CHỦ ĐỀ 7 PHÉP QUY NẠP Dạng toán 1 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Để chứng minh mệnh đề chứa biến A n là đẳng thức đúng với mọi giá trị nguyên dương của n , ta thực hiện hai bước sau Bước 1 Chứng minh A n[.]
CHỦ ĐỀ PHÉP QUY NẠP Dạng toán CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC n Để chứng minh mệnh đề chứa biến A n đẳng thức với giá trị nguyên dương , ta thực hai bước sau: n 1 Bước 1: Chứng minh A n đẳng thức k nk Bước 2: Với số nguyên dương tùy ý, từ giả thiết A n đẳng thức , chứng n k minh A n đẳng thức Chú ý: 1) Nếu đẳng thức A n với số nguyên dương n n0 - Kiểm chứng đẳng thức n n0 - Giả sử đẳng thức n k n0 Ta chứng minh đẳng thức n k 2) Khéo léo sử dụng giả thiết quy nạp, viết rõ số hạng, số số hạng, quan hệ điều có điều cần chứng minh để bổ sung thêm đại lượng thích hợp, biến đổi hợp lý, cần biến đổi tương đương điều cần phải chứng minh Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n : n n 1 n Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp n 1 1.2 VT 1, VP 1 Khi Do đẳng thức n k k 1 n k 1:1 k Giả sử đẳng thức Ta chứng minh đẳng thức n k : k 1 k k k 1 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: k k 1 k 1 k k k 1 k 1 2 Vậy đẳng thức với số nguyên dương Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n : n n 1 2n 1 12 22 32 n Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp n 1 1.2.3 VT 12 1, VP 1 Khi Do đẳng thức n Giả sử đẳng thức n k k k 1 2k 1 12 22 32 k Ta chứng minh đẳng thức n k Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: k k 1 2k 1 2 12 22 32 k k 1 k 1 k 1 2k k 6k k 1 2k 4k 3k 6 k 1 2k k k k 1 k k 3 6 : đpcm n Vậy đẳng thức với số nguyên dương Bài toán Chứng minh với số ngun dương n , ta ln có: n n 1 3 n Giải 2 n 1 1 1 13 Khi , ta có: Do đó, đẳng thức n * Giả sử đẳng thức n k , k ℕ k 3 k k 1 Ta chứng minh đẳng thức n k Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: k k 1 3 3 k k 1 k 1 2 k 1 k 1 k k 4k 4 : đpcm Vậy đẳng thức với số nguyên dương n Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n : 2n 2n 1 n Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp Khi n VT 2, VP Do đẳng thức n Giả sử đẳng thức n k : 2k 2k 1 k Ta chứng minh đẳng thức n k : 2k 2k 3 k Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 2k 2k 1 2k 2k 3 k 2k 2k k Vậy đẳng thức với số nguyên dương Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n : 2n 1 n Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp n 1 1.2 VT 1, VP 1 Khi Do đẳng thức n Giả sử đẳng thức n k : 2k 1 k Ta chứng minh đẳng thức n k : 2k 1 k 1 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 2k 1 2k 1 k 2k 1 k 1 : Vậy đẳng thức với số nguyên dương Bài toán Chứng minh với số ngun dương n , ta ln có: n 4n 2 2n 1 Giải n 1 4.1 12 Khi , ta có Do đẳng thức n * Giả sử đẳng thức n k , k ℕ 2k 1 2 k 4k Ta chứng minh đẳng thức n k Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: k 4k 2 2 2k 1 k 1 1 2k 1 4k 12k 11k k 1 4k 8k k 1 k 1 1 3 * Vậy đẳng thức với n ℕ Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: n n 1 n 1.2 2.3 n n 1 * Giải n 1 