Bất đẳng thức bằng số và bất đẳng thức hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG SAYCOCIE PASAYKHONE BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG SỐ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng, Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG SAYCOCIE PASAYKHONE BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG SỐ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Đà Nẵng, Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Saycocie Pasaykhone MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu nội dung nghiên cứu đề tài Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài CHƢƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG SỐ 1.1 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN, BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH SỐ HỌC VÀ TRUNG BÌNH HÌNH HỌC [3], [4], [5] 1.1.1 Một số bất đẳng thức [5] [8], [13] 1.1.2 Bất đẳng thức trung bình số học trung bình hình học [3], [4], [9]5 Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân gọi Bất đẳng thức M-GM Trung b nh số học–Trung b nh h nh học Ta c ng thƣờng hay gọi BĐT Cauchy 1.1.3 Bất đẳng thức tái xếp [3], [10] 13 1.1.4 Áp dụng bất đẳng thức tái Sắp xếp 14 1.2.1 Định nghĩa hàm lồi [12] 16 1.2.2 Tính chất hàm lồi [12] 16 1.2.3 Tiêu chuẩn đơn giản để nhận biết tính lồi hàm số [3] 19 1.3.1 Bất đẳng thức Muirhead 27 1.3.2 Ví dụ 30 KẾT LUẬN CHƢƠNG 34 CHƢƠNG BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 35 2.1 HAI BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 35 2.1.1 Hai bất đẳng thức tam giác [7], [10] 35 2.1.2 Các bất đẳng thức tam giác [4], [8] 36 2.2 BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA CÁC CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC [4], [7], [8] 37 2.3 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC [4], [8], [10] 40 2.3.1 Sử dụng nguyên lí đoạn thẳng, đƣờng vng góc đƣờng xiên, góc cạnh đối diện tam giác 40 2.3.2 Sự liên quan bất đẳng thức tam giác 46 2.4 BẤT ĐẲNG THỨC EULER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG [8], [11] 50 2.4.1 Công thức Euler 50 2.4.2 Bất đẳng thức Euler 51 2.4.3 Định lí Euler 52 2.4.4 Ví dụ 54 2.5 CÁC HÀM ĐỐI XỨNG CỦA A, B, C [6], [10] 55 2.5.1 Bất đẳng thức Schur ứng dụng 55 2.5.2 Các bất đẳng thức đối xứng 57 2.6 BẤT ĐẲNG THỨC VỚI DIỆN TÍCH VÀ CHU VI [4], [5], [7] 61 2.7 ĐỊNH LÍ ERD ̈ S-MORDELL [8], [11] 63 2.7.1 Bất đẳng thức Erd ̈ -Mordell tam giác 63 2.7.2 Ví dụ 66 2.8 CÁC BÀI TOÁN TỐI ƢU HÓ [4] 69 2.8.1 Các khái niệm 69 2.8.2 Ví dụ 69 KẾT LUẬN CHƢƠNG 73 KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC KÝ HIỆU VIẾT TẮT BĐT : Bất đẳng thức NXB : Nhà xuất TBC : Trung bình cộng TBN : Trung bình nhân THPT : Trung học phổ thông MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học sử dụng bất đẳng thức nhiều đẳng thức; nhiều định lí quan trọng hệ trực tiếp gián tiếp số bất đẳng thức V ngƣời làm Tốn cần có tài liệu bất đẳng thức Nếu liệt kê bất đẳng thức quan trọng khơng khó Tuy nhiên, phải xếp có hệ thống bất đẳng thức với đầy đủ chứng minh theo tƣ tƣởng định vấn đề trở nên phức tạp, số