Bất đẳng thức cho các hàm chứa hàm lượng giác và lượng giác ngược

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THU THỦY BẤT ĐẲNG THỨC CHO CÁC HÀM CHỨA HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THU THỦY BẤT ĐẲNG THỨC CHO CÁC HÀM CHỨA HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 Người hướng dẫn: PGS.TS PHAN THANH NAM BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 Lời cam đoan Luận văn với đề tài “Bất đẳng thức cho hàm chứa hàm lượng giác lượng giác ngược” hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn PGS.TS Phan Thanh Nam Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết Luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố trước Bình Định, ngày 28 tháng năm 2021 Tác giả Nguyễn Thị Thu Thủy Lời cảm ơn Luận văn với đề tài “Bất đẳng thức cho hàm chứa hàm lượng giác lượng giác ngược” thực hồn thành Khoa Tốn Thống Kê, Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Thầy, PGS.TS Phan Thanh Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phịng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn Thống Kê Trường Đại học Quy Nhơn, thầy cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Phương pháp Tốn sơ cấp Khóa 22 tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Tác giả xin gửi lời cảm ơn Ban Giám hiệu, tập thể giáo viên Tốn trường THPT Trưng Vương gia đình tạo điều kiện cho tác giả có hội học tập nghiên cứu Mặc dù luận văn thực với cố gắng thân điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q Thầy, Cơ để luận văn hoàn thiện MỤC LỤC Danh mục ký hiệu ii MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính chất hàm lượng giác ngược 1.2 Một số định lí giải tích Các bất đẳng thức Shafer-Fink chứa hàm lượng giác ngược arcsinx 2.1 Các bất đẳng thức Shafer-Fink mở rộng dựa vào công thức khai triển chuỗi lũy thừa 2.2 Phương pháp sơ cấp chứng minh bất đẳng thức Shafer-Fink mở rộng 14 2.3 Phương pháp chứng minh dựa vào bất đẳng thức Wu-Debnath 18 Các bất đẳng thức Shafer-Fink chứa hàm lượng giác ngược arctanx 28 3.1 Mở rộng bất đẳng thức Shafer-Fink hàm thành phần 28 3.2 Mở rộng bất đẳng thức Shafer-Fink hàm phân thức 36 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 i Danh mục ký hiệu C R (R+ , R0,+ ) N N0 f −1 n! n!! : : : : : : : Tập hợp số phức Tập hợp số thực (dương, không âm) {1, 2, 3, } {0} ∪ N ánh xạ ngược f n! = 1.2 n n!! = (n − 2)!!.n ii MỞ ĐẦU Các bất đẳng thức Shafer-Fink, chứa hàm lượng giác ngược hàm arcsin x, arctan x, sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực kỹ thuật, chẳng hạn viễn thơng, viễn thơng cáp quang, xử lí tín hiệu, khoa học máy tính, học máy, v.v (Xem [4], [7] tài liệu liên quan) Các bất đẳng thức Shafer-Fink liên quan đến hàm lượng giác ngược arcsin x cho dạng phát biểu sau: Phát biểu (Định lí 1, [4]) Với số thực x ∈ [0, 1], hai vế bất đẳng thức sau đúng: x7 3x π−3 x5 √ + ≤ arcsin x − ≤ 180 189 2 + − x2 (0.1) Phát biểu (Định lí 3, [4]) Với x ∈ [0, 1] vế trái với x ∈ [0, 0.871433] vế phải, hai vế bất đẳng thức sau đúng: 1− π x+ π − 18 x3 ≤ arcsin x − πx π √ x ≤ 1− + − x2 (0.2) Phát biểu (Định lí 2, [4]) Với x ∈ [0, 1], bất đẳng thức sau đúng: a(x) 3x √ √ ≤ arcsin x − , + − x2 + − x2 a(x) = (0.3) 11 x + x 60 180 Và bất đẳng thức Shafer-Fink liên quan đến hàm lượng giác ngược arctan x cho dạng phát biểu sau: Phát biểu (Định lí 1, [7]) Với x > 0, hai vế bất đẳng thức sau đúng: 3x 3x √ √ + a(x) < arctan x < + b(x), + + x2 + + x2 a(x) = (0.4) 13 x − x , b(x) = x 180 1512 180 Phát biểu (Định lí 2, [7]) Với x > 0, khẳng định sau đúng: 3x + d(x) 3x + c(x) √ √ < arctan x < , + + x2 + + x2 c(x) = 17 x − x , d(x) = x5 60 840 60 (0.5) Phát biểu (Định lí 4, [7]) Với x > 0, khẳng định sau đúng: − 2x √ x < arctan x − < − x + x5 12 12 40 1+ 1+x (0.6) Như vậy, bất đẳng thức Shafer-Fink tìm hàm đa thức để đánh giá chặn kx √ chặn cho hàm dạng arcsin x − với k = 3, π cho hàm + − x2 3x √ dạng arctan x − + + x2 Để đưa đánh giá chặt cho lớp hàm trên, gần đây, cách sử dụng công thức khai triển chuỗi lũy thừa, số mở rộng bất đẳng thức Shafer-Fink đề xuất [4], [7] (và tài liệu liên quan đến bất đẳng thức WD) Bên cạnh đó, việc kiểm định lại bất đẳng thức cần dựa vào cơng cụ sơ cấp tính tăng giảm hàm số, nghiệm phương trình ẩn, v.v Mục tiêu luận văn hệ thống làm rõ bất đẳng thức mở rộng gần bất đẳng thức Shafer-Fink trình bày [4,7] Luận văn, ngồi phần ký hiệu, mục lục, lời nói đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung bố cục chương: Chương trình bày số kiến thức để chuẩn bị cho chương sau gồm: tính chất hàm lượng giác ngược số định lí giải tích quan trọng sử dụng luận văn Chương trình bày bất đẳng thức mở rộng Shafer-Fink chứa hàm lượng giác ngược arcsin x Trong chương chúng tơi trình bày hai phương pháp thiết lập bất đẳng thức Shafer-Fink gồm: (1) phương pháp dựa vào khai triển chuỗi lũy thừa (2) phương pháp dựa vào bất đẳng thức Wu-Debnath (xem[12]) cho hàm chuỗi lũy thừa hệ số dương Ngồi ra, chương