‘TRAN ĐỨC HUYỆN (Chủ biên) NGUYEN DUY HIẾU - PHAM THI BE HIEN
Trang 3Lời NÓI ĐẦU
Soe
Ỗ rong thời gian vừa qua, được sự giúp đỡ của Nhà xuất bản _ Giáo dục Việt Nam, trường Trung học phổ thông chuyên Lê
Hồng Phong TP Hồ Chí Minh đã biên soạn bộ sách “Giải toán
dành cho học sinh lớp chuyên” theo định hướng bám sát sách giáo khoa, bổ sung các chủ để nâng cao theo trình độ trường
chuyên và các nội dung thi đại học Bộ sách đã được đông đảo hoc sinh và giáo viên các trường chuyên sử dụng và tin cậy
Trong quá trình đổi mới giáo dục, đáp ứng yêu cầu mới
_ của sách giáo khoa chuyên ban, xây dựng phương pháp kiểm
_tra kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan, chúng tôi biên soạn lại bộ sách Giải toán dành cho học sinh các trường chuyên và học sinh khá giỏi ở các trường Trung học phổ thơng trên tồn quốc Bộ sách “Giải toán 12” được biên soạn nhằm
đáp ứng tốt nhất cho các kì thi Tốt nghiệp THPT và đặc biệt là kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao đẳng Bộ sách này gồm năm quyển :
_— Giải toán 12 - Hàm số mũ - lôgarit và số phức ; - Giải toán 12 - Phương pháp toa độ trong không gian ; — Giải toán 12 - Khảo sát hàm số ; |
— Giải toán 12 - Khối đa diện và khối tròn xoay ; - Giải toán 12 - Tích phân - nguyên ham
Nội dung quyển “Giải toán 12 — Tích phân - Nguyên hàm” bám sát theo cấu trúc của sách giáo khoa Giải tích 12 (Nâng cao) và được trình bày theo bốn chương như sau : | |
e Chuong I: Nguyên hàm ;
e Chương II: Tích phân ;
e Chuong III : Ung dung tich phan dé gidi toán ;
Trang 4Trong ba chương đầu, ở mỗi bài học, chúng tôi xây dựng hệ thống bài tập rèn luyện dựa theo các vấn để cụ thể, một số bài tập là các đề thi đại học để bạn đọc tham khảo, có cung
cấp đáp án và hướng dẫn giải sơ lược của một số bài tập tiêu biểu nhằm giúp các bạn đọc ôn tập, nâng cao kiến thức, rèn luyện kĩ năng giải toán Chương IV là các bài toán tổng hợp,
giúp học sinh vận dụng sâu kiến thức đã học, có gợi ý, hướng
dẫn giải CC |
“Hi vọng quyển sách này cùng với những quyển sách của Bộ sách Giải toán 12 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập, rèn luyện nâng cao kiến thức, rèn kĩ năng mơn
Tốn lớp 12, chủ động và tự tin bước vào kì thi Tuyển sinh Đại
học - Cao đẳng để đạt được kết quả tốt nhất ; Bộ sách này cũng
là tài liệu hỗ trợ cho giáo viên Toán các trường Trung học phổ thông trong công tác đào tạo học sinh giỏi |
Mọi ý kiến đóng góp xin được gửi về địa chỉ sau :
® Cường Crung lọc phổ thông chuyéen L6 Fénug Dhoug, 235 Uguyén Odu (2t, Quận 5, ID F6 Chi Minh
e Ban bién tap Fodn — Fin, Cing ty c& phan Dich ou xudt ban giáo due Gia Dinh — Wha xudt ban Gido due Oiét Vam, 231 (Xguuyễn “Qăn từ, Quận 5, Fp.FOCM — -
Tran trong cam on !
