Bất đẳng thức và bất đẳng thức của các sắp xếp

MỤC LỤC I/ ĐẶT VẤN ĐỀ (Lý chọn đề tài) trang II/GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm) trang 1)Cơ sở lý luận vấn đề trang 2)Thực trạng vấn đề trang 3)Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề trang 4)Hiệu sáng kiến kinh nghiệm .trang 21 III/KẾT LUẬN trang 22 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CỦA CÁC SẮP XẾP I ĐẶT VẤN ĐỀ : (Lý chọn đề tài) -Để rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh THPT việc trang bị cho học sinh kiến thức bản, người thầy giáo cần giúp em tổng hợp phân loại phương pháp giải dạng thường gặp để em dễ nhớ, dễ vận dụng - Bất đẳng thức mảng kiến thức khó rộng mơn Tốn nhờ tập bất đẳng thức mà học sinh hiểu kĩ hơn, sâu giải biện luận phương trình, bất phương trình Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức, mối liên hệ yếu tố tam giác q trình giải tốn khả tư sáng tạo người học phát triển mạnh Thực tế giải tập bất đẳng thức học sinh thường gặp nhiều khó khăn cách giải chúng khơng hồn tồn có mẫu quy tắc số mảng kiến thức khác -Qua nhiều năm giảng dạy tốn trường phổ thơng, người thầy, thường trăn trở suy nghĩ, thu thập tài liệu, cố gắng xếp hợp lý số phương pháp tập chứng minh bất đẳng thức với mong muốn giúp học sinh tự tin đứng trước số toán bất đẳng thức cụ thể toán chứng minh bất đẳng thức - Phạm vi giới hạn viết Khn khổ viết có hạn nên tơi muốn tổng hợp phân loại phương pháp chứng minh bất đẳng thức ví dụ áp dụng dành cho học sinh THPT đặc biệt học sinh giỏi lớp 11, 12 II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm) 1)Cơ sở lý luận vấn đề: - Vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải bất đẳng thức, Học Sinh tiết kiệm thời gian, giải gọn - Bất đẳng thức kiến thức khó khơng thể thiếu vốn kiến thức Học Sinh phổ thông, học sinh giỏi -Khi vận dụng phương pháp phù hợp , Học Sinh biến đổi nhanh gọn bất ngờ, đầy hứng thú, kích thích phát triển tinh thần say mê , thích thú học tốn 2)Thực trạng vấn đề: - Học Sinh thường gặp tốn bất đẳng thức mà khơng biết phải sử dụng phương pháp để chứng minh nên lúng túng biến đổi,tính tốn - Để có sở vận dụng tốt phương pháp chứng minh bất đẳng thức em cần nắm vững kiến thức bất đẳng thức.Nếu khơng dễ bị dẫn đến khó khăn ,bế tắc * Kiến thức cần nắm vững: A Định nghĩa bất đẳng thức: Với hai số a, b ta nói a a ≥ ≤ b b ⇔ ⇔ a -b a -b B Tính chất: a > b ; b >c a > b ; c > a>b;c b ; c > d ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ a > a >b ⇒ a+c>b+c ac > bc ac < bc a+c>b+d ≥ ≤ 0 ⇒ a>b;c b ≥ ⇒ a-c bd a > b > ; < c < d ⇒ a > b > a>b a〉 b ⇔ a ⇒ c > b d an > bn ⇔ an > bn (n lẻ) an > bn ( n chẵn ) Nếu m > n >0 a >1 ⇒ a =1 am > an ⇒ am = an 0 ⇒ a < ⇒ am = an b C Các bất đẳng thức: a ≥ a ≥ a ≥ với a Dấu xẩy với a Dấu xẩy a với