Ứng dụng bất đẳng thức bernoulli để chứng minh bất đẳng thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện: Trần Phương Nhung Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn Học THANH HĨA NĂM 2018 MỤC LỤC Trang PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.1- Lý chọn đề tài 1.2 - Mục đích nghiên cứu 1.3 – Đối tượng nghiên cứu 1.4 - Phương pháp nghiên cứu PHẦN : NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Bất đẳng thức Bernoulli 2.1.2 Hệ 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp để giải vấn đề 2.3.1 Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli chứng minh tốn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức 2.3.2 Sử dụng hệ bất đẳng thức Bernoulli vào giải toán bất đẳng thức 2.3.3 Các toán quy bất đẳng thức Bernoulli 2.3.4 Các tập 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường PHẦN : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO 2 3 3 4 11 12 14 14 16 ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Bất đẳng thức kiến thức quan trọng học chương trình tốn THCS THPT Các tốn Bất đẳng thức chương trình tốn học phổ thông đa dạng phong phú, đặc biệt tốn khó, tốn dùng cho học sinh giỏi Bài toán chứng minh bất đẳng thức toán quan trọng với học sinh kì thi Việc giải tốn ln thách thức khơng với học sinh mà với đa số giáo viên, việc nghiên cứu tìm hiểu lớp bất đẳng thức việc làm cần thiết việc chứng minh bất đẳng thức trở nên dễ dàng quen thuộc Tuy vậy, tài liệu sách giáo khoa dành cho học sinh THPT ứng dụng chưa trình bày cách hệ thống đầy đủ Các bất đẳng thức chưa trình bày cách có hệ thống sách tốn bậc THPT THCS Hiện nay, sách giáo khoa mơn tốn chương trình THPT khơng đề cập nhiều đến bất đẳng thức Bernoulli, đề thi học sinh giỏi xuất toán sử dụng hệ bất đẳng thức Bernoulli Nhiều toán khơng biết tính chất, hệ bất đẳng thức Bernoulli lời giải dài phức tạp áp dụng cho lời giải ngắn gọn dễ hiểu Hơn nữa, với đối tượng học sinh khá, giỏi việc tiếp cận bất đẳng thức Bernoulli ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli khơng phải vấn đề khó mà trái lại thơng qua trình vận dụng để giải tập sáng tác tập học sinh rèn luyện khả tư duy, sử dụng kiến thức cách linh hoạt, tạo cho em hứng thú tìm tòi, khám phá tri thức phát huy tính chủ động, sáng tạo Qua q trình nghiên cứu, tơi thấy bất đẳng thức Bernoulli có nhiều ứng dụng đặc sắc, làm cho việc chứng minh nhiều toán trở nên dễ dàng Chính tơi chọn đề tài “Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh bất đẳng thức” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu, trình bày cách có hệ thống ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể đến tổng quát, làm cho việc chứng minh bất đẳng thức bậc phổ thông, toán thi học sinh giỏi trở nên nhẹ nhàng, đơn giản 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu xây dựng phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào định lí Bernoulli hệ định lí (so sánh bậc α) Việc nghiên cứu dừng lại việc chứng minh số lớp bất đẳng thức, chưa đề cập đến việc mở rộng sâu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái qt hóa từ việc nghiên