên ⇔ m = ±1 có đỉnh có hồnh độ Vậy x0 = m + m ≥2 m S = { −1;1} f ( x ) = x2 + 2x x + − Dấu xảy x + 2x x + − ≤ m thỏa [ −4;1] , Ta có mãn m ≥ max f ( x ) m = f ( x ) = f ( −1) x∈[ −1;1] m = ±1 x ∈ [ −4;1] x0 < −1 Bất phương trình Ta thấy Do tổng bình phương phần tử thuộc S Đặt =2 m x0 ∉ [ −1;1] Câu 14: Đáp án B 1 x0 = m0 + = m + m m Vậy , x∈[ −1;1] Vậy Ta có f ( x ) = x2 + 2x x + − với 3 x + x − x ≥ −2 = − x − x − x < −2 Phương trình x ( x − 2) = m hoành độ giao điểm đồ thị hàm số Từ ta có đồ thị hàm số y = f ( x) sau: y = x ( x − 2) Vẽ đồ thị hàm số đường thẳng y = x ( x − 2) - Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số Suy max f ( x ) = f ( 1) = - Bước 2: Từ đồ thị hàm số m≥5 thị hàm số y = x ( x − 2) y=m : y = x ( x − 2) [ −4;1] Vậy phương trình y = x ( x − 2) suy đồ Suy có 2014 giá trị nguyên thuộc đoạn [ 1; 2018] tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 15: Đáp án C Ta có x ⇔ x x2 − x + = m ( x − 2) =m ⇔ x ( x − 2) = m - Bước 3: Từ đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = x ( x − 2) y = x ( x − 2) suy Xét hàm số: x − x +1 x y= + TXĐ: ( −x) = ∀x ∈ D : y ( − x ) sát đồ thị ta thấy phương x Vậy m ∈ ( 0;1) a +b =1 ⇒ Hàm số y= x − x +1 x Dễ thấy hàm số hàm số lẻ y = −2 ⇒ điểm ( −1; ) không y = f ( x) đồ thị hàm số tung Câu 2: Đáp án D Câu 7: Đáp án D Xem lại Ví dụ 13 – dạng 4, §1 Đại cương hàm số TXĐ: Hoành độ đỉnh: y = 12 − 2.1 + = x =1⇒ Tung độ đỉnh: ( I ) , ( II ) , ( III ) ∀x1 , x2 ∈ D; x1 ≠ x2 y ( x1 ) − y ( x2 ) = = Câu 4: Đáp án D hàm y = f ( x) hàm số chẵn Do đối xứng qua trục D = ( −∞; −2 ) ∪ ( −2; +∞ ) Câu 3: Đáp án B số lẻ x2 − x4 + = − y ( x) x thuộc đồ thị hàm số Rõ ràng − ( −x) +1 −x Câu 6: Đáp án B Câu 1: Đáp án A x = −1 tập đối xứng Câu 5: Đáp án C IV ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ Với =− x2 − x + = m trình có nghiệm phân biệt D = ( −∞; ) ∪ ( 0; +∞ ) + Quan ta có: x1 + x2 + − x1 + x2 + x2 − x1 ( x1 + ) ( x2 + ) ⇒ y ( x1 ) − y ( x2 ) −1 = x1 − x2 ( x1 + ) ( x2 + ) Do đó: ∀x1 , x2 ∈ ( −∞; −2 ) : y ( x1 ) − y ( x2 ) x1 − x2 y ( x1 ) − y ( x2 ) ∀x1 , x2 ∈ ( −2; +∞ ) : > 48 ⇔ m + < −4 m > − ⇔ m < −4 − (2) (1) có nghiệm phân biệt có nghiệm lớn cịn ba nghiệm nhỏ ⇔ (*) có nghiệm phân biệt ( 2) ⇔ ( m + 7) f ( t ) = t + 