chúng tơi trình bày số kiểm chứng bất đẳng thức Shafer-Fink mở rộng cơng cụ sơ cấp Chương trình bày bất đẳng thức mở rộng Shafer-Fink chứa hàm lượng giác ngược arctan x Trong chương này, trình bày kết mở rộng phát biểu 4,5,6 phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa áp dụng định lí Leibniz Bình Định, ngày 28 tháng năm 2021 Tác giả Nguyễn Thị Thu Thủy Chương Một số kiến thức chuẩn bị Để tính toán chứng minh bất đẳng thức liên quan hàm lượng giác ngược sử dụng luận văn, ta nhắc lại số tính chất liên quan hàm lượng giác ngược định lí giải tích quan trọng sau: 1.1 Tính chất hàm lượng giác ngược Định nghĩa 1.1 Cho hàm số song ánh: f :X→Y (1.1) X, Y tập hợp số nói chung Khi phần tử y = f (x) với y ∈ Y ảnh phần tử nằm X Phép đặt tương ứng phần tử y Y với phần tử x X xác định hàm số, ánh xạ từ Y sang X, hàm số gọi hàm số ngược hàm số f kí hiệu là: f −1 : y → x = f −1 (y) (1.2) Nếu f −1 tồn tại, ta nói hàm số f (x) khả nghịch Có thể nói tính chất song ánh điều kiện cần đủ để hàm f (x) khả nghịch, tức f (x) song ánh tồn hàm ngược f −1 ngược lại Sau điều kiện cần đủ để hàm số cho có hàm số ngược: Định lí 1.1 ([2]) Giả sử hàm số y = f (x) xác định, đồng biến (đơn điệu tăng thật sự) nghịch biến (đơn điệu giảm thưc sự) liên tục khoảng X Khi tập giá trị Y tương ứng với hàm số nó, tồn hàm ngược (đơn trị) x = g(y) hàm đồng biến nghịch biến, liên tục khoảng Nhận xét 1.1 Với hai hàm lượng giác y = sin x, y = tan x, theo định lí trên, ta có hàm lượng giác ngược tương ứng khoảng đồng biến nghịch biến chúng −π π −π π ; (hay ; ) hàm số y = sin x(hay y = tan x) đồng biến, 2 2 liên tục nên tồn hàm ngược y = arcsin x (hay y = arctan x) sau:   y = arcsinx     sin(arcsin x) ≡ x    x = sin y  −π π hay ≤ arcsin x ≤ −1 ≤ x ≤   2     −π π  −1 ≤ x ≤  ≤y≤ 2 Trong             y = arctanx  tan(arctan x) ≡ x   x = tan y −π π hay ≤ arcsin x ≤ −∞ ≤ x ≤ +∞  2   −∞ ≤ x ≤ +∞ −π π ≤y≤ 2 Hơn arcsin(−x) = − arcsin x, ∀x ∈ [−1, 1] arctan(−x) = − arctan x 1.2 Một số định lí giải tích Định lí 1.2 (Định lí Taylor, [1]) Cho n số nguyên dương f hàm khả vi liên tục cấp n [a, x], khả vi cấp n + (a, x) f (x) = f (a) + f (a) f (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + + (x − a)n + Rn (x), (1.3) 1! 