(SKKN 2022) rèn luyện kỹ năng giải toán mức độ vận dụng cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán về cực trị thể tích khối lăng trụ

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Trong chương trình tốn học lớp 12, tốn thể tích khối lăng trụ giữ vai trị quan trọng, xuất hầu hết đề thi TN THPT; đề thi học sinh giỏi năm gần Trên sở tảng thể tích khối lăng trụ tốn cực trị thể tích khối lăng trụ phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên học sinh đại trà, mảng kiến thức khó thường để điểm kì thi nói Đối với học sinh giỏi, em làm tốt phần Tuy nhiên cách giải rời rạc, làm biết thường tốn nhiều thời gian Đối với giáo viên, lượng thời gian ỏi việc tiếp cận phần mềm vẽ hình khơng gian cịn hạn chế nên việc biên soạn tốn khó cịn gặp nhiều khó khăn Từ lý với ý tưởng, giải pháp mà thân tâm đắc tự rút q trình thực tế giảng dạy ơn thi học sinh giỏi ôn thi TN, định chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ giải toán mức độ vận dụng cho cho học sinh lớp 12 thông qua số tốn cực trị thể tích khối lăng trụ’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2021 2022 hy vọng thông qua đề tài cung cấp cho học sinh nhìn tổng quan phương pháp giải để từ có định hướng tốt tìm lời giải tốn cực trị thể tích khối lăng trụ Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hồn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận, làm quen thành thạo với loại tốn tìm cực trị thể tích cách nhanh nhất, hiệu - Thứ hai: Thơng qua sáng kiến kinh nghiệm mình, tơi muốn học sinh khơng cịn cảm thấy sợ hay lo lắng gặp toán cực trị thể tích khối lăng trụ 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Kiến thức thể tích khối lăng trụ, góc khoảng cách - Kiến thức bất đẳng thức Côsi - Kiến thức đạo hàm ứng dụng đạo hàm - Học sinh lớp 12A36, 12B36 năm học 2021 - 2022 trường THPT Triệu Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp - Sử dụng phương pháp thực nghiệm - Sử dụng phương pháp phân tích so sánh vấn đề có liên quan đến đề tài - Sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp để giải vấn đề vô quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp tốn Trong dạy học giáo viên người có vai trò thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì trang bị phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong “Khái niệm thể tích khối đa diện” sách giáo khoa Hình học lớp 12 đưa khái niệm thể tích sau: “Thể tích khối chóp”; “Thể tích khối lăng trụ” Với khái niệm đưa dạng tốn tính thể tích sau: Dạng 1: Tính thể tích khối chóp Dạng 2: Tính thể tích khối lăng trụ Hai dạng toán dạng toán bản, quan trọng ln có mặt đề thi TN THPT đề thi HSG Đặc biệt dạng vận dụng: cực trị thể tích khối chóp cực trị thể tích khối lăng trụ phát triển dạng toán toán tương đối khó Trong khn khổ sáng kiến tơi nghiên cứu dạng cực trị thể tích khối lăng trụ 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong trình dạy học tơi nhận thấy điều để học tốt mơn HHKG cần phải nắm vững kiến thức, địi hỏi học sinh phải có khả phán đốn, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ vẽ hình , kỹ trình bày chặt chẽ tư logic cao, kỹ phân tích giả thiết quan hệ đối tượng hình không gian Nhưng thực tế điều lại điểm yếu khơng học sinh, kể học sinh giỏi, dẫn đến tâm lý