a Dấu xẩy a+b ≤ a ⇔ ⇔ ⇔ a=0 a=0 a ≥ b + với a,b Dấu xẩy ⇔ ab ≥ a−b ≥ a b - với a,b Dấu xẩy ⇔ ab > a ≥ b 3)Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề: -Để học sinh vận dụng tốt phương pháp chứng minh bất đẳng thức ngồi việc nắm vững lí thuyết ,các em phải nhớ dạng phương pháp thích hợp Học Sinh cần: o Học thuộc lòng phương pháp chứng minh bất đẳng thức o Biết phối hợp với số kiến thức khác o Kết hợp với biến đổi, tính tốn , rút gọn -Để học sinh có kết tốt học sinh cần nắm nội dung cách giải số toán chứng minh bất đẳng thức sau: *11 PHƯƠNG PHÁP : Mỗi phương pháp có: 1/ Phương pháp giải 2/Ví dụ áp dụng 3/ Bài tập tương tự Phương pháp sử dụng định nghĩa: 1.1 Phương pháp giải: Muốn chứng minh A > B xét A - B Nếu A - B dương khẳng định A > B bất đẳng thức cần chứng minh 1.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a,b,c số thực Chứng minh Giải: Xét hiệu H = a + b + c − (ab + bc + ca ) = = a + b + c − 2ab − 2bc − ca (a − b) + (b − c) + (c − a ) ≥0 a + b + c ≥ ab + bc + ca ⇒ H ≥ Theo định nghĩa bất đẳng thức Dấu = xẩy ⇔ H=0 ⇔ a=b=c Ví dụ2: Cho a > 0, b > chứng minh rằng: a3 + b3  a + b  −    Giải: Xét hiệu: A = ⇒ a + b + c ≥ ab + bc + ca a + b3  a + b  ≥    Bỏ ngoặc, phân tích thành nhân tử ta được: A = mà (a - b)2 ≥ ⇒ Theo định nghĩa Dấu xẩy 3 (a + b) (a - b)2 Vì a > , b > ⇒ a+b>0 ≥ A a3 + b3 ⇒ ⇔ a +b   ≥   a=b 1.3 Bài tập tương tự: Bài 1: Chứng minh: a + b + c ≥ 2ab + 2bc − 2a Bài 2: Cho a,b,c > chứng minh: a2 b2 + c2 + b2 c2 + a2 + c2 a 2 a +b ≥ b+c + b c+a + c a+b Phương pháp sử dụng tính chất: 2.1 Phương pháp giải: Sử dụng hay nhiều tính chất nêu 2.2 để biến đổi Từ khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh 2.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a, b > Chứng minh ab > a + b ⇒ Giải: Ta có: a > , b > b>2,a>0 Từ (1) (2) ⇒ ⇒ Ví dụ 2: Cho a ≥ ab > 2b (1) (Tính chất 3) ⇒ ab > 2a (2) (Tính chất 3) 2ab > (a + b) (Tính chất 4) ab > a + b 0, b ≥ 0, c (Tính chất 3) ≥ Chứng minh rằng: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc ( a − b) = a − 2ab + b ≥ Giải: Ta có: ⇒ a + 2ab + b ≥ 4ab ⇒ (a + b) ≥ 4ab Tương tự ta có: (Tính chất 2) (1) ⇒ (b + c) ≥ 4bc ⇒ (c + a) ≥ 4ca Nhân vế (1),(2),(3) (2) (3) 2 2 ⇒ ⇒ (a + b) (b + c) (c + a ) ≥ (8abc) ⇒ (a + b)(b+ c)(c + a) ≥ 8abc 2.3 Bài tập tương tự: (Tính chất 6) (Tính chất 8) Bài 1: Chứng minh rằng: Bài 2: Cho a+b = a2 b2 + b2 c2 + Chứng minh : c2 c a ≥ b + b a + a c a + b4 ≥ Phương pháp phân tích: ( Biến đổi tương đương) 3.1 Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi tương đương với bất đẳng thức khác mà ta biết từ suy bất đẳng thức cần chứng minh 3.