cứu cách giải toán đơn lẻ để khái quát lên thành phương pháp chung để giải số lớp bất đẳng thức Phương pháp đọc sách, tài liệu, nhằm tổng hợp cách giải dạng tập, để khái quát hóa thành phương pháp tổng quát giải dạng tốn NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Bất đẳng thức Bernoulli Cho x số thực dương, +) x    � x với  �( �;0] �[1; �) +) x    � x với  �[0;1] Dấu “=” xảy x  Chứng minh: Xét hàm số f ( x )  x   x    , f '( x)   ( x 1  1)  Xét   0,  f ( x)  0, x  nên bất đẳng thức  Xét     f '( x)  �  ( x 1  1)  � x  , f "( x)   (  1) x 2  nên f ( x) �f (1)  0, x  nên bất đẳng thức  Xét    f '( x)  �  ( x 1  1)  � x  , f "( x)   (  1) x 2  nên f ( x) �f (1)  0, x  nên bất đẳng thức Vậy bất đẳng thức chứng minh 2.1.2 Hệ (So sánh bậc  ) Cho x, y số thực dương, +) x �y   y 1 ( x  y ) với  �( �;0] �[1; �) +) x �y   y 1 ( x  y ) với  �[0;1] Dấu “=” xảy x  y Chứng minh:  Xét  �( �;0] �[1; �) , áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có  �x � x    1  �y �    � y � x  (  1) y � xy ۳ x �� y   y 1 ( x  y )  Xét  �[0;1] , áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có  �x � x    1  x �y �    � y � x  (  1) y � xy ۣ �� y   y 1 ( x  y ) Do bất đẳng thức chứng minh 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi học sinh giải toán bất đẳng thức trương trình phổ thơng gặp tốn khó mà sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc việc giải tốn ln thách thức với học sinh Ví dụ tốn sau: Ví dụ1: Cho số thực x, y, z thỏa mãn x �5, x  y �8, x  y  z  Chứng minh x  y  z �35 Hoặc tốn: Ví dụ 2: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a  b5  c5 �a  b  c � �� � � � Nếu học sinh sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopski em khó để tìm lời giải 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli chứng minh tốn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Phương pháp chung: Sử dụng linh hoạt bất đẳng thức Bernoulli Bài toán 1: Cho số thực dương x, y thỏa mãn x  y �2 Chứng minh x  y �2 Phân tích: Ta sử dụng bất đẳng thức Bernoulli   Lời giải: Ta có x  3x   ( x  1) ( x  2) �0, x  Suy x  �3 x (1) Dấu “=” xảy x  Tương tự ta có y  �3 y (2) Cộng theo vế (1), (2) ta x  y  �3( x  y ) �6 Suy x  y �2 Dấu “=” xảy x  y  Bài toán 2: Cho số thực dương x, y thỏa mãn x  y �1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  x5  y Phân tích: Ta sử dụng bất đẳng thức Bernoulli   , nhiên dấu lại xảy x  y  Lời giải: Đặt a  x, b  y suy a  0, b  a  b �2 Ta có a  5a   (a  1)2 (a  2a  3a  4) �0, a  Suy a  �5a (1) Dấu “=” xảy a  Tương tự ta có b5  �5b (2) Cộng theo vế (1), (2) ta a  b5  �5(a  b) �10 Suy a  b5 �2 Dấu “=” xảy a  b  1 5 5 Do (2 x)  (2 y) �2 � x  y � Dấu “=” xảy x  y  16 Vậy M  1 x  y  16 Bài toán 3: Cho số thực dương x, y thỏa mãn x  y �2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  x5  y Phân tích: Giả sử x  a �bx ta cần tìm a, b Đặt u  x � x  u � x  u x  a �bx trở thành u  a �bu 5 Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli   , a  , b  3 Lời giải: Ta có x5  x3   ( x  1)2 (3 x3  x  x  2) �0, x  Suy x5  �5 x , x  (1) Dấu “=” xảy x  Tương tự ta có y  �5 y , y  (2) Cộng theo vế (1), (2) ta 3( x5  y )  �5( x  y ) �10 Suy x  y �2 Dấu “=” xảy x  y  Vậy M  x  y  Bài toán 4: Cho số thực dương x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  x7  y Phân tích: Giả sử x  a �bx ta cần tìm a, b Đặt u  x � x  u � x  u x  a �bx trở thành u  a �bu Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli   7 , a  , b  5 Lời giải: Ta có x  x   ( x  1) (5 x  10 x  x  x  x  2) �0, x  Suy x  �7 x5 , x  (1) Dấu “=” xảy x  Tương tự ta có y  �7 y , y  (2) Cộng theo vế (1), (2) ta 5( x  y )  �7( x5  y )   14 Suy x  y �2 Dấu “=” xảy x  y  Vậy M  x  y  2.3.2 Sử dụng hệ bất đẳng thức Bernoulli vào giải toán bất đẳng thức Phương pháp chung: Sử dụng so sánh bậc  Bài toán 5: Cho số thực x, y, z thỏa mãn x �4, x  y �7, x  y  z  Chứng minh x  y  z �26 Phân tích: Ta sử dụng so sánh bậc x y Lời giải: Ta có x  [ y  ( x  y)]2  y  y ( x  y )  ( x  y ) �y  y( x  y) Suy x �y  y ( x  y ) (*) Dấu “=” xảy Áp dụng (*) ta có x �42  2.4( x  4), x �R (1) y �32  2.3( y  3), y �R (2) z �12  2.1( z  1), z �R (3) Cộng theo vế (1), (2) (3) ta x  y  z �26  2[4( x  4)  3( y  3)  ( z  1)]  26  2[1.( x   y   z  1)  2( x   y  3)  ( x  4)] �26  2[2( x  y  7)  ( x  4)] �26 Dấu “=” xảy x  4, y  3, z  Vậy x  y  z �26  Bài toán 6: Cho số thực x, y, z thỏa mãn �z �y �x, x �4, x  y �7, x  y  z  Chứng minh x  y  z �26 Phân tích: Ta sử dụng so sánh bậc x y Lời giải: Ta có x  [ y  ( x  y )]2  y  y ( x  y )  ( x  y ) �y  y ( x  y) Suy x �y  y ( x  y ) (*) Dấu “=” xảy Áp dụng (*) ta có 42 �x  2.x(4  x ), x �R (1) 32 �y  y (3  y ), y �R (2) 12 �z  2.z (1  z ), z �R (3) Cộng theo vế (1), (2) (3) ta 26 �x  y  z  2[ x(4  x )  y (3  y )  z (1  z )]  x  y  z  2[ z (4  x   y   z )  ( y  z )(4  x   y )  ( x  y )(4  x)]  x  y  z  2[( y  z )(7  x  y )  ( x  y )(4  x)] �x  y  z Dấu “=” xảy x  4, y  3, z  Vậy x  y  z �26  Bài toán 7: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x �4, x  y �7, x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  x3  y  z Phân tích: Ta sử dụng so sánh bậc x y Lời giải: Ta có x �y  y ( x  y ) (*) � x3  y x  y �0 � ( x  y )2 ( x  y ) �0 (**) Ta thấy (**) với x  0, y  (*) ln với x  0, y  Dấu “=” xảy Áp dụng (*) ta có x �43  3.42 ( x  4), x  (1) y �33  3.32 ( y  3), y  (2) z �23  3.2( z  2), z  (3) Cộng theo vế (1), (2) (3) ta x  y  z �99  3[42 ( x  4)  32 ( y  3)  22 ( z  2)]  99  3[22.( x   y   z  2)  (32  22 )( x   y  3)  (42  32 )( x  4)] �99  3[5( x  y  7)  7( x  4)] �99 Dấu “=” xảy x  4, y  3, z  Vậy M  99 x  4, y  3, z  2.3.3 Các toán quy bất đẳng thức Bernoulli Bài toán 8: Cho số thực dương x, y , Chứng minh �x  y � �x  y � � ��� � � � � � 5 7 Lời giải: x5 y5 x5  y 5 ,v  ,m  Đặt u  , suy u  v  2, x  mu, y  mv 5 x y x y x7  y7 u  v7 � 7�  m Theo ví dụ ta có u  v �2 , � ��m 2 � � 7 x  y �x  y � �۳ � � � � 7 1 �x  y � �x  y � � � � � � � � � Dấu “=” xảy u  v  tức Bài toán 9: Cho số tự nhiên n thỏa mãn n �3 Chứng minh n 1 n  n n 1 Lời giải: Ta có n 1 n  n n 1 (1) n � n  (n  1) n n 1 �n � �� � �n  � n  (2) Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli   n, x  n n n �n � n n � ��۳ n 1 �n  � Dấu “=” xảy