danghoa949@gmail com 1 CHUYÊN ĐỀ 7 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phần 1 Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác Ta chứng minh một Bổ đề Xác định điều kiện của a,b,c để phương trình (1) có nghiệm Điều kiện i) Điều kiện ii) Khi đó (1) Do , nên Vậy điều kiện ii) để pt (1) có nghiệm là Ta vận dụng điều kiện này để giải quyết một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sau Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (1) Giải Xác định miề[.]
danghoa949@gmail.com -1 CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phần 1- Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác -Ta chứng minh Bổ đề : Xác định điều kiện a,b,c để phương trình: a sin x + b cos x = c Điều kiện i) : Điều kiện ii) : ⇔ a sin x + b cos x = c a a + b2 sin x + ⇔ sin( x + α ) = Khi : (1) Do (1) có nghiệm a +b ≠ sin( x + α ) ≤ 1≥ , nên : b a + b2 = c a + b2 c a + b2 c a +b 2 ⇔ a + b2 ≥ c ⇔ a + b ≥ c a + b2 ≥ c (*) (*) Vậy điều kiện ii) để pt (1) có nghiệm : Ta vận dụng điều kiện để giải số toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sau: cos x − 2sin x y= − sin x Bài 1-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số : (1) Giải -Xác định miền giá trị y để (1) có nghiệm : Do − sin x > Khi : ∀x ∈ R (1) ⇔ y (2 − sin x) = cos x − 2sin x ⇔ y − y sin y = cos x − 2sin x ⇔ y = y sin x − 2sin x + cos x ⇔ y = ( y − 2) sin x + cos x (*) danghoa949@gmail.com -2 ( y − 2) + ≥ (2 y) 2 Phương trình (*) có nghiệm : ⇔ y2 − y + + ≥ y2 ⇔ 3y2 + y − ≤ -Lập bảng xét dấu (**) y −2 − 19 -∞ f(y) + y ∈[ Vậy : Tập giá trị y : −2 − 19 ymin = Hay : (**) −2 + 19 - ymax = −2 + 19 y= Bài 2-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số : Giải Xác định miền giá trị y để (1) có nghiệm : π + cos x + sin x = + cos( x − ) > Khi : + −2 − 19 −2 + 19 ; ] 3 - Do +∞ cos x − sin x − + sin x + cos x (1) ∀x ∈ R (1) ⇔ y (2 + cos x + sin x) = cos x − sin x − ⇔ y + y cos x + y sin x = cos x − sin x − ⇔ y sin x + sin x + y cos x − cos x = −2 y − (*) ( y + 1) + ( y − 2) ≥ (2 y + 1) Phương trình (*) có nghiệm : ⇔ y2 + y + 1+ y2 − y + ≥ y2 + y +1 ⇔ y2 + y − ≤ -Lập bảng xét dấu (**) (**) danghoa949@gmail.com -3 y −3 − 17 -∞ f(y) + y ∈[ Vậy : Tập giá trị y : −3 − 17 ymin = Hay : −3 + 17 - +∞ + −3 − 17 −3 + 17 ; ] 2 ymax = −3 + 17 - Bài 3-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số : Giải Xác định miền giá trị y để (1) có nghiệm : Do + sin x ≠ Khi : cos x + sin x.cos x y= + sin x (1) ∀x ∈ R cos x + 2sin x cos x (1) ⇔ y = + 2sin x + cos x + sin x − cos x ⇔ y − y cos x = + cos x + sin x ⇔y= ⇔ (1 + y ) cos x + sin x = y − (*) (1 + y) + ≥ (3 y − 1) Phương trình (*) có nghiệm : ⇔ 1+ y + y2 + ≥ y2 − y +1 ⇔ y2 − y −1 ≤ -Lập bảng xét dấu (**) y -∞ 2− (**) 2+ +∞ danghoa949@gmail.com -4 f(y) + y ∈[ Vậy : Tập giá trị y : 2− ymin = Hay : - + 2− 2+ ; ] 4 ymax = 2+ - y= Bài 4-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số : Giải sin x + cos x + sin x + cos x + (1) sin x + cos x + ≥ − > -Xét biểu thức : , nên y xác định với x ∈R (1) ⇔ y (sin x + cos x + 2) = sin x + cos x + -Khi : ⇔ y sin x + y cos x + y = sin x + cos x + ⇔ y sin x − sin x + y cos x − cos x = − y ⇔ ( y − 1) sin x + ( y − 2) cos x = − y (*) ( y − 1) + ( y − 2) ≥ (1 − y) Phương trình (*) có nghiệm : -Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho số : ( y − 1), ( y − 2), sin x, cos x ( y − 1) + ( y − 2) ≥ (1 − y ) Ta có : ⇔ y2 − y +1 + y2 − y + ≥ 1− y + y2 ⇔ y2 + y − ≤ ⇔ y2 + y − ≤ (**) -Lập bảng xét dấu (**) y f(y) Tập giá trị y : −2 -∞ y ∈ [−2;1] + - +∞ + Vậy : ymin = −2 ymax = danghoa949@gmail.com -5 y= cos x + 2sin x + cos x − sin x + Bài 5-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số : (1) Giải -Xác định miền giá trị y để (1) có nghiệm : cos x − sin x + > ∀x ∈ R ( sin x ≤ 1, cos x ≤ 1, −π < x < π ) Do (1) ⇔ y (2 cos x − sin x + 4) = cos x + 2sin x + Khi : ⇔ y cos x − cos x − y sin x − 2sin x + y − = ⇔ (2 y − 1) cos x − ( y + 2) sin x = − y (*) (3 − y) ≤ (2 y − 1) + ( y + 2) ⇔ − 24 y + 16 y ≤ y − y + + y + y + ⇔ 11 y − 24 y + ≤ (**) 11 Phương trình (*) có nghiệm : -Lập bảng xét dấu (**) y -∞ f(y) + - y ∈ [ ; 2] 11 Vậy : Tập giá trị y : ymin = ymax = 11 Hay : - y= + cos x sin x + cos x − Bài 6-Tìm giá trị lớn hàm số : Giải Xác định miền giá trị y để (1) có nghiệm : (1) +∞ + .Do sin x + cos x − > Khi : danghoa949@gmail.com -6 ∀x ∈ R (do sinx, cosx không đồng thời 1) (1) ⇔ y (sin x + cos x − 2) = + cos x ⇔ y sin x + y cos x − y − − cos x = ⇔ y sin x + ( y − 1) cos x = 2(1 + y ) (*) y + ( y − 1) ≥ 4(1 + y ) ⇔ y2 + y2 − y + ≥ + y + y2 ⇔ y + 10 y + ≤ Phương trình (*) có nghiệm : -Lập bảng xét dấu (**) y −5 − 19 -∞ f(y) + y ∈[ Vậy : Tập giá trị y : −5 − 19 ymin = Hay : (**) −5 + 19 - +∞ + −5 − 19 −5 + 19 ; ] 2 ymax = −5 + 19 Phần 2: Sử dụng bất đẳng thức vào tính tốn giá trị lớn nhất, nhỏ -Ta nhắc lại số bất đẳng thức liên quan: 1-Bất đẳng thức Cauchy cho số dương : 2-Bất đẳng thức Svasơ - Bunhiakopsky : a).Cho số thực : (a + b ) ( c + d ) ≥ (ac + bd ) -Đẳng thức xảy : b).Cho số thực : (a a + b + c ≥ 3 a.b.c c d = a b (a, b ≠ 0) + b + c ) ( d + e + f ) ≥ ( ad + be + cf ) danghoa949@gmail.com -7 -Đẳng thức xảy : d e f = = a b c (a, b, c ≠ 0) -Bài 7-Tìm giá trị lớn hàm số : 1 y = + cos x + + 2sin x 2 (1) Giải -Biến đổi tương đương : 1 y = + cos x + + 2sin x 2 ⇔ y = + cos x + + sin x -Áp dụng BĐT Svasơ - Bunhiakopsky cho số : 1, 1, + cos x, + sin x (1') , được: 5 1 + cos x + + sin x ≤ 12 + 12 + cos x + + sin x 2 ≤ y≤ Hay : 22 ymax = Vậy : 22 + = 2 22 Đẳng thức xảy : 1 + cos x = + sin x (*) danghoa949@gmail.com -8 (cos x − sin x) = − = 4 ⇔ cos x = π π ⇔ x = ± + k 2π ⇔ x = ± + kπ ⇔ cos x + cos y + cos z = Bài 8-Cho Tìm giá trị lớn hàm số : 2 y = + cos x + + cos y + + cos z (1) Giải -Áp dụng BĐT Svasơ - Bunhiakopsky cho số : 1, 1, 1, cos x, cos y , cos z : + cos x + + cos y + + cos z ≤ ≤ 12 + 12 + 12 + cos x + + cos y + + cos z ≤ 3 + (cos x + cos y + cos z ) =2 Hay : Vậy : cos x + cos y + cos z = 1) ( y≤2 ymax = - Bài 9- Cho x, y , z > x+ y+z = π Tìm giá trị lớn hàm số y = + tan x tan y + + tan y tan z + + tan z tan x (1) Giải x+ y+z = -Ta xét giả thiết : π ⇔ x+ y = danghoa949@gmail.com -9 π −z π − z) tan x + tan y ⇔ = ⇔ tan x tan z + tan y tan z = − tan x tan y − tan x tan y tan z ⇔ tan x tan y + tan y tan z + tan z tan x = (*) ⇒ tan( x + y ) = tan( -Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho số : 1, 1, 1, tan x tan y, tan y tan z , tan z tan x : + tan x tan y + + tan y tan z + + tan z tan x ≤ ≤ 12 + 12 + 12 + tan x tan y + + tan y tan z + + tan z tan x ≤ 3 + (tan x tan y + tan y tan z + tan z tan x ) =2 Hay : Vậy : ( tan x tan y + tan y tan z + tan z tan x = 1) y≤2 ymax = Bài 10-Tìm giá trị nhỏ hàm số : 2 y = sin x + ÷ + cos x + ÷ sin x cos x (1) Giải Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho số : 1 1, 1, sin x + , cos x + sin x cos x : danghoa949@gmail.com -10 sin x + sin x ÷+ cos x + cos x ÷ ≤ 2 ≤ sin x + ÷ + cos x + ÷ sin x cos x 2 1 1 2 ⇔ sin x + ÷ + cos x + ÷ ≥ sin x + cos x + + 2 sin x cos x 2 sin x cos x 1 ≥ 1 + ÷ sin 2 x 25 ≥ (1 + 4) = 2 ⇔ ⇔ y≥ Hay : 25 ymin = Vậy : 25 sin x = cos x ⇔ x = ± -Đẳng thức xảy : π + kπ Phần 3- Sử dụng cơng cụ đạo hàm Bài 11-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số : Giải cos x ≥ sin x ≥ -Hàm số xác định : , − sin x cos x y' = + cos x sin x -Tính : sin x cos x y' = ⇔ = cos x sin x y = cos x + sin x Ta khảo sát π 0; (1) danghoa949@gmail.com -11 ⇔ sin x = cos x ⇔ (sin x − cos x)(1 + sin x cos x) = 3 ⇔ sin x = cos x π ⇔x= (1 + sin x cos x > 0) -Bảng biến thiên: x π y’ y + π - Vậy : ymin = ymax = - Bài 12-Tìm giá trị lớn hàm số : y = sin x + 3sin x (1) Giải -Hàm số xác định với x ∈ R y ' = cos x + cos x = 12 cos x + cos x − -Tính : cos x = y' = ⇔ −3 cos x = y đạt giá trị lớn điểm mà y’ = cos x = ⇒ sin x = ± 3 +Khi y = sin x + 3sin x = sin x + 6sin x cos x = ± Khi : 5 (*) danghoa949@gmail.com -12 cos x = +Khi −3 7 ⇒ sin x = ± y = sin x + 3sin x = sin x + 6sin x cos x = ± Khi : y max = Xét (*) (**) cho ta : 5 , 7 (**) 5 cos x = ⇒ sin x = 3 Phần 4- Một số dạng khác Bài 13-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số : x cos α − x + cos α y= (0 < α < π ) x − x cos α + (1) Giải -Ta xét biểu thức : x − x cos α + = x − x cos α + cos α + sin α = ( x − cos α ) + sin α > 0