1.2.3 VT 1.2 2, VP 2 Khi Do (*) n * Giả sử (*) n k , k ℕ : k k 1 k 1.2 2.3 k k 1 Ta chứng minh (*) n k Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k k 1 k k 1 k k k 1 k k 3 3 : đpcm Vậy (*) với số nguyên dương n Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 n * 1.2 2.3 n n 1 n Giải n 1 1 VT , VP 2 Khi Do (*) n * Giả sử (*) n k , k ℕ : 1 k 1.2 2.3 k k 1 k Ta chứng minh (*) n k 1 1 k 1 1.2 2.3 k 1 k k Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 1 1 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k k 2 k k k 1 k k 1 k k 1 k 1 k 1 k k 2 Vậy (*) với số nguyên dương n Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 n * 1.3 3.5 2n 1 2n 1 2n Giải n 1 1 VT , VP 3 Khi n Do (*) 1 k n k , k ℕ* , 1.3 3.5 2k 1 2k 1 2k Giả sử (*) Ta chứng minh (*) n k 1 1 k 1 1.3 3.5 2k 1 2k 3 2k Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 1 1 1.3 3.5 2k 1 2k 1 2k 1 2k 3 k 2k 3 k 2k 2k 1 2k 3 2k 1 2k 3 2k 1 k 1 k 2k 3k 2k 1 2k 3 2k 1 2k 3 2k Vậy (*) với số nguyên dương n Bài toán 10 Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: n2 n 1 * n 2n với Giải n2 3 VT , VP 4 Khi n Do (*) Giả sử (*) n k , k k 1 1 1 1 k 2k Ta chứng minh (*) n k 1 k 2 2 k k 1 2k Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 1 1 1 1 k k 1 k 1 k k 2k k 2 1 2 2k k 1 2k k 1 2k Vậy (*) với số nguyên dương n Bài toán 11 Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: n2 1 * n 1.2.2 2.3.2 n n 1 n 1 2n Giải n 1 3 VT , VP 1.2.2 2.2 Khi Do (*) n Giả sử (*) n k , k nguyên dương k 2 1 k 1.2.2 k k 1 k 1 2k Ta chứng minh (2) n k Thật vậy, theo giả thiết quy nạp: k 2 k 3 k 1.2.2 k k 1 k 1 k 2k 1 1 k k 3 k 3 1 k k 1 k 1 k 2k 1 k 1 k 1 k k 2k 1 : đpcm Vậy (*) với số nguyên dương n 1 Bài tốn 12 Chứng minh cơng thức Nhị thức 1 x n n Cn0 Cn1 x Cnn 1 x n 1 Cnn x n Cnk x k 1 k 0 Giải Ta chứng minh quy nạp mệnh đề (1) 1 n 1 n 1 Khi 1 x C1 C1 x x Do (1) Giả sử khẳng định (1) với n nguyên dương 1 x n n Cnk x k k 0 Ta chứng minh (1) với n Thật vậy: 1 x n 1 n n k 0 k 0 n 1 x 1 x Cnk x k Cnk x k 1 n n n Cnk x k Cnk x k , Ta có: k 0 k 1 Thay vào đẳng thức ta được: 1 x n 1 n n Cnk x k 1 Cnk 1.x k x n1 k 0 k 1 Cnk Cnk 1 x k x n 1 k 1 n C x C x C 0 n 1 k 1 k k n 1 n 1 n 1 n 1 x n 1 Cnk1 x k Vậy (1) với số nguyên dương n k 0 : đpcm Bài toán 13 Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: n 1 cos n 2 ( dấu căn) Giải n2 cos cos : Khi Giả sử cơng thức n k , k nguyên, k k 1 cos k 2 ( dấu căn) Ta chứng minh công thức n k Thật vậy: cos k 1 cos k 2 2 1 , k dấu 1 cos k 1 , k Do dấu 1 cos k 1 , k 2 dấu căn: đpcm Vậy công thức với số nguyên dương n n2 xk Chứng minh với số nguyên Bài toán 14 Cho tan nx tan x.tan x tan x.tan x tan n 1 x.tan x n tan x Giải Ta chứng minh quy nạp với n Khi n tan x tan x tan x.tan x tan x 2 tan x tan x tan x : k n k , k Giả sử công thức nguyên, tan kx tan x.tan x tan x.tan x tan k 1 x.tan kx k tan x Ta chứng minh công thức n k Thật vậy, ta có: tan a tan b tan b tan a tan a b tan a.tan b 1 tan a.tan b tan b a , nên: tan x.tan x tan x.tan x tan k 1 x.tan kx tan kx.tan k 1 x tan kx k tan kx.tan