n ta n 1 �n � � � �n  � n  n  �  (vô lý) tức dấu “=” không xảy n 1 n �n � Do � với n �3 , tức (2) đúng, suy (1) � �n  � n  Bài toán 10: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh (a  b)c  (c  a )b  (b  c) a  Lời giải: Gọi bất đẳng thức cho (*)  Nếu có số ba số a, b, c lớn (*) Thật vậy, giả sử a  suy a  c  1, a  b  1, c  0, b  nên (a  c)b  1, (a  b)c  (a  c)b  ( a  b)c  , mà (b  c) a  nên (*)  Nếu ba số a, b, c thuộc khoảng (0;1) , áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có a a �1 �  a � �� bc �b  c � � (b  c)a  (1) a � � a  b  c  a(b  c) � � bc �b  c � abc bc bc abc Chứng minh tương tự ta có (c  a ) b  ac abc (2) ( a  b) c  ab abc (3) Cộng theo vế (1), (2) (3) ta (a  b)c  (c  a )b  (b  c) a  Bài toán 11: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a  b5  c5 �a  b  c � �� � � � Lời giải: Bất đẳng thức cho tương đương với 5 � 3a � � 3b � � 3c � � � � � � ��3 �a  b  c � �a  b  c � �a  b  c � Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta 3a � 3a �  � ��۳ abc �a  b  c � Dấu “=” xảy 5(b  c  2a) � 3a � � � abc �a  b  c � (1) 3a  � b  c  2a abc Chứng minh tương tự ta có 5(c  a  2b) � 3b � � ��1  abc �a  b  c � (2) 5(a  b  2c) � 3c � � ��1  abc �a  b  c � (3) Cộng theo vế (1), (2) (3) ta 5 � 3a � � 3b � � 3c � � � � � � ��3 �a  b  c � �a  b  c � �a  b  c � b  c  2a � � c  a  2b � a  b  c Dấu “=” xảy � � a  b  2c � �� 0; � Chứng minh Bài toán 12: Cho x �� � 2� (2  sin x) 2 tan x  (3  tan x)1sin x 10 Lời giải: Đặt a   sin x, b   tan x �� 0; �nên  a  b Bất đẳng thức trở thành Do x �� � 2� (1  a )b  (1  b) a Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta b a b b b (1  a)   � (1  a ) � (1  a ) a �1  a � (1  a)b �(1  b) a a a Do  a  nên dấu “=” khơng xảy ra, (1  a )b  (1  b) a 2.3.4 Bài tập Cho số thực x, y, z thỏa mãn x �3, x  y  Chứng minh x  y �10 Cho số thực x, y, z thỏa mãn x �a, x  y  b Chứng minh x  y �a  b Cho số thực x, y, z thỏa mãn x �5, x  y �8, x  y  z  Chứng minh x  y  z �35 Cho số thực x, y, z thỏa mãn x �a, x  y �b, x  y  z  c Chứng minh x  y  z �a  b  c Cho số thực dương x, y thỏa mãn x �3, x  y  Chứng minh x  y �28 Cho số thực dương x, y thỏa mãn x �a, x  y  b Chứng minh x  y �a  b3 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x �2, x  y �3, x  y  z  Chứng minh x  y  z �10 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x �a, x  y �b, x  y  z  c Chứng minh x  y  z �a  b3  c Cho số thực x, y thỏa mãn x �3, x  y  Chứng minh x  y �82 11 10 Cho số thực x, y thỏa mãn x �a, x  y  b Chứng minh x  y �a  b 11 Cho số thực x, y, z thỏa mãn x �a, x  y  b, x  y  z  c Chứng minh x  y  z �a  b  c 12 Cho số thực dương x1 , x2 , , xk thỏa mãn �x1 �a1 �x �a  a 2 � � � �x  x   x �a  a   a k 1 k 1 �1 � �x1  x2   xk  a1  a2   ak Chứng minh x1n  x2n   xkn �a1n  a2n   a2n 13 Chứng minh với số ngun dương n ta ln có n 1 n � 1� � �  � � 1 � � n � � � n 1� 14 Chứng minh với số nguyên dương n ta ln có n � 1�  ��3  � n2 � n� 15 Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a  b  c Chứng minh với số tự nhiên n cho n  a ta có a n  b n  c n 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy nhận thấy kết đạt có khả quan Cụ thể qua số kết thu hoạch kiểm tra khả giải tập học sinh hai lớp 12 A 12 B sau: Bài 1: Cho số thực x, y, z thỏa mãn x �3, x  y  Chứng minh x  y �10 Số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12 A (Sĩ số 36) Số lượng Tỷ lệ Không giải 02 5,5 % Giải sai phương pháp 04 11 % 12 Giải phương pháp 30 83,5 % Lớp 12 B (Sĩ số 36) Số lượng Tỷ lệ Không giải 03 8,3 % Giải sai phương pháp 05 13,8 % Giải phương pháp 28 77,9 % Bài 2: Cho số thực x, y, z thỏa mãn x �5, x  y �8, x  y  z  Chứng minh x  y  z �35 Số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12 A (Sĩ số 36) Không giải Giải sai phương pháp Giải phương pháp Lớp 12 B (Sĩ số 36) Không giải Giải sai phương pháp Giải phương pháp Số lượng 01 03 32 Số lượng 02 06 28 Tỷ lệ 2,7 % 8,3 % 89 % Tỷ lệ 5,5 % 16,7 % 77,8 % BIỂU ĐỒ SO SÁNH SAU KHI Đà CHỈ RA SAI LẦM VÀ UỐN NẮN HỌC SINH SỬA CHỮA SAI SĨT Như vậy, bất đẳng thức Bernoulli có nhiều ứng dụng đặc sắc, làm cho việc chứng minh nhiều toán trở nên dễ dàng đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh ( yếu học sinh giỏi) đem lại hiệu rõ rệt, học sinh hứng thú với nội dung học Trong thời gian tới, đề tài tiếp tục áp dụng vào thực tiễn giảng dạy nhà trường mong đạt hiệu tốt đẹp đạt trình thực nghiệm 13 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trong tiểu luận này, sử dụng bất đẳng thức Bernoulli hệ để chứng minh bất đẳng thức khác Đối với bất đẳng thức liên quan đến số mũ nguyên dương bất đẳng thức Bernoulli có vai trò định hướng tìm lời giải viêc chứng minh hoàn toàn độc lập, bất đẳng thức liên quan đến số mũ nguyên dương việc chứng minh thực cách áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Bernoulli 3.2 Kiến nghị Đề tài khơng lạ người u thích nghiên cứu Tốn Nhưng với mong muốn đáp ứng tinh thần ham học, thích khám phá học sinh Tôi hi vọng đề tài đóng góp phần vào việc giải dạng tốn nêu ; Các thầy cô phát thêm sai sót học sinh q trình giải toán, để uốn nắn kịp thời, tạo cho học sinh hội sửa sai thêm yêu thích mơn Tốn Tơi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm quý thầy cô đồng nghiệp phát triển dạy cho học sinh khá, giỏi lớp10, lớp 11, lớp 12 tỉnh ta XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU Thanh Hóa ngày 20 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Trần Phương Nhung 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức - Định lí áp dụng, NXB Giáo dục, 2006 [2] Trần Phương, Những viên kim cương bất đẳng thức, NXB Tri thức, 2011 15 16 ... dụng bất đẳng thức Bernoulli hệ để chứng minh bất đẳng thức khác Đối với bất đẳng thức liên quan đến số mũ nguyên dương bất đẳng thức Bernoulli có vai trò định hướng tìm lời giải viêc chứng minh. .. 12 14 14 16 ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Bất đẳng thức kiến thức quan trọng học chương trình tốn THCS THPT Các tốn Bất đẳng thức chương... chọn đề tài Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh bất đẳng thức 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu, trình bày cách có hệ thống ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli từ đơn