2! n! R(x) phần dư bậc n Định lí 1.3 (Quy tắc L’Hospital, [1]) Cho hai hàm số f g: Nếu limx→a f (x) = limx→a g(x) = limx→a f (x) = limx→a g(x) = ±∞ f (x) limx→a tồn g (x) f (x) f (x) = lim x→a g(x) x→a g (x) lim (1.4) Chương Các bất đẳng thức Shafer-Fink chứa hàm lượng giác ngược arctanx Trong chương trình bày số bất đẳng thức Shafer-Fink chứa hàm lượng giác ngược arctan x Mục 3.1 trình bày mở rộng bất đẳng thức Shafer-Fink hàm thành phần dựa vào phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa Mục 3.2 trình bày mở rộng bất đẳng thức Shafer-Fink hàm phân thức 3.1 Mở rộng bất đẳng thức Shafer-Fink hàm thành phần Trong mục này, chúng tơi trình bày phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa để xây dựng bất đẳng thức Shafer-Fink mở rộng chứa hàm f (x) = arctan x − 3x √ + + x2 (3.1) Kí hiệu ϕ(x) = 3x √ + + x2 Sử dụng kỹ thuật nhân lượng liên hợp, hàm ϕ(x) biểu diễn lại sau √ x(1 − + x2 ) ϕ(x) = − 1+ x (3.2) (3.3) Quan sát (3.3), ta thấy công thức khai triển Taylor cho hàm f (x) √ thiết lập từ ba công thức khai triển Taylor ba hàm gồm hàm arctan x, + x2 28 hàm + x2 Với x ∈ [−1, 1], áp dụng công thức khai triển Taylor cho hàm arctan x x = 0, ta thu f (0) f (0) f (0) x+ x + x + 1! 2! 3! x2m−1 x3 x5 + − + (−1)m−1 + =x− 2m − arctan x = f(0) + ∞ (−1)m A(m)x2m+1 , = (3.4) m=0 A(m) = 2m + (3.5) √ Tiếp theo, áp dụng công thức khai triển Taylor cho hàm + x2 x = 0, ta thu √ (−1)m (2m)! + x = + x − x + x + + x2m+2 + 2m+1 16 m!(m + 1)!2 ∞ (−1)m K(m)x2m+2 , =1+ (3.6) m=0 K(m) = (2m)! m!(m + 1)!22m+1 Cuối cùng, ta khai triển Taylor cho hàm = 1+ x + x2 −1 = 1+ (3.7) x = 0, ta thu 1+ x √ x −1 ∞ m = (−1) m=0 √ x 2m (3.8) Thay hai công thức (3.6) (3.8) vào (3.3), ta thu biểu diễn chuỗi lũy thừa hàm ϕ(x) sau: √ ϕ(x) = −x(1 − + x2 ) + x2 ∞ ∞ 2m = −x − − (−1)m K(m)x2m+2 (−1)m √ x m=0 m=0 ∞ B(m)x2m+1 , = (3.9) m=0 29 đó, B(0) = 1, B(1) = − (−1)m 4m−1 B(m) = 3m m (2i − 2)! (i − 1)!i!22i−1 1−8 i=2 i , m ≥ (3.10) Hơn nữa, tính toán ta chứng minh dãy {B(m)}m∈N0 , m ≥ thỏa (2m − 1)! (2m − 1)!! B(m + 1) + B(m) = (−1)m 2m−1 = 2(−1)m (m − 1)!(m + 1)! (2m + 2)!! (3.11) Trước chuyển sang Định lí 3.1, biểu thị mở rộng tổng quát Phát biểu 4, cần bổ đề sau: Bổ đề 3.1 ([6]) Cho β(0) = 1, β(1) = β(m) = 3(−1)m 22m+1 ∞ k=0 −1 (2k + 2m − 1)! (k + m − 1)!(k + m + 1)! 16 k , (3.12) với m ≥ Khi đó, chuỗi {β(m)}m∈N0 với m ≥ thỏa đẳng thức (3.11) Chứng minh Trong phần chứng minh bổ đề này, sử dụng phương pháp WilfZeilberger([10], [8], [9]) • Với m = 1, đẳng thức ln • Với m ≥ 2, đặt g(k, m) = (2k + 2m − 1)! , (k + m − 1)!(k + m + 1)! φ(m) = 3(−1)m 22m+1 (3.13) Thay công thức (3.13) vào (3.12), ta thu ∞ β(m) = φ(m) g(k, m) k=0 16 k (3.14) Hơn nữa, từ công thức (3.13), (3.14), với số tính tốn, ta kiểm tra ∞ β(m + 1) = φ(m + 1) g(k, m + 1) k=0 (2k + 2m + 1)! g(k, m + 1) = , (k + m)!