Trang 5
§1 DINH NGHIA NGUYEN HAM
VA TINH CHAT CUA NGUYEN HAM
A TOM TAT GIAO KHOA
I KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM 1, Định nghĩa
Cho hàm số f xác định trên K & là một khoảng, một: đoạn hoặc một nửa | khoảng nào đó)
Hàm số F được gọi là một nguyên hàm của ham sé f trén K néu F’(x) = f(x)
với mọi x thuéc K _ | |
Chú ý : Nếu F là nguyên hàm của f trên khoảng (a ; b) và hai hàm f và F liên tục trên đoạn [a ; b] thì F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a ; b]
2 Định lí
_ Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K Khi đó : | a) Với mỗi hằng số C, hàm số y= F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f trên K b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộcK -
Trang 6II NGUYEN HAM CUA MỘT SỐ HAM SO THUONG GAP 1) [0dx =C | _2) [ax = idx =x+C | | atl | 3) fx% dx = ——+C (œ#-1) | atl | 4) fax =In|x|+C
5) [sinxdx =—cosx+C ; I sinkxdx =_— ` kx +C (k#0) 6) Jcosxdx =sinx+C 2 Jcoskxdx = =< +C (k#0)- ex a 7) [e*dx=eX+C ; fedx =—-+C (k #0) aX 8) Ja*dx =- —+C (0<a#l) Ina 9) | 5 dx = [d+ tan? x)dx = tanx + C | cos“ x : 10) | 5 dx = [+ cot? x)dx =—cotx+C sin x
‘II MOT SO TINH CHAT CO BAN CUA NGUYEN HAM
Trang 71 | PHƯƠN G PHÁP Để chứng minh F(x) là 1 một nguyên hàm của £00) trên D, ta chứng minh F’(x) = f(x), Vx € D 2 VI DU Vidul | a) Chứng minh rằng hàm số F(x) = —In|cos x| là một nguyên hàm của hàm số f(x) = tanx b) Chứng minh rang ham số FQ) “hi x| là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cotx : c) Chứng minh rằng hàm số F(x) =\a?—x? là một í nguyên hàm của hàm số Íx) = —————— - *a?—x2 _Giải a) Ta cé : F(x) = _(€95X) _ SMX _ tanx =f(x) COSX COSX nên F(x) là một nguyên hàm của hàm sé f(x) (sinx)' cosx b) Ta có : F”(x) = =cotx =f(x) sin X sin X nên F(x) là một nguyên ham cua ham s6 f(x) ©) Ta có : F?(x) = (via? -x?]'= , H 2 a2—x2 a“—X
nên F(x) là một nguyên hàm của hàm s6 f(x) |
Trang 8Giải 5) Sa a) Ta 06 : F(x) = -— ax _t 2a km 2a a+X 2a (a-x) a+x _ a8—x 1 1S 7 (a—x)(a+x) ˆ a2—x2~ t6) Tiên F(x) là một nguyên hàm của hàm sé f(x) Xx | (x+Vx? +a?) 1+ [2 492 _ 1 b) Ta có :FQœ)= a= = F(x) x + x2 42 x+y x2 4a2 x? +a nên F(x) là một nguyên hàm của hàm sé f(x) | X c) Ta c6 : F’(x) = = ———= Ẩ=Í()_
x+4x2~a2 x+\x2~a2 - x? —a?
nên F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) | Vidu3 - " | | (x —5)? b) Xác định a, b, c sao cho F(x) = (ax? + bx + e)^A/2x—3 là một nguyên hàm +1
a) Tim a dé hàm số F(x)= ÊÊ la mét nguyén ham ctia ham sé f(x) =
Trang 11c) fj in x + cos x)? +(tanx _ cotx)” | dx ; d) [(in4 x +cos* x)dx ;
Ƒ- dx 1+sinx:
Giải Ly
a) I cos5x.cos3x.sin2x.dx = 5 (cos §x+cos 2x) sin 2xdx
