(SKKN 2022) rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về hàm hợp trong chương i, chương trình – giải tích 12 cho học sinh lớp 12

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Ở hình thức thi thi có tập vận dụng vận dụng cao mà học sinh phải gặp đề thi Năm 2016 trở trước, với hình thức thi tự luận câu hỏi khó thường rơi vào hình học giải tích mặt phẳng, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tốn liên quan đến bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Và năm 2017, Bộ Giáo dục Đào tạo đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan khơng tránh khỏi khơng câu hỏi khó có liên quan đến hàm hợp Đặc biệt đòi hỏi tư sáng tạo học sinh, nhằm đánh giá lực học sinh Chính lý mạnh dạn chọn đề tài ‘‘Rèn luyện kỹ giải toán hàm hợp chương I, chương trình – Giải tích 12 cho học sinh lớp 12’’ với mong muốn giúp cho bạn học sinh 12 có thêm nguồn tư liệu tham khảo, trau dồi kiến thức để thi tốt kì thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông đạt ước mơ vào ngơi trường Đại học mà mong muốn Đề tài nghiên cứu dựa toán đề thi thử nước, từ nhóm học tập facebook đặc biệt qua đề thi thức Bộ Giáo Dục đào tạo năm qua Trong tốn, tơi ln đưa hướng dẫn giải chi tiết Thêm vào đó, tập có kiến thức tơi có đưa vào, nhiên thời gian hạn hẹp nên viết thêm lý thuyết nhiều Qua giúp bạn học sinh có nhìn Tốn học Ngồi ra, tơi cịn thêm tập tương tự sau tập hướng dẫn giải Tuy nhiên, chút số tập mà tơi có phân tích hướng dẫn Do thời gian kinh nghiệm tơi có hạn Vì vậy, nội dung đề tài cịn có khuyết điểm chưa phong phú cho Với tinh thần ham học hỏi, mong nhận đóng góp 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải tập tốn theo hướng hình thành phát triển tư sáng tạo cho học sinh - Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao giải tốn ứng dụng đạo hàm nói riêng đạt kết cao trình học tập thi tuyển nói chung 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 12A2 12A3 ôn thi tốt nghiệp THPT; - Các dạng tốn hàm hợp có sử dụng ứng dụng đạo hàm chương I, giải tích 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Đặt vấn đề, giải vấn đề - Nghiên cứu lý luận; - Điều tra thực tế; - Thực nghiệm sư phạm 1.5 Những điểm sáng kiến Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tơi thực số giải pháp sau: - Đưa hệ thống dạng tập cụ thể, hệ thống kỹ giải - Phân tích tỉ mỉ lời giải, hướng giải, vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ giúp học sinh đưa lời giải toán - Thực nghiệm sư phạm 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Nội dung kiến thức đạo hàm ứng dụng chương trình tốn THPT Ở chương trình lớp 11 – Đạo hàm có đưa định nghĩ, tính chất quy tắc tính đạo hàm [2] Ở chương trình lớp 12 - Ứng dụng xét biến thiên, tìm cực trị, tìm GTLN GTNN hàm số, toán đường tiệm đồ thị hàm số, tốn liên quan đến phương trình bất phương trình [3] 2.2 Thực trang vấn đề trước áp dụng SKKN Qua thực tế trực tiếp giảng dạy trường THPT Thọ Xuân cho thấy HS thường gặp lúng túng giải sai (chọn đáp án sai) tập học chương I, Giải tích 12 phần tập liên quan đến “Ứng dụng đạo hàm” nguyên nhân tình trạng xuất phát từ nhiều phía : + Về phía giáo viên: - Nhiều giáo viên cảm thấy hứng thú dạy chủ đề hàm hợp dẫn đến chưa thực tìm tòi, đổi phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh - Chưa phát huy hiệu tính chủ động, sáng tạo học sinh Ít khuyến khích học sinh tìm tịi, khám phá cách giải - Chưa xây dựng hệ thống tập đa dạng, phù hợp với đối tượng học sinh (chủ yếu tập lấy SGK) - GV chưa cung cấp hết kỹ năng, phương pháp giải tập cho HS thời gian ngắn lớp + Về phía HS: - Khơng nắm vững định nghĩa, tính chất, kỹ áp dụng tính chất quy tắc - Khơng nắm vững phương pháp lựa chọn tập nên