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 (a + b)2 Giải: ⇔ ⇔ ⇔ ≤ a2 +2ab +b2 - 2a2 - 2b2 -(a2 - 2ab + b2) -( a - b)2 ≤ ≤ ≤ 0 (2) ⇒ bất đẳng thức (1) (đpcm) Ví dụ 2: Cho số a, b thoả mãn: Chứng minh: (a2 + b2) với a , b 2(a2 + b2) (1) Bất đẳng thức (2) Giải: (1) ≤ a ,b ≥ 1 + ≥ 2 1+ a 1+ b + ab (1) 1 1 1 + − = − + − 2 2 ⇔ + a + b + ab + a + ab + b + ab = (a − b)2 (ab − 1) ≥0 (1 + a )(1 + b )(1 + ab) 1 + ≥ 2 1+ a 1+ b + ab Suy ⇒ (1) Dấu xảy ⇒ a = b=1 3.3 Bài tập tương tự a b Bài 1: Cho a > 0, b > Chứng minh Bài 2: Cho số a, b thoả mãn: Chứng minh: − a≥ b− b a a , b, c ≥ 1 1 + + ≥ 3 + a + b + c + abc (1) Phương pháp tổng hợp: 4.1 Phương pháp giải: Từ bất đẳng thức biết đúng, dùng phép biến đổi tương đương biến đổi bất đẳng thức bất đẳng thức cần chứng minh Phương pháp giải làm cho học sinh thấy khó chỗ khơng biết nên bất đẳng thức biết phương pháp giải ngược với phương pháp phân tích dễ tìm bất đẳng thức xuất phát 4.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho a, b ≥ Chứng minh Giải: Theo giả thiết a, b ≥ ⇒ ab a+b ≥ ab ≥ ⇒ ab (Bất đẳng thức Côsi) xác định ≥ Ta có: ( a - b)2 ⇔ ⇔ ( a - b) ≥ a2 - 2ab +b2 4ab a+b ≥ ab ⇔ ⇔ ≥ a+b (đpcm) ≥ ⇔ ab a2 + 2ab +b2 (vì a + b ≥ ⇔ Dấu “ =” xảy ≥ 4ab 0) a = b Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: ( a + c) + ( b + d ) a2 + b2 + c2 + d ≥ Ta có: (ad - bd)2 Giải: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 a d - 2adbc + b c ⇔ ≥ a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2) (a + b )( c + d ) ≥ 2 a +b +2 ⇔ a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 ⇔ ⇔ ≥ ( (a (a 2 2 ) a2c2 + 2acbd + b2d2 (ac + bd)2 + b )( c + d ) + b )( c + d ) ≥ a2c2 + b2d2 ac + bd ( ac + bd > 0) ≥ a +b + c +d ≥ ≥ ≥ +c +d ≥ 2ac + 2bd + a2 + b2 + c2 +d2 (a + c)2 + (b + d)2 ( a + c) + (b + d ) 10 (đpcm) Dấu “=” xảy a c = ⇔ b d + Nếu + Nếu x ≥ ⇒ x > 0; x − ≥ 0; x ≥ x < ⇒ − x > 0;1 − x ≥ 0; Ví dụ 2: Chứng minh Giải: xét Hoặc + Nếu x ≥ ⇒ Nên từ (1) ≥ x < mà x10 A> 0 x4 nên từ (2) ⇒ A > 12 x + x3 + 11x + x + 10 > B = 12 x + x + 11x + x + 10 > (1) B = 10( x + x3 + x + x + 1) + x − x3 + x − 3x từ (1) ≥ ⇒ B > x + x3 + x + x + 2x4 +x2 > 0; -2x3 -3x > ( x0 tương tự ví dụ Vậy B > (đpcm) 7.3 Bài tập tương tự Bài 1: Chứngminh x − x + x − x3 + x − x + > x6 − x5 + x − x3 + x2 − x + Bài 2: Chứng minh >0 Phương pháp làm trội ( làm giảm) 8.1 Phương pháp giải: Để chứng minh A < B ta làm trội A thành C (A < C) chứng minh C ≤ B (biểu thức C đóng vai trị trung gian để so sánh A B) Tương tự phương pháp làm giảm 8.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh với số tự nhiên n 15 ≥ ta có: A = 1 1 + + + < n Giải: Làm trội phân số A cách giảm mẫu Ta có: 1 1 < = = k k − k k ( k − 1) ( k − 1) k ( k + 1) 1 1 1 + + + = + + + ( n − 1) n( n + 1) −2 −3 n − n 1.2.3 2.3.4 Do đó: A < Đặt C = 1 + + + ( n − 1) n( n + 1) 3 1 1 1 1  − + − + + −  ( n − 1) n n( n + 1)  = 1.2 2.3 2.3 3.4 = Vậy: 1  1 − = − <    n( n + 1)  2n( n + 1) 1 1 + + + < n Ví