k 1 x tan x tan k 1 x tan kx tan k 1 x tan kx k 1 k 1 tan x tan x tan x : đpcm Vậy đẳng thức với số nguyên n Bài toán 15 Cho x 2k Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: n 1 x nx sin sin 2 sin x sin x sin nx 1 x sin Giải x sin sin x n 1: VT sin x; VP sin x x sin Khi Do (1) n Giả sử (1) n k , k nguyên dương k 1 x kx sin sin 2 sin x sin x sin kx x sin Ta chứng minh (1) n k Thật vậy: k 1 x kx sin sin 2 sin x sin x sin kx sin k 1 x sin k 1 x x sin k 1 x kx sin sin k 1 x cos k 1 x 2 2sin x 2 sin k 1 x sin k 1 x kx x sin 2sin cos x 2 sin k 1 x sin k x sin kx kx sin sin x 2 sin k 2 x sin k 1 x.sin x sin : đpcm Vậy đẳng thức với số nguyên dương n Dạng toán CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC n Để chứng minh mệnh đề chứa biến A n bất đẳng thức với giá trị nguyên dương , ta thực hai bước sau: n 1 Bước 1: Chứng minh A n bất đẳng thức k nk Bước 2: Với số nguyên dương tùy ý, từ giả thiết A n bất đẳng thức , chứng n k 1 minh A n bất đẳng thức Chú ý: 1) Nếu bất đẳng thức A n với số nguyên dương n n0 - Kiểm chứng bất đẳng thức n n0 - Giả sử bất đẳng thức n k n0 Ta chứng minh bất đẳng thức n k 2) Khéo léo sử dụng giả thiết quy nạp, viết rõ số hạng, số số hạng, quan hệ điều có điều cần chứng minh để bổ sung thêm đại lượng thích hợp, biến đổi hợp lý, cần biến đổi tương đương điều cần phải chứng minh Lưu ý dấu đại lượng nhân – chia, đánh giá biểu thức, tách ghép đại lượng,… Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n , ta có bất đẳng thức: 2n n Giải n 16 16 Khi bất đẳng thức: Do bất đẳng thức n * Giả sử bất đẳng thức n k , k ℕ , k 2k k Ta chứng minh bất đẳng thức n k Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 2k 1 2.2k 2.k k 2k k 2k 2 k 1 k k k 1 k Vậy bất đẳng thức với số nguyên dương n Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: Bất đẳng thức 2n 2n Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp, n , ta có: 2n 23 8; 2n 2.3 Do bất đẳng thức n * Giả sử bất đẳng thức n k , k ℕ k tức là: 2k 2k Ta chứng minh bất đẳng thức n k , tức là: 2k 1 k 1 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: 2k 1 2.2k 2k 1 4k 2k k 1 2k k 1 : đpcm Vậy bất đẳng thức với số nguyên dương n Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 1 2 n 1 n Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp Khi n , ta có Do (1) n * Giả sử (1) n k , k ℕ 1 1 2 k k Ta chứng minh (1) n k Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: 1 1 1 2 k k k 1 k 1 1 k k 1 k 1 k k 1 k 1 Ta chứng minh: k 1 k k 1 k k 1 : Vậy (1) với số nguyên dương n Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 1 n 1 n 3n Giải n 1 1 13 1 1 12 Khi BĐT: Do BĐT n * Giả sử BĐT n k , k ℕ : 1 1 k 1 k 3k Ta chứng minh BĐT n k : 1 1 1 1 k 2 k 3 3k 3k 3k 3k Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 1 1 1 VT 3k 3k 3k 3k k k 1 k 2 1 1 1 3k 3k 3k 3k 3k 3 3k Vậy BĐT với số nguyên dương n Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: n 1 1 13 n 1 n 2n 24 với Giải n2 1 13 26 13 Khi BĐT: 24 Do BĐT n Giả sử BĐT n k , k : 1 13 k 1 k 2k 24 Ta chứng minh BĐT n k : 1 13 k 2 k 