chán, ngại sợ học môn HHKG Hơn việc áp dụng kiến thức thể tích học sinh đa số dừng lại mức độ nhận biết, học sinh thục kỹ sáng tạo vận dụng kiến thức thể tích để xử lý toán cực trị, mà đa phần học sinh tỏ lúng túng khơng định hình cách giải Phần lớn giáo viên dừng lại mức trang bị lý thuyết giao nhiệm vụ cho học sinh vài tập cụ thể mà chưa khai thác tốn khó khơng có sách giáo khoa Ngoài số tiết theo phân phối chương trình dành cho phần nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy học 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hệ thống kiến thức học cho học sinh trước tiếp nhận kiến thức +) Công thức tính thể tích khối lăng trụ: V  Bh B : Diện tích mặt đáy, h : Chiều cao khối lăng trụ +) Các hệ thức lượng tam giác: b2  c a a  b  c 2bc cos A  cos A  2bc a  c2  b2 2 b  a  c  2ac cos B  cos B  2ac a  b2  c c  a  b  2ab cos C  cos C  2ab +) Cơng thức tính diện tích tam giác 1 SABC  aha  bhb  chc 2 1 SABC  ab sin C  bc sin A  ac sin B 2 abc SABC   pr 4R a bc SABC  p  p  a   p  b   p  c  ; p  +) Bất đẳng thức Côsi cho n số không âm: x  x   xn  n n x1.x2 xn Cho n số không âm x1 , x2 , , xn Ta có: 2 2 Dấu xảy  x1  x2   xn +) Đạo hàm ứng dụng đạo hàm 2.3.2 Tìm hiểu cực trị thể tích khối lăng trụ Bài tốn cực trị thể tích khối lăng trụ tốn tìm giá trị lớn nhỏ đại lượng hình học có liên quan đến thể tích khối lăng trụ Để tìm cực trị thể tích khối lăng trụ ta thực theo hai bước sau: Bước 1: Tính thể tích khối lăng trụ cần tìm dựa vào kiến thức học giả thiết tốn Bước 2: Tìm cực trị biểu thức cần tính việc sử dụng bất đẳng thức Cơsi sử dụng đạo hàm bảng biến thiên 2.3.3 Hướng dẫn rèn luyện số dạng cực trị thể tích khối lăng trụ thường gặp giúp học sinh làm tốn trắc nghiệm nhanh gọn, xác Tìm cực trị thể tích khối lăng trụ đứng Lăng trụ đứng lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Độ dài cạnh bên gọi chiều cao lăng trụ đứng Tìm cực trị thể tích khối lăng trụ đứng có đáy đa giác (lăng trụ đều), ví dụ: lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều, Nhận xét: Trước hết đưa ví dụ đơn giản với mục đích giúp học sinh tiếp cận dạng tốn cực trị thể tích cách dễ hiểu làm nhanh Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng tích V có đáy tam giác Khi diện tích tồn phần hình lăng trụ nhỏ độ dài cạnh đáy bao nhiêu? 3 3 A 4V B V C 2V D 6V Phân tích: Bước 1: Tính thể tích V khối lăng trụ dựa vào giả thiết suy chiều cao lăng trụ theo V Bước 2: Khai thác giả thiết diện tích tồn phần hình lăng trụ nhỏ sử dụng linh hoạt bất đẳng thức Côsi để suy cạnh đáy hình lăng trụ Lời giải: Gọi h  chiều cao lăng trụ; a  độ dài cạnh đáy a2 4V V  Sday h  hh a Theo giả thiết ta có: a 3V   a Stp  S xq  S2 day Diện tích tồn phần lăng trụ: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: a 3V a 3V 3V Stp       3 2V a a a a 3V 3V    a  4V a a Dấu “=” xảy khi: Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD ABCD có cạnh đáy ,   chiều cao x Tính thể tích lăng trụ góc tạo BD  B D C  đạt giá trị lớn A V  B V  C V  D V  Phân tích: Bước 1: Tính thể tích khối lăng trụ dựa vào giả thiết Thiết lập biểu thức   tính góc tạo BD  B D C  Bước 2: Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn góc suy thể tích lăng trụ Lời giải: d  D,  BDC   sin  BD,  BDC    sin   BD Ta có: , đó: x x   sin   x  5x  2 x2  d  D,  BDC   BD   x ; Góc lớn sin  lớn f  t  t 2t  5t  Xét hàm số: 2t  f ' t     t 1 2  2t  5t  1 Lập bảng biến thiên hàm số t f  t  2t  5t   0;  Suy f  t  lớn t  Với t   x   V  Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC  có độ dài cạnh đáy a Gọi  góc BC   ABC  Khi sin  đạt giá trị lớn tính thể tích lăng trụ cho a 12 a 27 a3 a3 V V V V 4 4 A B C D Trích đề thi thử trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020 Phân tích Bước 1: Tính thể tích khối lăng trụ dựa vào giả thiết Thiết lập biểu thức sin  tính Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Cơsi tìm giá trị lớn góc suy thể tích lăng trụ Lời giải: Sử dụng khoảng cách để tính góc đường thẳng mặt phẳng, ta có: d  C ,  ABC   d  A,  ABC   sin    BC  BC  Kẻ AM  BC , AE  AM  h  d  A,  ABC    AE  a 3x x  3a 2 Trong đó: AA  x , BC   a  x a a  sin    3a 4a  a x2   7a2 x 34 a 27 x  a4 V  4 Dấu xảy Tìm cực trị thể tích khối lăng trụ đứng đặc biệt: hình lập phương, hình hộp chữ nhật Hình lập phương hình lăng trụ có mặt hình vng Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ có mặt hình chữ nhật 1: Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Các điểm Ví dụ M , N di động tia AC , BD cho AM  BN  a Thể tích khối tứ diện AMNB có giá trị lớn ? a3 a3 a3 a3 A 12 B C D 12 Phân tích: Bước 1: Tính thể tích khối khối tứ diện AMNB dựa vào giả thiết Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Cơsi tìm giá trị lớn khối tứ diện AMNB Lời giải: VAB ' MN  d  N ,  ABM   S ABM Ta có: Do ACBD khối tứ diện nên sin  BD,  ABM    , sin BAM   d  N ,  ABM    BN sin  BD,  ABM   AM AB.sin BAM a  AM BN a  AM  BN  a     6  S AB ' M   VABMN  VABMN Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Các điểm M , N di động tia AC , BD cho AM  DN Thể tích khối tứ diện AMNB có giá trị lớn bằng: a3 a3 a3 a3 A B C D Trích đề thi liên trường THPT - Nghệ An - 2022 Phân tích: Bước 1: Tính thể tích khối khối tứ diện AMNB dựa vào giả thiết Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi tìm giá trị lớn khối tứ diện AMNB ' Lời giải: VABMN  d  N ,  ABM   S ABM Ta có: Do ACBD khối tứ diện nên: sin  BD,  ABM    ,sin BAM   d  N ,  ABM    BN sin  BD,  ABM   AM AB.sin BAM a a  VABMN  AM BN  AM BN 12 2 a  DN  BN  a  DB        12   12   a3  VABMN  Nhận xét: việc thay đổi chút giả thiết ví dụ ta ví dụ mặt tạo hứng thú cho học sinh mặt khác học sinh lại rèn luyện củng cố thêm cực trị thể tích liên quan tới hình lập phương Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  x, AD  Biết góc A ' C  ABB ' A ' 30 Tìm giá trị lớn thể tích khối hộp ABCD ABCD S ABM  3 3 Vmax  Vmax  Vmax  D B C A Trích đề thi thử trường THPT chuyên Lê Thánh Tơng - 2019 Phân tích: Bước 1: Tính thể tích khối hộp ABCD ABC D dựa vào giả thiết Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi xét hàm để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: Vmax    Ta có: BC   ABB A  · C  300   AC ,  ABBA    BA AA   x ; AB  ;  VABCD ABCD  AB AD AA  x  x Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: x2   x2 x 3 x   2 3  VABCD ABC D   Vmax  2 Dấu “=” xảy khi: x   0; f x  x  x   Cách khác: Xét hàm số  3 x 3 f ' x    x2  0 x   Vmax   f   6  x2   Nhận xét: ví dụ dùng bất đẳng thức Cơsi dùng hàm số để xử lý cực trị