lƣợng bất đẳng thức quan trọng lớn chúng thuộc nhiều lĩnh vực khác Toán học Nhiều bất đẳng thức quen thuộc c ng khó biết lịch sử xuất Rất có thể, xuất nhƣ mệnh đề phụ cơng tr nh hình học thiên văn học thƣờng khơng đƣợc phát biểu rõ ràng Nhiều năm sau, số tác giả phát lại bất đẳng thức chƣa đƣợc phát biểu đầy đủ Hầu nhƣ luôn thấy rằng, với bất đẳng thức tiếng nhìn lại ta c ng thêm cho chúng g mơi Bất đẳng thức nội dung quan trọng chƣơng trình Tốn trung học phổ thơng khơng Lào, Việt Nam mà giới Trong kì thi học sinh giỏi, k thi đại học kì thi Olympic Tốn quốc tế khu vực ln có tốn liên quan đến bất đẳng thức thƣờng dạng tốn khó Xuất phát từ nhu cầu phát triển tính thời việc nghiên cứu bất đẳng thức, định chọn đề tài với tên gọi là: “Bất đẳng thức số bất đẳng thức hình học” Chúng hi vọng tạo đƣợc tài liệu tham khảo tốt cho ngƣời muốn tìm hiểu toán bất đẳng thức ứng dụng 2 Mục tiêu nghiên cứu nội dung nghiên cứu đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài nhằm nghiên cứu bất đẳng thức thể số bất đẳng thức liên quan đến hình học Nội dung nghiên cứu gồm hai chƣơng: - Chƣơng 1, giới thiệu BĐT số Cụ thể BĐT số quen thuộc, tiếng, có nhiều ứng dụng tiện ích - Chƣơng 2, tr nh bày BĐT h nh học, cụ thể BĐT có yếu tố hình học, liên quan đến hình học tam giác, hình học đa giác, đa diện, BĐT với diện tích chu vi, BĐT Euler ứng dụng,… Trong phần đƣa ví dụ minh họa tốn tiêu biểu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu đề tài vấn đề liên quan đến BĐT Phạm vi nghiên cứu đề tài BĐT thể số BĐT liên quan đến hình học Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp, so sánh, hệ thống hóa… sách báo, tài liệu cơng trình nghiên cứu khoa học có liên quan đến đề tài - Tham gia buổi seminar thầy hƣớng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Trao đổi qua email, forum với chuyên gia BĐT ứng dụng Đóng góp đề tài - Tổng hợp kết tác giả nghiên cứu liên quan đến BĐT ứng dụng, nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu BĐT số BĐT hình học chương trình Tốn trung học phổ thơng - Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, c ng nhƣ đƣa số ví dụ minh họa nhằm làm cho ngƣời học dễ dàng tiếp cận vấn đề đƣợc đề cập CHƢƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG SỐ Hai biểu thức đại số đƣợc nối với dấu: < (bé hơn), > (lớn , (bé bằng), (lớn bằng) cho ta bất đẳng thức đại số Thí dụ: 1.1 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN, BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH SỐ HỌC VÀ TRUNG BÌNH HÌNH HỌC [3], [4], [5] Trƣớc nghiên cứu bất đẳng thức, ta cần nhắc lại định nghĩa, c ng nhƣ tính chất Định nghĩa 1.3.1 [8]: + nhỏ , kí hiệu + lớn , kí hiệu + nhỏ + lớn ( khơng nhỏ ), kí hiệu ( khơng lớn ), kí hiệu đƣợc gọi vế trái (VT), đƣợc gọi vế phải (VP) bất đẳng thức * Các tính chất bất đẳng thức: + + + + + bất đẳng Ta gọi hệ thức dạng thức Trong đó, + + + + + +| | | | + 1.1.1 Một số bất đẳng thức [5] [8], [13] * Dấu “=” xảy *| | Dấu “=” xảy √ * với Bất đẳng thức đƣợc viết dƣới dạng khác là: / , ) ,( với * ) ( * 3( ) ( a, b, c) ( * *( ) ) 3( ) ( * ) ( * ) * Bất đẳng