3 2k 24 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 1 1 13 1 k 1 k 2k 2k 2k 24 2k 2k Nên 1 13 1 k 2 k 3 2k 24 2k 2k k 13 1 13 24 2k 2k 24 Vậy BĐT với số nguyên dương n Bài toán Cho số thực x 1 Chứng minh với số nguyên dương n thì: n 1 x nx 1 Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp n 1 Khi n 1: 1 x x 1.x Do (1) * Giả sử (1) n k , k ℕ : k 1 x kx Ta chứng minh (1) n k Thật vậy, từ giả thiết x 1 nên x 0, giả thiết quy nạp, ta có: k 1 k 1 x 1 x 1 x 1 x 1 kx k 1 x kx k 1 x Vậy (1) với n ℕ* Bài toán Cho x Chứng minh: 1 x 1 x n n n 2n với nguyên dương Giải Khi n : BĐT x x : Giả sử BĐT n k , k nguyên dương: k k 1 x 1 x 2k 1 Ta chứng minh BĐT n k Thật vậy: 1 1 x 1 x 1 x 1 x k 1 x k 2.2 k 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2k 1 k 1 k 1 k 1 x 0,1 x x 1 Vì nên , đó: 1 x 1 x : đpcm Vậy BĐT với số nguyên dương Bài toán Cho a b Chứng minh với số nguyên dương n : k 1 k 1 k n a n bn ab k 1 Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp: ab ab n 1: 1 2 : Khi k n k, k a k bk ab Giả sử (1) nguyên dương: Ta chứng minh (1) n k Thật vậy, a b k k k ab ab a b nên 2 ab k 1 a k 1 b k 1 ab k a k b ab Ta chứng minh: a k 1 b k 1 ab k a k b a k 1 b k 1 ab k a k b a k 1 b k 1 3 Khơng tính tổng qt, giả sử a b m m m m ab a b Vì nên , a b a b b với nguyên dương k k k Ta có 3 a a b b b a a b a b : Vậy (1) với số nguyên dương n Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: n n n 1 n 1 1 Giải n 1 : 81 64 Khi Do (1) k * k 1 Giả sử (1) n k , k ℕ , k : k k 1 n3 Ta chứng minh (1) n k 1: k 1 k Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k k 2 k 2 k k k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 k 2 k 1 Do đó: k 2 k 1 2k 2 k k 1 k 12 k k 1 k 1 10 k 1 k 2k 1 k 2 k k Vậy (1) với số nguyên dương n k 1 k 2 k 1 : đpcm n Bài toán 10 Chứng minh với số nguyên dương n : n n 1 Giải n Khi : k 1 k Giả sử bất đẳng thức n k , k 1: k k 1 Ta phải chứng minh BĐT n k 1; k 1 k k 1 k 1 k 1 2k k Thật k k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k k 1 k k k k k k k n 1 k k Do k 1 k : đpcm Vậy BĐT với số nguyên dương n Bài toán 11 Chứng minh với số nguyên dương n : 1.1! 2.2! n.n ! n 1 !1 k 1 k Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp: n 1 Khi 1 1.1! 2! : Giả sử (1) n k , k nguyên dương 1.1! 2.2! k k ! k 1 ! Ta chứng minh (1) n k Thật vậy: 1.1! 2.2! k k ! k 1 k 1 ! k 1 ! k 1 k 1 ! k 1 !1 k 1 k 1 ! k k !: đpcm Vậy (1) với số nguyên dương n 4n 1 n : 4n n 1 Bài toán 12 Chứng minh với số nguyên dương Giải n k, k n 1: 1 Khi : Giả sử (1) nguyên dương: 4k 1 2 4k k 1 Ta chứng minh (1) n k 4k 4k 4k 4k k 2 4k 4k 4k 4k 4k k 4k Thật vậy, từ Ta cần chứng minh: 4k 4k k 4k k k 4k k 2 4k 3 k 4k k 1 1 16k 24k k 16k 40k 25 k 1 18 25 : 11 Vậy (1) với số nguyên dương n n Bài toán 13 Cho số dương x1 , x2 , x3 , , xn có tích: x1.x2 x3 xn Chứng minh tổng x1 x2 x3 xn n Giải Ta chứng minh quy nạp theo số dương n Khi n x1 x1 : Giả sử khẳng định n k , k nguyên dương Ta chứng minh khẳng định n k Thật vậy: k 1 Xét số dương x1 , x2 , , xk , xk 1 có tích x1.x2 xk 1 xk xk 1 1 Giả sử k số