sử dụng phương pháp phù hợp - Nhiều HS chưa tự giác tích cực, chưa phát huy khả tư sáng tạo - Đa số cảm thấy khó dẫn đến ngại, không hứng thú học hàm hợp Cá biệt có nhiều đối tượng học sinh bỏ hẵn khơng học phần hàm hợp mà tập chung vào chủ đề khác - Tư tưởng xem nhẹ chủ đề hàm hợp nhiều học sinh xuất phát từ việc nhận thức chủ đề chiếm phần nhỏ kì thi đại học, nhiều học sinh cho học tốt chủ đề khác để thi bù cho chủ đề hàm hợp - Đa số học sinh chủ động tư giải toán hàm hợp, số nắm phương pháp giải toán hàm hợp sử dụng chưa linh hoạt, thiếu sáng tạo + Về phía phụ huynh: Sự quan tâm số phụ huynh đến việc học tập em cịn hạn chế 2.3 Giải pháp tổ chức thực để giải vấn đề: Rèn luyện kỹ cho học sinh qua dạng toán cụ thể chương I – Giải tích 12 DẠNG 1: Các tốn xét tính đơn điệu hàm số [4] Bài Cho hàm số bậc bốn y  f  x   ax  bx  c có bảng biến thiên sau: Hàm số y  f  x   nghịch biến khoảng đây? A  2;  B  2;   C  0;  D  ;0  Lời giải Ta có: y   f  x     x f   x   2 Hàm số y  f  x   nghịch biến  y   xf   x     2  x   0  x   * Nếu x  y   f   x      x  x    x   2  2  x   * Nếu x  y   f   x      0  x   2 Do đó, chọn đáp án B Bài Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm sau Hàm số y = f ( x + 2) - x + x đồng biến khoảng đây? A ( 1,+¥ ) B ( - ¥ , - 1) C ( - 1; 0) D ( 0, 2) Lời giải y ¢= f ¢( x + 2) - x + ; y¢= Û f ¢( x + 2) = x - Û f ¢( x + 2) = x - Để hàm số đồng biến Û f ¢( x + 2) - x +1 > éx + = ê êx + = f ¢( x + 2) = Û ê êx + = Û ê êx + = ë éx =- ê êx = ê êx = ê êx = ë Bảng xét dấu đạo hàm: Đặt g ( x) = x - ta có đồ thị: ìï f ¢( x + 2) > 1; 0;1 ị f Â( x + 2) > g ( x ) ( ) ( ) Dựa vào đồ thị, ta thấy : ïíï g x < ( ) ïỵ Hay f ¢( x + 2) - x +1 > Vậy hàm số y = f ( x) - x + 3x đồng biến khoảng ( - 1; 0) ( 0;1) Do ta chọn đáp án C Bài Cho hàm số f  x  Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình bên Hàm số g  x   f  x  1  A  1;  x3  3x nghịch biến khoảng đây? B  2;  C  0;  D  1;5 Lời giải 2 Ta có g '  x   f '  x  1  x   f '  x  1   x  1   x  1  Khi g '  x    f '  x  1    x  1   x  1  (1) Đặt t  x  BPT  1 trở thành f '  t   t  2t   2 Xét tương giao ĐTHS y  f '  t  y  t  2t  ta có nghiệm BPT (2)  t    x    1  x  Suy hàm số g  x   f  x  1  x3  3x nghịch biến  1;  Do ta chọn đáp án A Một số tập tương tự: Bài Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ Bảng biến thiên hàm số  x y  f (x) cho hình vẽ Hàm số y  f  1  x nghịch biến khoảng  2 nào? A (-2;0) B (-4;-2) C (0;2) D (2;4) Bài Cho hàm số f  x  Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình bên Hàm số g  x   f  x  1  x3  3x nghịch biến khoảng đây? A  1;  B  2;  C  0;  D  1;5 Bài Cho hàm số f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình sau Hàm số g  x   f   x   x  x nghịch biến khoảng đây?  3   A 1;    1 C  2; 1 B  0;   D  2;3 DẠNG 2: Các toán liên quan đến cực trị hàm số [4] Bài Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau Hàm số g  x   f  x  x  có điểm cực trị A B C D Lời giải Ta có g '  x    x   f '  x  x  2x   g ' x     2x  2 f ' x2  x      f '  x  x   Với x    x  x  1  x2  2x     x  1 Với f '  x  x      x  2x   x   Bảng xét dấu Vậy hàm số g  x  có điểm cực trị x  1, x  1, x  Do ta chọn đáp án C Bài Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm ¡ có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Hàm số g  x   f  x  1  x  đạt cực tiểu điểm A x  1 B x  C x  Lời giải D x  x 1  x    Ta có g   x   f   x  1    f   x  1  1   x     x   x    x  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn đáp án B Bài Cho hàm số f ( x) có đồ thị hàm số hình bên Hàm số g( x) = f ( - x + 3x) có điểm cực đại ? A B C D Lời giải Ta có g   x    2 x  3 f    x  x   x    2 x    theo thi f  x  g  x      x  x  2  f    x  3x     x  