(k + m + 2)! 3(−1)m+1 φ(m + 1) = 22m+3 30 16 k , Từ cơng thức trên, ta tính β(m + 1)+ β(m) = m = ∞ k=0 ∞ φ(m + 1)g(k, m + 1) + φ(m)g(k, m) 3 16 (−1) (2k + 2m + 13)(2k + 2m − 1)! 2m−1 (8k + 8m + 16)(k + m − 1)!(k + m + 1)! k=0 16 k k (3.15) Bây giờ, với m ≥ 1, ta kí hiệu m−1 S(m) = F (m, k), (3.16) k=0 với (2m + 2k + 13)(2m + 2k − 1)! F (m, k) = (8m + 8k + 16)(m + k − 1)!(m + k + 1)! 16 k 16 k (3.17) , (3.18) Xét hàm G(m, k) sau (−8k − 8m − 16)(2k + 2m − 1)! G(m, k) = (8k + 8m + 16)(k + m − 1)!(k + m + 1)! m ∈ N0 , k ∈ N0 Khi đó, F (m, k) G(m, k) thỏa F (m, k) = G(m, k + 1) − G(m, k) (3.19) Lấy tổng vế đẳng thức (3.19) theo k từ đến vô cùng, ta thu S(m) = −G(m, 0) (3.20) Dựa vào cơng thức (3.18), ta tính G(m, 0) = (−8m − 16)(2m − 1)! (8m + 16)(m − 1)!(m + 1)! 16 =− (2m − 1)! (m − 1)!(m + 1)! (3.21) Điều kéo theo S(m) = (2m − 1)! (m − 1)!(m + 1)! (3.22) Thay công thức (3.22) vào (3.15), ta thu (−1)m (−1)m (2m − 1)! β(m + 1) + β(m) = 2m−1 S(m) = 2m−1 2 (m − 1)!(m + 1)! 31 (3.23) Hệ 3.1 ([6]) Cho dãy {B(m)}m∈N0 {β(m)}m∈N0 thỏa mãn quan hệ lặp chúng với m = m = 1, ta có B(m) = β(m), m ∈ N0 Đặt C(m) = A(m) − B(m), (3.24) C(0) = C(1) = 0, m ≥ thỏa 4m−1 C(m) = − m 2m + m (2i − 2)! (i − 1)!i!22i−1 1−8 i=2 i (3.25) Thay công thức (3.4) (3.9) vào (3.1), ta thu biểu diễn chuỗi lũy thừa hàm f (x) sau: f (x) = arctan x − 3x √ + + x2 ∞ ∞ m (−1) A(m)x = 2m+1 B(m)x2m+1 − m=0 m=0 ∞ (−1)m C(m)x2m+1 , = (3.26) m=0 √ √ 3 với m ∈ N0 , x ∈ − , 2 Với m ∈ N0 , ta kí hiệu β + (m) = ∞ 22m+1 k=0 (2k + 2m − 1)! (k + m − 1)!(k + m + 1)!22k k , k−1 +∞ β1 (m) = k=0 + n) n=0 k−1 (m + + n) (m + k , n=0 k−1 (m + β1k (m) = n=0 k−1 + n) (m + + n) n=0 Bổ đề 3.2 ([6]) Với m ∈ N0 , đẳng thức sau (2m − 1)!! β + (m) = β1 (m) (2m + 2)!! 32 (3.27) Chứng minh Ta có β + (m) = = = = = (2k + 2m − 1)! (k + m − 1)!(k + m + 1)!22k (2m + 2k − 1)!! (m + 1)! (2m + 2)!! (m + k + 1)! 2k (2m − 1)!! (2m + 1)(2m + 3) (2m + 2k − 1) (m + 1)! (2m + 2)!! (m + 1)!(m + 2)(m + 3) (m + k + 1) 2k k−1 (2m − 1)!! n=0 (m + + n) k−1 (2m + 2)!! n=0 (m + + n) (2m − 1)!! β1 (m) (2m + 2)!! 