nhanh Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có tổng diên tích mặt 36 , AC   Tìm giá trị lớn thể tích khối hộp ABCD ABCD A B 16 C 6 D 24 Phát triển câu 43 mã 108 đề thi thử lần Sở Thanh Hoá năm 2022 Phân tích: Bước 1: Tính thể tích thể tích khối hộp chữ nhật ABCD ABCD Bước 2: Sử dụng phương pháp hàm số để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: + Gọi độ dài AB  a, AD  b, AA  c Ta có tổng diện tích mặt 2ab  2bc  2ac  36  ab  bc  ac  18  AC   a  b  c   a  b  c  36 + Thể tích khối hộp V  abc Ta có:  a  b  c   a  b2  c  2ab  2bc  2ac  72  a  b  c   ab  18  c  a  b   18  c   c   c  2c  18    V  c c  2c  18  f  c  MaxV  f f c   Lập bảng biến thiên hàm ta được:  0;6   2  2 Nhận xét: ví dụ học sinh dễ mắc sai lầm sử dụng bất đẳng abc abc     16   thức Côsi: , nhiên dấu khơng xảy Vì việc vận dụng linh hoạt hàm số lập bảng biến thiên hay dùng bất đẳng thức quan trọng Tìm cực trị thể tích liên quan đến hình lập phương hình hộp chữ nhật ứng dụng thực tế Ví dụ 1: Ơng A dự định sử dụng hết 6,7m kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm tròn đến hàng phần trăm) 3 3 A 1,23m B 2, 48m C 1,57m D 1,11m Mã 104 đề thi năm 2018 Phân tích: Bước 1: Thiết lập biểu thức thể tích bể cá Bước 2: Sử dụng phương pháp hàm số để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: Gọi x chiều rộng bể cá, ta có chiều dài bể cá 2x Do diện tích đáy 6,7  x 6,7 h 0 x  6x diện tích mặt bên 6,7m nên có chiều cao 6,7 x  x V Thể tích bể cá Lập bảng biến thiên  6,7  6,7 x  x 0;   V  suy bể cá có dung tích lớn 1,57m  Ví dụ 2: Người ta cần xây dựng bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật tích 125m Đáy bể bơi hình chữ nhật có chiều dài gấp ba chiều rộng Tính chiều rộng đáy bể bơi để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A 3,12m B 3,82m C 3,62m D 3,42m Đề thi trường THPT Lê Quý Đôn - Điên Biên - 2019 Phân tích: Bước 1: Thiết lập biểu thức thể tích bể bơi suy chiều cao bể bơi theo thể tích Bước 2: Để thi cơng tiết kiệm ngun vật liệu diện tích tồn phần nhỏ Áp dụng bất đẳng thức Côsi suy giá tri nhỏ diện tích Lời giải: h Gọi x chiều rộng bể bơi, ta có chiều dài bể bơi 3x , chiều cao bể bơi V  3x 2h  h  Thể tích bể cá Diện tích tồn phần bể bơi: V 125  2 3x 3x S  x.3 x   x.h    x.h   x  x 125 125 1000  x  x  3x 3x 3x Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: 1000 500 500 750000 3x   3x    3x 3x 3x 500 500  x 3x Dấu xảy Nhận xét: ví dụ sử dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị nhỏ diện tích Tìm cực trị thể tích khối hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu Ví dụ: Trong hình hộp chữ nhật nằm mặt cầu bán kính R , thể tích lớn có khối hộp chữ nhật 8R 3 16 R 3 8R3 R3 3 A B C D Phân tích: Bước 1: Tính thể tích V khối hộp chữ nhật, tìm mối quan hệ cạnh khối hộp chữ nhật R Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Cơsi để suy thể tích lớn khối hộp chữ nhật Lời giải: Giả sử độ dài cạnh hình hộp chữ nhật a, b, c  Thể tích khối hộp chữ nhật là: V  abc Khối hộp chữ nhật tích lớn a  b2  c2   2R   R khối hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu Khi đó: Ta có: 3x  3  a  b2  c2   R  8R3 a  b  c  a b c  abc       3     2 2 2R 3 Dấu “=” xảy Tìm cực trị lăng trụ đứng có đáy khơng phải đa giác Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC ABC  , đáy ABC tam giác vuông A Khoảng cách từ AA đến  BCCB  khoảng cách từ C đến  ABC   abc 10      0;    2 x khơng đổi, góc hai mặt phẳng  ABC   ABC  Để thể tích lăng trụ ABC ABC  nhỏ góc  có giá trị gần với giá tri sau đây: 0 0 A 25 B 55 C 35 D 45 Phân tích: Bước 1: Tính thể tích lăng trụ ABC ABC  dựa vào giả thiết góc khoảng cách Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy giá trị nhỏ thể tích Lời giải: d AA,  BCC B    AH  x  Kẻ AH  BC , CK  AC Ta có:  d  C ,  ABC     CK  x ·  , góc  ABC   ABC  góc CAC    AH AC x CK CC   x ; AB   AC  cos  AH  AC cos  sin  ; Ta có: Thể tích khối lăng trụ là: x3 VABC ABC   AB AC.CC   2sin  cos  Thể tích khối lăng trụ nhỏ 2sin  cos  lớn Ta có:  sin  cos2    12 2sin  cos  cos   2sin   cos   cos       2  54 3x  sin  cos   V  Dấu “=” xảy : 2sin   cos   tan      350 Nhận xét: khơng khó để thiết lập biểu thức thể tích khối lăng trụ, nhiên khó tốn việc áp dụng khéo léo bất đẳng thức Cơsi, điều địi hỏi học sinh biết cách vận dụng bất đẳng thức cách thục Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABCD ABC D có đáy hình thoi cạnh ·   a , góc ABC  60 Gọi  góc BC  AB C  Khi sin  đạt giá trị lớn tính thể tích lăng trụ cho 11 a 27 a 27 a3 a3 V  V  V V B A C D Bước 1: Tính thể tích khối lăng trụ dựa vào giả thiết Thiết lập biểu thức tính sin  Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Cơsi tìm giá trị lớn góc suy thể tích lăng trụ Lời giải: ý đáy lăng trụ hình thoi tam giác ABC nên lăng trụ ABC ABC  lăng trụ Sử dụng khoảng cách để tính góc đường thẳng mặt phẳng, ta có: d  C ,  ABC    d  A,  ABC    sin    BC BC    Kẻ AM  B C , A E  AM  h  d  A,  ABC     AE  ng đó: AA  h  sin   a 3h 4h  3a tro a 3h 4h  3a h  a a a  sin    3a 4a  a 2 4h   a h a3 27 ha V  2 Dấu xảy Nhận xét: việc khai thác tốt giả thiết cho ta đưa toán toán quen thuộc phần lăng trụ đều, dễ dàng tính thể tích lăng trụ đứng có đáy hình thoi Tìm cực trị thể tích khối lăng trụ xiên Hình lăng trụ xiên hình lăng trụ có cạnh bên khơng vng góc với đáy Ở tốn khối lăng trụ có đặc điểm quen thuộc, gần gũi với học sinh Tuy nhiên thực tế cực trị quen, nên dạng tốn này, tác giả xin trình bày thêm số ví dụ điển hình đề thi để em quy từ “lạ” “quen” giải tốt cực trị thể tích, có nhìn tổng quan đầy đủ dạng toán vận dụng Sau ta sử dụng hai tính chất để tính nhanh số toán cực trị tỉ số thể tích khối lăng trụ Tính chất 1: Cho lăng trụ ABC A1B1C1 có điểm M , N , P thuộc 12 AM BN CP  x,  y, z AA , BB , CC AA BB CC 1 1 1 cạnh cho Khi ta có tỷ số VABCMNP x yz VA.MNP x V yz   , M BCPN  VABC A1B1C1 V VABC A1B1C1 Đặc biệt: ABC A1B1C1 Chứng minh: V  VABC A1B1C1 Ta có: VABCMNP  VM ABC  VM BCPN , đặt d ( M ;( ABC )).S ABC VM ABC 2V   x VA BCC1B1  d ( A1;( ABC ).S ABC 3 Vậy: V Dễ thấy + Lại có: VM BCPN  VA BCPN VM BCPN VA.BCPN S yz   BCPN  VA.BCC1B1 VA.BCC1B1 S BCC1B1 y  z 2V y  z  V 3 x yz  VABCMNP  VM ABC  VM BCPN  V V x yz  ABCMNP  VABC A1B1C1  VM BCPN  Ví dụ Cho khối lăng trụ ABC ABC  tích V , điểm M , N , P thuộc cạnh AA, BB, CC  cho AM  2MA, BN  x.BB, CP  y.CC  Đặt V1 thể tích khối đa diện ABC.MNP Tìm giá trị nhỏ V1 xy  V biết 1 1 12 A B C D Phân tích: V1 Bước 1: Sử dụng tính chất thiết lập tỷ số V xy  bất đẳng thức Côsi để suy giá trị Bước 2: Sử dụng giả thiết V1 nhỏ V Lời