xi tích x1 x2 xk 1 : vô lý Giả sử k số xi tích x1 x2 xk 1 : vơ lý Do tồn số xu xv Không tính tổng quát, giả sử uk uk 1 Từ 1 x1 x2 xk 1 xk xk 1 Áp dụng giả thiết quy nạp với k số x1 , x2 , , xk 1 , xk xk 1 có tích nên tổng: x1 x2 xk 1 xk xk 1 k x1 x2 xk 1 xk xk 1 k xk xk 1 xk xk 1 k xk 1 xk 1 1 xk k xk 11 xk 1 k : đpcm Vậy BĐT với số nguyên dương n Bài toán 14 Cho 2n số tùy ý: a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Chứng minh bất đẳng thức: a1 a2 an b1 b2 bn 2 a12 b12 a22 b22 an2 bn2 Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp: 2 2 n 1 Khi BĐT: a1 b1 a2 b2 : 2 n2 2 2 Khi BĐT: a1 a2 b1 b2 a1 b1 a2 b2 a a1 a2 b1 b2 a12 b12 a22 b22 2 a1a2 b1b2 a b12 a22 b22 b12 a22 b22 Nếu VT BĐT đúng, cịn VT BĐT a1a2 b1b2 a12 b12 a22 b22 2a1a2b1b2 a12 b22 a22 b12 a1b2 a2b1 : Giả sử BĐT n k , k nguyên dương Ta chứng minh BĐT n k Thật a1 a2 ak ak 1 b1 b2 bk bk 1 a a a1 a2 ak b1 b2 bk 2 ak ak 1 b1 b2 bk bk 1 2 2 ak21 bk21 a12 b12 a22 b22 ak2 bk2 ak21 bk21 : đpcm Vậy BĐT với số nguyên dương n Dạng toán CHỨNG MINH CÁC MỆNH ĐỀ 12 n Để chứng minh mệnh đề chứa biến A n mệnh đề với giá trị nguyên dương , ta thực hai bước sau: n 1 Bước 1: Chứng minh A n mệnh đề k nk Bước 2: Với số nguyên dương tùy ý, từ giả thiết A n mệnh đề , chứng minh n k A n mệnh đề Chú ý: 1) Nếu A n với số nguyên dương n n0 ta kiểm chứng A n n n0 , phần sau, với giá thiết quy nạp A n n k n0 K 2) Để chứng minh mệnh đề A n chia hết cho số nguyên dương với số nguyên dương n n0 phương pháp quy nạp, ta tiến hành theo bước Bằng phép thử trực tiếp dựa vào dấu hiệu chia hết cho số nguyên dương K để kiểm chứng mệnh đề n n0 , bổ sung nhóm số hạng để sử n k 1 K dụng giả thiết quy nạp,… để chứng minh A n chia hết cho số nguyên dương 3) Để chứng minh mệnh đề khác với số nguyên dương ta tiến hành theo bước nêu, ý khai thác giả thiết Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n n3 2n chia hết cho Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp Khi n 13 2.1 3⋮ Do mệnh đề n Giả sử mệnh đề n k , k nguyên dương tức k 2k ⋮ Ta chứng minh mệnh đề n k 3 Thật vậy: k 1 k 1 k 3k 3k 2k k 2k k k ⋮ Vì k 2k ⋮ 3;3 k k ⋮ nên suy đpcm Vậy mệnh đề với số nguyên dương n Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n thì: n n 1 n n 3 chia hết cho 24 Giải Khi n 1.2.3.4 24 chia hết cho 24: Do mệnh đề n Giả sử mệnh đề n k , k nguyên dương Ta chứng minh mệnh đề n k Thật vậy: k 1 k k 3 k k k 1 k k 3 k 1 k k 3 Theo giả thiết quy nạp k k 1 k k 3⋮ 24 Vì k 1, k 2, k số nguyên dương liên tiếp nên có số chia hết cho có số chia hết cho nên: k 1 k k 3⋮ k 1 k k 3⋮ 24 Do mệnh đề n k đpcm Vậy mệnh đề với số nguyên dương n 2n2 n 32 n 1 Chứng minh với số nguyên dương n , Bài toán Với số nguyên dương , đặt un 7.2 ta ln có un chia hết cho Giải u Ta chứng minh n chia hết cho phương pháp quy nạp 2 2 1 Khi n ta có: u1 7.2 10 Do (1) n * Giả sử (1) n k , k ℕ uk 7.22 k 32 k 1 chia hết cho 13 Ta chứng minh (1) n k Thật vậy, ta có: uk 1 7.22 k 1 32 k 1 4.7.22 k 9.32 k 1 7.22 k 32 k 1 5.32 k 1 4.uk 5.32 k 1 Vì uk chia hết cho (theo giả thiết quy nạp) nên uk 1 chia