22m+1 Vậy đẳng thức (3.27) chứng minh Bổ đề 3.3 ([6]) Với m ∈ N0 , bất đẳng thức sau đúng:  k m+ 8(m + 2)  2 =   2m + 13 m+2 k=0 ∞  ∞ k < β1 (m) < k=0 k = (3.28)  k m+  2 Chứng minh Bổ đề có   < β1k (m) < m+2  Bổ đề 3.4 ([6]) Với m ∈ N0 , bất đẳng thức sau đúng: β1 (m + 1) > β1 (m) m+2 m+ 1− m+2 Chứng minh Ta có (m + 2)(m + β1k (m + 1) = β1k (m) + k) ( + m)(m + + k) m +2 = β1k (m) 1− m+2+k m+ m + > β1k (m) 1− m+2 m+ 33 (3.29) Định lí 3.1 ([6]) Với hàm số thực 3x √ + + x2 √ : bất đẳng thức sau với k ∈ N x ∈ 0, f (x) = arctan x − 2k+1 (3.30) 2k (−1)m C(m)x2m+1 < f (x) < m=0 (−1)m C(m)x2m+1 , (3.31) m=0 C(0) = C(1) = với m ≥ 2, 4m−1 C(m) = − m 2m + m 1−8 i=2 (2i − 2)! (i − 1)!i!22i−1 i (3.32) Chứng minh Ta chứng minh dãy {C(m)}m∈N0 dãy dương, giảm ngặt C(m) → m → ∞ Áp dụng Bổ đề 3.3 3.4, ta có C(m) = (2m − 1)!! (2m − 1)!! − β1 (m) > −4 2m + (2m + 2)!! 2m + (2m + 2)!! (2m + 1)!! = 1−6 2m + (2m + 2)!! Nhận xét với m ≥ 11, ta có theo < C(m) < (2m + 1)!! < tức C(m) > Điều kéo (2m + 2)!! Như limm→∞ C(m) = 2m + Bây giờ, ta chứng minh {C(m)}m∈N0 dãy giảm ngặt Thật vậy, C(m + 1) − C(m) −2 (2m + 1)!! (2m − 1)!! − β1 (m + 1) + β1 (m) (2m + 1)(2m + 3) (2m + 4)!! (2m + 2)!! −2 (2m − 1)!! 2m + = + β1 (m) − β1 (m + 1) (2m + 1)(2m + 3) (2m + 2)!! 2m +  = −2 (2m − 1)!!  2m + m + + β1 (m) − (2m + 1)(2m + 3) (2m + 2)!! 2m + m+ −2 (2m − 1)!! = + β1 (m) (2m + 1)(2m + 3) (m + 2)(2m + 2)!! −2 (2m − 1)!! < +4 (2m + 1)(2m + 3) (m + 2)(2m + 2)!! −2 (2m + 3)!! = 1−9 (2m + 1)(2m + 3) (2m + 4)!! < 34 1−  2m+2  β1 (m) Nhận xét với m ≥ 8, ta có (2m + 3)!! −2 < 1, < nên (2m + 4)!! (2m + 1)(2m + 3) −2 (2m + 3)!! 1−9 < Điều kéo theo C(m + 1) − C(m) < (2m + 1)(2m + 3) (2m + 4)!! Như {C(m)}m∈N0 dãy giảm ngặt Từ ta kết luận {C(m)}m∈N0 dãy dương với m ≥ 2, giảm ngặt (với m ≥ 8) √ 2m+1 hội tụ 0, điều cho dãy {C(m)x }m∈N0 với x ∈ 0, Do đó, áp dụng định lí Leibniz [3] cho hàm số ∞ 3x √ f (x) = arctan x − = (−1)m C(m)x2m+1 , + + x2 m=0 ta có được: 2k+1 2k m (−1) C(m)x 2m+1 < f (x) < m=0 (−1)m C(m)x2m+1 , k ∈ N m=0 Định lí chứng minh Các trường hợp đặc biệt √ • Cho k = x ∈ • Cho k = x ∈ , ta thu Phát biểu √ 0, , ta có 0, x5 13x7 53x9 3791x11 3x x5 13x7 53x9 √ − + − < arctan x − < − + 180 1512 5184 342144 180 1512 5184 + + x2 √ • Cho k = x ∈ 0, , ta có x5 13x7 53x9 3791x11 55801x13 130591x15 − + − + − 180 1512 5184 342144 4852224 11197440 3x √ < arctan x − + + x2 x5 13x7 53x9 3791x11 55801x13 < − + − + 180 1512 5184 342144 4852224 35 3.2 Mở rộng bất đẳng thức Shafer-Fink hàm phân thức Định lí 3.2 ([6]) Với x ∈ (0, 1] k ∈ N , khẳng định sau đúng: 3x + 2k+1 m=2 (−1)m E(m)x2m+1 3x + √ < arctan x < + + x2 2k m=2 (−1)m E(m)x2m+1 √ , + + x2 (3.33) E(m) = − 2m + m−1 i=0 2(2m−2i−2) (2m − 2i − 2)! (2i + 1) (m − i − 1)! (m − i)! (3.34) Chứng minh