giải: 13 Ta có: AM BN CP  ;  x; y AA BB CC  Suy 1  x  y  xy V1 2    V 3 Dấu “=” xảy x y Ví dụ Cho khối lăng trụ ABC ABC  tích 60cm , điểm M , N , P thuộc cạnh AA, BB, CC  cho AM  2MA, BN  xBB, CP  yCC  Tìm giá trị nhỏ thể tích khối đa diện xy  BC.MNP biết 50 40 cm cm 3 3 A B C 10cm D 20cm Phân tích: VABCMNP  VBCMNP V    ABC A B C Bước 1: Sử dụng tính chất thiết lập tỷ số Bước 2: Sử dụng giả thiết nhỏ VBCMNP xy  bất đẳng thức Côsi để suy giá trị Lời giải: VABCMNP AM BN CP  ;  x; y CC Ta có : AA BB nên: VABC ABC   x y 1   VABCMNP  60  20   x  y  2  x y  14 Dễ dàng tính được: 40 VM ABC  d  M ;  ABC   S ABC  3 1  40  VBCMNP  20.  x  y  2   40 1  VBCMNP  20.    10 3 2 Nhận xét: Các toán dạng xuất nhiều khối khơng phải khối có cơng thức tính thể tích chóp hay lăng trụ Thay việc phải phân chia khối thành khối có cơng thức tính, ta có kết nhanh xác Tính chất 2: Cho hình hộp ABCD ABC D Mặt phẳng    cắt AM BN  x ,  y, ' ' M , N , P , Q     AA , BB , CC , DD AA BB cạnh cho : CP DQ  z, t CC  DD Khi ta có : VABCDMNQP x y zt x z yt    x  z  y  t V 2 a b ABCD A ' B ' C ' D ' Chứng minh a Dễ thấy tứ giác MNPQ hình bình hành Gọi I , O tâm hình bình hành MNPQ hình vng ABCD Ta có OI đường trung bình hình thang AMPC , BNDQ nên AM  CP BN  DQ OI  , OI  2  AM  CP  BN  DQ  x z  yt b Áp dụng Tính chất ta có VABDMNQ x  y  t VABDMNQ x y t    VABD ABD VABCD ABC D VBCDNPQ Tương tự VABCD ABC D  y z t 15 VABCDMNPQ Do : VABCD ABC D  VABDMNQ VABCD ABC D  VBCDNPQ VABCD ABC D  x yt y zt  6 x y zt x y  z t  y t x y  z t  x y  z t    6 VABCDMNQP x  y  z  t OI   V OO ' Chú ý : ABCD ABCD Ví dụ Cho hình hộp ABCD ABCD tích 2022 Biết AA  x MA , BN  3BD CC   yCP Mặt phẳng  MNP  chia khối hộp VABCDMNPQ cho thành hai khối đa diện Khi tỷ số VABCD ABCD nhỏ thể tích khối đa diện nhỏ biết x  y  A 670 B 671 C 674 D 675 Phân tích: VABCDMNPQ  VABCDMNPQ V Bước 1: Sử dụng tính chất thiết lập tỷ số ABCD ABCD x  y  Bước 2: Sử dụng giả thiết bất đẳng thức Côsi để suy giá trị VABCDMNPQ  VABCDMNPQ V     ABCD A B C D nhỏ tỷ số Lời giải: Giả sử:  MNP  cắt DD Q AM CP  ;    AA x CC y Từ giả thiết ta có Do đó: VABCDMNPQ VABCD ABC D AM CP    AA CC   x y   2  VABCDMNPQ  2022  674 Dấu “=” xảy khi: x  y  Nhận xét : Việc áp dụng tính chất vào lớp tốn thể tích tương ứng hữu ích Nó làm cho việc giải tốn trắc nghiệm em học sinh nhanh gọn nhẹ nhàng nhiều so với việc giải truyền thống Sau vài ví dụ khác : 16 Ví dụ Cho hình chóp S ABC tích Mặt phẳng  Q  thay đổi song song với mặt đáy cắt cạnh SA, SB, SC M , N , P Qua điểm M , N , P kẻ đường thẳng song song với cắt mặt phẳng  ABC  M , N , P Tính giá trị lớn thể tích khối lăng trụ MNP.M N P A B 27 C D Đề thi chọn học sinh giỏi 12 trường THPT Ba Đình - Nga Sơn - 2021 Đây câu trích đề chọn hsg tỉnh Bắc Ninh năm 2021 Phân tích: Bước 1: Thiết lập biểu thức tính thể tích khối lăng trụ MNP.M N P Bước 2: Sử dụng giả thiết bất đẳng thức Côsi để suy giá trị lớn thể tích khối lăng trụ MNP.M N P Lời giải: Gọi H , K hình chiếu S , M mặt phẳng  ABC  MN NP MP MK AM SA  SM  x  x   1 x BC AC SH SA SA Đặt: AB ,  x  đó: VMNPQ.M N Q MK S MNP    3  x  x S ANP MN MP VS ABC  x SH S ABC S AB AC Ta có: ABC  VMNPQ.M N Q    x  x.x 3   2x  x  x      2  Dấu “=” xảy 2  2x  x  x  Ví dụ Cho hình lăng trụ ABCD ABC D Lấy điểm E , F DA