3x    x    17  x   x  x   Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn A Một số tập tương tự: [4] Bài Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình vẽ bên Hàm số y  f  x  đạt cực đại A x  B x  1 C x  D x  2 Bài Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  x  1 A B C D 11 Bài Cho hàm số f ( x) , bảng biến thiên hàm số f ( x) sau: Số điểm cực trị hàm số y  f  x  x  A B C D DẠNG 3: Các toán liên quan đến tiệm cận đồ thị hàm số [4] Bài Cho hàm số đa thức bậc ba y  f ( x ) có đồ thị hình vẽ Tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y ( x  1)( x  1) f ( x) A B C D Lời giải Từ đồ thị suy hàm số f  x   a  x  1  x   với a  Do ta có hàm số y  ( x  1)( x  1) a  x  1  x  2 ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)  , lim  Vì xlim 2  x  a  x  1  x   a a  x  1  x   a nên tiệm cận ngang 10 +) Tìm tiệm cận ngang: Ta có lim g  x   lim x   y0 x  f  x2   lim g  x   lim x  x  f  x  9 0 0 tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  g  x  +) Tìm tiệm cận đứng: g  x  f  x2   Mẫu thức g  x  có nghiệm phân biệt  c ;  c ;  b ;  b điểm ln có giới hạn bên g  x  giới hạn vô cực nên x   c ; x   c ; x   b ; x   b tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  g  x  Vậy đồ thị hàm số y  g  x  f  x2   có đường tiệm cận ngang y  đường tiệm cận đứng x   c ; x   c ; x   b ; x   b Bài Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số A x y  x  3 x  x x  f  x   f  x   có đường tiệm cận? B C D Lời giải Hàm số y  f  x  có nghiệm kép x  3 nghiệm đơn x  a với a   0;1 Giả sử f  x   m  x  3  x  a  với m  Hàm số f  x   có nghiệm kép x  1 , x  b x  c với b   3; 1 , c   ; 3 Giả sử f  x    m  x  1  x  b   x  c  Điều kiện xác định hàm số 12 x y  x  3 x  x x  f  x   f  x      x  1  x  3 x  x  1 xf  x   f  x     x  1  x  3 x  x  1 x.m  x  3  x  a  m  x  1  x  b   x  c   x  x  1 m x  x  3  x  a   x  b   x  c  Ta thấy đường thẳng x  0, x  3, x  b, x  c đường tiệm cận đứng Một số tập tương tự: [4] Bài Cho hàm số y  f  x  hàm số đa thức với hệ số thực, có đồ thị (C ) hình vẽ Tìm số tiệm cận ngang số tiệm cận đứng đồ thị hàm số A ngang, đứng B ngang, đứng C ngang, đứng D ngang, đứng Bài Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A B x2  x  f  x  f  x C D Bài Cho hàm số y  f  x  liên tục ¡ \ {1} có bảng biến thiên sau Số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  g  x   f  x2  2x  2 A B C D 13 DẠNG 4: Các toán tổng hợp liên quan đến hàm số [4] Bài Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f  x f  x     A C B D Lời giải  x3 f  x   a,  3  a  1  3 Ta có f  x f  x      f  x f  x    1   x f  x   b,  6  a  3   x f  x   0,  3 m + Với m  , xét phương trình x3 f  x   m  f  x   x m 3m Đặt g  x    g   x     0, x  x x lim g  x   0, lim g  x   , lim g  x    x  x0  1  2 x 0 Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đề bài, suy khoảng  ;0   0;   phương trình f  x   g  x  có nghiệm Suy phương trình  1   có nghiệm nghiệm khác + Xét phương trình  3 x  x  x3 f  x      x  c   f  x  với c khác nghiệm  1   Vậy phương trình f  x f  x     có nghiệm 14 Bài Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị y  f ( x) hình vẽ Xét hàm số 3 g ( x)  f ( x)  x  x  x  2018 Mệnh đề đúng? g ( x)  g (1) A [ 3;1] g ( x)  g (1) B [ 3;1] g ( x)  g (3) C [ 3;1] g ( x)  D [ 3;1] g (3)  g (1) Lời giải 3 3  Ta Ta có g ( x)  f ( x)  x  x  , g ( x)   f ( x)  x  x  3 số giao điểm hai đồ 3 thị y  f ( x) đồ thị hàm số y  h( x)  x  x  2 Số nghiệm phương trình f ( x)  x  x   x  3 3  Do dó g ( x )   f ( x)  x  x    x  1 2  x  3 Với x  ( 1;1) từ đồ thị ta suy f ( x)  x  x  nên g ( x)  2 3 Với x  (3; 1) từ đồ thị ta suy f ( x)  x  x  nên g ( x)  2 Từ ta có bảng biến thiên: 15 g ( x)  g (1) Vậy [ 