Quy đồng mẫu số, hàm f (x) biểu diễn sau √ + + x2 arctan x − 3x √ f (x) = + + x2 (3.35) Tiếp theo ta tìm biểu diễn chuỗi lũy thừa cho hàm tử số hàm f (x) Kí hiệu √ g(x) = + + x2 arctan x − 3x (3.36) Thay công thức (3.4) (3.6) vào (3.36) với số tính tốn, ta thu ∞ (−1)m E(m)x2m+1 , ∀x ∈ (0, 1] , g(x) = (3.37) m=2 E(m) = − 2m + m−1 i=0 2(2m−2i−2) (2m − 2i − 2)! (2i + 1) (m − i − 1)! (m − i)! (3.38) Bây giờ, ta chứng minh {E(m)}m∈N,m≥2 đơn điệu giảm lim E(m) = m→+∞ Bằng số phép tính tốn, ta kiểm chứng {E(m)}m∈N,m≥2 thỏa: −2mE(m) + (2m + 3) E (m + 1) = (m + 1)(2m)! − 2m + ((m + 1)!)2 4m Bây giờ, ta kí hiệu e(m) = g(m).S(m), 36 (3.39) m−1 S(m) = j=1 (2j + 2)! ((2j)!!)2 (j + 1) − (2j + 1)! 2(2j+3) (2j + 1) ((j + 1)!)2 ((2j)!!)2 g(m) = m! (m − 1)!2(2m+1) (2m + 1)! Hơn từ công thức trên, ta kiểm tra dãy {e(m)}m∈N,m≥2 thỏa (3.39) Ta thấy dãy {E(m)}m∈N,m≥2 {e(m)}m∈N,m≥2 với m = m = 3, ta kết luận E(m) = e(m), với m ∈ N, m ≥ Ta chứng minh {e(m)}m∈N,m≥2 đơn điệu giảm lim e(m) = m→+∞ Theo phương pháp quy nạp, ta có (2j + 1)! < ((2j)!!)2 (j + 1) với j ∈ N Do S(m) > 0, m ≥ 2, tức e(m) > 0, m ≥ m−1 Ta chứng minh {e(m)}m∈N,m≥2 đơn điệu giảm Kí hiệu S(m) = h(j), j=1 h(j) = (2j + 2)! ((2j)!!)2 (j + 1) − (2j + 1)! 2(2j+3) (2j + 1) ((j + 1)!)2 ((2j)!!)2 Với m ≥ 2, ta có e(m + 1) (2m + 1)!! với m ∈ N nên điều tương đương sau đúng, với m ∈ N : C(m) > ⇔ (2m − 1)!! > ⇔ (2m + 2)!! > (2m + 1)!!, 2m + (m + 1)!2m C(m) > 0, với m ∈ N Bây ta chứng minh {C(m)}m∈N đơn điệu giảm Ta có C(m) − C(m + 1) > ⇔ (2m − 1)!! −3 >0 (2m + 1) (2m + 3) (2m + 2)!! (m + 2) ⇔ (2m + 4)!! > (2m + 3)!! Do đó, theo quy nạp C(m) dãy đơn điệu giảm Vì < C(m) < nên limm→+∞ C(m) = 2m + Từ ta kết luận {C(m)}m∈N dãy đơn điệu giảm, dương hội tụ Và đó, tính chất cho dãy {C(m)x2m+1 }m∈N nên theo bất đẳng thức Leibniz[3], ta có bất đẳng thức (3.41) Định lí chứng minh Nhận xét: Với x ∈ (0, 1] k = 1, ta thu Phát biểu Ngoài ra, với x ∈ (0, 1] k ≥ 2, ta thu bất đẳng thức chặt Phát biểu 39 Các trường hợp đặc biệt • Với k = 2, ta có 3 29 2x √ x + x5 − x < arctan x − 12 40 448 + + x2 29 65 x + x < − x3 + x5 − 12 40 448 1152 − • Với k = 3, ta có 3 29 65 281 11 2x √ x + x5 − x + x − x < arctan x − 12 40 448 1152 5632 + + x2 29 65 281 11 595 13 x + x + x − x < − x3 + x5 − 12 40 448 1152 5632 13312 − 40 KẾT LUẬN Trong luận văn làm rõ số nội dung sau: (1) Đã làm rõ bất đẳng thức Shafer-Fink liên quan đến hàm lượng giác ngược arcsin x, arctan x cho dạng Phát biểu 1,2,3,4,5,6 (2) Trình bày