DA  6  AB , DA DE 27 DE đoạn thỏa mãn: Gọi V ,V ' thể 17 tích khối lăng trụ ABCD ABCD khối tứ diện BDEF Khi giá trị lớn V' tỷ số V bằng: 1 1 81 468 486 A B C D Phân tích: V' Bước 1: Thiết lập tỷ số V DA DA  6 Bước 2: Sử dụng giả thiết DE 27 DE bất đẳng thức Côsi để V' suy giá trị lớn tỷ số V Lời giải: Ta có: V' DE DF 6V ' DE DF    VD ABA DA DA V DA DA Theo ra: DA DA DA DA 6  2 DE 27 DF 27 DE DF DE DF   DA DA ' 81 Dấu “=” khi: DA DA V '    DE 27 DF V 486 2.3.4 Hệ thống tập tự luyện Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có đường chéo AC   d ABCD  góc  , hợp với mặt bên  BCC B góc  Biết tạo với  AC   d khơng đổi, ADCB hình vng thể tích khối hộp lớn Khi    0 0 A 60 B 120 C 75 D 90 Bài 2: Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác d AA,  ABC    a , d  C ,  ABC     b vuông A ,  , góc hai mặt phẳng  ABC   ABC   Khi a  b cos  để thể tích khối lăng trụ nhỏ 18 A B 6 C D Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  BC , BD  3cm             Hai mặt phẳng  ACC A   BDD B  tạo với góc      0        Hai góc Đường chéo BD hợp với mặt bên  DCC D  góc   ,  thay đổi thoả mãn hình hộp ADDA.BCC B ln lăng trụ Giá trị lớn thể tích khối hộp ABCD ABC D bằng? 3 A 3cm B 3cm C 3cm D 12 3cm Bài 4: Cho lăng trụ ABCD ABCD cạnh a Điểm M , N lần   lượt thay đổi cạnh BB , DD cho  MAC    NAC  BM  x, DN  y Tìm giá trị nhỏ thể tích tứ diện ACMN a3 a3 a3 a3 A B C D Bài 5: Cho hình chóp S ABCD tích V , đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng  Q  thay đổi song song với mặt đáy cắt cạnh SA, SB, SC , SD M , N , P, Q M , N , P, Q khác S không nằm ABCD Các điểm M , N , P, Q hình chiếu vng góc M , N , P, Q lên ABCD Tính giá trị lớn thể tích khối lăng trụ MNPQ.M N PQ 2 V V V V A 27 B C D Bài 6: Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD  60cm Ta gấp nhơm theo cạnh MN PQ vào phía đến AB DC trùng hình vẽ để hình lăng trụ khuyết hai đáy Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? A x  20 B x  15 C x  25 D x  30 Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D ' có AB  x, AD  3, góc   đường thẳng AC mặt phẳng  ABB A  30 Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật tích lớn 19 A x 15 B x C x 3 D x Bài 8: Cho nhôm hình chữ nhật ABCD có AD  24 cm Ta gấp nhôm theo hai cạnh MN QP vào phía đến AB CD trùng hình vẽ để hình lăng trụ khuyết hai đáy Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? A x  B x  C x  10 D x  Bài 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Một mặt phẳng không qua S song song với mặt phẳng  ABCD  cắt cạnh bên SA, SB, SC , SD M , N , P, Q Gọi M , N , P, Q hình chiếu SM x M , N , P , Q SA ABCD vng góc mặt phẳng Đặt Tìm x để khối lăng trụ MNPQ.M N PQ tích lớn A B C D Bài 10 Cho hình lăng trụ ABCD ABCD có đáy ABCD nội tiếp · · đường trịn đường kính BD  a 3, ABD   , CBD   , tam giác AAC Hình chiếu vng góc A  ABCD  trung điểm H cạnh AC Thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D đạt giá trị lớn bao nhiêu? 