thức Cauchy (Bất đẳng thức Bunyakovsky hay bất đẳng thức Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz (viết tắt BCS), bất đẳng thức Schwarz bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Định lý 1.1.3 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Cho hai dãy số thực ( , ,… , , ) ,… , Khi 62 Dấu „‟=‟‟xảy √ Khi tam giác trở thành tam giác Ví dụ 2.6.2 Trong tất tam giác chu vi cạnh đáy th tam giác cân có diện tích lớn Lời giải Giả sử tƣơng ứng cạnh tam giác, diện tích chu vi a độ dài cạnh đáy Theo cơng thức Hêrơng ta có : , - √ ( )( )( )( )( ) ( ( ( ) )( ( ) √ ( ) ) ) ( ) Dấu “=” xảy khi: Khi tam giác có diện tích lớn tam giác cân √ ( ) Ví dụ 2.6.3 Chứng minh tam giác tam giác ( ngoại tiếp tam giác thỏa mãn: lần lƣợt bán kính đƣờng trịn nội tiếp ) Lời giải Theo định lý diện tích tam giác ta có: 63 ( ) √ ( )( ( )( ) )( )( ) Xét hiệu ( / Từ ( ) )( ( )( ( ) Dấu “ = “ xảy ) ) , tức tam giác Vậy toán đƣợc chứng minh 2.7 ĐỊNH LÍ ERD ̈ S-MORDELL [8], [11] 2.7.1 Bất đẳng thức Erd ̈ -Mordell tam giác Bất đẳng thức Erd ̈ -Mordell bất đẳng thức tiếng tam giác, đƣợc nhà toán học Paul Erd ̈ đề xuất năm lời giải đƣa Louis Mordell sử dụng hàm số cosin Ngồi kí hiệu sử dụng trên, ta sử dụng thêm kí hiệu sau: Cho tam giác điểm nằm tam giác Kí hiệu lƣợt khoảng cách từ đến cạnh đến lần lần lƣợt khoảng cách từ Định lí 2.7.1 (Bất đẳng thức Erd ̈ -Mordell ) Cho tam giác điểm nằm tam giác Khi ln có bất đẳng thức ( ) (1) 64 Đẳng thức xảy tam giác trực tâm Bất đẳng thức Erd ̈ -Mordell có nhiều cách chứng minh khác Luận văn trình bày hai cách chứng minh đơn giản sau Lời giải Kẻ tia đối xứng với tia đƣờng vng góc Ta có ̂ ̂ ̂ qua phân giác góc Từ ‟ tới tia ̂ ̂ Do ̂ ̂ Suy ( ) Tƣơng tự, ta có ( ) ( ) ̂ kể 65 Cộng theo vế bất đẳng thức (2), (3), (4) áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc ( ( ) / ( ) ) Rõ ràng dấu đẳng thức xảy và (2), (3), (4) dấu đẳng thức xảy Điều xảy tam giác trực tâm Lời giải Đây chứng minh đƣợc đƣa Mordell Áp dụng định lý hàm số sin hàm số cosin, ta có √ ( ) √ ( ) √ ( ) Mặt khác, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 66 Do Suy Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc ( ) ( ) ( ) ( ) Đẳng thức xảy có nghĩa tam giác Điều trực tâm 2.7.2 Ví dụ Ví dụ 2.7.2 Cho tam giác , điểm tùy ý tam giác ( Chứng minh rằng: ) Lời giải Gọi độ dài đƣờng cao xuất phát từ , ta có: , - 67 nên ( Vì ) , suy Hay đ Tƣơng tự, có: Cộng theo vế BĐT áp dụng BĐT G-GM, ta đƣợc: / ( ( ) / ) Vậy tốn đƣợc chứng minh Ví dụ 2.7.3 Cho tam giác Chứng minh ( điểm tùy ý tam giác ) Lời giải Gọi điểm Mặt khác, gọi đƣờng thẳng cho Khi lần lƣợt chân đƣờng vng góc hạ từ , lên 68 Vì khơng nằm phía đƣờng thẳng , suy Hay , nên - - , Do đó, Hay Tƣơng tự, Nhân BĐT ta đƣợc, ( Vì, )( nên từ BĐT trên, ta có: ( )( )( )( )( ) Áp dụng BĐT M-GM cho vế phải * , ta đƣợc ( ) Nhận xét, Từ tốn trên, ta có kết sau: √ √ √ Lời giải Áp dụng BĐT M-GM, ta có: √ √ √ ) 69 √ √ √√ √ Ví dụ 2.7.4 Cho tam giác Chứng minh √ √ √ điểm tùy ý tam giác Lời giải Cộng BĐT Dễ thấy, theo vế áp dụng BĐT Erd ̈ -Mordell ta đƣợc ( ) ( ) ( ) Bây ta áp dụng