dụ 2: Chứng minh với số tự nhiên n A = 1+ Giải: A= ≥ ta có: 1 + + + n 0 b+c >0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho số a2 b+c b+c ta có a2 b+c a2 b + c a a2 b+c + ≥2 = = a ≥a− b+c b+c ⇒ b+c b2 a+c ≥b− a+c Tương tự ta có: c2 a+b ≥c− a+b Cộng vế bất đẳng thức ta được: a2 b2 c2 a+b+c a+b+c + + ≥ (a + b + c) − = b+c a+c a+b 2 Vậy a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c a+c a+b (đpcm) Ví dụ 2: Cho a, b, c số không âm a+b+c=1 Chứng minh rằng: a+b + b+c Giải: a, b, c ⇒ a+b , ≥ + c+a ≤ ⇒ b+c ≥ ≥ ≥ a+b 0; b+c 0; c+a , c+a có nghĩa áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski với số: 18 a1=1, a2=2, a3=3, b1= ta có: (1 a+b +1 a+b b+c , b2 +1 b+c c+a ⇔ ( a + b + b + c + c + a ) ≤ 3.2 ⇔ ( a+b + b+c + c+a ≤ , b3= )2 ≤ c+a (1+1+1)(a+b+b+c+c+a) (vì a+b+c=1) (đpcm) *Lưu ý: + Việc chứng minh bất đẳng thức côsi bất đẳng thức Bunhiacôpxki không đề cập mà hướng dẫn em chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng nhiều bất đẳng thức biết khác + Khi sử dụng bất đẳng thức cơsi cần ý số áp dụng phải có điều kiện cịn bất đẳng thức Bunhiacơpxki khơng cần điều kiện số ≥ ≥ phải áp dụng cho số + Ngoài bất đẳng thức hay sủ dụng cho học sinh THCS nêu em sử dụng số bất đẳng thức biết để chứng minh bất đẳng thức khác 9.3 Bài tập tương tự: Bài 1: cho a, b, c >0 Chứng minh a b c + + >2 b+c a+c a+b Bài 2: Cho a+b = Chứng minh a4+b4 ≥2 10.Phương pháp tam thức bậc hai: 10.1 Phương pháp giải: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức Định lý dấu tam thức bậc hai: 19 Định lý dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ∆ - Nếu - Nếu ∆ ∆ a.f(x) - Nếu ∆ ≠ 0) = b2 - 4ac < f(x) ln dấu với a với giá trị x (nghĩa a.f(x) > 0) =0 f(x) ln dấu với a với giá trị x, trừ x= ≥ 0, af(x) = x= −b 2a −b 2a f(x) = (nghĩa ); > f(x) dấu với a x nằm khoảng hai nghiệm (x 1, x2) khác dấu với a x nằm khoảng hai nghiệm 10.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho bốn số thực a, b, c, d thoả mãn hệ điều kiện Chứng minh rằng: c2 + d2-2ac -2bd Giải: c + d = ⇒ ≥ 18 - a + b =  c + d = (1) d = 6- c Khi bất đẳng thức (1) có dạng: c2+ (6-c)2 -2ac -2b(6-c) -18+ 2≥ (2) Quan niệm vế trái (2) tam thức bậc hai c, ta có: ( ∆' = ( a + − b ) − − 12b − 18 + 2 = - (a+b)2 + 12(a+b) + -12 ) (3) 20 ⇒ − ≤a+b≤ Do a2+b2 =1 Xét tam thức bậc hai f(x) = -x2 +12x+2-12 Ta có bảng xét dấu sau: x f(x) Do − ≤a+b≤ - 12- + nên từ (3) bảng xét dấu ⇒ ∆' ≤ - Theo định lý dấu tam thức bậc hai (2) với c Đó điều phải chứng minh Dấu = xảy a + b =   a = b = ⇔ ⇔  a+6−b c = c = d =   Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki nêu phần Giải: Xét tam thức bậc hai F(x) = (b1x - a1)2 + (b2x - a2)2+….