3;1] Bài Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f  x  x   m có ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng  0;   ? A 25 B 30 C 29 Lời giải D 24 2 Ta đặt: g  x   f  x  x   g   x    x   f   x  x    x  2  x2  x  4  x  x    x  x    x  2 x  x   x  x   (dựa vào bảng biến thiên) Mặt khác: g    f    3 , g     g     f  2   , g    f  4   2 , g    f    3 Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta được: yêu cầu toán tương đương m   18  m  12 Vậy có tất 30 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán 3  Một số tập tương tự: [4] 16 Bài Cho hàm số bậc bốn f  x  có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f  x f  x     A B 12 C Bài Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau: D 5  phương trình f  sin x     B C D  Số nghiệm thuộc đoạn 0; A Bài Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f  x  x   m có ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng  0;    ? A 25 B 24 C 20 D 21 17 2.4 Hiệu việc triển khai đề tài SKKN Khi triển khai đề tài tiến hành 02 lớp thuộc trường THPT Thọ Xuân 4, là: Lớp dạy 12A1 12A4 Kết đạt - Về mặt định tính : Khi áp dụng đề tài vào giải dạng tốn ứng dụng đạo hàm, tơi thấy học sinh tơi ham học hơn, u thích tập ứng dụng đạo hàm khơng cịn thấy lo lắng, lúng túng việc xử lí toán ứng dụng dạo hàm phức tạp - Về mặt định lượng : Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy nhận thấy kết đạt khả quan nhiều Cụ thể thực nghiệm sư phạm tiến hành hai lớp có trình độ tương đương Sau dạy thực nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra sau: [4] Câu Cho hàm số y  f   x  có bảng xét dấu đạo hàm sau : x f  x   1 0     Hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng ? A  3;5 B  1;  Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục C  1;3 ¡ D  5;   có bảng xét dấu đạo hàm sau Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g  x   f  x  m  đồng biến khoảng  ;  A B C D Câu Cho hàm số f  x  có đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ 18 Hàm số y  f  x  1  x3  x  x nghịch biến khoảng sau A  1;0  B  6; 3 C  3;6  D  6;   Câu Cho hàm số f ( x) liên tục R có f (1)  có đồ thị hàm số y  f ( x) hình vẽ bên Hàm số y  f ( x  1)  x đồng biến khoảng A  3;   B  1;  C  0;   D  0;3 Câu Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình vẽ bên Hàm số y  f  x  đạt cực đại A x  B x  1 C x  D x  2 Câu Cho hàm số f  x   ax  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ bên 19 Số điểm cực trị hàm số y  f  2 x  x  là: A B C D Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số h  x   f  x   f  x   2m có điểm cực trị A m  B m  C m  D m  Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục ¡ có đồ thị hình Tìm số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số  2 x y  g  x  f    x 1  A ngang, đứng B ngang, đứng C ngang, đứng D ngang, đứng Câu 10 Cho hàm số f  x   ax  bx  cx  dx  e có đồ thị hình vẽ 20 Đặt g  x   f  f  x   Số nghiệm phương trình g   x   A B 10 C D Câu Cho hàm số y  f  x  hàm đa thức liên tục ¡ có đồ thị hình Tìm tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  g  x  f  x f  x  1 A B C D Số liệu thống kê kết thể qua bảng sau đây: Bảng: Kết kiểm tra cụ thể sau: Điểm 10 Số lượng Lớp TN (12A1) 0 13 42 ĐC (12A4) 0 12 2 42 Lớp TN có 97,6% điểm từ trung bình trở lên, có 71,4% giỏi Có em đạt điểm tuyệt đối Lớp ĐC có 78,6% điểm trung bình trở lên, có 31,0% điểm giỏi, khơng có HS đạt điểm tuyệt đối Kết kiểm tra cho thấy kết lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng đạt giỏi Một nguyên nhân phủ định lớp thực nghiệm HS thường xuyên thực phương pháp (như sử dụng 21 trên) cách thức tìm tịi lời giải tốn… Như vậy, bước đầu đề tài khắc phục khó khăn vướng mắc giải tập ứng