cách thiết lập bất đẳng thức Shafer-Fink mở rộng dựa vào khai triển chuỗi lũy thừa bất đẳng thức Wu-Debnath (3) Đã làm rõ số kiểm chứng công cụ sơ cấp cho bất đẳng thức Shafer-Fink chứa hàm lượng giác ngược arcsin x, arctan x mở rộng chúng 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng, Giải tích tốn học hàm số biến, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu, Nội suy đa thức, NXB ĐHQG Hà Nội, (2016) [3] R.Beals, Analysis-an introduction, Cambridge University Press, (2004) [4] G.Bercu, Sharp Refinements for the Inverse Sine Function Related to Shafer Finnk’s Inequality, Mathematical Problems in Engineering, Volume, Article ID 9237932, pages, https://doi.org/10.1155/2017/9237932, (2017) [5] B.Malesevic, M.Makragic, A Method for Proving Some Inequalitions on Mixed trigonometric Polynomial Functions, Journal of mathematical Inequalities, 10:3, 849-876, (2016) [6] Branko Malesevic, Marija Rasajski, and Tatjana Lutovac, Refined Estimates and Generalizations of Inequalities Related to the Arctangent Function and Shafer’s Inequality ,Mathematical Problems in Engineering Volume, Article ID 4178629, pages https://doi.org/10.1155/2018/4178629, (2018) [7] C.Mortici and H.M.Srivastava, Estimates for the arctangent function related to Shafer’s inequality, Colloquium Mathematicum, vol.73, no.3, pp.309-310, (1996) [8] M.Petkovsek, H Zakrajsek, Solving Linear Recurrence Equations with Polynomial Coefficients, Computer Algebra in Quantum Field Theory, Springer, pp.259-284, (2013) [9] M.Petkovsek, H.S.Wilf, and D.Zeilberger, A=B, A.K.Peters, Wellesley, (1996) [10] A Tefera, What is a Wilf-Zeilberger pair?, Notices of the Amercian Mathematical Society, 57:4,508-509, (2010) [11] J.B.Wilker: Problem E 3306, Amer Math Monthly 96:1, p.55.(1989) [12] S Wu, L Debnath, A generalization of L’Hospital-type rules for monotonicity and its application, Appl Math Lett 22, 284-290 (2009) 42 ... số bất đẳng thức Shafer-Fink Mục 2.3 trình bày bất đẳng thức Wu-Debnath ứng dụng vào việc thiết lập bất đẳng thức cho hàm chuỗi lũy thừa, bao gồm bất đẳng thức Shafer-Fink 2.1 Các bất đẳng thức. .. 18 Các bất đẳng thức Shafer-Fink chứa hàm lượng giác ngược arctanx 28 3.1 Mở rộng bất đẳng thức Shafer-Fink hàm thành phần 28 3.2 Mở rộng bất đẳng thức Shafer-Fink hàm phân thức 36... chất hàm lượng giác ngược 1.2 Một số định lí giải tích Các bất đẳng thức Shafer-Fink chứa hàm lượng giác ngược arcsinx 2.1 Các bất đẳng thức Shafer-Fink