+(bnx - an)2 Ta thấy f(x) F(x) =( b Do f(x) ≥0 với x Ta viết f(x) dạng sau +b22 +  + bn2 ) ≥0 x - 2(a1b1+a2b2+…+anbn)x + (a + a 22 +  + a n2 với x nên từ (1) suy ra: ∆' = ( a1b1 + a b2 +  + a n bn ) − ( a12 + a 22 +  + a n2 )( b12 + b22 +  + bn2 ) ≤ ( )( 2 2 2 ⇒ ( a1b1 + a b2 +  + a n bn ) ≤ a1 + a +  + a n b1 + b2 +  + bn 21 ) ) Dấu = xảy ⇔ ∆' = ⇔ phương trình f(x) =0 có nghiệm kép a a1 a = = = n bn ⇔ b1 b2 * Nhận xét: sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứngminh bất đẳng thức ví dụ 1, ví dụ nêu học sinh cần biết định lí dấu tam thức bậc hai kiến thức chưa thức giới thiệu bậc THCS nên khó em Vì tơi xin giới thiệu ví dụ để HS tham khảo không yêu cầu em tự làm tập phần 11 Phương pháp sử dụng “BẤT ĐẲNG THỨC CỦA CÁC SẮP XẾP” 11.1 Bất đẳng thức xếp Bất đẳng thức xếp khẳng định, hữu hạn số thực B = { b1 , b , , b n } A = { a1 , a2 , , an } hoán vị tập hợp hoán vị tập hợp hữu hạn số thực và: a1 ≤ a2 ≤ ≤ an b1 ≤ b2 ≤ ≤ bn n n n ∑a b ≥ ∑a c ≥ ∑a b Thì bất đẳng thức sau i =1 i i i =1 i i i =1 i n − i +1 vị B 11.2 Định lý: Chohai dãy số thực xếp chiều thứ tự  x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn   y1 ≤ y2 ≤ ≤ yn Ký hiệu (z1 , z , , z n ) hoán vị tùy ý (y1 , y , , y n ) 22 Khi (c1 , c , , cn ) hoán a) b) x1 z1 + x2 z2 + + xn zn ≤ x1 y1 + x2 y2 + + xn yn x1 yn + x2 yn −1 + + xn y1 ≤ x1 z1 + x2 z2 + + xn zn Ví dụ 1: Cho A,B,C số đo ba góc tam giác Chứng minh A sin A + B sinB+ CsinC ≥ AsinB+ BsinC + CsinA Giải: Giả sử C≥B≥ A Theo định lý BĐT xếp ta (sinB, sinC,sinA) Với xếp ta được: sinB ≥ sinC ≥ sinA (sinA,sinB,sinC) hoán vị , sử dụng bất đẳng thức A sin A + B sinB+ CsinC ≥ AsinB+ BsinC + CsinA Ví dụ 2: Cho A,B,C số đo ba góc tam giác nhọn Chứng minh tan A + tanB+ tanC ≥ A B C tanB+ tanC+ tanA B C A Giải : y= Xét hàm số tan x x xác định khoảng x − tan x x − sin x cos x y′ = cos x = x x cos x 23 π (0, ) Ta có Ta biết y= tan x x π x ∈ (0, ) sin x cos x < sin x < x ⇒ y ′ > đồng biến khoảng 0< A≤ B≤C < π π (0, ) suy Ta được: tan A tan B tan C ≤ ≤ A B C Ví dụ 3: Cho A ≤ B ≤ C   tan A tan B tan C  A ≤ B ≤ C A B C tanB+ tanC+ tanA B C A a, b, c ba số dương α, β ĐPCM >0 Chứng minh aα bα cα aα bα cα + + ≥ + + b β + c β a β + c β a β + bβ a β + bβ bβ + c β c β + a β Giải: Không tính tổng qt ta giả thiết Từ ta suy aα ≤ bα ≤ cα a β ≤ bβ ≤ cβ 1 ≤ β ≤ β β β b +c a +c a + bβ β Hay Do hàm số Khơng tính tổng qt, giả thiết Áp dụng bất đẳng thức xếp cho hai dãy tan A + tanB+ tanC ≥ với π x ∈ (0, ) 24 a≤b≤c aβ + bβ ≤ aβ + cβ ≤ bβ + cβ Áp dụng BĐT xếp cho hai dãy aα ≤ bα ≤ cα   1 ≤ β ≤ β  β β β a +c a + bβ b + c aα bα cα aα bα cα + + ≥ + + bβ + c β a β + c β a β + b β a β + b β b β + c β c β + a β Ta suy BĐT chứng minh Ví dụ 4: Cho dãy số nguyên dương phân biệt ( a1 , a2 , , an ) Chứng minh a a1 a2 1 + + + n2 ≥ + + + 2 n n Giải: Giả sử Thế ai′ ≥ i ( a1′, a2′ , , an′ ) hoán vị ( a1 , a2 , , an ) thõa mãn (a1′ ≤ a2′ ≤ ≤ an′ ) Từ bất đẳng thức xếp ta có a a′ a1 a2 a′ a′ 1 1 1 + + + n2 ≥ 21 + 22 + + n2 ≥ + + + ≥ + + + 2 n n n n ⇒ a , b, c Bài tập tương tự: Cho ba số dương a b2 + ≥ a+b b c 2 a b2 c2 + + ≥ a+b+c b c a a b5 c + + ≥ a + b4 + c4 b c a 25 ĐPCM a b9 2020 b 2020 c 2020 + + ≥ a 2011 + b 2011 + c 2011 c a 4)Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: -Tôi giới thiệu số toán chứng minh bất đẳng thức cho học sinh, q trình học tốn tơi thấy em gặp chứng minh bất đẳng thức khơng cịn lúng túng mà biết tìm cho phương pháp phù hợp để giải -Từ học sinh quen dần với chứng minh bất đẳng thức khó làm tiền đề cho phát triển toán học III KẾT LUẬN: -Học sinh biết nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức giải loại tập liên quan đến việc chứng minh bất đẳng thức có nhiều hướng suy nghĩ nên dễ tìm cách giải, qua phát triển tư nâng cao lực sáng tạo -Bất đẳng thức chuyên đề khó , phức tạp, phong phú với nhiều phương pháp giải học sinh thường gặp phải giải toán Để học sinh chọn lựa phương pháp phù hợp cần phải nghiên cứu đầu tư thời gian nhiều -Trên vài kinh nghiệm mà tơi tích luỹ q trình giảng dạy hướng dẫn học sinh học toán, mong đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm ngày hồn thiện.Tơi xin chân thành cám ơn 26 27 Tài liệu tham khảo -Sách giáo khoa toán 9-tập1,2 -Sách tập toán -tập1,2 -Sách giáo viên toán 9-tập1,2 -500 toán chọn lọc (Nguyễn ngọc Đạm-Nguyễn quang Hanh-Ngô long Hậu) -Để học tốt đại số (Nguyễn vĩnh Cận-Vũ Hựu-Hoàng Chúng) -Bất đẳng thức toán cực trị(Trần đức Huyên) -Nâng cao phát triển tốn (Vũ hữu Bình) -Lý thuyết sở hàm lồi bất đẳng thức cổ điển(Nguyễn Minh Tuấn) XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa, ngày tháng năm 2020 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Phan Văn Ngà 28 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỒI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGHÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN ĐƯỢC XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá loại Kết đánh giá Năm học đánh giá xếp loại xếp loại C 2017 “Phân tích sai lầm thường gặp giải tốn Ngun hàm – Tích phân cách khắc phục” Cấp tỉnh 29 ... Việc chứng minh bất đẳng thức côsi bất đẳng thức Bunhiacôpxki không đề cập mà hướng dẫn em chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng nhiều bất đẳng thức biết khác + Khi sử dụng bất đẳng thức cơsi cần... Phương pháp sử dụng bất đẳng thức kinh điển: ( bất đẳng côsi bất đẳng thức bunhiacốpxki) 9.1 Phương pháp giải: Để chứng minh bất đẳng thức ngồi cách giới thiệu ta sử dụng bất đẳng thức kinh điển Trong... tham khảo khơng u cầu em tự làm tập phần 11 Phương pháp sử dụng “BẤT ĐẲNG THỨC CỦA CÁC SẮP XẾP” 11.1 Bất đẳng thức xếp Bất đẳng thức xếp khẳng định, hữu hạn số thực B = { b1 , b , , b n } A = { a1