2mt + m + = (2) có nghiệm t1 ; t2 < t1 < < < t2 f ( 1) < 3m + < ⇔ f ( ) < ⇔ 9m + 19 < m + > f ( 0) > ⇔ −3 < m < −19 19 ⇒ 15ab = 15 ( −3) − ÷ = 95 9 Câu 26: Đáp án C thỏa mãn f ( −1) > f ( x ) > ∀x ∈ [ −1;3] ⇔ f ( 3) > Giá trị nhỏ −m + 6m − 25 f ( m) = m < 3 − m > ⇔ ⇔ ⇔ hàm số Câu 30: Đáp án A Có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu Đồ thị hàm số ⇒ toán y = x2 − x + : Câu 27: Đáp án C ( P) qua A ( −1;6 ) ⇒ a −b+ = ⇔ a −b = ⇔ a = b+ Tung độ đỉnh −∆ −1 − ⇒ = 4a Suy ra, giá trị nguyên m để phương b − 8a ⇔ = ⇔ b − 8a = a 4a trình ⇔ b − 9a = 1, 2, ⇒ b − ( b + ) = ⇔ b − 9b − 36 = (*) ( a; b ) thõa mãn u cầu tốn Ta có: Từ bảng biến thiên ta thấy Từ đáp án C Câu 29: Đáp án D x − x = − ( x − 1) ≤ ∀x y ≥ ∀x thuộc tập xác định ⇒ ≤ y = x − x ≤ ∀x hàm số Câu 28: Đáp án C có nghiệm phân biệt Câu 31: Đáp án C Phương trình (*) có nghiệm phân biệt Suy có hai số x2 − x + = m Có y =1⇔ x =1 Vậy M =1 Câu 32: Đáp án D 1 M ( x; x ) , A −2; ÷ 2 (Xem lại Ví dụ 8, Bài – Hàm số bậc hai dùng chức Table MTCT) 1 ⇒ MA2 = ( x + ) + x − ÷ 2 = x4 + 4x + Câu 35: Đáp án C 17 Tập xác định: Ta có: Ta có x + + + ≥ 4 x = x ∀x 17 5 ⇒ x + x + ≥ x + x + ≥ ∀x 4 = M = ( −1;1) −1 ≤ x ≤ ⇒ − ≤ x − ≤ − x1 + x2 > y = f ( x − 1) Vậy hàm số nghịch biến khoảng ( 0; +∞ ) Câu 36: Đáp án B Loại A D hàm số có tập xác −b = ∈ [ 0;3] 2a định khoảng f ( ) = 3; f ( ) = −1; f ( ) = m = −1; M = y ( x1 ) − y ( x2 ) −2 ( x2 + x1 ) = x1 − x2 ( x1 + 1) ( x22 + 1) ∀x1 , x2 ∈ ( 0; +∞ ) Câu 34: Đáp án C Vậy + 1) ( x22 + 1) y ( x1 ) − y ( x2 ) ⇒ Vậy hàm số ( −∞; +∞ ) đồng biến y = x + x − 2x liên tiếp đến x>0⇒ x0 Ta có: 1 x+ = x+2+ −2 ≥ 2−2 = x+2 x+2 Dấu xảy x = −1 Vậy m=0 4 6 4 ; ÷∪ ; ÷ 5 7 3 Câu 41: Đáp án A Tập xác định Từ đáp án A D = ¡ \ { 2} Câu 42: Đáp án B Ta có bảng biến thiên hàm số Ta có g ( x ) = ( m − 1) x + m x > f ( x) = h ( x ) = ( m − 1) x − m x < Đồ thị hàm số y = h ( x) hoành độ thuộc khoảng y = x + x +1 + x + cắt Ox điểm có ( 1; ) Vậy có giá trị nguyên dương m h ( 1) h ( ) < để phương trình 4 ⇔ ( m − ) ( 3m − ) < ⇔ m ∈ ; ÷ 3 Đồ thị hàm số y = g ( x) hoành độ thuộc khoảng : nghiệm, cắt Ox điểm có y = x + x +1 + x + = m m =1 vô (Xem lại Ví dụ 10, Bài – Hàm số bậc nhất) Câu 43: Đáp án B ( 2;3) Bảng biến thiên hàm số: y = x+ x−2 − x+2 g ( ) g ( ) < : 4 6 ⇔ ( 5m − ) ( m − ) < ⇔ m ∈ ; ÷ 5 7 Ta thấy hai khoảng 4 6 ; ÷ 5 7 4 ;2÷ 3 rời Vậy tập hợp giá trị m thỏa mãn u cầu tốn Vậy có giá trị nguyên m để phương trình x+ x−2 − x+2 = m có nghiệm phân biệt ; ; m = −1 m = m = Câu 44: Đáp án B Ta có: ( x + 3) ≤(2 +3 ⇒ )(x 2x + x2 + 2 = ( 2.x + 3.1) Dấu xảy ≤ 13 x 2 = ⇔x= 3 M = 13 ⇒ [ M ] = x+2 = ⇔ x =− Vậy GTLN hàm số Dễ chứng minh hàm số Vậy ( −∞; −1) M = f ( 3) = Do M −m = và f ( x) đồng biến ( −1; +∞ ) m = f ( ) = −1 Tập xác định: D=¡ f ( x ) = x − x + − ( x − x + 3) + =− ( ) x − 2x + − + ≤ Dấu xảy x − 2x + − = ⇔ x = 1± 2 Vậy Câu 46: Đáp án C Ta có: 2 f 2 f M =7 phương trình f ( x) = M nghiệm 19 ( ) + f ÷ = 11 2 ⇒ f ( 2) = 1 ÷+ f ( ) = 2 x = 1± Câu 49: Đáp án A Tập xác định: D=¡ Câu 47: Đáp án C Tập xác định: Ta có: Câu 48: Đáp án C Câu 45: Đáp án C khoảng ) 1 = − x + − ÷ + + ≤ 2 4 + 1) Dấu xảy Vậy ( y = x+2 − x = − x+2− x+2 +2 D = [ −2; +∞ ) x +1 = m ⇔ ( m − ) x = − 2m x +2 có hai + m−3 = ⇔ m = x = −5 + : phương trình trở thành Phương trình vơ nghiệm m−3≠ ⇔ m ≠ đương với − 2m x = m−3 Loại * + Với − 2m 1 ⇔ > ⇔ m ∈ ;3 ÷ m−3 2 a+b = +3= 2 Câu 50: Đáp án B Ta có: −b = −1 ∈ [ −2;1] 2a ; y ( −2 ) = m − ; y ( −1) = m − y ( 1) = m − * m−4 = ⇔ m =8 + Với Loại m =8 m =8 : m = 1: m − = < m −1 = > + Với Loại m =1 Nhận ; m = 5: m − =1< m−5 = < m=0 Nhận m −1 = ⇔ m = + Với m =1 m −1 = < * m = : m −1 = > m=9 + Với m−5 = ⇔ m = Loại m = 0: m−5 = > m=0 : phương trình tương Phương trình có nghiệm phân biệt Vậy + Với m = −3 ; m=5 m = −3 : m − = > m = −3 * Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán ... hai hàm số lẻ hàm số lẻ - Tích hai hàm số chẵn hàm số chẵn - Tích hai hàm số lẻ hàm số chẵn - Tích hàm số lẻ hàm số chẵn hàm số lẻ * Lưu ý: Tập D có tính chất x=0 ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D , thường gọi tập. .. thị hàm số chẵn ? ?áp án D STUDY TIP - Hàm đa thức gồm số hạng chứa x bậc chẵn hàm chẵn - Hàm đa thức gồm số hạng chứa x bậc lẻ hàm lẻ - Hàm đa thức gồm số hạng chứa x bậc chẵn số hạng chứa x bậc. .. Giaovienvietnam.com §2 Hàm số bậc A Lý thuyết Hàm số bậc hàm số có dạng a≠0 , a, b hệ số, * Tập xác định: D=¡ * Chiều biến thiên: Hàm số - Đồng biến khoảng a>0 ( −∞; +∞ ) * Đồ thị: Đồ thị hàm số y