BĐT M-GM, ta có: ( )( ) ( ) Từ BĐT ta đƣợc ( Do đó, ) Vậy tốn đƣợc chứng minh 2.8 CÁC BÀI TỐN TỐI ƢU HĨA [4] 2.8.1 Các khái niệm + Tính từ tối ƣu tốt nhất, đƣa lại hiệu tốt nhất-giải pháp tối ƣu, phù hợp, thuận lợi đến mức độ cao nhất: Điều kiện tối ƣu, hoàn cảnh tối ƣu + Bài tốn tối ƣu hóa tốn đặt hoạt động mà việc thực mục tiêu phải tuân thủ điều kiện ràng buộc định phải hao tốn phƣơng tiện, cần t m phƣơng án hoạt động cho thực đƣợc mục tiêu với hiệu cao nhất, với hao tốn phƣơng tiện thấp 2.8.2 Ví dụ Ví dụ 2.8.1 Trên mặt phẳng có đƣờng thẳng Tìm điểm cho tổng hai điểm nhỏ nhất? 70 Lời giải Ta xét hai trƣờng hợp : a) Nếu khác phía với , gọi giao điểm với Với điểm Do điểm b) Nếu Lấy tùy ý khác đƣờng thẳng có tổng khoảng cách nhỏ tới phía với đƣờng thẳng đối xứng qua Nhƣ với điểm M tùy ý , ta có Gọi ta có: giao điểm với 71 Với điểm tùy ý ta có : Vậy điểm nhỏ có tổng khoảng cách tới Ví dụ 2.8.2 Một kiến muốn leo từ điểm điểm sàn nhà tới tƣờng Hỏi kiến phải leo theo đƣờng để đƣờng đƣờng ngắn ? Lời giải Ta hình dung sàn nhà tƣờng dịch chuyển đƣợc, ta quay mặt sàn theo trục chân tƣờng vị trí thẳng với mặt tƣờng Trong vị trí th đƣờng ngắn từ tới đoạn thẳng Ta dùng mực đánh dấu đƣờng quay mặt sàn vị trí c Khi kiến việc theo vết mực để từ nối tới đƣờng ngắn với Ví dụ 2.8.3 Có hai làng bị sơng chảy ngăn cách Ngƣời ta muốn làm cầu vng góc với dịng sơng để nối hai làng Hỏi phải đặt cầu đâu để đƣờng từ tới nhỏ ? Lời giải GS hai bờ sơng hai đƣờng thẳng song song phía với làng bờ sơng phía với làng , với bờ sơng 72 Theo hình vẽ, ta xét đƣờng từ tới với thuộc , thuộc ’ Khi đó: khơng đổi đạt giá trị nhỏ đẳng thức xảy với (vì giao điểm với ) Ví dụ 2.8.4 Chotrƣớc góc nhọn ̂ hai điểm xác định điểm điểm trên góc Hãy cho đƣờng gấp khúc có độ dài nhỏ Lời giải Lấy đối xứng với qua Đẳng thức xảy tƣơng ứng qua độ dài đƣờng gấp khúc nhỏ khoảng cách điểm ’ đối xứng với Khi khơng giao đểm với cách 73 KẾT LUẬN CHƢƠNG Chƣơng hai luận văn " Bất đẳng thức đại số bất đẳng thức hình học" tr nh bày số kết vấn đề liên quan đến bất đẳng thức hình học tam giác số bất đẳng thức đại số đƣợc ứng dụng xây dựng lên bất đẳng thức hình học ứng dụng Hơn nữa, chúng tơi sử dụng bất đẳngthức để thiết lập bất đẳng thức liên hệ ( ) cácyếu tố khác tam giác, BĐT với diện tích chu vi tam giác, BĐT Euler ứng dụng, định lí Erd ̈ -Mordell tốn tối ƣu hóa,… ví dụ minh họa nội dung cụ thể Những nội dung nàycó đóng góp thiết thực cho việc dạy học bất đẳng thức hình học chƣơng tr nh trƣờng phổ thơng, đem lại niềm đam mê kích thích tƣ sáng tạo cho học sinh 74 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu chúng tơi hồn thành luận văn "Bất đẳng thức đại số bất đẳng thức hình học" Luận văn đạt đƣợc số kết cụ thể sau đây: Ở chƣơng 1, luận văn giới thiệu BĐT số quen thuộc, tiếng, có nhiều ứng dụng tiện ích Cụ thể thứ tự tập số thực, hàm bậc hai , hàm lồi, số bất đẳng thức bản, trung bình số học, trung bình hình học, BĐT số quen thuộc, tiếng, có nhiều ứng dụng tiện ích nhƣ BĐT Cauchy, bất đẳng thức tái xếp , bất đẳng thức Muirhead Ở chƣơng 2, luận văn tr nh bày BĐT h nh