hết cho (đpcm) Vậy (1) với số nguyên dương n Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n thì: un 62 n 3n 3n chia hết cho 11 Giải 2 n Khi u1 66⋮11 (đúng) Do mệnh đề n Giả sử mệnh đề n k , k nguyên dương uk 62 k 3k 3k chia hết cho 11 Ta chứng minh mệnh đề n k Thật vậy: uk 1 62 k 3k 3 3k 1 36.62 k 3.3k 3.3k 36 62 k 3k 3k 33 3k 3k 36uk 33 3k 3k ⋮11 (đúng) n Vậy un chia hết cho 11 với nguyên dương Bài toán Chứng minh tích n số nguyên dương liên tiếp chia hết cho n ! Giải Ta chứng minh quy nạp theo n ngun dương Khi n tích số chia hết cho 1: Giả sử mệnh đề n k , k nguyên dương Ta chứng minh mệnh đề n k Thật vậy: Đặt ui i 1 i i k i k 1 , i ℕ ui 1 i i 3 i k ui 1 ui i i 3 i k 1 i k i 1 i i 3 i k 1 k 1 Theo giả thiết quy nạp với k số i i 3 i k 1⋮ k ! ui 1 ui ⋮ k ! k 1 ui 1 ui ⋮ k 1 ! Và ta có u0 1.2 k k 1 k 1 ! nên ui ui ui 1 ui 1 ui u1 u0 u0 chia hết cho k 1 ! : đpcm Vậy mệnh đề với số nguyên dương n n Bài toán Chứng minh tổng góc - giác lồi n 180 với số nguyên dương n3 Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp Khi n mệnh đề: tổng góc tam giác 180 : Giả sử mệnh đề đến n k , tức tổng góc k - giác lồi k 180 Ta chứng minh mệnh đề n k Xét k 1 - giác lồi A1 A2 Ak Ak 1 Nối A1 Ak 14 Ta tổng góc k 1 - giác lồi tổng góc A1 A2 Ak cộng với tổng góc tam giác A1 Ak Ak 1 Do tổng góc là: k 180 180 k 1 180 nên mệnh đề n k Vậy mệnh đề với số nguyên dương n Bài toán Chứng minh đa giác lồi n cạnh chia thành n tam giác, n nguyên dương Giải Khi n Mệnh đề trở thành: Đa giác cạnh chia thành tam giác: Giả sử mệnh đề n k , k nguyên dương Ta chứng minh mệnh đề n k , tức k 1 chia k 3 - giác lồi thành tam giác Thật gọi A đỉnh Nối đỉnh kề giả sử B, C Do ta chia k 3 - giác lồi thành tam giác ABC k - giác lồi có cạnh BC k Theo giả thiết quy nạp, k - giác lồi chia thành tam giác Do k 3 - giác lồi chia thành k tam giác: đpcm Vậy mệnh đề với số nguyên dương n Bài toán Tính tổng S n 1.2 2.3 n n 1 Giải Ta có: S n 11 1 1 n n 1 12 22 n 1 n n n 1 2n 1 Vậy Sn n n 1 n n 1 n n n 1 2n 3 Giải Ta có: Tn 2.1 1 2.2 1 2n 1 12 22 n 1 n n 2 Vậy 3 2 Bài toán Tính tổng Tn 2n 1 Tn n n 1 n n n 1 2n 1 2n n 1 2n 1 n 4n n n 1 n 2n 1 n n 4n 3 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 2n n 1 2n 1 22 42 2n HD-ĐS Dùng phương pháp quy nạp Bài tập Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: n 2n n 3 4.3n HD-ĐS Dùng phương pháp quy nạp 15 Bài tập Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: n n 1 2n 1 3n 3n 4 4 n 30 HD-ĐS Dùng phương pháp quy nạp n n Bài tập Chứng minh với số nguyên dương , ta có: n ! n HD-ĐS Dùng phương pháp quy nạp n Bài tập Chứng minh với số nguyên dương Dùng phương pháp quy nạp Bài tập Chứng minh với số nguyên dương 1 , ta có: HD-ĐS n 1 n n 2n 1 3n , ta có: 2n HD-ĐS Dùng phương pháp quy nạp Bài tập Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: n n a) un 13 chia hết cho b) un 15n chia hết cho HD-ĐS Dùng phương pháp quy nạp Bài tập Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 3 a) un n n 1 n chia hết cho b) un n n 1 n n 3 n chia hết cho 120 HD-ĐS Dùng phương pháp quy nạp 16