“5 [(cos8x.sin 2x + cos 2x.sin 2x) dx =5 [(cos8x.sin 2x + cos2x.sin 2x) dx s =; (sin 10x —sin 6x + sin 4x )dx =+ —-1 sos10x + Leos6x—-Lcos 4x +C 4V 10 6 4 : | = — || cos10x +—2-cos6x -—-cos 4x +C 40 24 16 ae 2 “42 2 4
b) (= X — X,2si x! dan Jax ̓z- 3 ch Jas cos’ X sin? x - | sin? x cos* x
- =7x +3cotx +4tan x+C
c) [Ginx+eos x)? +(tanx — cotx) dx
Trang 12S Van dé 3 Tìm một nguyên hàm của hàm số thoả mãn điều kiện cho trước 1 PHƯƠNG PHÁP
Tìm một nguyên ham F(x) cua hàm s sé f(x) thoa mãn điều kiện F (a) = b Ta thực hiện 2 bước sau :
— Tìm họ nguyên hàm cua f(x) la : F(x) = G(x) + C
~ Giải điều kiện F(a) =b © G(a) + C =b © C =b~ G(a) - Kết luận F(x) = G(x) + C, với C tìm được ở trên 2 VÍ DỤ Vi du 1 Tim mét nguyén ham F(x) cia f(x) thoa điều kiện cho trước : a) fx) = 2x” — 3x?+ 4x + 5 ; ,F(@)= 3; : b) f(x) = ee :F()E=e | Giải 4 a) Ta có : Jf(«)dx =x + 2x? †5x+C =FG) F(2)=3 > 8-8+8+10+C= 3<>C=—15 x4 Vay Fa) =! +2x2 +5x—]15 12 _b) Ta có : x) = e0 2 e*.e"!9 = 10.e* => [fdx =10e% +C = F(x) F()=e<©>10e+C=eœC=-9e_
Vay F(x) = 10e* — 9e
Vi du 2 Cho f(x) = 3x’ 2m — 1)x + 2m Xac dinh m dé nguyén ham F(x)
Trang 1419 : l—cosx ” 20 [(tanx + 1)dx:; 21 PB —-= isin 2x SH X |, 22 fia +sinx)“ + (1 + cosx) Jax : nx\2 2 —23 fs na), 24 Ci —3.7%).2*dx ; 2 | “zh
$2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYEN HAM
A TOM TAT GIAO KHOA
I PHUONG PHAP DOI BIEN SO
Dinh li 1 Cho ham số u= u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f{u) _ liên tục sao cho f[u(x)] xac dinh trén K Khi đó :
Nếu E là một nguyên hàm của f, tức là : J f (u)du = F(u)+€ thì:
[f[u&)]u'G)dx = Ru(x)]+C (1)
II PHUONG PHAP NGUYEN HAM TUNG PHAN
Định lí 2 Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì :
Ju(x)v'œ)dx =u(x)v(x)— [veou (x)dx (2)
Công thức (2) có thể viết gọn dưới dạng : | udv = uv— [vdu
Trang 15Biét [f(u)du =F(u)+C Tinh [f(u@œ))u {x)dx (9
— Đặt : t= u(x) — dt = u'(x)dx
~ Khi đó : (*) = | f (t).dt = F(t) +C = F(u(x))+C
DANG 1 Nguyên hàm các hàm số đơn giản
1 PHƯƠNG PHÁP |
_® Dùng phương pháp đôi biến số và áp dụng kết quả sau :
Trang 18— * =nll+C= Tnhndnx)|+C X Inx In(In x) t dị Đặt: t=vl+Inx = t? =1+Inx => 2tdt =—dx X => pS ay = = [sa == +C =2/0+Inx) +C DẠNG 2 Nguyên hàm của hàm số mũ 1 PHƯƠNG PHÁP | |
u là hảm số theo x | | , Trường hợp đặc biệt : u = ax + b (a 4 0)
Trang 19Dat : t= e* > dt = e*dx ex ora = fo =| “Ít rat t—1 “{- aD 2°-\t-1 t+l — laX_— -1 tN cet mle lec 2 |t+1 2 le*+l _ (dt =e% d _đìĐặt:t=l+ex j TP €8 | — le“ =t-I | : 2x Tu X x — fs dx fs e*dx j= dt =Í-;ja I+e* 1+e% =t—ln|t|+C=1+e%-Ind+e*)+C
Vi dy 2 Tim cac ho nguyén ham sau :
Trang 20b) Đặt : t=e* => dt = e*dx | > eae e?* dx =f tdt = pa “v1+e% mm œ “Al+t+xl-t (far? +Ja- To “(oer mm ¬ c Dat t = sinx + 1 => dt = cosxdx
=> fem X+1 cos xdx = fetat =et+C=eSinx+l + C,