dụng đạo hàm hàm hợp qua đề thi tốt nghiệp THPT năm trước toán liên quan; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh đem lại hiệu rõ rệt Trong thời gian tới, đề tài tiếp tục áp dụng vào thực tiễn giảng dạy nhà trường mong đạt hiệu tốt đẹp đạt trình thực nghiệm KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết nghiên cứu Ứng dụng đạo hàm loại tốn rộng, có nhiều cách tiếp cận, học dễ mắc sai lầm Vì vậy, nghiên cứu, phân tích số tốn ứng dụng đạo hàm có ý nghĩa lớn trình dạy Vì áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo vấn đề, từ phát huy học sinh tư độc lập, lực tư tích cực, chủ động, củng cố trau thêm kiến thức ứng dụng đạo hàm Từ làm chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập thi tốt nghiệp THPT 3.2 Kiến nghị, đề xuất Vì tốn có nhiều cách giải, nên trình học tập giải tốn ta cố gắng suy nghĩ tìm tịi nhiều cách giải cho toán, lựa chọn phương pháp mà tâm đắc cho tốn Từ tiết kiệm thời gian làm đặc biệt tránh sai sót đáng tiếc Vì vậy, học giáo viên dạy nên cố gắng vận dụng linh hoạt phương pháp giải để học sinh học tập giải tập cách tốt nhằm nâng cao chất lượng dạy học Trên quan điểm cá nhân việc giảng dạy phần giải tích 12 có ứng dụng đạo hàm để chuẩn bị cho kì thi tới 22 Trong q trình biên soạn chắn cịn nhiều thiếu sót, mong Thầy cô em học sinh đóng góp ý kiến để đề tài tơi hồn thiện áp dụng rộng rãi Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh hóa, ngày 02 tháng năm 2022 ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Trịnh Duy Văn 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số 10 bản, nâng cao, NXB Giáo dục Sách giáo khoa Đại số 11 bản, nâng cao, NXB Giáo dục Sách giáo khoa Giải tích 12 bản, nâng cao, NXB Giáo dục Một số đề thi thử Bộ Giáo dục số trường THPT nước qua mạng Internet DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trịnh Duy Văn Chức vụ đơn vị công tác: TTCM trường THPT Thọ Xuân Cấp Kết Năm học đánh TT Tên đề tài SKKN đánh giá đánh giá xếp giá xếp xếp loại loại loại Kinh nghiệm dạy học toán Sở B 2008 - 2009 Sơ đồ tư Hướng dẫn học sinh giải toán xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp 2 hình chóp, lăng trụ lược đồ bốn bước Rèn luyện kỹ giải toán 3 Sở C 2009 - 2010 Sở B 2011 - 2012 hình học khơng gian 24 Phương Pháp tọa độ Giúp học sinh khắc phục số 4 sai lầm thường gặp tính tích Sở B 2012 - 2013 Sở C 2013 - 2014 Sở C 2015 - 2016 Sở B 2016 - 2017 Sở C 2017 - 2018 Sở C 2018 - 2019 Sở C 2019 - 2020 phân Rèn luyện kỹ giải phương trình, hệ phương trình phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số cho học sinh lớp 12 Rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học để giải số toán có nội dung thực tiễn chương trình TỐN 10 Rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học để giải số tốn có nội dung thực tiễn chương trình TỐN 12 Rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học để giải số tốn có nội dung thực tiễn chương trình TỐN 11 Rèn luyện kỹ giải tốn 10 hình học khơng gian phương pháp véc tơ Phân tích sai lầm học sinh qua toán ứng dụng đạo hàm chương I – Giải tích 12 25 26 ... 2020 phân Rèn luyện kỹ giải phương trình, hệ phương trình phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số cho học sinh lớp 12 Rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học để giải số toán có... chương trình TỐN 10 Rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học để giải số tốn có nội dung thực tiễn chương trình TỐN 12 Rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học để giải. .. phần nhỏ kì thi đại học, nhiều học sinh cho học tốt chủ đề khác để thi bù cho chủ đề hàm hợp - Đa số học sinh chủ động tư giải toán hàm hợp, số nắm phương pháp giải toán hàm hợp sử dụng chưa linh