9a a3 9a a3 A B C D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục Thông qua việc đưa bước giải cụ thể cho dạng toán cực trị đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng dạng tốn, tơi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh đạt độ xác cao Từ nhận kết kiểm tra tiến rõ rệt 20 Cụ thể, qua kiểm tra thử nghiệm hai lần với học sinh lớp 12A36 12B36, đề kiểm tra lần mức độ khó thời gian làm ngắn kết tốt nhiều so với lần Kết khảo sát thực nghiệm sau: Kết kiểm tra lần Điểm 7-8 Điểm 9-10 Số HS Điểm Điểm 5-6 Lớp thực SL % SL % SL % SL % nghiệm 12A3 13,95 46,51 34,88 4,66 43 20 15 % % % % 21,95 21,95 12B36 41 23 56,1% 0% % % Kết kiểm tra lần Số HS Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 thực Lớp nghiệ SL % SL % SL % SL % m 12A3 18,6 53,48 27,92 43 0 23 12 % % % 26,8 53,65 19,55 12B36 41 0 11 22 % % % Kết thu được: Qua quan sát thực tế kết hợp với kiểm tra dạng tốn này, tơi thấy - Học sinh định hướng giải nhanh toán cực trị thể tích tơi sưu tầm từ đề thi HSG, đề TN THPT trường THPT nước - Học sinh rèn luyện thành thục kỹ tìm cực trị thể tích - cực trị hình học, kỹ tính tốn phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải cho tốn, dạng tốn - Tiết học sơi nổi, học sinh hứng thú chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinh lớp thực nội dung theo yêu cầu câu hỏi có kết tốt chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy Từ kết khẳng định giải pháp mà đề tài đưa hoàn toàn khả thi áp dụng hiệu trình dạy học 2.4.2 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua thực tế giảng dạy thấy cách làm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Hình học khơng gian thân, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Từ việc sử dụng kiến thức thể tích để tìm cực trị hình học cộng với định hướng giáo viên giúp học sinh giải tốt dạng tập cực 21 trị thể tích Với cách tiếp cận hình thành học sinh kỹ giải tốn hình học nói chung, phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải cho tốn, dạng tốn Tóm lại, để phát triển lực tốn học q trình dạy học mơn Tốn tìm cách nâng cao yếu tố “Tri thức chun mơn Tốn, kỹ làm tốn thái độ tình cảm mơn Tốn” Làm điều trước hết giáo viên phải cần có lực nghiên cứu khó, sáng tạo (phương pháp mới, kiến thức mới, tốn ) để nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ ln giữ vững vai trị người điều khiển trình dạy học Đối với dạng tốn người thầy nên hình thành ý rèn luyện, phát triển lực Toán học cho em Rèn luyện kỹ tính cực trị thể tích khối lăng trụ giúp học sinh chủ động việc phát tri thức nắm bắt tri thức để từ kích thích đam mê, sáng tạo học tập môn Toán học sinh 3.2 Kiến nghị Trên số sáng kiến kinh nghiệm thực đơn vị năm học vừa qua Rất mong đề tài xem xét, mở rộng để áp dụng cho đối tượng học sinh, giúp học sinh yêu thích say mê học Tốn XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 01 tháng năm 2022 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Nguyễn Thị Lan Hương 22 ... biệt dạng vận dụng: cực trị thể tích khối chóp cực trị thể tích khối lăng trụ phát triển dạng tốn tốn tương đối khó Trong khuôn khổ sáng kiến nghiên cứu dạng cực trị thể tích khối lăng trụ 2.2... “quen” giải tốt cực trị thể tích, có nhìn tổng quan đầy đủ dạng toán vận dụng Sau ta sử dụng hai tính chất để tính nhanh số tốn cực trị tỉ số thể tích khối lăng trụ Tính chất 1: Cho lăng trụ ABC A1B1C1... tốn tìm giá trị lớn nhỏ đại lượng hình học có liên quan đến thể tích khối lăng trụ Để tìm cực trị thể tích khối lăng trụ ta thực theo hai bước sau: Bước 1: Tính thể tích khối lăng trụ cần tìm