- DẠNG 3 Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ
1 PHƯƠNG PHAP
` P(x
y= f(x) = 209
| Q(x)
¥ Néu bac P(x) < bac Q(x)
Ta bién doi f(x) vé tong (hiệu) các hàm số đơn giản rồi tìm nguyên hàm
v Néu bac P(x) = bậc Q(x) | |
Ta thuc hign phep chia da thức P(x) cho Q(x) rồi bién đổi f(x) vé tong (hiệu) các hàm số đơn giản và tìm nguyên hàm |
66), Q(x) là đa thức) _
Lưu ý cách phân tích sau :
Trang 26Cách 2 : (dùng phương pháp đồng nhất thức) 1 — A Bx+C _ A= -1)* + (Bx + C)(x +1) f(x) = - : Œ (x+Ð(&« 1) x41 @&- NP @œ&+D@œ-DŸ _(A+B)x? +(B+C- 2A)x+(A+C) (x +1)(x— 1)? Như vậy VỚI mọi x e R VA, 1}, ta phải có hệ sau : | faut A+B=0 ‘ -2A+B+C=0<4B=-7 A+C=l 3 C== Lodo ot x-3 1 1 1-1-2 - PONS Fa 4x41 4 (x-12 2 4 x#l 4 @&- 1) : = | att ot tt 1 4 x+l 4x-l 2(x-UŸ = ff@odx =—2in =— x-l[ 11, +C x+1| 2 x-I DẠNG 4 Nguyên hàm các hàm căn thức 1 PHƯƠNG PHÁP |
- Một số lưu ý khi tính nguyên hàm có chứa đấu căn như sau : - Dùng công thức biến đổi căn : #ụm =ụn (u>0)
- Khử dấu bằng bằng cách nhân lượng liên hợp |
Trang 29e Tinh [f@xydx voi
asin x + Bcosx _ u(x) f(x + 2 x0, a 245240 = asin x + bcosx ~ v(x)’ , (0? P } Biến đổi : fœ) =1) v(x) +B.v GÓ _ Aa sin x + bcos x)+ Blac COS X — —b sin x) asinx +bcosx _ (aA—bB)sin x + (Ab +aB)cos x asin x + bcosx
Dung phuong phap đồng nhất thức :
(aA —bB)sin x +(Ab+aB)cosx= asin x x+Bcosx, VxeD; aA-bB=a | > suy ra A va B Ban | Suy ra: Si [f(«)dx = je ax = [Adx +B re OD ax = Ax + Bln|v(x)|+C v(x) Nhắc lại một số công thức lượng giác thường SỐP : 8 SI12a = 2sina.cosa Ì ® cos2a =cos? a—sin2a =2cos” a—Ï =l~2sin” a , 2t sina =——> 1+t et=tan— => 4cosa= 5 2 : — 2t 1+t tan a = 2 L 1-t | : 3cosa+cos3a e cos3a= 4cos2a-3cosa ; cos a= i, " 3sina —sin3a
esin3a= 3sina-4sina ; sin? a = ———
—® cosa.cosb= = [costa _ b)+ cos(a +b)]|
Trang 302 Vi DU
e sina.sinb =2 eos(a~b) —cos(a + b)j
® sina.cosb = = [sin(a - b)+sin(a+b)] Vi du 1 Tính các họ nguyên hàm sau : a) |————- co | b) [sin* x.cos® xdx ; cos* X— sin* x c) Ne 1+cos” x.sin 2xdx ; d) [os® xdx Gidi | dx cos 2x a) | cos* x —sin* x = [j= f= Ja cos? x —sin2 x cos 2x 1—sin~ 2x Dat : t =sIy2x = dt =2cos2xdx — cos 2xdx = | => | cos 2x _ dx =+ ( -=-4 f ~ mì ni 1—sin? 2x 2°1-t? 2/Œ-D(Œ+D 4j\(—1 t+i =-1mlt=ll.oc-_ 1m |sin2x=I1 4 |t+l 4 _fsin 2x +1 b) Đặt : t = sinx => dt = cosx.dx => sinẾ x.eos xdx = Jsinf x.(1—sin 2 xcosxdx = fis t2)dt 5 7 Sy 7 `" >t +c-šm x sin’ x 5 7 +C
c) Đặt : t=vI+cos2 x = t2 =l+cos” x = 2tdt = —sin 2xdx => sin 2xdx = —2tdt |
=> Vi+ cos? x.sin2xdx =~2 [Cát =-28 +C=—2 (1+ cos? x) +C d) Dat : t= sinx > dt = cosx.dx |
> [cos° xdx = fa —sin? x)*.cos x.dx = Ja —t?)*dt = fa-2¢? +t*)dt
=t-28 wigs +C =sinx —<sin3 x4 sind x+C
3 5 3 5 7
Trang 31Vi du 2 Tinh các họ nguyên hàm sau : c) E——&; a |- dx ; b) [—=