học, BĐT có yếu tố hình học liên quan đến tam giác, BĐT với diện tích chu vi, BĐT Euler ứng dụng, định lý Erd ̈ -Mordell, tốn tối ƣu hóa ví dụ minh họa nội dung cụ thể Với g t m hiểu đƣợc, hy vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu lâu dài công tác bồi dƣỡng học sinh giỏi trƣờng sau hy vọng luận văn c ng nguồn tƣ liệu tốt cho quan tâm đến bất đẳng thức toán học Hƣớng nghiên cứu luận văn: T m hiểu nghiên cứu thêm bất đẳng thức số học, giải thêm đƣợc nhiều toán bất đẳng thức từ nguồn tài liệu nƣớc để làm phong phú dạng toán số học phục vụ cho việc giảng dạy bồi dƣỡng cho học sinh giỏi trƣờng THPT Cuối dù thân cố gắng, nhƣngsai sót điều khó tránh khỏi V thế, chúng tơi mong nhận đƣợc góp ý quý thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU TIẾNG VIỆT [1] Trần Văn Hạo, V Tuấn, Doãn Minh Cƣờng, Đỗ Mạnh Hùng, NguyễnTiến Tài 2006 , Đại số 10, Sách giáo khoa, Nhà xuất Giáo dục [2] Trần Văn Hạo, V Tuấn, Doãn Minh Cƣờng, Đỗ Mạnh Hùng, NguyễnTiến Tài 2006 , Đại số 10, Sách giáo viên, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Khắc Lân, Nguyễn Hữu Ngự, Nguyễn Duy Tiến 2002 , Bất đẳng thức, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Văn Mậu 2005 , Bất đẳng thức số vấn đề liên quan, Tài liệu dùng cho lớp bồi dƣỡng giáo viên THPT chuyên, Trƣờng Đại học Khoa học tự nhiên-Đại học Quốc Gia Hà Nội [5] Nguyễn Văn Mậu 2006 , Bất đẳng thức áp dụng, Bài giảng điện tử, Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc Gia Hà Nội [6] Phạm Bình Nguyên (2010), Phương trình bậc ba sinh yếu tố tam giác, Luận văn thạc sĩ khoa học, Đại học Đà Nẵng [7] Phạm Thị Bích Phƣợng (2011), Một số dạng bất đẳng thức tam giác ứng dụng, Luận văn thạc sĩ khoa học, Đại học Đà Nẵng [8] Hoàng Ngọc Quang (2011), Một số bất đẳng thức hình học, Luận văn thạc sỹ khoán học, Trƣờng Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên [9] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông 2006 , Đại số 10 (Nâng cao), NXB Giáo dục TÀI LIỆU TIẾNG ANH [10] R.B Manfrino, J.A.G Ortega, R.V Delgado (2009), Inequalities, A Methematical Olympiad Approach, Birkhauser-Verlag [11] Zdravko Cvetkovski (2012), Inequalities, Theorems, Techniques and Selected Problems, Springer-Verlag TÀI LIỆU INTERNET [12] Bất_đẳng_thức_Bunyakovsky http://vi.wikipedia.org/wiki/Bất_đẳng_thức_Bunyakovsky [13] Bất đẳng thức – Wikipedia tiếng Việt ... CHƢƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG SỐ 1.1 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN, BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH SỐ HỌC VÀ TRUNG BÌNH HÌNH HỌC [3], [4], [5] 1.1.1 Một số bất đẳng thức [5] [8], [13]... CHƢƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG SỐ Hai biểu thức đại số đƣợc nối với dấu: < (bé hơn), > (lớn , (bé bằng) , (lớn bằng) cho ta bất đẳng thức đại số Thí dụ: 1.1 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN, BẤT ĐẲNG THỨC... chứng minh bất đẳng thức cho số cách chứng minh bất đẳng thức đơn giản cho số số Chọn: Số hạng thứ TBCcủa số hạng đằng trƣớc ta đƣợc bất đẳng thức TBC TBN cho số Tƣơng tự ta đƣợc bất đẳng thức TBC