sin X sin® xử | sin X COS X
Trang 32b) [— dx = {a + cot? x)?,— 5 dx = -{d + 2cot? x +.cot* x)d (cot x) sin® x | sine x | | 2 1 =—eot x —F cot? x— Zot” xXx+C c) E—— dx = [28% ax 32 sin* x cos x sin* x(1—sin? x) Đặt : t = sinx — dt = cosxdx
pd => _————-dx = (_—_ =- [| > ——— Jat =- (—| ——-— lat dt Loa) tf 1Ì
Saat xcosx Sra Ệ sen] ol - 3) =— | ———dt+ | ta aaa sat + | at - 1 —————— lút + dt+ Ty i “| jae tt HH L1 1 =——lỈn|——| —-——+- tr t 32 =_1In sin X — -1|- _ 1 +C
2 sinx+1|_ sinx 3sin2x
d) ftan4 xdx | (tan4 x—]).dx + Jax = [(tan? x —1)(tan? x + Idx + fux
tan? X
= f(tan? x —1)d(tan x) + fax = ~tanx+x+C
e) ftan® xdx = f(tan® x +1)dx- fax
= |{tan? x+1)(tan4 x — tan? x+1]dx— [dx
Trang 34= + 1 1 j_#_.- 4t“—4t+l (2t-U2 " 2 2t-1 2 25-1 9 |— sin? x —5sin x.cosx =|—5 cos” a X— 5 tan x) đc Đặt : t =tanx => dt =———dx cos” x => =—||——-—-
s [su 5 sin X.COS X =f St A(t Ja
Trang 35¬ ` " dense g, 3 {nat feos) (sin x +2cosx)' X sinx+2oosx sin x +2cos x unions "` 5 45 S Van dé 2 | _ Phương pháp nguyên hàm từng phần
“Ta có : fudv =uy- [vdu
Trang 37= In(sin x) | COS X x du = e) Đặt : dv = 1 dx => : sin X sin2 XK V=— cot X dx = cot xdx - pincsin x) tra 2 dx =—cotx In(sin x)+ [oot? xdx sin“ x ,
= —cot x In(sin x) + {a + cot? x)dx — fx
= ~cot x In(sin x)-—cotx-x+C _ " | / ` ` : ) u=In[x+\ V1+x?2 | | du = I dx | a f) Dat: 9 | | => V1+x? | dv = ` - N1+x2 a veVv1l4+x2 xIn[x++ x2] = | dx = hax? In x +V1 +x? 1+x? \- Jax 1+x2 la[xevL+x? |-xec DẠNG 2 | ÍP@&).(sinx, cos x,cx )dx 1l+x2 - | 1 PHƯƠNG PHÁP | | u=P(x) => du =P '(x)dx e Dat ,
Trang 391 2 _l 2 1 TL 1 |
Os Ix -1)eox2xdx => [x -l)sin2x~ 2| ~2xe082x + sin2x +C, |
=4(x? -1)sin 2x ++x cos 2x sin 2x +C, 4\ 4 - 8 Vay: [@? —1) cos? xdx =133 _l, +(x? -1)sin 2x + Lxeos2x—-Lsin 2x +C | 6 2 4 4 8 / _ |u=x _~ a c) Đặt : | 1 => du = dx d dx v=— v=-cotx sin x x => [- 5 dn =n cotx+ foot x =—x.cotx+ [2° * dx sin* x sin x d(sin x | _ =—X.COtX+ ( ) =—x.cotx +ln|sinx|+C sinx 1 | .COSX u=— du =—— 5 dx v sinx d) Dat: => six 1 cos X dv = _ dx v=-cotx=— - sin“ x sinx
COS X COSZ X cos xX 1—sin2 x
= [te 2 -a _ -| sin? X sin’ x sin” x sin’ x sin? x° cos X =——5 -j dx + na 'gin“ x sin? x sin x hi Suy ra: Í 1 =r can, [đề COSX +t pe
sin? x 2| sin2x sinx 2 sin? x sin x
» foe fan f 1 a Sin x 2sin-—.cos= | 2 tan cos’ =
a{ tan) | |
= [—<~=h tan —|+C |
- tan— © 2
Trang 40=> |—d | gaol cos* tein sin? x 2 sin +C x tan — 2 x Vi du 2 Tinh : 1= [ex cosxdx vaJ= |e sin xdx oe — Giải Tinh I: | 7 — aX — aX - Đạt; JU=€” ss du = e*dx dv = cos xdx V=sinx =I= [e* cosxdx = e* sin x —J : | (*) — pr — ar Dat : u=e ey du = e*dx | dv =sin xdx |V=—C0SX - 40 =I=[e sin xdx = —e* cosx + Je* cos xdx =—e* cosx +1 (**) * Xe K cae l x(e
(*)=>>I=e sinx -(-e cosx +1] = I=se (sin x +cos x)